【文档说明】2023届高考数学一轮复习单元双优测评卷——第二单元 一元二次函数、方程和不等式B卷含解析【高考】.docx，共(19)页，776.245 KB，由小赞的店铺上传

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12023届高考数学一轮复习单元双优测评卷第二单元一元二次函数、方程和不等式B卷培优提能过关卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2021·全国

高三三模）已知0a，0b，且23abab+=，则ab的最小值为（）A．1B．89C．49D．2232．由于近年来，冬季气候干燥，冷空气频繁袭来为提高公民的取暖水平，某社区决定建立一个取暖供热站.已知供热站每月自然消费与供热站到社区的距离成反比，每月供热费与供热站到社区的距离成正比，如果在距离

社区20千米处建立供热站，这两项费用分别为5千元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，供热站应建在离社区（）A．5千米B．6千米C．7千米D．8千米3．若()222tantantan(0,1),,,xxxxabcxxx===，则,,abc的大小关系是（）A．abc

B．bacC．bcaD．cab4．（2021·江苏南京市·高三一模）不等式()222xxx++的解集为（）A．()(),3222,−−+B．()(),2222,−−−−+C．()(),222

2,−−++D．()(),2222,−−+++5．已知11xy−+，13xy−，则18()4xy的取值范围是（）A．4,128B．8,256C．4,256D．32,10246．（2021·

浙江高三二模）已知()22fxxx=−，对任意的1x，20,3x．方程()()()()12fxfxfxfxm−+−=在0,3上有解，则m的取值范围是（）A．0,3B．0,4C．3D

．47．已知实数a､b满足1)28()(ab++=，有结论：①存在0a，0b，使得ab取到最2大值；②存在0a，0b，使得a+b取到最小值；正确的判断是（）A．①成立，②成立B．①不成立，②不成立C

．①成立，②不成立D．①不成立，②成立8．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门．出东门一十五里有木．问出南门几何步而见木?”其算法为：

东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数，以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门x里见到树，则11972215x=．若一小城，如图所示，出东门1200步有树，出南门750步能见到此树，则该小城的周长的最小值为（注：1里=3

00步）（）A．210里B．410里C．610里D．810里二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知a，b为正数，2243ab+=，则（

）A．ab的最大值为34B．2211ab+的最小值为3C．21ab+的最大值为74D．11ab+的最小值为32210．若非负实数a、b满足21ab+=，则下列不等式中成立的有（）A．214abB．2412ab+C．2ab+

D．2234ab+11．已知gb糖水中含有ga糖(0ba)，若再添加gm糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了(即糖水中含糖浓度变大)，根据这个事实，下列不等式中一定成立的有（）3A．aambbm++B．22mmama

bmb++++C．()()()()22ambmambm++++D．121313ba−−12．已知实数x，y满足322,124,xyxy−+−−则（）A．x的取值范围为(1,2)−B．y的取值范围为(2,1)−C．xy+的取值范围为()3,3

−D．xy−的取值范围为(1,3)−三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若实数x、y满足2221xxyy+−=，则22522xxyy−+的最小值为___________.14．（2021·浙江高三二模）已知a，bR，若对任意0x，不等式()()222

10axxbx++−≤恒成立，则ab+的最小值为___________．15．（2021·湖南怀化市·高三一模）已知关于x的不等式20(,,)axbxcabc++R的解集为|34xx，则25cab++的取值范围为________________．16．（2021·上

海高三二模）某茶农打算在自己的茶园建造一个容积为500立方米的长方体无盖蓄水池，要求池底面的长和宽之和为20米．若每平方米的池底面造价是池侧壁的两倍，则为了使蓄水池的造价最低，蓄水池的高应该为______________米．四、解答题：本题共6小题

，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（2021·陕西高三模拟（理））（1）设,,,1abcRabc++=，证明1:3abbcac++„；（2）求满足方程()()222816xyx

y++=的实数,xy的值.18．（2021·全国高三模拟（理））设a，b，c为非零实数，且2223abc++=，证明：4（1）3abc++；（2）44422222232abcbcacab+++++.19．等式()35xxmmN−+−的解集为

A，且4A，52A.（1）求m的值；（2）设函数()24fxxmx=++−.若对于任意的xR，都有2()37fxcc++恒成立，求c的取值范围.20．（2021·全国高三专题练习（理））已知函数()223fxxx=−−+．（1

）解不等式()2fx；（2）若函数()fx图像的最高点为(),mn，且正实数a，b满足abmn+=+，求22abba+的最小值．21．某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内预计销售Q(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为411xQ

x+=+(0x).已知生产此产品的年固定投入为4.5万元，每生产1万件此产品仍需再投入32万元，且能全部销售完.若每件销售价定为：“平均每件生产5成本的150%”与“年平均每件所占广告费的25%”之和.（1）试将年利润W(万元)表示

为年广告费x(万元)的函数；（2）当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大利润为多少？22．（2020·全国高三专题练习（理））已知函数()|||2|(),()|2|()fxxkxkRgxxmmZ=−++=+．（1）若关于x的不等式()1gx„的整数解有

且仅有一个值4−，当1k=时，求不等式()fxm„的解集；（2）已知2()23hxxx=−+，若12,(0,)xRx+，使得12()()fxhx…成立，求实数k的取值范围一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的．1．（2021·全国高三三模）已知0a，0b，且23abab+=，则ab的最小值为（）A．1B．89C．49D．223【答案】B【解析】因为0a，0b，且23abab+=，所以123ba+=，所以12232baab=+，所以223ab，即89ab6当且仅当122

3baabab=+=即43a=，23b=时等号成立，故ab的最小值89．2．由于近年来，冬季气候干燥，冷空气频繁袭来为提高公民的取暖水平，某社区决定建立一个取暖供热站.已知供热站每月自然消费与供热站到社区的距离成反比，每月供热费与供热站到社区的距离成正比，如果在距离社区20千米

处建立供热站，这两项费用分别为5千元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，供热站应建在离社区（）A．5千米B．6千米C．7千米D．8千米【答案】A【解析】设供热站应建在离社区x千米处，则自然消费11kyx=，供热费22ykx=，

由题意得：当20x=时，10.5y=，28y=，所以2112210,5ykxykx====，所以110yx=，225yx=所以两项费用之和121021022455xxyyxx+=+=，当且仅当1025xx=，即5x=时等号成立

，所以要使这两项费用之和最小，供热站应建在离社区5千米处.故选：A3．若()222tantantan(0,1),,,xxxxabcxxx===，则,,abc的大小关系是（）A．abcB．bacC．

bcaD．cab【答案】D【解析】因为(0,1)x，所以取4x=，7则tan444a==，22tan444c==，显然ca，故可排除选项A和B；又22222tan44

44tantan4444bc====，故可排除选项C.故选：D.4．（2021·江苏南京市·高三一模）

不等式()222xxx++的解集为（）A．()(),3222,−−+B．()(),2222,−−−−+C．()(),2222,−−++D．()(),2222,−−+++【答案】B【解析】当2x−时，()222xxx++，可得()222120xx+−−,所以22x−

或12x−−，又2x−，所以22x−；当2x−时，()222xxx−−+，可得()222120xx+++，解得22x−−或12x−，又2x−，所以22x−−；综上，不等式()222xxx++的解集为()(),2222,−−−−+.故选：B.5．

已知11xy−+，13xy−，则18()4xy的取值范围是（）A．4,128B．8,256C．4,256D．32,1024【答案】C【解析】3218()24=xyxy−.设()()()()32xymxynxymnxmny−=+−−

=−++，8所以32mnmn−=+=−，解得：1252mn==−，1532()()22xyxyxy−=+−−，因为11xy−+，13xy−，所以1532()()2,822x

yxyxy−=+−−，因为2xy=单调递增，所以3224,256xyz−=.故选：C6．（2021·浙江高三二模）已知()22fxxx=−，对任意的1x，20,3x．方程()()()()12fxfxf

xfxm−+−=在0,3上有解，则m的取值范围是（）A．0,3B．0,4C．3D．4【答案】D【解析】2()(1)1fxx=−−，[0,3]x，则min()1fx=−，max()3fx=.要对任意的

1x，20,3x．方程()()()()12fxfxfxfxm−+−=在0,3上都有解,取()11fx=−，()23fx=，此时，任意[0,3]x，都有()()()()124mfxfxfxfx=−+−=，其他m的取值，方程均无解，则m的取值范围

是4.故选：D.7．已知实数a､b满足1)28()(ab++=，有结论：①存在0a，0b，使得ab取到最大值；②存在0a，0b，使得a+b取到最小值；正确的判断是（）A．①成立，②成立B．①不成立，②不成立C．①成立，②不成立D．①不

成立，②成立【答案】C9【解析】解：因为1)28()(ab++=，所以(2)6abab=−+，①0a，0b，222242(2)(22()())44ababab+=+++−++−=，当且22b=时取等号，所以64ab−，解得2ab，即ab取到最大值2；①正确；②0a

，0b，当20a+时，8881232(2)3423222abaaaaaa+=+−=++−+−=−+++，当且仅当822aa+=+时取等号，此时222a=−不符合0a，不满足题意；当20a+时，888123(2)3342222abaaa

aaa+=+−=++−=−−+−−−−+++，当且仅当()822aa−+=−+时取等号，此时222a=−−此时取得最大值，没有最小值，②错误.故选：C.8．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开

门．出东门一十五里有木．问出南门几何步而见木?”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数，以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门x里见到树，则11972215x

=．若一小城，如图所示，出东门1200步有树，出南门750步能见到此树，则该小城的周长的最小值为（注：1里=300步）（）10A．210里B．410里C．610里D．810里【答案】D【解析】因为1里=300步，则由图知1200EB=步=4里，750GA=步=2

.5里．由题意，得EFGFGAEB=，则42.510EFGFEBGA===，所以该小城的周长为4()8810EFGFEFGF+=，当且仅当10EFGF==时等号成立.故选:D．二、选择题：本题共4小题，每小

题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知a，b为正数，2243ab+=，则（）A．ab的最大值为34B．2211ab+的最小值为3C．21ab+的最大值为74D．11ab+的最小值为322【答案】AB【解析】因为

2244abab+…，所以43ab„，即34ab„，当且仅当622ab==时，等号成立，所以选项A正确；因为()22222222221111114141493333ababababba+=++=+++=…

，当且仅当21ab==时，等号成立，所以选项B正确；因为2222114471442224ababab+++=+=„，11当2244ab=+时，即281b=−时等号成立，显然等号不成立，所以选项C不正确；因为

22211112817333ababab+=+++=，所以11513232ab+，所以选项D不正确．故选：AB.10．若非负实数a、b满足21ab+=，则下列不等式中成立的有（）A．214abB．

2412ab+C．2ab+D．2234ab+【答案】ABD【解析】对于A选项，利用基本不等式可得222124abab+=，当且仅当212ab==时，等号成立，A选项正确；对于B选项，()()()222422424241

22abababababab=+=+++++=+，所以，2412ab+，当且仅当212ab==时，等号成立，B选项正确；对于C选项，()()2222222abababab+=+++=，即2ab+，当且仅当212ab==时，等号成立，C选项错误；对

于D选项，21aba+=，由0a可得01a，所以，22221331244aaaba=+−=−++，当且仅当12a=时，等号成立，D选项正确.故选：ABD.11．已知gb糖水中含有ga糖(0ba)

，若再添加gm糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了(即糖水中含糖浓度变大)，根据这个事实，下列不等式中一定成立的有（）A．aambbm++B．22mmamabmb++++12C．()()()()22

ambmambm++++D．121313ba−−【答案】ABD【解析】对于A，由题意可知aambbm++，正确；对于B，因为2mm，所以2222mmmmamammabmbmmb+++−+=+++−+，正确；对于C，22amammambmbmmbm++++=

++++即()()()()22ambmambm++++，错误；对于D，1122131131311333bbbba−−+==−−+，正确.故选：ABD12．已知实数x，y满足322,124,xyxy−+−−则（）A．x的取值范围为(1,2)−B．y的取

值范围为(2,1)−C．xy+的取值范围为()3,3−D．xy−的取值范围为(1,3)−【答案】ABD【解析】因为124xy−−，所以2428xy−−.因为322xy−+，所以5510x−

，则12x−，故A正确；因为322xy−+，所以6244xy−+.因为124xy−−，所以421xy−−+，所以1055y−，所以21y−，故B正确；因为322124xyxy−+−−，，所以9361142,2555555xyxy−+−−（）（）

，则22xy−+，故C错误；因为322124xyxy−+−−，，所以213331222555555xyxy−−+−−（），（），则13xy−−，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若实数x、y满足2221xxyy+−=，则22522

xxyy−+的最小值为___________.【答案】213【解析】2221xxyy+−=，即()()21xyxy−+=，则222222445222xxyyxxyyxxyy−−+++=++()()()()222222xyxyxyxy=-++?+=，当且仅当23x

=、13y=时等号成立，故22522xxyy−+的最小值为2，故答案为：2.14．（2021·浙江高三二模）已知a，bR，若对任意0x，不等式()()22210axxbx++−≤恒成立，则ab+的最小值为___________．【答案】3【解析】设()2gxax=+，2()

21fxxbx=+−，()fx图象是开口向上的抛物线，因此由0x时，()()0fxgx恒成立得0a，()0gx=时，2xa=−，2xa−时，()0gx，20xa−时，()0gx，因此2xa−时，()0fx

，20xa−时，()0fx，2()0fa−=，所以24410baa−−=①，2ba−−②，由①得14aba=−，代入②得124aaa−−，因为0a，此式显然成立．13132344aaabaa+=

+=，当且仅当134aa=，即233a=时等号成立，所以ab+的最小值是3．故答案为：3．15．（2021·湖南怀化市·高三一模）已知关于x的不等式20(,,)axbxcabc++R的解集为|34xx，则25cab++的取值范围为________________

．【答案】[45,)+14【解析】由不等式解集知0a，由根与系数的关系知347,3412,baca−=+===7,12baca=−=，则225144555242(24)45666caaaabaaa++==−+−=+−−

−，当且仅当5246aa−=−，即512a=−时取等号．故答案为：[45,)+．16．（2021·上海高三二模）某茶农打算在自己的茶园建造一个容积为500立方米的长方体无盖蓄水池，要求池底面的长和宽之和为20米．若每平方米的池

底面造价是池侧壁的两倍，则为了使蓄水池的造价最低，蓄水池的高应该为______________米．【答案】5；【解析】设长方体蓄水池长为y，宽为x，高为h，每平方米池侧壁造价为a，蓄水池总造价为()Wh，则由题意

可得20500xyxyh+==，500()2()22()2402Whaxhyhaxyahxyaxyahah=++=++=+，500()2402400Whahaah=…，当且仅当5h=时，()Wh取最小值，即

5h=时，()Wh取最小值.故答案为：5．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（2021·陕西高三模拟（理））（1）设,,,1abcRabc++=，证明1:3abbcac++„；（2）求满足方程()

()222816xyxy++=的实数,xy的值.15【答案】（1）见解析;（2）222xy==或222xy=−=−【解析】（1）2222222,2,2ababbcbcacac+++以上三个式子相加可得：222abca

bbcac++++222222333abcabbcacabbcac+++++++即2)33(3acacbbacb++++即3313abbcac++故1:3abbcac++„.（2）22222,842xxyy++()()22281616xyxyxy++故满足方程

()()222816xyxy++=时有222xy==或222xy=−=−18．（2021·全国高三模拟（理））设a，b，c为非零实数，且2223abc++=，证明：（1）3abc++；（2）44422222232abcbcacab+++++.【答案】（1）证明见解析

；（2）证明见解析.【解析】解：（1）因为()()()2222222239abcabcabbcacabc++=+++++++=，所以3abc++，当且仅当1abc===时取“=”.（2）4222224abcabc+++，当且仅当2222abc=+时取“=”，同理可得4222224bac

bac+++，当且仅当2222bac=+时取“=”，4222224cbacba+++，当且仅当2222cab=+时取“=”，16所以444222222222322abcabcbcacab++++=+++，当且仅当222

1abc===时取“=”.19．等式()35xxmmN−+−的解集为A，且4A，52A.（1）求m的值；（2）设函数()24fxxmx=++−.若对于任意的xR，都有2()37fxcc++恒成立，求c的取值范围.【答案】（1）3；（2）2,1−−

.【解析】解：（1）因为不等式35xxm−+−的解集为A，且4A，52A，所以4354553522mm−+−−+−，即23mm，所以23m.因为mN，所以3m=.（2）由（1）知3m=，所以31,3()3247,3231,2xxfxxxxxxx−+−

=++−=−+−−，画出()fx的图象如图所示：当2x=时，min()5fx=.若2()37fxcc++对于xR恒成立，则2375cc++，17解得21c−−，所以c的取值范围为2,1−−.20．（2021·全国高三专题练习（理））已知函数()223fxx

x=−−+．（1）解不等式()2fx；（2）若函数()fx图像的最高点为(),mn，且正实数a，b满足abmn+=+，求22abba+的最小值．【答案】（1）62xx−−；（2）2．【解析】（1）()8,334,328,2x

xfxxxxx+−=−−−−−，所以不等式()2fx等价于823xx+−，或34232xx−−−，或822xx−−，解得63x−−，或32x−−，所以不等式()2fx的解集为62xx

−−．（2）由（1）可得函数()fx图像的最高点为()3,5−，则3m=−，5n=，所以2ab+=，所以222233332222112222abababababababbabababa

++=+=+++++()2122ab=+=，当且仅当1ab==时取“＝”，所以22abba+的最小值为2．21．某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内预计销售Q(万

件)与广告费x(万元)之间的函数关系为411xQx+=+(0x).已知生产此产品的年固定投入为4.5万元，每生产1万件此产品仍需再投入32万元，且能全部销售完.若每件销售价定为：“平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广

告费的25%”之和.（1）试将年利润W(万元)表示为年广告费x(万元)的函数；18（2）当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大利润为多少？【答案】（1）419316144xWxx+=+−+，(0x)；（2

）当年广告费为7万元时，企业利润最大，最大值为55万元.【解析】（1）由题意可得，产品的生产成本为()324.5Q+万元，每件销售价为324.5150%25%QxQQ++.∴年销售收入为324.5391150%25%32224QxQQxQQ+

+=++.∴年利润391932322242WQxQx=++−+−19332224Qx=+−931644Qx=+−419316144xxx+=+−+，(0x).

（2）令1xt+=(1t)，则()439316144tWtt−=+−−4831664367344tttt=−+−=−+，.∵1t，∴16162444tttt+=，即55W，当且仅当164tt=，即8t=时，W有最大值55，此时7x=.即当年广告费为7万元时

，企业利润最大，最大值为55万元.22．（2020·全国高三专题练习（理））已知函数()|||2|(),()|2|()fxxkxkRgxxmmZ=−++=+．（1）若关于x的不等式()1gx„的整数解有且仅有一个值4−，当

1k=时，求不等式()fxm„的解集；（2）已知2()23hxxx=−+，若12,(0,)xRx+，使得12()()fxhx…成立，求实数k的取值范围．19【答案】（1）97,22−（2）(,4][0,)−−+【解析】（1）不等式()1

gx„，即|2|1xm+„，所以1122mmx−−−+剟，由1154322mm−−−+−−−剟，解得79m．因为mZ，所以8m=，当1k=时，()|1||2|fxxx=−++21,2,3,21,21,1,xxxxx−−−=

−+„…，不等式()8fx„等价于2,218xx−−−„或21,38x−„或1,218.xx+…„即922x−−剟或21x−或712x剟，故9722x−剟，故不等式()8fx„的解集为97,2

2−．（2）因为()|||2||()(2)||2|fxxkxxkxk=−++−−+=+…，由22()23(1)2,(0,)hxxxxx=−+=−++，可得min()(1)2hxh==，又由12,(0,)xRx+，使得12()()fxhx…成

立，则|2|2k+…，解得4k−„或0k…．故实数k的取值范围为(,4][0,)−−+