【文档说明】北京市第一七一中学2022-2023学年高二上学期期中调研数学试题（解析版）.docx，共(21)页，1.175 MB，由小赞的店铺上传

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北京市第一七一中学2022-2023学年度第一学期高二年级数学期中调研试题（时长：100分钟总分值：150分）一､选择题共10题，每题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.在平面直角坐标系中，直线31yx=−+的倾斜角为（）A.3B.23C.34D.56

【答案】B【解析】【分析】根据方程得出直线31yx=−+的斜率即可得到答案.【详解】因为直线31yx=−+斜率为3k=−，所以其倾斜角为23故选：B2.已知点()1,2A，()3,1B，则线段AB的垂直平分线方程为（）A.4250xy+−=B.4250xy−−=C.250xy+−

=D.250xy−−=【答案】B【解析】【分析】应用两点式求线段AB的斜率，进而可得垂直平分线的斜率，结合AB中点坐标及点斜式写出垂直平分线方程.【详解】由题设，121312ABk−==−−，故线段AB的垂直平分线的斜率为2，又AB中点为

3(2,)2，所以线段AB的垂直平分线方程为32(2)2yx−=−，整理得：4250xy−−=.故选：B3.已知椭圆的离心率为12，焦点是(－3，0)和(3，0)，则椭圆方程为（）A.236x＋227y＝1B.26x＋

23y＝1的C.227x＋236y＝1D.29x＋26y＝1【答案】A【解析】【分析】由离心率和焦点坐标求得a，再求得b后可得椭圆方程．【详解】由题意知c＝3，12ca=，则a＝6，∴b2＝a2－c2＝27，∴椭圆方程为221362

7xy+=.故选：A．4.与直线3x4y−+5=0关于x轴对称的直线方程为（）A.3x+4y5−=0B.3x+4y+5=0C.3x−+4y5−=0D.3x−+4y+5=0【答案】B【解析】【分析】关于x轴对称的两直线斜率是相反数，过x轴上同一点，由此可得．【详解】直线3450xy−+=的斜率是3

4，与x轴交点为5(,0)3-，因此它关于x轴对称的直线方程是35()43yx=−+，即3450xy++=．故选：B．5.如图，在平行六面体1111ABCDABCD−中，1,,DAaDCbDDc===，则与向量1DB相等的

是（）A.abc+−B.abc++C.abc−+D.abc−−【答案】A【解析】【分析】根据空间向量的线性运算法则——三角形法，准确运算，即可求解.【详解】由题意，在平行六面体1111ABCDABCD−中，1,,DAaDCbDDc===，可得111

1()DBABADDCDDDADADCDDabc=−=−−=+−=+−.故选：A.6.如图，在正方体1111ABCDABCD−中，异面直线1AD与1DC所成的角与直线1AD与平面11ABCD所成的角分别为（）A.60，90B.45，30C.60，30D.45

，90【答案】C【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求解.【详解】如图所示：设正方体的棱长为1，则()()()()()()()11111,0,1,1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,1,0,1,1,1,0,1,1AADD

CBC，()()111,0,1,0,1,1ADDC=−−=−()10,1,1AB=，()11,1,1AC=−，设异面直线1AD与1DC所成的角为，所以1111111coscos,2ADDCADDCADDC===，因为[0,180)

，所以60=，设平面11ABCD的一个法向量为：(),,nxyz=，则1100ABnACn==，即00yzxyz+=−++=，令1z=，得()0,1,1n=−，设直线1AD与平面11ABCD所成的角为，所以1

111sincos,2ADnADnADn===，因为(0,]2，所以30=，故选：C7.在空间直角坐标系中，已知长方体1111ABCDABCD−的项点()0,0,0D，()2,0,0A，()2,4,0B，

()10,4,2C=，则点1A与直线1BC之间的距离为（）A.32B.2C.125D.52【答案】A【解析】【分析】根据题意建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz−，根据点的坐标可得1ABBCCC，，，进而求出1111

ABACBC，，，证得11ABCV是等腰三角形，取1BC的中点O，连接1OA，点1A到直线1BC的距离为1OA，利用勾股定理计算即可.【详解】如图，由题意知，建立空间直角坐标系Dxyz−，1(000)(200)(

240)(042)DABC，，，，，，，，，，，，则1422ABBCCC===，，，连接111ABAC，，所以1111252522ABACBC===，，，得11ABCV是等腰三角形，取1BC的中点O，连接1OA，则1OA⊥1BC，即点1A到直线1BC的距离

为1OA，在1RtAOB中，有221120232OAABOB=−=−=.故选：A8.已知22:210Cxxy−+−=，直线:3lyx=+，P为l上一个动点，过点P作C的切线PM，切点为M，则PM的最小值为（）

A.1B.2C.2D.6【答案】D【解析】【分析】求得圆C的圆心(1,0)C，半径2r=，根据PMMC⊥，得到222PMPC=−，结合点到直线的距离公式，求得PC的最小值，进而求得PM的最小值.【详解】如图所示，化简圆C

的方程为22:(1)2Cxy−+=，可得圆心(1,0)C，半径2r=，因为PM为圆C的切线且M为切点，所以PMMC⊥，由勾股定理可得2222222PMPCCMPCrPC=−=−=−，所以当PC最小时，PM取得最小值，因为22132211PCd+==+，所

以22(22)26PM−=，即PM的最小值为6.故选：D.9.在平面直角坐标系中，直线()0ykxmk=+与x轴和y轴分别交于A，B两点，22AB=，若CACB⊥，则当k，m变化时，点C到点()1,1的距离的最大值为（）A.42B.32C.22D.2【答案】B【

解析】【分析】先求得A，B两点坐标，根据22AB=得到22()8mmk−+=，再结合CACB⊥可得到C轨迹为动圆，求得该动圆圆心的方程，即可求得答案.【详解】由()0ykxmk=+得(,0),(0,)mABmk−，故由22AB=得22()8mmk−+=，由CACB⊥得0ACBC=

，设(,)Cxy，则(,)(,)0mxyxymk+−=，即22222()()2244mmmmxykk++−=+，即点C轨迹为一动圆，设该动圆圆心为(,)xy，则,22mmxyk=−=，整理得,2ykmyx=−=，代入到22()8mmk−+=中，得：222xy+=，

即C轨迹的圆心在圆222xy+=上，故点（1,1）与该圆上的点(1,1)−−的连线的距离加上圆的半径即为点C到点()1,1的距离的最大值，最大值为22[1(1)][1(1)]232−−+−−+=，故选：B10.在正方体ABCDABCD−

中，E为棱DC上的动点，F为线段BE的中点.给出下列四个①BEAD⊥；②直线DF与平面ABBA所成角不变；③点F到直线AB的距离不变；④点F到,,ADDA,四点的距离相等.其中，所有正确结论的序号为（）A.②③B.③④C.①③④D.①②④【答案】C【解析】【分析】根据BE的变化

情况并找出F的轨迹就可判定①③④是否正确，作出直线DF与平面ABBA所成的角，就可判定②是否正确.【详解】如下图，当E在棱DC上运动时，BE始终在平面ABCD中，由,ADADADCD⊥

⊥，ADCDD=可得ADABCD⊥平面，所以BEAD⊥，故①正确，此时点F的轨迹为线段12FF，如下图可知，12//FFAB，12FF过正方形ADDA中心G且12FFADDA⊥平面，故③④正确，如下图，延长DF与AB的延长线交于H，连接AH，则

AHD即为直线DF与平面ABBA所成角，当点H在BM上运动时，AD不变而HD在变，所以sinADAHDHD=不是定值，故②错误.故选：C.【点睛】(1)判定和动点相关的问题时，只要找出动点的轨迹，就可以根据轨

迹的特点进行判断；(2)判定与动直线相关的位置关系问题时，可找出动直线所在的平面进行判定；(3)根据定义作出线面角可用来解决运动型的问题.二、填空题共5题，每题5分，共25分．11.设P是椭圆221259x

y+=上的点,P到该椭圆左焦点的距离为2,则P到右焦点的距离为__________.【答案】8【解析】【分析】根据椭圆的定义，求得P到右焦点的距离.【详解】依题意5a=，而P到该椭圆左焦点距离为2,则P到右焦点的距离为5228−=.故答案为：8【点睛】

本小题主要考查抛物线的定义，属于基础题.12.直线l1：(3＋m)x＋4y＝5－3m，l2：2x＋(5＋m)y＝8，若l1∥l2，则m＝_____.【答案】7−【解析】【分析】根据两直线平行的条件求m的值.【详解】把直线l1：(3

＋m)x＋4y＝5－3m，l2：2x＋(5＋m)y＝8化为直线方程的一般式为：的直线l1：()34350mxym+++−=，l2：()2580xmy++−=，因为l1∥l2，所以()()()()()35420383520mmmm++−=

+−−−，解得7m=−.故答案：7−.13.已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，则椭圆的离心率为__________．【答案】12【解析】【详解】由题知1sin302cea===．14.

已知圆224xy+=与圆22620xyxym+−++=关于直线l对称，则m=______，直线l方程______．【答案】①.6；②.350xy−−=.【解析】【分析】根据两圆对称半径相等，圆心连线垂直平分线即为l，求解即可.【详解】设圆224xy+=的圆心为A，半径为1r，则A点

坐标为()10,0,2r=；设圆22620xyxym+−++=的圆心为B，半径为2r，则B点坐标为()3,1−，2404102mrm−==−；因为两圆关于直线l对称，故可得12rr=，即210m=−，解得6m=

；显然直线l为AB的垂直平分线，故直线l的斜率k满足113k−=−，解得3k=，又AB的中点坐标为31,22−，故直线l的方程为：13322yx+=−，整理得：350xy−−=.故答案为：6；350x

y−−=.15.数学中有许多寓意美好的曲线，曲线22322:()4Cxyxy+=被称为“四叶玫瑰线”（如图所示）.为的给出下列三个结论：①曲线C关于直线yx=对称；②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过1；③存在一个以原点为中心、边长为2的

正方形，使得曲线C在此正方形区域内（含边界）.其中，正确结论的序号是________.【答案】①②【解析】【分析】将(,)yx代入22322:()4Cxyxy+=也成立得①正确；利用不等式可得221xy+，故②正

确；联立22322()4yxxyxy=+=得四个交点，满足条件的最小正方形是以,,,ABCD为中点，边长为2的正方形，故③不正确.【详解】对于①，将(,)yx代入22322:()4Cxyxy+=得22322()4yxyx+=成立，故曲线C关于直线y

x=对称，故①正确；对于②，因为22322222()()44xyxyxy++=，所以221xy+，所以221xy+，所以曲线C上任意一点到原点的距离都不超过1，故②正确；对于③，联立22322()4yxxyxy=+=得2212xy==，从而可得四个交点22

(,)22A，22(,)22B−，22(,)22C−−，22(,)22D−，依题意满足条件的最小正方形是各边以,,,ABCD为中点，边长为2的正方形，故不存在一个以原点为中心、边长为2的正方形，使得曲线C在此正方形区域内（含边界

），故③不正确.故答案为：①②【点睛】本题考查了由曲线方程研究曲线的对称性，考查了不等式知识，考查了求曲线交点坐标，属于中档题.三、解答题共5题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．16.已知圆C的圆心在直线20xy−=上，且与y轴

相切于点()0,1.（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若圆C与直线l：0xym−+=交于A，B两点，_____________，求m的值.从下列两个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①：120ACB=；条件②：23AB=.注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.【答案

】（Ⅰ）()()22214xy−+−=；（Ⅱ）答案见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）设圆心(),Cab，易知2ab=，由圆C与y轴相切于点()0,1，可求,ab以及r，写出圆C的方程即可.（Ⅱ）所给的两个条件，均

可得C到直线l的距离1d=，结合点线距离公式即可求m的值.【详解】（Ⅰ）设圆心坐标为(),Cab，半径为r.由圆C的圆心在直线20xy−=上，知：2ab=.又∵圆C与y轴相切于点()0,1，∴1b=，2a=

，则02ra=−=.∴圆C的圆心坐标为()2,1，则圆C的方程为()()22214xy−+−=.（Ⅱ）如果选择条件①：120ACB=，而2CACB==，∴圆心C到直线l的距离1d=，则21111md−+==+，解得21m=−或

21−−.如果选择条件②：23AB=，而2CACB==，∴圆心C到直线l的距离1d=，则21111md−+==+，解得21m=−或21−−.17.如图，在长方体ABCD中，11,2ADAAAB===，点E在线段AB上.（1）证明：11ADDE⊥；（2）当点E是AB中点时，求

1AD与平面1DEC所成角的大小.【答案】（1）证明见解析（2）3【解析】【分析】（1）连结1AD，则1ABAD⊥，由已知可得四边形11AADD是正方形，所以11ADAD⊥，再利用线面垂直的判定定理可得1AD⊥平

面1ADE，从而可得11ADDE⊥，（2）以点D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，1DD所在直线为z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解【小问1详解】连结1AD，因为在长方体ABCD中所以有AB⊥平面11AADD，1AD平面11AADD，所以1ABAD⊥

，又因为11ADAA==，所以四边形11AADD是正方形，所以11ADAD⊥，又1ABADA=，所以1AD⊥平面1ADE，所以又1DE平面1ADE，所以11ADDE⊥；【小问2详解】以点D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，1DD所在直线为z轴建立空

间直角坐标系，则各点坐标为()0,0,0D，()11,0,1A，()10,0,1D，当点EAB中点时，可得()1,1,0E，所以()11,1,1DE=−，()1,1,0CE=−，设(),,nxyz=为平面1DEC的一个法向量，

则100nDEnCE==，即00xyzxy+−=−=，令1x=，可得1,2yz==所以()1,1,2n=又()11,0,1AD=−−，所以1113cos,2ADnADnADn==−，设1AD与平面1DEC所成角为，

02，则13sincos,2ADn==即3=，所以1AD与平面1DEC所成的角为3.18.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，点E为棱PD的中点，

1AB=，2ADAP==．是（1）求证：PB∥平面ACE；（2）求平面ACE与平面PAB夹角的余弦值；（3）若F为棱PC的中点，则棱PA上是否存在一点G，使得PC⊥平面EFG．若存在，求线段AG的长；若不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析（2）66（3）棱PA上不存在点G

，使得PC⊥平面EFG【解析】【分析】（1）由题意可以A为原点，,,ABADAP所在直线分别为,,xyz轴，建立空间直角坐标系，求出平面ACE的一个法向量为n，利用向量法证明即可；（2）易得()0,2,0AD=是平面PAB的一个法向量，利用向量求出求

解即可；（3）EF与PC不垂直，则PC不可能垂直平面EFG，进而即可求解【小问1详解】因为底面ABCD是矩形，所以ABAD⊥，因为PA⊥平面ABCD，又AB平面ABCD，AD平面ABCD，所以PAAD⊥，PAAB⊥，以A为原点，,,ABADAP所在直

线分别为,,xyz轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()()()10,0,0,1,0,0,1,2,0,0,2,0,0,0,2,0,1,1,,1,12ABCDPEF，所以()()()1,2,0,0,1,1,1,0,2ACAEPB===

−，设平面ACE的一个法向量为(),,nxyz=，则200nACxynAEyz=+==+=，即2xyyz=−=−，令1y=，则()2,1,1n=−−，又2020nPB=−++=，且PB平面ACE

，所以//PB平面ACE；【小问2详解】由（1）可知,ABADPAAD⊥⊥，PAABA=，,PAAB平面PAB，所以AD⊥平面PAB，所以()0,2,0AD=是平面PAB的一个法向量，设平面PAB与平

面ACE的夹角为，26coscos,662ADnADnADn====，所以平面PAB与平面ACE的夹角的余弦值为66；【小问3详解】因为1,0,02EF=，()1,2,2PC=−uuur，所以1100022E

FPC=++=，所以EF与PC不垂直，而EF平面EFG，所以PC不可能垂直平面EFG，所以棱PA上不存在点G，使得PC⊥平面EFG19.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的离心率是22，且过点()2,1P，直线22yxm=+与椭圆C相交于,AB两点.（1）求椭圆C的方

程；（2）求PAB的面积的最大值；【答案】（1）22142xy+=（2）2【解析】【分析】（1）根据椭圆的离心率公式求得a2＝2b2，将P代入椭圆方程，即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；（2）联立直线与椭圆方程，利用

韦达定理以及弦长公式结合点到直线的距离公式表示三角形的面积，然后通过二次型函数求解最值即可．【详解】（1）设椭圆()2222:10xyCabab+=的半焦距为c，因为椭圆C的离心率是22，所以2222222112cabbaaa−==

−=，即222ab=，由22222211abab=+=，解得2242ab==，所以椭圆C的方程为22142xy+=；（2）将22yxm=+代入22142xy+=，消去y整理得22220xmxm++−=，令()22242

0mm=−−，解得22m−.设()()1122,,,AxyBxy，则212122,2xxmxxm+=−=−，所以()()()222221212121221?43?42ABxxyyxxxxm=−+−=++−=−，点()2,1P到直线220xym−+=的距离为2222123mm

d−+==+.所以PAB的面积()222122··4?242222SABdmmm==−=−−+，当且仅当2m=时，2S=，所以PAB的面积的最大值是2.【点睛】本题考查椭圆的简单性质以及椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．20.“曼哈顿几何”也叫“

出租车几何”，是在19世纪由赫尔曼·闵可夫斯基提出来的．如图是抽象的城市路网，其中线段AB是欧式空间中定义的两点最短距离，但在城市路网中，我们只能走有路的地方，不能“穿墙”而过，所以在“曼哈顿几何”中，这两点最短距离用(),dAB表示，又称

“曼哈顿距离”，即(),dABACCB=+，因此“曼哈顿两点间距离公式”：若()11,Axy，()22,Bxy，则()2121,dABxxyy=−+−（1）①点()A3,5，()2,1B−，求(),dAB的值．②求圆心在原点，半径为1的“曼哈顿单位圆”方程．（2）已知点(

)10B,，直线220xy−+=，求B点到直线的“曼哈顿距离”最小值；（3）设三维空间4个点为(),,iiiiAxyz=，1,2,3,4i=，且ix，iy，0,1iz．设其中所有两点“曼哈顿距离”的平均值即d，求d最大

值，并列举最值成立时的一组坐标．【答案】（1）①7；②1xy+=；（2）2；（3）2，()10,0,0A，()21,0,1A，()31,1,0A，()40,1,1A.【解析】【分析】（1）①②根据“曼哈顿距离”的定义求解即可；（2）设直线220xy−+=上任意一点坐标为()11

,22Cxx+，然后表示(),dCB，分类讨论求(),dCB的最小值；（3）将iA的所有情况看做正方体的八个顶点，列举出不同情况的d，即可得到d的最小值.【小问1详解】①(),32517dAB=−++=；②设“曼哈顿单位圆”上点的坐标为(),xy，则001x

y−+−=，即1xy+=.【小问2详解】设直线220xy−+=上任意一点坐标为()11,22Cxx+，则()11,122dCBxx=−++，当11x−时，()1,31dCBx=−−，此时(),2dCB；当111x−时，()1,3d

CBx=+，此时(),2dCB；当11x时，()1,31dCBx=+，此时(),4dCB，综上所述，(),dCB的最小值为2.【小问3详解】如图，ABCDEFGH−为正方体，边长为1，则iA对应正方体的八个顶点，当四个点在同

一个面上时，（i）例如：,,,ABCD，此时121121463d+++++==；（ii）例如：,,,AEGC，此时23113226d+++++==；当四个点不在同一个平面时，（iii）例如：,,,ACHD，此时22222226d++++

+==；（iiii）例如：,,,ABED，此时221112563d+++++==；（iiiii）例如：,,,ABEH，此时112231563d+++++==；（iiiiii）例如：,,,ABEG，此时1223121166d++

+++==；综上所述，d的最大值为2，例如：()10,0,0A，()21,0,1A，()31,1,0A，()40,1,1A.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com