【文档说明】北京市第一七一中学2022-2023学年高二上学期期中调研数学试题（解析版）.docx，共(21)页，1.175 MB，由小赞的店铺上传

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北京市第一七一中学2022-2023学年度第一学期高二年级数学期中调研试题（时长：100分钟总分值：150分）一､选择题共10题，每题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.在平面直角坐标系

中，直线31yx=−+的倾斜角为（）A.3B.23C.34D.56【答案】B【解析】【分析】根据方程得出直线31yx=−+的斜率即可得到答案.【详解】因为直线31yx=−+斜率为3k=−，所以其倾斜角为23故选：B2.已知点()1

,2A，()3,1B，则线段AB的垂直平分线方程为（）A.4250xy+−=B.4250xy−−=C.250xy+−=D.250xy−−=【答案】B【解析】【分析】应用两点式求线段AB的斜率，进而可得垂直平分线的斜率，结合AB中点坐标及点斜式写出垂直

平分线方程.【详解】由题设，121312ABk−==−−，故线段AB的垂直平分线的斜率为2，又AB中点为3(2,)2，所以线段AB的垂直平分线方程为32(2)2yx−=−，整理得：4250xy−−=.故选：B3.已知椭圆的离心率为12，焦点是(－3，0)和(3，0)，则椭圆方

程为（）A.236x＋227y＝1B.26x＋23y＝1的C.227x＋236y＝1D.29x＋26y＝1【答案】A【解析】【分析】由离心率和焦点坐标求得a，再求得b后可得椭圆方程．【详解】由题意知c＝3，12ca=，则a＝6，∴b2＝a2－c2＝27，∴椭圆方程为2213627xy+=.故选：A

．4.与直线3x4y−+5=0关于x轴对称的直线方程为（）A.3x+4y5−=0B.3x+4y+5=0C.3x−+4y5−=0D.3x−+4y+5=0【答案】B【解析】【分析】关于x轴对称的两直线斜率是相反

数，过x轴上同一点，由此可得．【详解】直线3450xy−+=的斜率是34，与x轴交点为5(,0)3-，因此它关于x轴对称的直线方程是35()43yx=−+，即3450xy++=．故选：B．5.如图，在平行六面体

1111ABCDABCD−中，1,,DAaDCbDDc===，则与向量1DB相等的是（）A.abc+−B.abc++C.abc−+D.abc−−【答案】A【解析】【分析】根据空间向量的线性运算法则——三角形法，准确运算，即可求解.【详解】由题

意，在平行六面体1111ABCDABCD−中，1,,DAaDCbDDc===，可得1111()DBABADDCDDDADADCDDabc=−=−−=+−=+−.故选：A.6.如图，在正方体1111ABCDABCD−中，异面直线1AD与1DC

所成的角与直线1AD与平面11ABCD所成的角分别为（）A.60，90B.45，30C.60，30D.45，90【答案】C【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求解.【详解】如图所示：设正方体的棱长为1，则()()()()()()()11111

,0,1,1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,1,0,1,1,1,0,1,1AADDCBC，()()111,0,1,0,1,1ADDC=−−=−()10,1,1AB=，()11,1,1AC=−，设异面直线1AD与1DC所成的角为，所以1111111coscos,2ADDCA

DDCADDC===，因为[0,180)，所以60=，设平面11ABCD的一个法向量为：(),,nxyz=，则1100ABnACn==，即00yzxyz+=−++=，令1z=，得()0,1,1n=−，设直线1AD与平面11ABCD所成的角为，所以11

11sincos,2ADnADnADn===，因为(0,]2，所以30=，故选：C7.在空间直角坐标系中，已知长方体1111ABCDABCD−的项点()0,0,0D，()2,0,0A，()2,4,0B，()10,4,2C=，则点1A与直线1B

C之间的距离为（）A.32B.2C.125D.52【答案】A【解析】【分析】根据题意建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz−，根据点的坐标可得1ABBCCC，，，进而求出1111ABACBC，，，证得11ABCV是等腰三角形，取1BC的中点O，连接1OA，点1A到直线1BC的距离为1OA，利用勾股定

理计算即可.【详解】如图，由题意知，建立空间直角坐标系Dxyz−，1(000)(200)(240)(042)DABC，，，，，，，，，，，，则1422ABBCCC===，，，连接111ABAC，，所以11

11252522ABACBC===，，，得11ABCV是等腰三角形，取1BC的中点O，连接1OA，则1OA⊥1BC，即点1A到直线1BC的距离为1OA，在1RtAOB中，有221120232OAABOB=−=−=.故选：A8.已知2

2:210Cxxy−+−=，直线:3lyx=+，P为l上一个动点，过点P作C的切线PM，切点为M，则PM的最小值为（）A.1B.2C.2D.6【答案】D【解析】【分析】求得圆C的圆心(1,0)C，半径2r=，根据PMMC⊥，得到222PMPC=

−，结合点到直线的距离公式，求得PC的最小值，进而求得PM的最小值.【详解】如图所示，化简圆C的方程为22:(1)2Cxy−+=，可得圆心(1,0)C，半径2r=，因为PM为圆C的切线且M为切点，所以PMMC⊥，由勾股定理可得2222222PMPCCMPCrPC=−=−=−，所以当PC最

小时，PM取得最小值，因为22132211PCd+==+，所以22(22)26PM−=，即PM的最小值为6.故选：D.9.在平面直角坐标系中，直线()0ykxmk=+与x轴和y轴分别交于A，B两点，22AB=，若CACB⊥，则当k，m变化时，点C到

点()1,1的距离的最大值为（）A.42B.32C.22D.2【答案】B【解析】【分析】先求得A，B两点坐标，根据22AB=得到22()8mmk−+=，再结合CACB⊥可得到C轨迹为动圆，求得该动圆圆心的方程，即可求得答案.【详解】由()0ykxmk=+

得(,0),(0,)mABmk−，故由22AB=得22()8mmk−+=，由CACB⊥得0ACBC=，设(,)Cxy，则(,)(,)0mxyxymk+−=，即22222()()2244mmmmxykk++−=+，即点C轨迹为一动圆，设该动圆圆心为(,)xy，则

,22mmxyk=−=，整理得,2ykmyx=−=，代入到22()8mmk−+=中，得：222xy+=，即C轨迹的圆心在圆222xy+=上，故点（1,1）与该圆上的点(1,1)−−的连线的距离加上圆的半径即为点C到点()1,1的距离的最大值，最大值为22[1(1)][1(1)]2

32−−+−−+=，故选：B10.在正方体ABCDABCD−中，E为棱DC上的动点，F为线段BE的中点.给出下列四个①BEAD⊥；②直线DF与平面ABBA所成角不变；③点F到直线AB的距离不变；④

点F到,,ADDA,四点的距离相等.其中，所有正确结论的序号为（）A.②③B.③④C.①③④D.①②④【答案】C【解析】【分析】根据BE的变化情况并找出F的轨迹就可判定①③④是否正确，作出直线DF与平面ABBA所成的角，就可判定②是否

正确.【详解】如下图，当E在棱DC上运动时，BE始终在平面ABCD中，由,ADADADCD⊥⊥，ADCDD=可得ADABCD⊥平面，所以BEAD⊥，故①正确，此时点F的轨迹为线段12F

F，如下图可知，12//FFAB，12FF过正方形ADDA中心G且12FFADDA⊥平面，故③④正确，如下图，延长DF与AB的延长线交于H，连接AH，则AHD即为直线DF与平面ABBA所成角

，当点H在BM上运动时，AD不变而HD在变，所以sinADAHDHD=不是定值，故②错误.故选：C.【点睛】(1)判定和动点相关的问题时，只要找出动点的轨迹，就可以根据轨迹的特点进行判断；(2)判定与动直线相关的位置关系问题时，可找出动直线所在的平面进行判定；(3)根据定义作

出线面角可用来解决运动型的问题.二、填空题共5题，每题5分，共25分．11.设P是椭圆221259xy+=上的点,P到该椭圆左焦点的距离为2,则P到右焦点的距离为__________.【答案】8【解析】【分析】根据椭圆的定义，求得P到右焦点的距离.【详解】依题意5a=，而P到该椭圆左

焦点距离为2,则P到右焦点的距离为5228−=.故答案为：8【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，属于基础题.12.直线l1：(3＋m)x＋4y＝5－3m，l2：2x＋(5＋m)y＝8，若l1∥l2，则m＝_____.【答案】7−【解析】【分析】根据两直线平行

的条件求m的值.【详解】把直线l1：(3＋m)x＋4y＝5－3m，l2：2x＋(5＋m)y＝8化为直线方程的一般式为：的直线l1：()34350mxym+++−=，l2：()2580xmy++−=，因为l1∥l2，所以()()()()

()35420383520mmmm++−=+−−−，解得7m=−.故答案：7−.13.已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，则椭圆的离心率为__________．【答案】12【解析】【详解】由题知1s

in302cea===．14.已知圆224xy+=与圆22620xyxym+−++=关于直线l对称，则m=______，直线l方程______．【答案】①.6；②.350xy−−=.【解析】【分析】根据两圆对称

半径相等，圆心连线垂直平分线即为l，求解即可.【详解】设圆224xy+=的圆心为A，半径为1r，则A点坐标为()10,0,2r=；设圆22620xyxym+−++=的圆心为B，半径为2r，则B点坐标为()3,1−，2404102mrm−==−；因为两圆关于直线l对称，故可得12rr=，即210m

=−，解得6m=；显然直线l为AB的垂直平分线，故直线l的斜率k满足113k−=−，解得3k=，又AB的中点坐标为31,22−，故直线l的方程为：13322yx+=−，整理得

：350xy−−=.故答案为：6；350xy−−=.15.数学中有许多寓意美好的曲线，曲线22322:()4Cxyxy+=被称为“四叶玫瑰线”（如图所示）.为的给出下列三个结论：①曲线C关于直线yx=对称；②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过1；③存在一个以原点为中心、边长为2的正方形，使得曲

线C在此正方形区域内（含边界）.其中，正确结论的序号是________.【答案】①②【解析】【分析】将(,)yx代入22322:()4Cxyxy+=也成立得①正确；利用不等式可得221xy+，故②正

确；联立22322()4yxxyxy=+=得四个交点，满足条件的最小正方形是以,,,ABCD为中点，边长为2的正方形，故③不正确.【详解】对于①，将(,)yx代入22322:()4Cxyxy+=得22322()4yxyx

+=成立，故曲线C关于直线yx=对称，故①正确；对于②，因为22322222()()44xyxyxy++=，所以221xy+，所以221xy+，所以曲线C上任意一点到原点的距离都不超过1，故②正确；对于③，联立22322()4yxxyxy=+=得2212xy==，从而

可得四个交点22(,)22A，22(,)22B−，22(,)22C−−，22(,)22D−，依题意满足条件的最小正方形是各边以,,,ABCD为中点，边长为2的正方形，故不存在一个以原点为中心、边长为2的正方形

，使得曲线C在此正方形区域内（含边界），故③不正确.故答案为：①②【点睛】本题考查了由曲线方程研究曲线的对称性，考查了不等式知识，考查了求曲线交点坐标，属于中档题.三、解答题共5题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．16.已知圆C的圆心在直线20xy−=上，且与y轴相

切于点()0,1.（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若圆C与直线l：0xym−+=交于A，B两点，_____________，求m的值.从下列两个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①：120ACB=；条

件②：23AB=.注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.【答案】（Ⅰ）()()22214xy−+−=；（Ⅱ）答案见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）设圆心(),Cab，易知2ab=，由圆C与y轴相切于点()0,1，可求,ab以及r，写出圆C

的方程即可.（Ⅱ）所给的两个条件，均可得C到直线l的距离1d=，结合点线距离公式即可求m的值.【详解】（Ⅰ）设圆心坐标为(),Cab，半径为r.由圆C的圆心在直线20xy−=上，知：2ab=.又∵圆C与y轴相切于点()0,1，∴1b=，2a=，则02

ra=−=.∴圆C的圆心坐标为()2,1，则圆C的方程为()()22214xy−+−=.（Ⅱ）如果选择条件①：120ACB=，而2CACB==，∴圆心C到直线l的距离1d=，则21111md−+==+，解得21m=−或21−−.如果

选择条件②：23AB=，而2CACB==，∴圆心C到直线l的距离1d=，则21111md−+==+，解得21m=−或21−−.17.如图，在长方体ABCD中，11,2ADAAAB===，点E在线段AB上.（1）证明：11ADDE⊥；（2）当点E是A

B中点时，求1AD与平面1DEC所成角的大小.【答案】（1）证明见解析（2）3【解析】【分析】（1）连结1AD，则1ABAD⊥，由已知可得四边形11AADD是正方形，所以11ADAD⊥，再利用线面垂直的判定定理可得1AD⊥平面1ADE，从而可得11ADDE⊥，（2）以点D为原点，DA所在

直线为x轴，DC所在直线为y轴，1DD所在直线为z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解【小问1详解】连结1AD，因为在长方体ABCD中所以有AB⊥平面11AADD，1AD平面11AADD，所以1ABAD⊥，又因为11ADAA==，所以四边形11AADD是正

方形，所以11ADAD⊥，又1ABADA=，所以1AD⊥平面1ADE，所以又1DE平面1ADE，所以11ADDE⊥；【小问2详解】以点D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，1DD所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则各点坐标

为()0,0,0D，()11,0,1A，()10,0,1D，当点EAB中点时，可得()1,1,0E，所以()11,1,1DE=−，()1,1,0CE=−，设(),,nxyz=为平面1DEC的一个法向量，则100nDEnCE==，即00xyzxy+−=

−=，令1x=，可得1,2yz==所以()1,1,2n=又()11,0,1AD=−−，所以1113cos,2ADnADnADn==−，设1AD与平面1DEC所成角为，02，则13sincos,2ADn==即3=，所以1AD与平面1DEC所成的角为3

.18.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，点E为棱PD的中点，1AB=，2ADAP==．是（1）求证：PB∥平面ACE；（2）求平面ACE与平面PAB夹角的余弦值；（3）若F为棱PC的中点，则棱PA上是否存在一点G，使得PC⊥平面EFG

．若存在，求线段AG的长；若不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析（2）66（3）棱PA上不存在点G，使得PC⊥平面EFG【解析】【分析】（1）由题意可以A为原点，,,ABADAP所在直线分别为,,xyz轴，建立空间

直角坐标系，求出平面ACE的一个法向量为n，利用向量法证明即可；（2）易得()0,2,0AD=是平面PAB的一个法向量，利用向量求出求解即可；（3）EF与PC不垂直，则PC不可能垂直平面EFG，进而即可求解【小问1详解】因为底面ABCD是矩形，所以

ABAD⊥，因为PA⊥平面ABCD，又AB平面ABCD，AD平面ABCD，所以PAAD⊥，PAAB⊥，以A为原点，,,ABADAP所在直线分别为,,xyz轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()()()10,0,0,1,0,0,1,2,0,0,2,0,0,0,2,

0,1,1,,1,12ABCDPEF，所以()()()1,2,0,0,1,1,1,0,2ACAEPB===−，设平面ACE的一个法向量为(),,nxyz=，则200nACxynAEyz=+==+=，即2xyyz=−=−，令1

y=，则()2,1,1n=−−，又2020nPB=−++=，且PB平面ACE，所以//PB平面ACE；【小问2详解】由（1）可知,ABADPAAD⊥⊥，PAABA=，,PAAB平面PAB，所以AD⊥平

面PAB，所以()0,2,0AD=是平面PAB的一个法向量，设平面PAB与平面ACE的夹角为，26coscos,662ADnADnADn====，所以平面PAB与平面ACE的夹角的余弦值为66；【

小问3详解】因为1,0,02EF=，()1,2,2PC=−uuur，所以1100022EFPC=++=，所以EF与PC不垂直，而EF平面EFG，所以PC不可能垂直平面EFG，所以棱PA上不存在点G，使得PC⊥平面EFG19.已知椭圆2222

:1(0)xyCabab+=的离心率是22，且过点()2,1P，直线22yxm=+与椭圆C相交于,AB两点.（1）求椭圆C的方程；（2）求PAB的面积的最大值；【答案】（1）22142xy+=（2）2【解析】【分

析】（1）根据椭圆的离心率公式求得a2＝2b2，将P代入椭圆方程，即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；（2）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式结合点到直线的距离公式表示三角形的面积，然后通过二次型函数求解最值即可．【详解】（1）设椭圆()222

2:10xyCabab+=的半焦距为c，因为椭圆C的离心率是22，所以2222222112cabbaaa−==−=，即222ab=，由22222211abab=+=，解得2242ab==，所以椭圆C的方程为22142xy+=；（2）将22yxm=+代入22142xy+=，消去y

整理得22220xmxm++−=，令()222420mm=−−，解得22m−.设()()1122,,,AxyBxy，则212122,2xxmxxm+=−=−，所以()()()222221212121221?43?42ABxxyyxxxxm=−+−=++−=−，点()2

,1P到直线220xym−+=的距离为2222123mmd−+==+.所以PAB的面积()222122··4?242222SABdmmm==−=−−+，当且仅当2m=时，2S=，所以PAB的面积的最大值是2.【点睛】

本题考查椭圆的简单性质以及椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．20.“曼哈顿几何”也叫“出租车几何”，是在19世纪由赫尔曼·闵可夫斯基提出来的．如图是抽象的城市路网，其中

线段AB是欧式空间中定义的两点最短距离，但在城市路网中，我们只能走有路的地方，不能“穿墙”而过，所以在“曼哈顿几何”中，这两点最短距离用(),dAB表示，又称“曼哈顿距离”，即(),dABACCB=+，因此“曼哈顿两点间距离公式”

：若()11,Axy，()22,Bxy，则()2121,dABxxyy=−+−（1）①点()A3,5，()2,1B−，求(),dAB的值．②求圆心在原点，半径为1的“曼哈顿单位圆”方程．（2）已知点()10B,，直线220xy−+=，求B点到直线的“曼哈顿距离”最小值；（3）设三维空间4个点为

(),,iiiiAxyz=，1,2,3,4i=，且ix，iy，0,1iz．设其中所有两点“曼哈顿距离”的平均值即d，求d最大值，并列举最值成立时的一组坐标．【答案】（1）①7；②1xy+=；（2）2；（3）2，()10,0,0A，()21,0,1A，()31,1,0A，()40,1

,1A.【解析】【分析】（1）①②根据“曼哈顿距离”的定义求解即可；（2）设直线220xy−+=上任意一点坐标为()11,22Cxx+，然后表示(),dCB，分类讨论求(),dCB的最小值；（3）将iA的所有情况看做正方体的八个顶点，列举

出不同情况的d，即可得到d的最小值.【小问1详解】①(),32517dAB=−++=；②设“曼哈顿单位圆”上点的坐标为(),xy，则001xy−+−=，即1xy+=.【小问2详解】设直线220xy−+=上任意一点坐标为()11,22Cxx+，则()11,122dCBxx=−++，当11x−时

，()1,31dCBx=−−，此时(),2dCB；当111x−时，()1,3dCBx=+，此时(),2dCB；当11x时，()1,31dCBx=+，此时(),4dCB，综上所述，(),dCB

的最小值为2.【小问3详解】如图，ABCDEFGH−为正方体，边长为1，则iA对应正方体的八个顶点，当四个点在同一个面上时，（i）例如：,,,ABCD，此时121121463d+++++==；

（ii）例如：,,,AEGC，此时23113226d+++++==；当四个点不在同一个平面时，（iii）例如：,,,ACHD，此时22222226d+++++==；（iiii）例如：,,,ABED，此时221112563d+++++

==；（iiiii）例如：,,,ABEH，此时112231563d+++++==；（iiiiii）例如：,,,ABEG，此时1223121166d+++++==；综上所述，d的最大值为2，例

如：()10,0,0A，()21,0,1A，()31,1,0A，()40,1,1A.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com