【文档说明】广东省茂名市2020-2021学年高二下学期期末考试数学试题 含答案.docx，共(15)页，1007.207 KB，由小赞的店铺上传

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12020—2021学年度茂名市普通高中高二年级教学质量监测数学试卷本试卷共4页，22题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的

指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试题卷和

答题卡一并上交.一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{0,1,2,3,4}A=，240Bxxx=−∣，则AB中元素的个数为（）A．2

B．3C．4D．52.已知命题:1px，4220212022xx+，则p为（）A．1x，4220212022xx+B．1x，4220212022xx+C．1x，4220212022xx+D．1x，4220212022xx+3.

已知双曲线()222:10,0xyCabab−=的一条渐近线为第一象限与第三象限的角平分线，则C的离心率为（）A．2B．3C．2D．34.已知倾斜角为的直线l与直线:30lxy−=平行，则222sin2cos2cossin−−的值为（）A．

3−B．57−C．518D．35.冼夫人故里、放鸡岛、窦州古城、茂名森林公园这4个景区均为广东茂名市的热门旅游景区，现有5名学生决定于今年暑假前往这4个景区旅游，若每个景区至少有1名学生前去，且每名学生只去

一个景点，则不同的旅游方案种数为（）2A．120B．180C．240D．3606.某圆柱的轴截面是周长为4的矩形，则该圆柱的侧面积的最大值是（）A．2B．C．32D．27.记ABC的面积为S，若10ACBC+=，6AB=，则S的最大值为（）A．4B．

6C．12D．248.草地贪夜蛾是一种起源于美洲的繁殖能力很强的农业害虫，日增长率为8%，若100只草地贪夜蛾经过t天后，数量落在区间(67210,210内，则t的值可能为（参考数据：lg1.080.0334，lg20.301）（）A．80B．1

20C．150D．200二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知复数z满足()712zii+=−，则

（）A．z的虚部为12B．z的共轭复数为3122i−−C．252z=D．z在复平面内对应的点位于第二象限10.茂名市某单位在定点帮扶贫困村A村的过程中，因地制宜，优化产业结构，使得该村人均年纯收入逐年提高.A村村民2016，2017，2019，2020年这4年的人均年纯收入y（单位：万

元）与年份代号x之间的一组数据如表所示：年份2016201720192020年份代号x4578人均年纯收入y2.1mn5.9若y与x线性相关，且求得其线性回归方程为2yx=−，则下列说法错误的是（）A．人均纯收人

y（单位：万元）与年份代号x负相关B．8mn+=C．从2016年起，每经过1年，村民人均年纯收入约增加1万元D．2023年A村人均年纯收人约为11万元11.已知函数()()2sin0,()fxxm=+的部分图象如图所示，52AB=，则下列结论正确的是（）A．

3=3B．6=C．把函数()fx的图象向左平移32个单位长度后得到函数()2cos3xgx=−的图象D．把()fx图象上所有点的横坐标缩短为原来的6倍，纵坐标不变，得到的函数在,42上是减函数12.已知函数()fx是定义在R上的可

导函数，其导函数为()fx，若()05f=，且()()2fxfx−，则使不等式()32xfxe+成立的x的值不可能为（）A．2−B．1−C．1D．2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量()3,4a=，3b=，()

3abb−⊥，则向量a，b夹角的余弦值为．14.已知等比数列na的前n项和为nS，12a=，234512aaa=，则2a的值为，若()12nnaan−，则10S=．（本题第一空2分，第二空3分）15.已知函数()fx为定义在R上的偶函数，且(

)fx在区间()0,1内单调递减，在区间(1,)+上单调递增，写出一个满足条件的函数()fx=．16.在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形的直棱柱称为“堑堵”.如图，已知三棱柱111ABCABC−是一“堑堵”，2ACBC==，13AA=，点D为11BC的中点.则三棱锥DA

BC−的外接球的表面积为．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在①416S=，②()21512aaa=+，③2nSntn=+三个条件中任选一个，补充到下面问题并

解答.已知等差数列na的前n项和为nS，23a=，，若11nnnaba+=，求数列nb的前n项和nT.4注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且3sin3cosA

Abc+=.（1）求角B的大小；（2）若ABC的面积为3，且ABC的外接圆半径为233，试判断ABC的形状，并说明理由.19.如图，在四棱锥PABCD−中，PA⊥平面ABCD，ABBC⊥，//BCAD，1ABBC

==，2AD=，3AP=.（1）证明：平面PCD⊥平面PAC；（2）求平面PCD与平面PAB所成的锐二面角的余弦值.20.随着智能手机的迅速普及，外卖点餐也开始成为不少人日常饮食中的一部分，但方便群众生活的同时，部分

外卖派送人员诸如服务态度差、派送不及时、包装损坏等一系列问题也让市民感到不满，影响了整个行业的持续健康发展.A市外卖行业协会为掌握本市外卖派送人员的服务质量水平，随机选取了200名外卖派送人员，并针对他们的服务质量细化打分（满分100分），根据他们的服务质量得分分成以下

6组：)40,50，)50,60，)60,70，…，90,100，统计得出以下频率分布直方图：（1）求这200名外卖派送人员服务质量的平均得分x（每组数据以区间的中点值为代表）；（2）A市外卖派送人员的服务质量得分Z（单位：分）近似地服从正态分布()2,14.31N，其中近似为样本平

均数x.若A市恰有2万名外卖派送人员，试估计这些外卖派送人员服务质量得分位于区间5(41.88,84.81的人数；（3）为答谢外卖派送人员积极参与调查，该协会决定给所抽取的这200人一定的现金补助，并准备了两种补助方案.

方案一：按每人服务质量得分进行补助，每1分补助4元；方案二：以抽奖的方式进行补助，得分不低于中位数t的可抽奖2次，反之只能抽奖1次.在每次抽奖中，若中奖，则补助200元/次，若不中奖，则只补助100元/次，且

假定每次中奖的概率均为25.问：哪一种补助方案补助总金额更低.参考数据：若随机变量Z服从正态分布()2,N，即()2~,ZN，则0().6827PZ−+=，2205().945PZ−+=.21.已知函数()()221xfxaxxe=+−.（1

）当1a时，讨论函数()fx的单调性；（2）当0x时，若不等式()3222xfxexx−−恒成立，求实数a的取值范围.22.已知圆22:20Oxy+=与抛物线()2:20Cypxp=相交于M，N两点，且8MN=.（1）求C的标准方

程；（2）过点()3,0P的动直线l交C于A，B两点，点Q与点P关于原点对称，求证：2AQBAQP=.高二数学参考答案及解析一、选择题1.B解析：1,2,3AB=，故AB中元素的个数为3.故选B.2.C解析：先变量词，再否结论，故可知命题p的否定为1x

，4220212022xx+.故选C.3.A解析：由题意可知双曲线的一条渐近线方程为yx=，即1ba=，所以C的离心率2212bea=+=.故选A.4.B解析：由已知得tan3=，故2222222sin2cos2sincoscos2tan152cossin2cos

sin2tan7−−−===−−−−，故选B.5.C6解析：不同的旅游方案种数为2454C?A240N==.故选C.6.B解析：设该圆柱的底面圆半径为r，高为h，则()224rh+=，所以22rh

+=，该圆柱的侧面积22222rhSrhrh+===，当且仅当21rh==时取等号.故选B.7.C解析：以AB的中点为原点，直线AB为x轴建立，直角坐标系，由椭圆的定义易知，点C的轨迹是分别以A，B为左、右焦点的椭圆（不含长轴两端点），且3c=，5a=，

则4b=，故该椭圆的标准方程为()22102516xyy+=，11641222SAByc==.当且仅当ACBC=时取等号.故选C.8.C解析：由题意得67100(10.08)210100(10.08)210tt++，两边取对数得lg1.08lg24lg1.08lg25tt

++，所以lg240.3014128.77129lg1.080.0334t++，且lg250.3015158.71159lg1.080.0334t++，即()129,159t，对照各选项，只有C符合.故选C.二、多项选

择题9.ABD解析：因为()()712223111222iiiiziii−+−−−===−=−+++，所以z的虚部为12，z的共轭复数为3122i−−，它在复平面内对应的点31,22−位于第二象限，故A正确，B正确，D正确；22313

2222zii=−+=−，故C错误.故选ABD.10.AD解析：由回归直线的斜率为1，得人均年纯收人y（单位：万元）与年份代号x正相关；A错误；因为457864x+++==，所以624y=−=，于是得2.15.944mn+++=，解得8mn+=，B正确

；由x每增加1，y约增1，可知每经过1年，村民人均年纯收人约增加1万元，C正确；2023年的年份代号为11，故1129y=−=，故可估计2023年A村人均年纯收人约为9万元，D错误.故选7AD.11.AD解析：设点A在x轴上的投影为C，则2AC=，

22253||||||442BCABAC=−=−=，3,22C.1333422T=−=，6T=，263==，332sin2232f=+=，2()22kk+=+Z，又||，0=，即()2sin3xfx=，A

正确；B正确；332sin2sin2cos232323xfxxx+=+=+=，C错误；把()fx图象上所有点的横坐标缩短为原来的6倍，纵坐标不变，得到的函数为6

2sin2sin23xyx==，当,42x时，2,2x，故函数2sin2yx=在,42x时为减函数，D正确，故选AD.12.AB解析：设()()2xfxFxe−=，则()()()2xfxfxFxe−+=.()()2

fxfx−，()()20fxfx−+，()0Fx，即函数()Fx在定义域R上单调递减.()05f=，()03F=，8不等式()32xfxe+等价于()23xfxe−，即()()0FxF，解得0x.故不等式的解集为[0,)+

.故选AB.三、填空题13.15解析：由()3abb−⊥，得()2330abbabb−=−=，所以2133abb==，所以2231cos,5343ababab===+.14.4,2046解析：由234512aaa=得33512a=，38a=，2134aaa==.设公比为

q，若()12nnaan−，则q为正数，故21422aqa===，()1010212204612S−==−.15.21x−（答案不唯一）解析：若()21fxx=−，则()()()2211fxxxfx−=−−=−=，所以()f

x为偶函数，当0x时，()221,01,1,1,xxfxxx−=−显然()fx在区间()0,1内单调递减，在区间()1,+上单调递增，故()fx的解析式可以是()21fxx=−.16.283解析：如图，9取AB的中点E，BC的

中点F，连接EF，则//EFAC，且112EFAC==.所以EFBC⊥，又1EFCC⊥，所以EF⊥平面11BCCB，连接DF，则1DFCC=，且1//DFCC，所以DF⊥平面ABC.设该球的球心为O，设DBC的外心为1O，连接1OO，则1OO⊥平面11BCCB，所以1//O

OEF.连接OE，EF，OA，由E是ABC的外心得OE⊥平面ABC，所以//OEDF，可得四边形1OOFE为矩形.22221132CDBDCFFDCFAA==+=+=+=，所以DBC为等边三角形，可知11333OEOFD

F===，所以()2222237233OAOEAE=+=+=，所以三棱锥DABC−的外接球的表面积为22843SOA==.四、解答题17.解：设数列na的公差为d.若选①：由23a=，416S=，得113,43416,2adad

+=+=解得11a=，2d=，所以21nan=−.10因为11nnnaba+=，所以()()1111212122121nnnnnb==−−+−+.则12311111111...1...2335572121nnTbbbbnn

=++++=−+−+−++−−+11122121nnn=−=++.若选②：由23a=，()21512aaa=+，得()()121

113,42,adaada+=+=+解得11a=，2d=，所以21nan=−.因为11nnnaba+=，所以()()1111212122121nnnnnb==−−+−+.则1231111111111...1...1233

557212122121nnnTbbbnnnbn=++++=−+−+−++−=−=−+++若选③：因为2nSntn=+，所以222224Stt=

+=+，2111Stt=+=+，所以22133aSSt=−=+=，解得0t=，则()221(1212)nnnaSSnnnn−=−=−−=−.因为111aS==满足上式，所以21nan=−.因为11nnnaba+=，11所以()()1111.212122121nnnn

nb==−−+−+则1231111111111...1...1233557212122121nnnTbbbnnnbn=++++=−+−+−++−=−=

−+++18.解：（1）由正弦定理及3sin3cosAAbc+=，得3sin3cossinsinAABC+=，3sinsin(sin3cos)CBAA=+，即3sin()sinsin3cossinBABAAB+=+，3cossinsin

sinBAAB=.sin0A，3cossinBB=，即tan3B=.(0,)B，3B=.（2）ABC为等边三角形.理由如下：1sin32ABCSacB==，即1sin323ac=，4ac=，①ABC的外接圆半径为233，232sin23bB==.由余弦定理得2222

22cosbacacBacac=+−=+−，即2224bac=+−，228ac+=，②由①②得2ac==，ABC为等边三角形.19.解：（1）在梯形ABCD中，过点C作CHAD⊥于点H.12由已知可知1CHAB==，1AHHD==，222ACABBC=+=，222CDCHHD=+

=.所以2224ACCDAD+==，即ACCD⊥.①因为AP⊥平面ABCD，CD平面ABCD，所以CDAP⊥.②由①②及ACAPA=，得CD⊥平面PAC.又由CD平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAC.（2）因为AB，AD，AP两两垂直，所以以A为原点

，以AB，AD，AP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Axyz−，可得()0,0,0A，()1,0,0B，()1,1,0C，()0,2,0D，()0,0,3P，()1,1,3PC=−，()0

,2,3PD=−.设平面PCD的法向量为(),,nxyz=，则30230nPCxyznPDyz=+−==−=，取3y=，则2z=，3x=，则()3,3,2n=.平面PAB的一个法向量为()

0,2,0AD=，所以322cos,22ADnADnADn==，所以平面PCD与平面PAB所成的锐二面角的余弦值为：32222.20.解：（1）由题意知：中间值455565758595概率0.10.150.20.30.150.113所以样本平均数为450.1550

.15650.2750.3850.15950.170.5x=+++++=.所以这200名外卖派送人员服务质量的平均得分为70.5.（2）由（1）可知70.5x=，故70.5=，所以((2,70.5214.31,70.514.3141.88,84].81(−+=−+=，

而11(2)(22)()0.818622PZPZPZ−+=−++−+=.故2万名外卖派送人员中服务质量得分位于区间(41.88,84.81的人数约为200000.818616372=（人）.（3）按方案一：所补助的总费用为20042

0070.5456400x==（元）按方案二：设一个人所得补助为Y元，则Y的可能取值为100，200，300，400.由题意知，())12(PxtPxt==，133(100)2510PY===，1213319(200)2525550PY==+=，1

321236(300)25525525PY==+=，1222(400)25525PY===，所以Y的分布列为Y100200300400P3101950625225()3196210020030040021010502525EY

=+++=，估算补助的总金额为：20021042000=（元）.4200056400，所以选择方案二补助的总金额更低.21.解：（1）()2fx的定义域为R，()()222xxfxaxxexea=−=−−.当1a时，令()0fx，得0lnxa；令()0fx

，得0x，或lnxa.()fx在(0),−上单调递减，在()0,lna上单调递增，在(ln),a+上单调递减.14（2）由()3222xfxexx−−，得()22210xaxxex−−−，当0x时，()2210xaxex−−−，即2112

xexax−−对0x恒成立.设()()210xexgxxx−−=，则()()()211xxexgxx−−−=.设()()10xhxexx=−−，则()1xhxe=−.0x，()0hx，()hx在(0,)+上单调递增，()(

)00hxh=，即1xex+，()gx在()0,1上单调递减，在(1,)+上单调递增，()()12gxge=−，22ae−.a的取值范围是,24(]e−−.22.解：（1）由题意得

圆心O到弦MN的距离22042d=−=，则由拋物线和圆的对称性可得M，N两点的坐标分别为(2,)4，代入C的方程可得164p=，解得4p=，所以C的方程为28yx=.（2）法一：当直线l垂直于y轴时

，不适合题意；当直线l不垂直于y轴时，设直线l方程为3xky=+，()11,Axy，()22,Bxy.联立方程238xkyyx=+=，可得28240yky−−=，128yyk+=，1224yy=−，15要证明2AQBAQP=，只需要证0AQBQkk+=，121233A

QBQyykkxx+=+++()()()()()()()()12211221121233663333yxyxykyykyxxxx++++++==++++()()()()()12121212262(24)6803333kyyyykkxxxx++−+===++++，2AQBAQP=.法二：当直

线l垂直于y轴时，不适合题意；当直线l不垂直于y轴时，设直线l方程为3xky=+，()11,Axy，()22,Bxy.要证明2AQBAQP=，只需要证点B关于x轴的对称点()22,Exy−在直线AQ上即可.直线AQ方程为211383yxyy+=−，即2

112438yxyy+=−，联立方程238xkyyx=+=，可得28240yky−−=，128yyk+=，1224yy=−，将2y−代入2112438yxyy+=−，可得()()22121212112424388yyyyyxyyy−−++=−−=11121124248

24888ykyyykyy−+==223kyx=+=，点()22,xy−在直线AQ上，2AQBAQP=.