【文档说明】浙江省台州市2023-2024学年高三上学期一模（期中）数学试题 含解析.docx，共(24)页，1.129 MB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-84fabb49eecc0f74525d7cb0b3405ac2.html

以下为本文档部分文字说明：

台州市2024届高三第一次教学质量评估试题数学2023.11命题：丁君斌（台州一中）王强（三门中学）审题：庄丰（玉环中学）本试题卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.选择题部分（共60分）一、单项选择题：本大题共8小

题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合()()1,2,2,1A=，()|,1Bxyxy=−=，则AB=（）A.2,1B.()2,1C.()1,2D.1,2【答案】B【解析】【分析】将集合A中的元素代入集合B

，验证AB的元素即可.【详解】集合中元素为点，故排除A，D；当1x=，2y=时，1xy−=−，故()1,2AB，故C错误；当2x=，1y=时，1xy−=，故()2,1AB，故B正确.故选：B2.若πcoscos3=+，则的

取值可以为（）A.π6B.π3C.5π6D.2π3【答案】C【解析】【分析】根据两角和的余弦公式，结合辅助角公式进行求解即可.【详解】由πcoscos3=+，得13cossin022+=，即πsin06+=，所以ππ,6kk+=Z，即π6π,kk=−Z

，当1k=时，5π6=.故选：C.3.已知非零向量a，b，c满足ab=，13ca=，若c为b在a上的投影向量，则向量a，b夹角的余弦值为（）A.12B.13C.14D.15【答案】B【解析】【分析】根据题意

，由平面向量的数量积运算，向量的投影向量的计算公式，结合其夹角公式代入计算，即可得到结果.【详解】由13ca=，c为b在a上的投影向量，1cos,cos,cos,3bacabababaabaaa====

所以1cos,3aaba=，故1cos,3ab=故选：B4.设，是两个不同的平面，a，b是两条不同的直线，且a⊥，b，则“//ab”是“⊥”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C

.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由空间中的线面关系结合充分必要条件的判断得答案【详解】由a⊥，//ab，则b⊥，又b，所以⊥，故“//ab”是“⊥”的充分条件.当满足⊥，a⊥，b时，直线,ab可能平行，可能相交，也可能异面.故“//ab”

不是“⊥”的必要条件.故选：A5.杭州第19届亚运会火炬9月14日在浙江台州传递，火炬传递路线以“和合台州活力城市”为主题，全长8公里．从和合公园出发，途经台州市图书馆、文化馆、体育中心等地标建筑．假设某段线路由甲、乙等6人传递，

每人传递一棒，且甲不从乙手中接棒，乙不从甲手中接棒，则不同的传递方案共有（）A.288种B.360种C.480种D.504种【答案】C【解析】【分析】根据排列数以及插空法的知识求得正确答案.【详解】先安排甲乙以外的4个人，然后插空

安排甲乙两人，所以不同的传递方案共有4245AA480=种.故选：C6.函数()yfx=的图象如图①所示，则如图②所示的函数图象所对应的函数解析式可能为（）A.112yfx=−B.112yfx=−−C.()42yfx=−D.()42yfx=−−【答案】A【解析】【分

析】根据给定的函数图象，由(1)0f=推理排除CD；由①中函数当1x时，()0fx分析判断得解.【详解】由图①知，(1)0f=，且当1x时，()0fx，由②知，图象过点(0,0)，且当0x时，0y，对于C，当0x=时，(4)0yf=，C不可能；对于D，当0x=时，(4

)0yf=−，D不可能；对于A，当0x=时，(1)0yf==，而当0x时，1112x−，则1(1)02fx−，A可能；对于B，当0x=时，(1)0yf=−=，而当0x时，1112x−，则1(1)02fx−−，B不

可能.故选：A7.已知二面角l−−的平面角为02π，A，B，Cl，Dl，ABl⊥，AB与平面所成角为π6．记ACD的面积为1S，BCD△的面积为2S，则12SS的最小值为（）A.2B.3C.32D.12【答案】D【解析】【分析】根

据正弦定理、三角形的面积公式、二面角的知识求得正确答案.【详解】过A作AEl⊥，垂足为E，连接BE，依题意，ABl⊥，由于,,AEABAAEAB=平面ABE，所以l⊥平面ABE，由于BE平面ABE，所以lBE⊥，所以π

0,2AEB=.由于l，所以平面ABE⊥，平面ABEBE=，所以AB在平面上的射影为BE，所以π6ABE=，根据三角形的面积公式以及正弦定理得：12π1sin1621ππsin2sin266CDAESAESBECDBE====

++，由于πππ2π0,2663+，所以当ππ62+=时，12SS取得最小值为12.故选：D8.已知1tan2a=，2tanb=，3c=，则（）A.acbB.<<cabC.abcD.<<bca【答案】A【解析】【分析】构造函数()

tanfxxx=−,π0,2x，讨论得出函数单调性递增后，通过做差或做商判断2π，3π大小后，即可判断b,c的大小，利用下凸函数与割线的关系即可判断a,c的大小.【详解】因为1π26，连接()0,0和π3,63,得割线方程2

3πyx=,因为tanyx=在π0,2上是下凸函数，所以在π0,6上，割线在正切曲线上方，即23tanπxx,所以当12x=时，31tanπ2,令()tanfxxx=−，π0,2x

，()'2222sinsincos1111coscoscosxxxfxxxx+=−=−=−，当π0,2x时，因为2cos1x,即()0fx¢>，所以()tanfxxx=−在π0,2x

单调增，即tanxx,因为22π133π=，所以23ππ，即23tanππ，故231tantanππ2，即bca.故选：A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小

题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取5次，每次取一个球．记录每次取到的数字，统计后发现这5

个数字的平均数为2，方差小于1，则（）A.可能取到数字4B.中位数可能是2C.极差可能是4D.众数可能是2【答案】BD【解析】【分析】对于AC：根据题意结合平均数、方差和极差的定义分析判断；对于BD：举例说明即可.【详

解】设这5个数字为12345,,,,xxxxx，对于A：若取到数字4，不妨设为14x=，则2345425xxxx++++=，可得23456xxxx+++=，可知这4个数中至少有2个1，不妨设为231xx==，则这5个数字的方差()()()()()222222123451222225

=−+−+−+−+−sxxxxx()()()22216421212155−+−+−=，不合题意，故A错误；对于C：因为这5个数字的平均数为2，这5个数字至少有1个1，不妨设为11x=，若极差是4，这最大数为5，不妨设为25x=，则这5个数字的平均数()()12345345

1115255=++++=++++=xxxxxxxxx，则3454++=xxx，可知这3个数有2个1，1个2，此时这5个数字的方差()()()()()2222221121252121222155=−+−+−+−+−=s，不合题意，故

C错误；对于BD：例如2，2，2，2，2，可知这5个数字的平均数为2，方差为0，符合题意，且中位数是2，众数是2，故BD正确；故选：BD.10.已知等差数列na中，1π4a=，公差为π2，tannnba=，记nS为数列na的前n项和，则下列说法正确的是（）A.()1

nnb=−B.()1123112nnbbbb−+−++++=C.若nnncab=，则()11231π4nnncccc−−++++=D.若nnndbS=，则212322π4nnndddd+++++=−【答案】BCD【解析】【分析】由

na为等差数列，先求出,,nnnaSb，由11b=可判断选项A；对于选项B，分n为奇数和偶数分别求nb的前n项和，从而可判断;选项C，先得出()21Z2nnnnnankcabkank=−==−=，从而得出，22

1221π2kkkkccaa−−+=−+=−，再分n为奇数和偶数分别求nc的前n项和；对于选项D，由()21Z2nnnnnSnkdbSkSnk=−==−=，求出()212212π414kkkkddSSk−−+=−=−−，从而可求出nd的前2n项的和.

【详解】由na为等差数列，1π4a=，公差为π2，则()()πππ121424nann=+−=−()211π24nnnnSnad−=+=()()121ππππtantan1tanZ124224nnnknbanknk=−==+−=−=−

=当1n=时，11b=，则选项A不正确.当n为偶数时，1230nbbbb++++=当n为奇数时，1231nbbbb++++=故()1123112nnbbbb−+−++++=，所以选项B正确.()21Z2nnnnnankcabkank=−==−=221221π

2kkkkccaa−−+=−+=−当n为偶数时，123π4nncccc++++=−当n为奇数时，()1231ππ21π444nnnccccn−++++=−+−=所以()112314nnncccc−−++++=，故选项C正确.()

21Z2nnnnnSnkdbSkSnk=−==−=()()()22212212ππ2124144kkkkddSSkkk−−+=−=−−=−−所以()()()12322322411nnndddddddddd−+++++=+++++()

π37414n=−+++−()2π341π2424nnnn+−=−=−+，所以选项D正确故选：BCD11.已知A为双曲线C：221169xy−=上位于第一象限内一点，过点A作x轴的垂线，垂足为M，点B与点A关于原点对称，点F为双曲线C的左焦点，则（）A.若10

AB=，则AFBF⊥B.若AFBF⊥，则ABF△的面积为9C.2AFAMD.AFAM−的最小值为8【答案】ABD【解析】【分析】根据题意结合四边形1AFBF的形状分析A，B；将AFAM转化成直线斜率，借助渐近线斜率判断C；由双曲线定义12AFAMa

AFAM−=+−，利用1AF与AM之间的关系求最值判断选项D.【详解】设双曲线右焦点为1F，由题意可知，四边形1AFBF为平行四边形，如图：由双曲线C：221169xy−=可知：4a=，3b=，5c=，对于A，因为10AB=，所以1|

|ABFF=，所以四边形1AFBF为矩形，所以AFBF⊥，故A正确；对于B，据双曲线定义可知：1||||8AFAF−=，1||10FF=，若AFBF⊥，则四边形1AFBF为矩形，则22211||||||AFAFFF+=，所以()22111||||2|||

|||AFAFAFAFFF−+=，即22182||||10AFAF+=，所以1||||18AFAF=，所以||||18AFBF=，所以11||||18922ABFSAFBF===，故B正确；对于C，由双曲

线的方程可知，在RtAFM△中，22222221AFAFAMFMFMAMAMAMAM+===+又因为双曲线渐近线方程为：34yx=?，所以34AFAMkFM=所以221651193FMAM++=，即53AFAM，故C错误；对于D，

()111min288AFAMaAFAMAFAMAFAM−=+−=+−+−，当且仅当1||||AFAM=时，AFAM−取到最小值为8，故D正确.故选：ABD12.已知()gx是定义域为R的函数()fx的导函数，()01f=

，()10f=，()()20gxgx+−=，()()01fxgxx+−，则下列说法正确的是（）A.()21f=B.()13ef（e为自然对数的底数，e2.71828）C.存在0Rx，()00fxD.若()00,1x，则(

)()00,1fx【答案】ABD【解析】【分析】由原函数和导函数的对称性判断A；令()()exhxfx=，结合题设条件判断其单调性后可判断B，C，D.【详解】因为()gx是定义域为R的函数()fx的导函数，所以()fx是定义域为R的可导函数，因为()()20gxgx+−=，所以()gx

的图像关于点()1,0对称，所以()()2fxfxC=-+，而()()110ffCC=+?，故()()2fxfx=−，所以()fx的图像关于1x=对称，因为()()01fxgxx+−，故1x时，()()0fxgx+，所以()()0fxfx+

，设()()exhxfx=，故1x时，()()()e0xhxfxfx=+，故()hx在()1,+上为增函数，同理()hx在(),1−上为减函数，对于A，因为()()2fxfx=−，故()()012ff==，故A正确；对于B，()()()

3223e3(2)e2ehfhf===，故()13ef，故B正确；对于C，当1x时，()()()1e10hxhf==；当1x时，()()10hxh=，而1x=时，()10h=，故()0hx恒成立，故C错误；对于D，当01x时，()hx单调

递减，()()00e01hf==，()10h=，所以()()0,1hx，故01x时，()()e0,1xfx，而e1x，故()()0,1fx，故D正确；故选：ABD【点睛】思路点睛：抽象函数及其导数性质的讨论中，

注意轴对称与中心对称的转化，另外对于原函数与导函数具有的不等式可适当构建新函数，通过新函数的性质得到原函数的性质.非选择题部分（共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若12i2z=−（i为虚数单位），则z=______．【答案】32##1.5【解析】【分析

】根据复数模的计算公式计算可得.【详解】因为12i2z=−，所以()2213222z=+−=.故答案：3214.浙江省高考实行“七选三”选科模式，赋予了学生充分的自由选择权．甲、乙、丙三所学校分别有75%，60%，50%的学生选了物理，这三所学校的学生数之比为1:1:2，现从这三所

学校中随机选取一个学生，则这个学生选了物理的概率为______．【答案】4780【解析】【分析】先求得这个学生来自每个学校并且选择了物理概率，最后由分类加法算出总概率.【详解】设：事件A：这个学生来自甲学校；事件B：这个学生来自乙学校；事件C：这个学生来自丙学校；事件1D：甲学校学生

选了物理；事件2D：乙学校学生选了物理；事件3D：丙学校学生选了物理；由题意知：这个学生选择是物理的概率：()()()1231313114744452280PPADPBDPCD=++=++=.故答案为：478

0.15.在ABC中，角A，B，C所对的分别为a，b，c．若角A为锐角，3b=，4c=，则ABC的周长可能为______．（写出一个符合题意的答案即可）【答案】9（答案不唯一，()8,12内的任何一个值均可）【解析】【分析】根据题意利用余弦定理可得()

1,5a，进而可得周长的取值范围.【详解】由余弦定理可得222cos2524cos=+−=−abcbcAA，因为角A为锐角，则()cos0,1A，可得()2524cos1,5=−aA，所以ABC的周长()78,12++=+abc

a.故答案为：9（答案不唯一，()8,12内的任何一个值均可）.16.抛物线有一条重要性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．过抛物线C：24yx=上的点P（不为原点）作C的切线l，过坐标原点O作OQl⊥，垂足为Q，直线PF（F为抛物线的焦点）与直

线OQ交于点T，点()0,2A，则TA的取值范围是______．为的【答案】51,51−+【解析】【分析】设点P()2,04ttt骣÷ç÷¹ç÷ç÷ç桫，切线l的方程为24tytkx骣÷ç÷-=-ç÷ç÷ç桫，继而求得切线的斜率，由OQl⊥可求得OQ的方程，与

直线PF联立可求得点T的坐标，继而消参可求得点T的轨迹方程，则结合图形可求得TA得范围.【详解】因为点P为抛物线C：24yx=上的点（不为原点），所以可设点P()2,04ttt骣÷ç÷¹ç÷ç÷ç桫，且()1,0F当切线l的斜率不存在时，切点P为原点不合题意；当

切线l的斜率存在时，可设为24tytkx骣÷ç÷-=-ç÷ç÷ç桫，联立2244tytkxyx−=−=，消去x可得2244ytytk骣÷ç÷-=-ç÷ç÷ç桫，化简可得22440tyytkk-+-=，令Δ0=，可得2216440ttkk骣÷ç--=

÷ç÷ç桫，化简可得()220tk-=，即2kt=，又OQl⊥，所以OQ的斜率2OQtk=−，所以OQ的方程2tyx=−，因为点P()2,04ttt骣÷ç÷¹ç÷ç÷ç桫，()1,0F所以PF的斜率为2204414PFttktt−==−−()2t，则PF的方程为()

2414tyxt=−−，联立()22414tyxtyxt=−=−−，解得228444xttyt=+=−+，即2284,44tTtt−++，当2t=时，PF的方程为1x=，OQ的方程yx=则()1,1T−或()1,1T，满足228

4,44tTtt−++由228444xttyt=+=−+两式相除可得2xyt=−，即2ytx=−由0t，可得0y再代入284xt=+，可得22844xyx=+，化简可得2220xxy−+=，可得()2211xy−+=()0y，可

知点T轨迹为半径为1r=的圆，圆心为()1,0F,结合图形可知AFrTAAFr−+，又1r=，()()2201205AF=−+−=，则51,51TA−+.故答案为：51,51−+四、解答题：本题

共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等比数列na的各项均为正数，前n项和为nS，若()*1212nnnaaan+++=N，5121S=．（1）求数列na的通项公式；（2）若lnnnnbaa=+，求数列nb的前

n项和nT．【答案】（1）13nna−=（2）()311ln32nnnnT−+−=【解析】【分析】（1）根据等比数列的定义和求和公式求1,aq，进而可得结果；（2）由（1）可得：()131ln3nnbn−=+−，利用分组

求和结合等差、等比数列的求和公式运算求解.【小问1详解】设na的公比为()0qq，因为1212+++=nnnaaa，即212nnnaqaqa+=，且0na，可得2120qq+−=，解得3q=或4q=−（舍去）．又因为()5151312113a

S−==−，解得11a=，所以1113nnnaaq−−==.【小问2详解】由（1）可得：()131ln3nnbn−=+−，所以()()012112333331231ln3nnnTbbbbn−=++++=+++++++++−()()1311ln313ln31

322nnnnnn−−+−−=+=−，所以()311ln32nnnnT−+−=18.已知()()sinsincosfxxxx=++R．（1）当0=时，求()fx的最小正周期以及单调递减区间；（2）当2=时，求()fx的值域．.

【答案】（1）最小正周期为2π，单调递减区间为()π5π2π,2πZ44kkk++（2）5,124−+【解析】【分析】（1）应用辅助角公式化简函数，应用公式求得T，应用整体代入法

即可求单调区间；（2）应用换元法，设()sincos22xxtt+=−，则函数转化为()21gttt=+−，2,2t−，即可求解.【小问1详解】当0=时，()πsincos2sin4f

xxxx=+=+，2π2π||T==，令ππ3π2π2π242kxk+++，()kZ，得ππππ52244kxk++，()kZ，所以函数()fx的最小正周期为2π，单调递减区间为()π5π2π,2πZ44kkk++．【小问2详解

】当2=，()sin2sincos2sincossincosfxxxxxxxx=++=++，设()πsincos2sin()224xxxtt+=+=−，则2sin21xt=−，令()21gttt=+−，2,2t−，

又()21524gtt=+−，故当2t=时，()gt取得最大值12+，当12t=−时，()gt取得最小值54−，所以()fx的值域为5,124−+．19.如图，已知四边形ABCD为平行四边形，E为CD的中点，4AB=，2ADAE==．将ADEV沿

AE折起，使点D到达点P的位置．（1）若平面APE⊥平面ABCE，求证：APBE⊥；（2）若点A到直线PC的距离为333，求二面角PAEB−−的平面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）13−或79【解析】【分析】（1）根据题意利用面面垂直的性质定理可得BE⊥平面APE，进而可得结

果；（2）分析可知POG即为二面角PAEB−−的平面角，记为，建系，可得()0,3cos,3sinP，结合点到线的距离公式运算求解.【小问1详解】因为四边形ABCD为平行四边形，且ADEV为等边三角形，所以120BCE=．又因

为E为CD的中点，则CEEDDACB===，所以BCE为等腰三角形，可得30CEB=，18090AEBAEDBCE=−−=，即BEAE⊥，因为平面APE⊥平面ABCE，平面APE平面ABCEAE=，BE平面ABCE，则BE⊥平面APE，且AP

平面APE，所以APBE⊥．【小问2详解】取AE的中点O，连接PO，因为APEV为等边三角形，所以POAE⊥，取AB的中点G，则//OGBE，由（1）得BEAE⊥，所以OGAE⊥，所以POG即为二面角PAEB−−的平

面角，记为．以点O为坐标原点，以OA，OG，OZ所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则()1,0,0A，()2,3,0C−，因为3OP=，则()0,3cos,3sinP，可得()1,3cos,3sinPA=−−；()2,33cos,

3sinPC=−−−，则点A到直线PC的距离为()22213cos4106cosPAPCAPPC−−=−−，由题意可得()213cos334106cos3−−=−，解得1cos3=−，或7cos9=，所以二面角PAEB−−的平面角的余弦值为13−或79．

20.为了了解高中学生课后自主学习数学时间（x分钟/每天）和他们的数学成绩（y分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据（表一）．表一编号12345学习时间x3040506070数学成绩y65788599108（1）请根据所给数据求出x，y的经验回归方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为

100分钟时的数学成绩：（参考数据：5122820iiixy==，51435iiy==，ix的方差为200）（2）基于上述调查，某校提倡学生周末在校自主学习．经过一学期的实施后，抽样调查了220位学生．按照是否参与周未在校自主学习以及成绩是否有进步统计，得到22列联表（表二）．依

据表中数据及小概率值0.001=的独立性检验，分析“周末在校自主学习与成绩进步”是否有关．表二没有进步有进步合计参与周末在校自主学习35130165未参与周末不在校自主学习253055合计60160

220附：()()()121ˆniiiniixxyybxx==−−=−，ˆˆaybx=−，()()()()()22nadbcabcdacbd−=++++．0.100.0500100.0050.001

2.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）ˆ1.0733.5yx=+，140.5分（2）可以认为“周末自主学习与成绩进步”有关．【解析】【分析】（1）先求出平均数，利用最小二乘法求出回归方程，代入数据即可预测；（2）

根据题意计算出2，进而由0.001=独立性检验得出答案.【小问1详解】3040506070505x++++==，435875y==，又(1,2,3,,5)ixi=的方差为()52112005iixx=−=，所以()()()55115215

2282055087ˆ1.0752001000iiiiiiiixxyyxyxybxx===−−−−====−，ˆˆ871.075033.5aybx=−=−=，故ˆ1.0733.5yx=+，当100x=时

，140.5y=，故预测每天课后自主学习数学时间达到100分钟时的数学成绩为140.5分．【小问2详解】零假设为0H：学生周末在校自主学习与成绩进步无关．根据数据，计算得到：()()()()()()22222025130353011012.2216555601609nad

bcabcdacbd−−===++++，因为12.2210.828，所以依据0.001=的独立性检验，可以认为“周末自主学习与成绩进步”有关．21.已知椭圆Γ：()22211xyaa+=的上、下顶点分别为A，B，点Q在线段AB上运动（不含端点），点(

)1,0P−，直线PQ与椭圆交于C，D两点（点C在点P左侧），PD中点M的轨迹交y轴于E，F两点，.的且32EF=．（1）求椭圆Γ的方程；（2）记直线AC，AD的斜率分别为1k，2k，求12kk−的最小值．【答案】（1）2214xy+=（2）32．【解析】

【分析】（1）根据中点坐标关系即代入椭圆求解D点轨迹，即可由32EF=求解24a=，（2）联立直线与椭圆的方程可得韦达定理，根据两点斜率公式可求解1k，2k，即可根据二次函数的性质求解最值.【小问1详解】设PD中点()00,Mxy

，则()0021,2Dxy+，因为点Q在线段AB上，所以点()0021,2Dxy+只能在右半椭圆上运动，所以0021xa+，即01122ax−−，由点D在椭圆Γ：2221xya+=上，所以()202022141xya++=，令00x=，得021112ya=−，由0322y=，解得2

4a=，故椭圆Γ的方程为2214xy+=．【小问2详解】设CD：()1ykx=+，1k，()11,Cxy，()22,Dxy．由()22114ykxxy=++=得()()2222418410kxkxk+++−=，则2122841kx

xk−+=+，()21224141kxxk−=+，又111111111ykxkkkkxxx−+−−===+，221kkkx−=+，()()()()()()2422222112212122161644141113111114141kkkkxx

kkkkkkxxxxkkk−−++−+−=−−=−=−=+−+，令()10,2tk=+，得222123641113334634442ttkktttt−+−==−+=−+，当43t=即13k=时取等号，所以12kk−的最小值为32．【点睛】方

法点睛：解决解析几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将解析几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.22.设()lnxfxx=（

1）求证：()21xfxx−；（2）若()()2ln1fxnx−恒成立，求整数n的最大值．（参考数据ln20.693，ln31.099）【答案】（1）证明见解析（2）2【解析】【分析】（1）将问题转化成求证，1ln10xx+−，构造函数()1ln1xgxx=+−，通过求导，利用导数与函

数单调性间的关系，得出()gx的单调区间，从而求出()gx的最小值，即可证明结果；（2）通过取值12x=，得出2n，再利用（1）结果，证明2n=时，()22222ln11xxx−−，再通过构造函数，求

出函数最值即可得出结果.【小问1详解】要证：2ln1xxxx−，（0x，1x），只要证：1ln1xxx−，又当01x时，ln0,01xxx−，当1x时，ln0,01xxx−，即1xx−与lnx

同号，故只要证：1ln1xx−，即证：1ln10xx+−，令()1ln1xgxx=+−，（0x，1x），则()22111xgxxxx−=−=，当01x时，()0gx，1x时，()0gx，所以()gx在()0,1上递减，在()1,+上递增，所

以()()10gxg=，故原不等式得证．【小问2详解】因为()0,1x，当12x=时，有()1ln32ln22ln2n−−，则()()()1112,322ln2ln3ln221.3861.0990.69320.2870.

693n=−−，所以整数2n．当2n=时，由（1）可得()22222ln11xxx−−，下证：222ln1xxxx−，()0,1x，只要证：11ln2xxx−．令()12lnhxxxx=−+，()0,1x，因为()()222221212110xxxhxxx

xx−−+=−−=−=−，所以()hx在()0,1上单调递减，故()()10hxh=，所以得证,综上所述，整数n的最大值为2．【点睛】证明不等式或恒（能）成立问题，常通过构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，求出函数的单调区间，将问题转化成求函数最值.获得更多资源请扫码加入

享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com