【文档说明】湖南师范大学附属中学2020届高三上学期第二次月考数学（理）试卷【精准解析】.doc，共(23)页，1.927 MB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-84c088e41cb51dc8e71dbca10b052505.html

以下为本文档部分文字说明：

数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1.已知集合2|230Axxx=−−，集合1|21xBx+=，则CBA=（）A.[3,)+B.(3,)+C.(,1][3,)−−+D.(,1)(3,)−−+【答案】A【解析】【分析】首先解得集

合A，B，再根据补集的定义求解即可.【详解】解：2|230{|13}Axxxxx=−−=−，1|21{|1}xBxxx+==−，C|3[3,)BAxx==+，故选A．【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，指数不

等式的解法以及补集的运算，属于基础题.2.已知函数()2fxxbxc=++，则“0c”是“0xR，使()00fx”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A【解析】【分析】通过c＜0，判断函数对应的不等式有解，说明充分性；不等式有解，说明c的值不一定小于0，判断必要性即可．【详解】已知函数()2fxxbxc=++，则“0c”时，函数与x轴有两个交点，所以“0xR，使()00fx”成立.而“0xR，使()00fx”

.即20xbxc++，所以240bc=−，即24bc，c不一定有0c，如2320xx++.综上，函数()2fxxbxc=++.则“0c”是“0xR，使()00fx”的充分不必要条件；故选A.【点睛】本题考查充要条件的判断

与应用，二次函数与二次不等式的解集的关系，考查计算能力．3.设40.48,8alogblog==,0.42c=,则()A.bcaB.cbaC.cabD.bac【答案】A【解析】【分析】根据指数

函数、对数函数单调性比较数值大小.【详解】因为4233log8log222a===，0.40.4log8log10b==，0.40.532222c==，所以bca，故选A.【点睛】本题考查利用指、对数函数的单调性比较数值大小，难度

一般.利用指、对数函数单调性比较大小时，注意利用中间量比较大小，常用的中间量有：0,1.4.若平面区域30,{230,230xyxyxy+−−−−+夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（）A.355B.2C.32

2D.5【答案】B【解析】试题分析：画出不等式组的平面区域如题所示，由230{30xyxy−+=+−=得(1,2)A，由230{30xyxy−−=+−=得(2,1)B，由题意可知,当斜率为1的两条直线分别过点A和点B时，两直线的距离最小，即22(12)(21)2AB=−+−=．故选B．考点：线

性规划．5.函数e4xyx=的图象可能是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用已知函数的对称性及特殊点进行判断即可.【详解】函数为奇函数，图象关于原点对称，排除B，当1x=时，14ey=，排除A；当x→+时，4xex

→+，排除D．故应选C．【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶

性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.6.如果执行如图所示的程序框图，则输出的数S不可能是（）A.0.7B.0.75C.0.8D.0.9【答案】A【解析】试题分析：根据程序框图：111,1122iS

===−；1111112,1112232233iS==−+=−+−=−；；当1,11inSn==−+．当3n=时，13144S=−=；当4n=时，14155S=−=；当9n=时，1911010S=−=；当171110

n−=+时，73nN=，所以选A．考点：1.程序框图；2.数列裂项相消法求和．【易错点晴】本题主要考查的是程序框图和数列中的裂项相消法，属于中档题．在给出程序框图求解输出结果的试题中一定要按照程序框图规定的运算方法逐次计算

，根据前面的式子找到其中的规律，对本题来说就是这个程序框图的本质是利用裂项相消法求和，所以，又，找到各项满足条件的即可．7.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图（1）中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，所

以将其称为三角形数；类似地，称图（2）中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数，则下列数中既是三角形数又是正方形数的是（）A.289B.1024C.1225D.1378【答案】C【解析】【分析】记三角形数构成的数列为{}n

a，计算可得()12nnna+=；易知2nbn=．据此确定复合题意的选项即可.【详解】记三角形数构成的数列为{}na，则11a=，2312a==+，36123a==++，4101234a==+++，…，易得通项公式为()11232nnnan+=++++=；同理可得

正方形数构成的数列{}nb的通项公式为2nbn=．将四个选项中的数字分别代入上述两个通项公式，使得n都为正整数的只有249501225352==．故选C．【点睛】本题主要考查归纳推理的方法，数列求和的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8.已知,AB是圆22:16Oxy+=

的两个动点，524,33ABOCOAOB==−，若M分别是线段AB的中点，则·OCOM=（）A.843+B.843−C.12D.4【答案】C【解析】【详解】由题意1122OMOAOB=+，则2252115113322632OCOMOAOBOAOBOAOBOAOB

=−+=−+，又圆的半径为4，4AB=uuur，则,OAOB两向量的夹角为π3．则8OAOB=，2216OAOB==，所以12OCOM=．故本题答案选C．点睛：本题主要考查平面向量的基本定理.用平面向量的基本定理解决

问题的一般思路是:先选择一组基底,并且运用平面向量的基本定理将条件和结论表示成基底的线性组合,在基底未给出的情况下进行向量的运算,合理地选取基底会给解题带来方便.进行向量运算时,要尽可能转化到平行四边形或三角形中.9.点A、B为椭圆()2222:10xy

Eabab+=长轴的端点，C、D为椭圆E短轴的端点，动点M满足2MAMB=，若MAB面积的最大值为8，MCD面积的最小值为1，则椭圆的离心率为A.23B.33C.22D.32【答案】D【解析】【分析】求得定点M的轨迹方程22251639aaxy−+=，可得14

2823aa=，112123ba=，解得a，b即可.【详解】设(),0Aa−，(),0Ba，(),Mxy.∵动点M满足2MAMB=，则()()22222xayxay++=−+，化简得22251639aa

xy−+=.∵MAB面积的最大值为8，MCD面积的最小值为1，∴142823aa=，112123ba=，解得6a=，62b=，∴椭圆的离心率为22312ba−=.故选D.【点睛】本题考查了椭圆离心率，动点轨

迹的求解方法，考查了分析问题解决问题的能力，属于中档题．10.如图所示，在单位正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线A1B上存在一点P使得AP+D1P取得最小值，则此最小值为（）A.2B.262+C.22+D.22+【答案】D【解析】试题分析：将1

ABA翻折到与四边形11ABCD同一平面内，1APDP+的最小值为1DA，在11DAA中1111131,1,4ADAAAAD===，由余弦定理可得122AD=+考点：1.翻折问题；2.空间距离11.已知函数()22lnfxxx=−与()()()sin0

gxx=+有两个公共点，则在下列函数中满足条件的周期最大的()gx=A.sin22x−B.sin22x−C.sin2x−D.sin2x+【答案】C【解析】【分析】利用导数研究函数f（x

）的最值，利用f（x）与g（x）的图象有两个公共点，建立条件关系，结合周期公式和最值点，即可得到结论．【详解】因为()22lnfxxx=−为偶函数，所以当0x时，()22lnfxxx=−，则()()()21122xxfxxxx+−

=−=，所以()fx在()0,1上单调递减，在()1,+上单调递增，所以当1x=时，()()min11fxf==，所以当0x时，()()min11fxf=−=，所以()gx的最大周期是2.所以22T==，=，又()gx恰好在1x=和1x=−处取得最大值

1，故2=−，故选C.【点睛】本题主要考查函数图象的应用，根据导数研究函数的最值是解决本题的关键，考查了三角函数的性质的应用，属于中档题．12.设D是含数1的有限实数集，()fx是定义在D上的函数，若()fx的图象绕

原点逆时针旋转π6后与原图象重合，则在以下各项中，()1f的可能取值只能是（）A.3B.32C.33D.0【答案】B【解析】【分析】利用函数的定义即可得到结果.【详解】由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转6个单位后与下一个点会重合．我们可以通过代入和赋值的方

法当f（1）=3，33，0时，此时得到的圆心角为3，6，0，然而此时x=0或者x=1时，都有2个y与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个x只能对应一个y，因此只有当x=32，此时旋转6，此时满足一个x只会对应一个y，故选

B．【点睛】本题考查函数的定义，即“对于集合A中的每一个值，在集合B中有唯一的元素与它对应”(不允许一对多).二、填空题，本大题共4小题，每小题5分，共20分13.定积分()12011xdx−−=____________.【答案】4【解析】【分析

】根据定积分的几何意义即可求出．【详解】令()211(0)yxy=−−，则（x-1）2+y2＝1表示以（1，0）为圆心，以1为半径的圆，其面积为π，所以()12011xdx−−表示半径为1的四分之一圆的面积,如下图.故答案为

4【点睛】本题考查定积分的几何意义，准确转化为图形的面积是解决问题的关键，属基础题．14.在公差大于0的等差数列na中，71321aa−=，且1a，31a−，65a+成等比数列，则数列()11nna−−的前21项和为_________.【答案】21【解析】【分析】设公差为d（d＞

0），运用等差数列的通项公式，可得首项为1，再由等比数列的中项的性质，解方程可得公差d，进而得到等差数列{an}的通项，再由并项求和即可得到所求和．【详解】公差d大于0的等差数列na中，71321aa−=，可得()11212121adad+−+=，即11a=，

由1a，31a−，65a+成等比数列，可得()()231615aaa−=+，即为()2121155dd+−=++，解得2d=（负值舍去），则()12121nann=+−=−，*nN，所以数列()11nna−−的前21项和为123419202113573739

412104121aaaaaaa−+−++−+=−+−++−+=−+=.故答案为21.【点睛】本题考查数列的求和，注意运用并项求和，考查等差数列的通项公式和等比数列的中项的性质，考查运算能力，属于中档题．15.若函数()yfx=的图象上存在两个点A，B关于原点对

称，则称点对,AB为()yfx=的“友情点对”，点对,AB与,BA可看作同一个“友情点对”，若函数()322,069,0xfxxxxax=−+−+恰好有两个“友情点对”，则实数a的值为__________【答案】2【解析】【分析】由对称可知f（x）＝﹣2在（0，+∞

）上有两解，分离参数得a＝x3﹣6x2+9x﹣2，作出函数图象，根据解的个数得出a的范围．【详解】由题意可知32692xxxa−+−+=−在()0,+上有两解，即32692axxx=−+−在()0,+上有两解，设()32692gxxxx=−+−，则()23

129gxxx=−+.令()0gx=得1x=或3x=.∴当01x时，()0gx，当13x时，()0gx，当3x时，()0gx，∴()gx在()0,1上单调递增，在)1,3上单调递减，在)3,+上单调递增，∴当1x=时，()gx取得极大值()12g=，当3x=时，(

)gx取得极小值()32g=−.作出()gx的函数图象如图所示：∵32692axxx=−+−在()0,+上有两解，∴2a=.故答案为2【点睛】本题考查了函数的单调性与极值计算，根的个数与函数图象的关系

，属于中档题．16.点M为棱长是22的正方体1111ABCDABCD−的内切球O的球面上的动点，点N为11BC的中点，若满足DMBN⊥，则动点M的轨迹的长度为________【答案】4105【解析】【分析】取1BB的中点H，连接CH，可证得NB⊥平面DCH，由题意，点M的轨迹是

内切球O的球面与平面DCH相交得到的小圆，利用垂径定理即可得出结论．【详解】正方体1111ABCDABCD−的内切球O的半径2R=，由题意，取1BB的中点H，连接CH，则CHNB⊥，DCNB⊥，∴NB⊥平面DCH，∴动点M的轨

迹就是平面DCH与内切球O的球面相交得到的小圆，∵正方体1111ABCDABCD−的棱长是22，∴O到平面DCH的距离为25d=，截面圆的半径22225rRd=−=，所以动点M的轨迹的长度为截面圆的周长41025r=.故答案为4105【点睛】本题考查了学生的空间想象力，求出点M的轨迹是关键，

属于中档题．三、解答题：共70分17.在ABC中，内角,,ABC的对边分别为,,abc.已知cos2cos2cosACcaBb−−=（1）求sinsinCA的值（2）若1cos,24Bb==，求ABC

的面积.【答案】（1）sin2sinCA=（2）154【解析】【分析】（1）正弦定理得边化角整理可得()()sin2sinABBC+=+，化简即得答案．（2）由（1）知sin2sincCaA==，结合题意由余弦定理可解得1a=，15sin4B=，从而计算出面积．【详解】（1

）由正弦定理得2sin,2sin,2sinaRAbRbcRC===，所以coscos22sinsincossinACcaCABbB−−−==即sincos2sincos2sincossincosBABCCBAB−=−即有()()sin

2sinABBC+=+，即sin2sinCA=所以sin2sinCA=（2）由（1）知sin2sincCaA==，即2ca=，又因为2b=，所以由余弦定理得：2222cosbcaacB=+−，即222124224aaaa=+−，解得1a=,所以2c=，又因为1

cos4B=，所以15sin4B=，故ABC的面积为11sin1222acB=154=154.【点睛】正弦定理与余弦定理是高考的重要考点，本题主要考查由正余弦定理解三角形，属于一般题．18.某种产品的质量以其质量指标值衡

量，并依据质量指标值划分等级如下表：从某企业生产的这种产品中抽取200件，检测后得到如下的频率分布直方图：(1)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品92%”的规定？(2)在样本中，按产品等级用

分层抽样的方法抽取8件，再从这8件产品中随机抽取4件，求抽取的4件产品中，一、二、三等品都有的概率；(3)该企业为提高产品质量，开展了“质量提升月”活动，活动后再抽样检测，产品质量指标值X近似满足~(218,140)XN，则“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升

了多少？【答案】（1）见解析；（2）37.（2）质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了17.6.【解析】试题分析：（1）根据频率分布直方图，一、二等品所占比例的估计值为0.2000.30

00.2600.0900.0250.8750.92++++=，可做出判断.（2）由频率分布直方图的频率分布可知8件产品中，一等品3件，二等品4件，三等品1件，分类讨论各种情况可得P.（3）算出“质量提升

月”活动前，后产品质量指标值为200.4218和，可得质量指标值的均值比活动前大约提升了17.6试题解析：（1）根据抽样调查数据，一、二等品所占比例的估计值为0.2000.3000.2600.0900.0250.875++++=，由于该估计值小于0.92，故不能认为该企业生

产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品92%”的规定.（2）由频率分布直方图知，一、二、三等品的频率分别为0.375、0.5、0.125，故在样本中用分层抽样方法抽取的8件产品中，一等品3件，二等品4件，三等品1件，再

从这8件产品中随机抽取4件，一、二、三等品都有的情况有2种：①一等品2件，二等品1件，三等品1件；②一等品1件，二等品2件，三等品1件，故所求的概率2111213413414837CCCCCCPC+==.（3）“质量提升月”活动前，该企业这种产品的质量指标值的均值约为170

0.0251800.11900.22000.32100.262200.092300.025++++++200.4=“质量提升月”活动后，产品质量指标值X近似满足()~218,140XN，则()218EX=.所以，“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了17

.619.如图，ABCD是边长为2的正方形，平面EAD⊥平面ABCD，且EAED=，O是线段AD的中点，过E作直线//lAB，F是直线l上一动点.（1）求证：OFBC⊥；（2）若直线l上存在唯一一点F使得直线OF与平面BCF垂

直，求此时二面角BOFC−−的余弦值.【答案】(1)见解析;(2)13【解析】【分析】（1）先证EO⊥面ABCD，进而可得BC⊥面EOF，从而可证OF⊥BC；（2）由（1）可得EO⊥平面ABCD，得到OE、OA、OM两两垂直，可建立空间

直角坐标系Oxyz−，由条件得到OFBF⊥，转化为向量0OFBF=，从而()220tts−+=，转化为关于t的方程有唯一实数解，得到1s=，1t=，又判断∠BFC为二面角B﹣OF﹣C的平面角，利用向量夹角公式可求二面角B﹣OF﹣C的余弦值．【详解】（1）因为EAED=，O

是AD中点，故EODA⊥，又因为平面EAD⊥平面ABCD，平面EAD平面ABCDAD=，故EO⊥平面ABCD，所以EOBC⊥；因为//EFAB，BCAB⊥，所以EFBC⊥，故BC⊥平面EOF，所以BCOF⊥.（2

）设BC的中点为M，则有OMDA⊥，由（1），EO⊥平面ABCD，所以OE、OA、OM两两垂直.可如图建立空间直角坐标系Oxyz−.依题意设点E的坐标为()0,0,s，点F的坐标为()()0,,0,tsstR，又()1,2,0B，()1,2,

0C−，所以()0,,OFts=，()1,2,BFts=−−，由（1）知OFBC⊥，故OF与平面BCF垂直，等价于OFBF⊥，故0OFBF=，从而()220tts−+=，即2220tts−+=，直线l上存在唯一一点F使得直线OF与平

面BCF垂直，即关于t的方程有唯一实数解.所以2440s=−=，解得1s=，此时1t=.故点E的坐标为()0,0,1，点F的坐标为()0,1,1.因为OF⊥平面FBC，所以OFBF⊥且OFCF⊥，所以BFC即二面角BOFC−−的平面角.因为

()1,1,1FB=−，()1,1,1FC=−−，所以1cos3FBFCBFCFBFC==，即若直线l上存在唯一一点F使得直线OF与平面BCF垂直时，所以二面角BOFC−−的余弦值为13.【点睛】本题考查线面垂直，考查面面角的向量求解方法，解题的关键是将直线l上存在唯一一点F使得

直线OF与平面BCF垂直转化为关于t的方程有唯一实数解，将空间几何问题转化为代数问题，凸显空间坐标系的优点，属于中档题.20.已知抛物线C的顶点为O（0，0），焦点F（0，1）（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过F作直线交

抛物线于A、B两点．若直线OA、OB分别交直线l：y=x﹣2于M、N两点，求|MN|的最小值．【答案】（1）x2=4y（2）当t=﹣时，|MN|的最小值是【解析】（I）由题意可设抛物线C的方程为x2=2py（p＞0）则=1，解得p=2，故抛物线C的方程为x2=4y（II）设A（x1，y1），

B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx+1由消去y，整理得x2﹣4kx﹣4=0所以x1+x2=4k，x1x2=﹣4，从而有|x1﹣x2|==4由解得点M的横坐标为xM===，同理可得点N的横坐标为xN=所以|MN|=|xM﹣xN|=|﹣|=8||=令4k﹣3=

t，t不为0，则k=当t＞0时，|MN|=2＞2当t＜0时，|MN|=2=2≥综上所述，当t=﹣时，|MN|的最小值是21.已知函数()2lnfxxx=.（1）求函数()fx的单调区间；（2）证明：对任意的0t，存在唯一的s，使()tfs=；（3）设（2）中所确定的s关于t的函数为()s

gt=，证明：当2te时，有()ln215ln2gtt.【答案】（1）减区间是10,e，增区间是1,e+；（2）详见解析；（3）详见解析.【解析】试题分析：（1）先确定函数()fx的定义

域，然后利用导数求出函数()fx的单调区间；（2）构造函数()hx=()fxt−，利用函数()hx的单调性与零点存在定理来证明题中结论；（3）根据（2）中的结论得到()lnlngtt()()2lnlnlnln2lnlnlnlnlnsssfsssss

==+，利用换元法令lnus=得到()lnln2lngtutuu=+，于是将问题转化为ln0u且2ln0uu−，构造新函数()2lnFuuu=−，利用导数来证明()0Fu在区间()1,+上恒成立即可.试题解析：（1）

函数()fx的定义域为()0,+，()()2ln2ln1fxxxxxx=+=+，令()0fx=，得1xe=，当x变化时，()fx，()fx的变化情况如下表：x10,e1e1,e+()fx−0+()fx极小值所

以函数()fx的单调递减区间是10,e，单调递增区间是1,e+；（2）当01x时，()0fx.设0t，令()()hxfxt=−，)1,x+，由（1）知()hx在区间()1,+内单调递增，()1htt=−，(

)()22ln10ttttheeette=−=−，故存在唯一的)1,s+，使得()tfs=成立；（3）()sgt=，由（2）知，()tfs=，且1s，()()()2lnlnlnlnlnln2lnlnln2lnlnlngtsssutfsssuu

ss====++，其中，lnus=，要使()ln215ln2gtt成立，只需ln0u且2ln0uu−，当2te时，若()sgte=，则由()fs的单调性，有()()2tfsfee==，矛盾，所以se，即1u，从而ln0u成立.又设()2lnFuuu=−，则()2

1Fuu=−，所以()2lnFuuu=−在()1,2内是增函数，在()2,+内为减函数，()2lnFuuu=−在()1,+上的最大值为()22ln220F=−2ln0uu−成立，当2te时，()ln215ln2gtt

成立.考点：1.函数的单调性与导数；2.零点存在定理；3.利用导数证明函数不等式22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为3cossinxy==（a为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线

l的极坐标方程为sin24−=.（1）求C的普通方程和l的倾斜角；（2）设点(0,2)P，l和C交于A，B两点，求||+||PAPB.【答案】(1)2219xy+=.4.(2)182||||5PAPB+=.【解析】【分析】

（1）直接利用参数方程和极坐标方程公式得到普通方程，再计算倾斜角.（2）判断点(0,2)P在直线l上，建立直线参数方程，代入椭圆方程，利用韦达定理得到答案.【详解】（1）3cos,sin,xy=

=消去参数α得2219xy+=，即C的普通方程为2219xy+=.由sin24−=，得sincos2−=，（*）将cossinxy==，代入（*），化简得+2yx=，所以直线l的倾斜角为4.（2）由（1），

知点(0,2)P在直线l上，可设直线l的参数方程为cos42sin4xtyt==+（t为参数），即22222xtyt==+（t为参数），代入2219xy+=并化简，得25182270tt++=，2(182)45271080

=−=，设A，B两点对应的参数分别为1t，2t，则1218205tt+=−，122705tt=，所以10t，20t，所以()1212182||||5PAPBtttt+=+=−+=.【点睛】本

题考查了参数方程，极坐标方程，倾斜角，利用直线的参数方程可以简化运算.23.已知函数()13fxxx=−+−（1）解不等式()1fxx+；（2）设函数()fx的最小值为c，实数ab满足0a，0b，abc+=，求证：22111abab+++.【答案】（1）1,5；（

2）证明见解析.【解析】【分析】（1）对x按1x，13x，3x进行分类讨论，去掉绝对值，得到不等式的解集；（2）根据绝对值三角不等式得到()fx最小值c的值，再令1am+=，1bn+=，由基本不等式进行证明.【详解】①当1x时，不等式可

化为421xx−+，1x.又1x，x；②当13x时，不等式可化为21x+，1x.又13x，13x.③当3x时，不等式可化为241xx−+，5x.又3x，35x.综上所得，15x≤≤.∴原不等式的解

集为1,5.（2）证明：由绝对值不等式性质得，()13(1)(3)2fxxxxx=−+−−+−=，2c=，即2ab+=.令1am+=，1bn+=，则1m>，1n，1am=−，1bn=−，4mn+=，2222(1)(1)11abmnabmn−−+=+++211

44412mnmnmnmn=+−++==+，原不等式得证．【点睛】本题考查分类讨论解绝对值不等式，绝对值三角不等式，利用基本不等式进行证明，属于中档题.