【文档说明】广东省茂名市2020-2021学年高二下学期期末考试数学试题 【精准解析】.doc，共(24)页，3.558 MB，由小赞的店铺上传

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12020-2021学年广东省茂名市高二（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合{0A=，1，2，3，4}，2{|40}Bxxx=−，则AB中元素的个数为()A．2B．3C．4D．52

．（5分）已知命题:1px，4220212022xx+，则p为()A．1x„，4220212022xx+„B．1x，4220212022xx+„C．1x，4220212022xx+„D．1x„，4220212022xx+3．（5分）已知双曲线2222:

1(0,0)xyCabab−=的一条渐近线为第一象限与第三象限的角平分线，则C的离心率为()A．2B．3C．2D．34．（5分）已知倾斜角为的直线l与直线:30lxy−=平行，则222sin2c

os2cossin−−的值为()A．3−B．57−C．518D．35．（5分）冼夫人故里、放鸡岛、窦州古城、茂名森林公园这4个景区均为广东茂名市的热门旅游景区．现有5名学生决定于今年暑假前往这4个景区旅游

，若每个景区至少有1名学生前去，且每名学生只去一个景点，则不同的旅游方案种数为()A．120B．180C．240D．3606．（5分）某圆柱的轴截面是周长为4的矩形，则该圆柱的侧面积的最大值是()A．

2B．C．32D．27．（5分）记ABC的面积为S，若10ACBC+=，6AB=，则S的最大值为()A．4B．6C．12D．248．（5分）草地贪夜蛾是一种起源于美洲的繁殖能力很强的农业害虫，日增长率为8%，若100只草地贪夜蛾经过t天后，

数量落在区间6(210，7210]内，则t的值可能为()（参考数据：1.080.0334lg，20.301)lg2A．80B．120C．150D．200二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．（5分）已知复数z满足7(1)2zii+=−，则()A．z的虚部为12B．z的共轭复数为3122i−−C．252z=D．z在复平面内对应的点位于第二象限10．（5分）茂名市某单位在定点帮扶贫困村A村的过程中，因地制宜，优化

产业结构，使得该村人均年纯收入逐年提高．A村村民2016，2017，2019，2020年这4年的人均年纯收入y（单位：万元）与年份代号x之间的一组数据如表所示：年份2016201720192020年份代号x4578人均年纯收入y2.1mn5.9若y与x线性相关，且求得其线性回归

方程为ˆ2yx=−，则下列说法错误的是()A．人均纯收入y（单位：万元）与年份代号x负相关B．8mn+=C．从2016年起，每经过1年，村民人均年纯收入约增加1万元D．2023年A村人均年纯收入约为1

1万元11．（5分）已知函数()2sin()(0fxx=+，||)m的部分图象如图所示，5||2AB=，则下列结论正确的是()A．3=3B．6=C．把函数()fx的图象向左平移32个单位长度后得到函数()

2cos3xgx=−的图象D．把()fx图象上所有点的横坐标缩短为原来的6倍，纵坐标不变，得到的函数在[,]42上是减函数12．（5分）已知函数()fx是定义在R上的可导函数，其导函数为()fx．若(0)5f=，且()()2fxfx−，则使不等

式()32xfxe+„成立的x的值不可能为()A．2−B．1−C．1D．2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知向量(3,4)a=，||3b=，(3)abb−⊥，则向量a，b夹角的余弦值为．14．（5分）已知等比数列{}na的前n项

和为nS，12a=，234512aaa=，则2a的值为，若1(2)nnaan−…，则10S=．15．（5分）已知函数()fx为定义在R上的偶函数，且()fx在区间(0,1)内单调递减，在区间(1,)+上单调递增

，写出一个满足条件的函数()fx=．16．（5分）16、在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形的直棱柱称为“堑堵”．如图，已知三棱柱111ABCABC−是一“堑堵”，2ACBC==，13AA=，点D为11BC的中点．则三棱锥DABC−的外接球的表面积为

．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）在①416S=，②2151(2)aaa=+，③2nSntn=+三个条件中任选一个，补充到下面问题并解答．已知等差数列{}na的前n项和为nS，23a=，_____，若11nnnbaa+=，

求数列{}nb的前n项和4nT．18．（12分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且3sin3cosAAbc+=．（1）求角B的大小；（2）若ABC的面积为3，且ABC的外接圆半径为233，试判断ABC的形状，并说明理由．19．（12分）如图，在四棱

锥PABCD−中，PA⊥平面ABCD，ABBC⊥，//BCAD，1ABBC==，2AD=，3AP=．（1）证明：平面PCD⊥平面PAC；（2）求平面PCD与平面PAB所成的锐二面角的余弦值．20．（12分）随着智能手机的迅速普及，外卖点餐也开始成为不少人日常饮

食中的一部分，但方便群众生活的同时，部分外卖派送人员诸如服务态度差、派送不及时、包装损坏等一系列问题也让市民感到不满，影响了整个行业的持续健康发展．A市外卖行业协会为掌握本市外卖派送人员的服务质量水平，随机选取了200名外卖派送人员，并针对他们的服务质量细

化打分，根据他们的服务质量得分分成以下6组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，，[90，100]，统计得出以下频率分布直方图：（1）求这200名外卖派送人员服务质量的平均得分x（每组数据以区间的中点值为代表）；（2）A市外卖派送人员的服务质量得分Z（单位：

分）近似地服从正态分布(N，214.31)，其中近似为样本平均数x．若A市恰有2万名外卖派送人员，试估计这些外卖派送人员服务质量得分位于区间(41.88，84.81]的人数；（3）为答谢外卖派送人员积

极参与调查，该协会决定给所抽取的这200人一定的现金补助，并准备了两种补助方案．方案一：按每人服务质量得分进行补助，每1分补助4元；方案二：以抽奖的方式进行补助，得分不低于中位数t的可抽奖2次，反之只能抽奖1次．在每次抽奖中，若中奖，则补助200元/次，若不中奖，则只补助100元

/次，且假定每次中5奖的概率均为25．问：哪一种补助方案补助总金额更低．参考数据：若随机变量Z服从正态分布2(,)N，即~(,2)Z，则()0.6827PZ−+=„，(22)0.9545

PZ−+=„．21．（12分）已知函数2()2(1)xfxaxxe=+−．（1）当1a时，讨论函数()fx的单调性；（2）当0x时，若不等式3()222xfxexx−−„恒成立，求实数a的取值范围．22．（12分）已知圆22:20Oxy+=与抛物线2:2(0)Cypx

p=相交于M，N两点，且||8MN=．（1）求C的标准方程；（2）过点(3,0)P的动直线l交C于A，B两点，点Q与点P关于原点对称，求证：2AQBAQP=．62020-2021学年广东省茂名市高二（下）期末数学

试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合{0A=，1，2，3，4}，2{|40}Bxxx=−，则AB中元素的个数为()A．2B．3C．4D．5【考点】交集及其运算【分析】先利用一元二次不等式

的解法求出集合B，再利用集合交集的定义求出AB，由元素的定义求解即可．【解答】解：因为集合{0A=，1，2，3，4}，2{|40}{|04}Bxxxxx=−=，所以{1AB=，2，3}，故AB中元素的个数为3．故选：B．【点评】本题考查了集合的运算，主要考查了集合交集定义的应用

以及元素定义的应用，属于基础题．2．（5分）已知命题:1px，4220212022xx+，则p为()A．1x„，4220212022xx+„B．1x，4220212022xx+„C．1x，4220212022xx+„D．1x„，4220212022x

x+【考点】命题的否定【分析】根据题意，由全称命题的否定方法，先变量词，再否结论，即可得答案．【解答】解：根据题意，命题:1px，4220212022xx+，是全称命题，其否定p为：1x，

4220212022xx+„；故选：C．【点评】本题考查命题的否定，涉及全称命题和特称命题的概念，属于基础题．73．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的一条渐近线为第一象限

与第三象限的角平分线，则C的离心率为()A．2B．3C．2D．3【考点】双曲线的性质【分析】由双曲线的渐近线方程可得1ba=，再由离心率公式得答案．【解答】解：由题意可知双曲线的一条渐近线方程为yx=，即1ba=，双曲线C的离心率

2212bea=+=．故选：A．【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查双曲线离心率的求法，是基础题．4．（5分）已知倾斜角为的直线l与直线:30lxy−=平行，则222sin2cos2cossin−−的值为()A．3−B．57−C．518D．

3【考点】三角函数的恒等变换及化简求值【分析】根据题意，分析可得tan3=，又由三角函数的恒等变形公式分析可得答案．【解答】解：根据题意，倾斜角为的直线l与直线:30lxy−=平行，则tan3=，则有2222222sin2cos2sincoscos2tan152coss

in2cossin2tan7−−−===−−−−，故选：B．【点评】本题考查三角函数的恒等变形，涉及直线的切斜角与斜率的关系，属于基础题．5．（5分）冼夫人故里、放鸡岛、窦州古城、茂名森林公园这4个景区均为广东茂名

市的热门旅游景区．现有5名学生决定于今年暑假前往这4个景区旅游，若每个景区至少有1名学生前去，且每名学生只去一个景点，则不同的旅游方案种数为()A．120B．180C．240D．360【考点】排列、组合及简单计数问题【分

析】根据题意，分2步进行分析：①将5名学生分为4组，②将分好的四组全排列，安排到4个景区旅游，由分步计数原理计算可得答案．8【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①将5名学生分为4组，有2510C=种分组方法，②将分好的四

组全排列，安排到4个景区旅游，有4424A=种安排方法，则有1024240=种安排方法；故选：C．【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．6．（5分）某圆柱的轴截面是周长为4的矩形，则该圆柱的侧面积的最大值是()A．2B．C．3

2D．2【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【分析】设该圆柱的底面圆半径为r，高为h，由题意得到r和h的关系，由侧面积公式以及基本不等式求解最值即可．【解答】解：设该圆柱的底面圆半径为

r，高为h，则2(2)4rh+=，所以22rh+=，该圆柱的侧面积2222()2rhSrhrh+===„，当且仅当21rh==时取等号，所以该圆柱的侧面积的最大值是．故选：B．【点评】本题考查了圆柱几何性质的应用，圆柱的侧

面积公式的应用以及基本不等式求解最值的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．7．（5分）记ABC的面积为S，若10ACBC+=，6AB=，则S的最大值为()A．4B．6C．12D．24

【考点】正弦定理；椭圆的性质【分析】以AB的中点O为原点，直线AB为x轴，直线OC为y轴，建立如图所示直角坐标系，结合椭圆的定义和三角形的面积公式，即可求解．【解答】解：以AB的中点O为原点，直线AB为x轴，直线OC为y轴，建立如图所示

直角坐标系，由椭圆的定义易知，点C的轨迹是分别以A，B为左、右焦点的椭圆（不含长轴两端点），9且3c=，5a=，则4b=，故该椭圆的标准方程为221(0)2516xyy+=，则三角形面积11||||641222SAByc

==„，当且仅当||||ACBC=时取等号．故选：C．【点评】本题主要考查了椭圆的定义和三角形的面积公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．8．（5分）草地贪夜蛾是一种起源于美洲的繁殖能力很强的农业害虫，日增长率

为8%，若100只草地贪夜蛾经过t天后，数量落在区间6(210，7210]内，则t的值可能为()（参考数据：1.080.0334lg，20.301)lgA．80B．120C．150D．200【考点】根据实际问题选择函数类型【分析】由题意可得67100(10.08)210

100(10..8)210tt++„，两边取对数得1.08241.0825tlglgtlglg++„，再结合1.080.0334lg，20.301lg，即可求解．【解答】解：由题意可得67100(10.08)2

10100(10..8)210tt++„，两边取对数得1.08241.0825tlglgtlglg++„，240.3014128.771291.080.0334lgtlg++，且250.3015158.711591.080

.0334lgtlg++„，即(129,159)t，对照各选项，只有C符合．故选：C．【点评】本题考查了对数函数的实际应用，需要学生熟练掌握对数函数的公式，属于基础题．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的

得2分，有选错的得0分.9．（5分）已知复数z满足7(1)2zii+=−，则()10A．z的虚部为12B．z的共轭复数为3122i−−C．252z=D．z在复平面内对应的点位于第二象限【考点】复数的运算；复数的代数表示法及其几何意义【

分析】先利用复数的除法运算求出z的代数形式，然后由虚部的定义、共轭复数的定义、复数的几何意义以及复数的乘法运算对四个选项逐一判断即可；【解答】解：因为722(1)(2)3111222iiiiziii−−−−+===−=−+

++，所以z的虚部为12，z的共轭复数为3122i−−，它在复平面内对应的点31(,)22−位于第二象限，故A正确，B正确，D正确；22313()2222zii=−+=−，故C错误．故选：ABD．【点评】本题考查了复数的综合应用，

涉及了复数的乘法和除法运算，虚部的定义、共轭复数的定义、复数的几何意义的应用，考查了运算能力，属于基础题．10．（5分）茂名市某单位在定点帮扶贫困村A村的过程中，因地制宜，优化产业结构，使得该村人均年纯收入逐年提高．A村村民2016，2017，2019，2020年这4年的人均年纯收入y（单位

：万元）与年份代号x之间的一组数据如表所示：年份2016201720192020年份代号x4578人均年纯收入y2.1mn5.9若y与x线性相关，且求得其线性回归方程为ˆ2yx=−，则下列说法错误的是()A．人均纯收入y（单位：万元）

与年份代号x负相关B．8mn+=C．从2016年起，每经过1年，村民人均年纯收入约增加1万元D．2023年A村人均年纯收入约为11万元【考点】线性回归方程【分析】由回归直线的斜率为10判断A；求出x，可得y，再由y的平均数列式可得mn+11的值判断B；由回归直线斜率的几何意义判

断C；求出2013年的年份代号，代入回归直线方程求得y判断D．【解答】解：由回归直线的斜率为1，得人均年纯收人y（单位：万元）与年份代号x正相关；A错误；457864x+++==，624y=−=，于是得2.15.944mn+++=，解得8mn+=

，B正确；由x每增加1，y约增1，可知每经过1年，村民人均年纯收人约增加1万元，C正确；2023年的年份代号为11，故1129y=−=，故可估计2023年A村人均年纯收人约为9万元，D错误．故选：AD．【点评】本题考查线性回归方程，明确线性

回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题．11．（5分）已知函数()2sin()(0fxx=+，||)m的部分图象如图所示，5||2AB=，则下列结论正确的是()A．3=B．6=C．把函数()fx的图象向左平移32个

单位长度后得到函数()2cos3xgx=−的图象D．把()fx图象上所有点的横坐标缩短为原来的6倍，纵坐标不变，得到的函数在[,]42上是减函数【考点】函数sin()yAx=+的图象变换；由sin()yAx=+的部分图象确定其解析式【分析】直接利用三角函数的关系式的

变换，函数的图象的伸缩变换，正弦型函数的性质的应用判断A、B、C、D的结论．【解答】解：设点A在x轴上的投影为C，则||2AC=，22253||||||442BCABAC=−=−=，123(,2)2C．1333422T=−=，6T=，263==，33()2sin()2232

f=+=，2()22kkZ+=+，又||，0=，即()2sin3xfx=，A正确；B错误；33()2sin()2sin()2cos232323xfxxx+=+=+=，

C错误；把()fx图象上所有点的横坐标缩短为原来的6倍，纵坐标不变，得到的函数为62sin()2sin23xyx==，当[,]42x时，2[,]2x，故函数2sin2yx=在[,]42x时为减函数，D正确，故选：AD．【点评】本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变

换，函数的图象的伸缩变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．12．（5分）已知函数()fx是定义在R上的可导函数，其导函数为()fx．若(0)5f=，且()()2fxfx

−，则使不等式()32xfxe+„成立的x的值不可能为()A．2−B．1−C．1D．2【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】设()2()xfxFxe−=，求导分析单调性，得函数()Fx在定义域R上

单调递减，由(0)5f=，则(0)3F=，不等式()32xfxe+„等价于()23xfxe−„，即()(0)FxF„，即可得出答案．【解答】解：设()2()xfxFxe−=，则()()2()xfxfxFxe

−+=，()()2fxfx−，()()20fxfx−+，13()0Fx，即函数()Fx在定义域R上单调递减．(0)5f=，(0)3F=，不等式()32xfxe+„等价于()23xfxe−„，即()(0)FxF„，解得0x…．

故不等式的解集为[0，)+．故选：AB．【点评】本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知向量(3,4)a=，||3b=，(3)abb−⊥，则向量a，b夹角的余

弦值为15．【考点】数量积表示两个向量的夹角；数量积判断两个平面向量的垂直关系【分析】可根据(3)abb−⊥求出3ab=，然后根据向量夹角的余弦公式即可求出cos,ab的值．【解答】解：由(3)abb−⊥，得2(3)30abbabb−=−=，且||

3b=，所以2133abb==，且||5a=，所以31cos,535||||ababab===．故答案为：15．【点评】本题考查了向量垂直的充要条件，向量数量积的运算，向量夹角的余弦公式，考查了计算

能力，属于基础题．14．（5分）已知等比数列{}na的前n项和为nS，12a=，234512aaa=，则2a的值为4，若1(2)nnaan−…，则10S=．【考点】等比数列的前n项和【分析】根据等比数列的性质可得33234512aaaa==，解得3a后利用213aaa=求出2a的值；若1

(2)nnaan−…可得q为正数，利用21aqa=求出q值后根据等比数列前n项和即可求出10S的值．【解答】解：由234512aaa=得33512a=，38a=，2134aaa==；设等比数列{

}na的14公比为q，若1(2)nnaan−…，则q为正数，故21422aqa===，10102(12)204612S−==−．故答案为：4；2046．【点评】本题考查等比数列的通项公式，前n项和；考查学生的运

算求解能力，属于基础题．15．（5分）已知函数()fx为定义在R上的偶函数，且()fx在区间(0,1)内单调递减，在区间(1,)+上单调递增，写出一个满足条件的函数()fx=2|1|x−（答案不唯一）．【考点】奇偶性与单调性的综合【分析】通过偶函数的定义

以及函数单调性，考虑符合条件的一个函数即可．【解答】解：若2()|1|fxx=−，则22()|()1||1|()fxxxfx−=−−=−=，所以()fx为偶函数，当0x时，()fx在区间(0,1)内单调递减，在区间(1,)+上单调递增，故()fx的解

析式可以是2()|1|fxx=−．故答案为：2|1|x−（答案不唯一）．【点评】本题考查了函数性质的应用，主要考查了函数的奇偶性以及单调性的应用，属于开放性问题，对学生分析问题和解决问题的能力有一定的要求，属于中档题．16．（5分）16、在我

国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形的直棱柱称为“堑堵”．如图，已知三棱柱111ABCABC−是一“堑堵”，2ACBC==，13AA=，点D为11BC的中点．则三棱锥DABC−的外接球的表面积为283．【考点】球的体积和表面积【分析】取AB的中点E

，BC的中点F，连接EF，DF，证明DF⊥平面ABC，三棱锥15DABC−的外接球的球心为O，连接OA，求解三角形可得OA，再由球的表面积公式得答案．【解答】解：如图，取AB的中点E，BC的中点F，连接EF，则//EFAC，且112EFAC=

=．EFBC⊥，又1EFCC⊥，1BCCCC=，EF⊥平面11BCCB，连接DF，则1DFCC=，且1//DFCC，DF⊥平面ABC．设该球的球心为O，设DBC的外心为1O，连接1OO，则1OO⊥平面1

1BCCB，1//OOEF，连接OE，EF，OA，由E是ABC的外心得OE⊥平面ABC，//OEDF，可得四边形1OOFE为矩形．22221132CDBDCFFDCFAA==+=+=+=，DBC为等

边三角形，可知11333OEOFDF===，则2222237()(2)33OAOEAE=+=+=，得三棱锥DABC−的外接球的表面积为22843SOA==．故答案为：283．【点评】本题考查多面体外接球表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运

算求解能力，是中档题．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）在①416S=，②2151(2)aaa=+，③2nSntn=+三个条件中任选一个，补充到下面问题并解答．16已知等差数列{}na的前n项和为nS，23a=，_____，若11nnnba

a+=，求数列{}nb的前n项和nT．【考点】数列的求和【分析】设数列{}na的公差为d．若选择①：根据23a=，416S=可解得1a和d的值，进而可得na，又11nnnbaa+=，可利用裂项求和法求数列{}nb的前n项和nT；若选择②：由23a=，2151(2)aaa=+建立关于1a和d的

方程组即可解出1a和d的值，又11nnnbaa+=，可利用裂项求和法求数列{}nb的前n项和nT；若选择③：利用222224Stt=+=+，2111Stt=+=+解得t值后再根据1(2)nnnaSSn−=−…解得na，易知11aS

=满足上式，又11nnnbaa+=，可利用裂项求和法求数列{}nb的前n项和nT．【解答】解：设数列{}na的公差为d．若选①：由23a=，416S=，得113434162adad+=+=，解得11a=，2d=，所以21nan=−．因为11nnnbaa+=

，所以1111()(21)(21)22121nbnnnn==−−+−+．则1231111111111...[(1)()]()...()(1)233557212122121nnnTbbbbnnnn=++++=−+−+−++−=−=−+++．若

选②：由23a=，2151(2)aaa=+，得121113(4)(2)adaada+=+=+，解得11a=，2d=，所以21nan=−．因为11nnnbaa+=，所以1111()(21)(21)22121nbnnnn==−−+−+．则1231111111111...[(1)()()...(

)](1)233557212122121nnnTbbbbnnnn=++++=−+−+−++−=−=−+++．若选择③：因为2nSntn=+，所以222224Stt=+=+，2111Stt=+=+，所以1722133aSSt

=−=+=，解得0t=，则221(1)21(2)nnnaSSnnnn−=−=−−=−…．又111aS==满足上式，所以21nan=−．因为11nnnbaa+=，所以1111()(21)(21)22121nbnnnn==−−+−+．则12311111

11111...[(1)()()...()](1)233557212122121nnnTbbbbnnnn=++++=−+−+−++−=−=−+++．【点评】本题主要考查等差数列的通项公式与前n项和、裂项求和法，考查学生的推理论证和运算求解能力，属于基础题．18．（12分

）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且3sin3cosAAbc+=．（1）求角B的大小；（2）若ABC的面积为3，且ABC的外接圆半径为233，试判断ABC的形状，并说明理由．【考点】正弦定理；余弦定理【分析】（1）根据已知

条件，结合正弦定理，可得3sinsin(sin3cos)CBAA=+，再结合正弦函数的两角和公式，即可求解．（2）由ABC的面积为3，可推得4ac=，并且ABC的外接圆半径为233，结合正弦定理，可得2b=，

再运用余弦定理，即可求解．【解答】解：（1）由正弦定理及3sin3cosAAbc+=，得3sin3cossinsinAABC+=，3sinsin(sin3cos)CBAA=+，sinsin[()]sin()CABAB=−+=+，3si

n()sinsin3cossinBABAAB+=+，3cossinsinsinBAAB=，sin0A，3cossinBB=，即tan3B=，18(0,)B，3B=．（2）ABC为等边三角

形．理由如下：1sin32ABCSacB==，即1sin323ac=，4ac=，①ABC的外接圆半径为233，232sin23bB==．由余弦定理得222222cosbacacBacac=+−=+−，即2224bac=+−，228a

c+=，②由①②得2ac==，ABC为等边三角形．【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用，考查了学生对三角函数基础知识的综合运用，属于中档题．19．（12分）如图，在四棱锥PABCD−中，PA⊥平

面ABCD，ABBC⊥，//BCAD，1ABBC==，2AD=，3AP=．（1）证明：平面PCD⊥平面PAC；（2）求平面PCD与平面PAB所成的锐二面角的余弦值．【考点】平面与平面垂直；二面角的平面角及

求法【分析】（1）在梯形ABCD中，过点C作CHAD⊥于点H，利用勾股定理证明ACCD⊥，由AP⊥平面ABCD，可得CDAP⊥，利用线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理证明即可；（2）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面PCD的

法向量，由向量的夹角公式求解即可．19【解答】（1）证明：在梯形ABCD中，过点C作CHAD⊥于点H，由题意可知1CHAB==，1AHHD==，所以222ACABBC=+=，222CDCHHD=+=．则2224ACCDA

D+==，即ACCD⊥，因为AP⊥平面ABCD，CD平面ABCD，所以CDAP⊥，又ACAPA=，所以CD⊥平面PAC，又由CD平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAC；（2）解：因为AB，AD，AP两两垂直，所以以A为原点，以AB，AD，AP所在的直线分别为x，y，z轴建

立空间直角坐标系Axyz−，可得(0A，0，0)，(1B，0，0)，(1C，1，0)，(0D，2，0)，(0P，0，3)，所以(1,1,3)PC=−，(0,2,3)PD=−，设平面PCD的法向量为(,,)nxyz=，则30230nPCxyznPDyz=+−==−=，

取3y=，则2z=，3x=，则(3,3,2)n=，平面PAB的一个法向量为(0,2,0)AD=，所以322cos,22||||ADnADnADn==，所以平面PCD与平面PAB所成的锐二面角的余弦值为32222．20【点评】本题考查了立体几何的综合应

用，涉及了线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理的应用，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．20．（12分）随着智能手机的迅速普及，外卖点餐

也开始成为不少人日常饮食中的一部分，但方便群众生活的同时，部分外卖派送人员诸如服务态度差、派送不及时、包装损坏等一系列问题也让市民感到不满，影响了整个行业的持续健康发展．A市外卖行业协会为掌握本市外卖派送人员的服务质量水平，

随机选取了200名外卖派送人员，并针对他们的服务质量细化打分，根据他们的服务质量得分分成以下6组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，，[90，100]，统计得出以下频率分布直方图：（1）求这200名外卖派送人员服务质量的平均得分x（每组数据以

区间的中点值为代表）；（2）A市外卖派送人员的服务质量得分Z（单位：分）近似地服从正态分布(N，214.31)，其中近似为样本平均数x．若A市恰有2万名外卖派送人员，试估计这些外卖派送人员服务质量得分位于区间(41.88，84.81]的人数；（3）为答谢外卖派送人员积极参与调查，该协会决定给所

抽取的这200人一定的现金补助，并准备了两种补助方案．方案一：按每人服务质量得分进行补助，每1分补助4元；方案二：以抽奖的方式进行补助，得分不低于中位数t的可抽奖2次，反之只能抽奖1次．在每次抽奖中，若中奖，则补助200元

/次，若不中奖，则只补助100元/次，且假定每次中奖的概率均为25．问：哪一种补助方案补助总金额更低．参考数据：若随机变量Z服从正态分布2(,)N，即~(,2)Z，则()0.6827PZ

−+=„，(22)0.9545PZ−+=„．【考点】频率分布直方图；离散型随机变量的期望与方差；正态分布曲线的特点及曲线所表21示的意义【分析】（1）由频率分布直方图列出组中值与频率的表格，由平均数的计算公式求解即可；（2）利用正态分布曲线的对称性求

出服务质量得分位于区间(41.88，84.81]的概率，再由频率、频数与样本容量的关系求解即可；（3）先求出方案一所补助的费用，对于方案二，设一个人所得补助为Y元，先求出随机变量Y的可能取值，然后求出其对应的概

率，列出分布列，由数学期望的计算公式求解，再比较大小即可．【解答】解：（1）由题意知：中间值455565758595概率0.10.150.20.30.150.1所以样本平均数为450.1550.15650.2750.3850.15950.170.5x=+++++=．所以这200名外

卖派送人员服务质量的平均得分为70.5；（2）由（1）可知70.5x=，故70.5=，所以(2−，](70.5214.31+=−，70.514.31](41.88+=，84.81]，而11(2)(22)()0.818622PZPZPZ

−+=−++−+=剟?，故2万名外卖派送人员中服务质量得分位于区间(41.88，84.81]的人数约为200000.818616372=（人)；（3）按方案一：所补助的总费用为200420070.5456400x==（元)；按方案二：设一个人所得补助为Y元，

则Y的可能取值为100，200，300，400，由题意知，1()()2PxtPxt==…，133(100)2510PY===，1213319(200)2525550PY==+=，1321236(300)25525525PY==+

=，1222(400)25525PY===，所以Y的分布列为：Y10020030040022P3101950625225则31962()10020030040021010502525EY=+++=，故估算补助的总金额为：2002

1042000=（元)又4200056400，所以选择方案二补助的总金额更低．【点评】本题考查了平均数计算公式的应用，正态曲线对称性的应用，离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量期望的求解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．21．（12分）已知函数2()2(1

)xfxaxxe=+−．（1）当1a时，讨论函数()fx的单调性；（2）当0x时，若不等式3()222xfxexx−−„恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）求导得(

)222()xxfxaxxexea=−=−−，当1a时，令()0fx，令()0fx，即可得()fx的单调区间．（2）不等式转化为222(1)0xaxxex−−−„恒成立，即2112xexax−−„对0x恒成立，

设21()(0)xexgxxx−−=，只需要()2minagx„，即可得得出答案．【解答】解：（1）()fx的定义域为R，所以()222()xxfxaxxexea=−=−−，当1a时，令()0fx，得0xlna，令()0fx，

得0x，或xlna．()fx在(,0)−上单调递减，在(0,)lna上单调递增，在(,)lna+上单调递减．（2）由3()222xfxexx−−„，得222(1)0xaxxex−−−„，当0x时，22(1)0xaxex−−−„，即2112xexax−−

„对0x恒成立，设21()(0)xexgxxx−−=，23则2(1)(1)()xxexgxx−−−=，设()1(0)xhxexx=−−，则()1xhxe=−，0x，()0hx，()hx在(0,)+上单调递增，()(0)0hxh=，即1xex+，()gx在(0,1

)上单调递减，在(1,)+上单调递增，()gxg…（1）2e=−，22ae−„，a的取值范围是(−，24]e−．【点评】本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．22．（12分）已知圆22:20Oxy+=与抛物线2:2(0)Cypxp=相交

于M，N两点，且||8MN=．（1）求C的标准方程；（2）过点(3,0)P的动直线l交C于A，B两点，点Q与点P关于原点对称，求证：2AQBAQP=．【考点】直线与抛物线的综合【分析】（1）由已知求得抛物线与

圆的交点坐标，代入抛物线方程求得p，则C的标准方程可求；（2）由题意设出直线l的方程，与抛物线方程联立，利用根与系数的关系及斜率公式求得0AQBQkk+=，即可证明2AQBAQP=．【解答】（1）解：由题意得圆心O到弦MN的距

离22042d=−=，则由拋物线和圆的对称性可得M，N两点的坐标分别为(2,4)，代入C的方程可得164p=，解得4p=，C的方程为28yx=；（2）证明：当直线l垂直于y轴时，不适合题意；当直线l不垂直于y轴时，24设直

线l方程为3xky=+，1(Ax，1)y，2(Bx，2)y．联立方程238xkyyx=+=，可得28240yky−−=，128yyk+=，1224yy=−，要证明2AQBAQP=，只需要证0AQBQkk+=，而1212

211221121212(3)(3)(6)(6)33(3)(3)(3)(3)AQBQyyyxyxykyykykkxxxxxx+++++++=+==++++++1212121226()2(24)680(3)(3)(3)(3)kyyy

ykkxxxx++−+===++++，2AQBAQP=．【点评】本题考查抛物线方程的求法，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2021/8/622:00:08；用户：1817344719

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