【文档说明】重庆市第十八中学校2021-2022学年高二上学期期中数学试题 含解析.docx，共(22)页，1.412 MB，由小赞的店铺上传

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重庆市第十八中学2021—2022学年（上）半期高二数学试题命题人：张绪中审题人：王文伟考试说明：1.考试时间120分钟2.试题总分150分3.试卷页数2页一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.1.直线30xym−+=的倾斜角等于（）A.6B.3C.23D.56【答案】A【解析】【分析】将直线的一般式改成斜截式，根据倾斜角和斜率的关系，即可求出结果.【详解】由题意可知3333yxm=+，所以直线的斜率为33，又3tan63=，所以直线

的倾斜角为6.故选：A.2.圆2220xyx+−=与圆2240xyy++=的位置关系是（）A.相离B.外切C.相交D.内切【答案】C【解析】【分析】将两圆方程写成标准式，计算出两圆圆心距，利用几何法可判断出两圆的位置关系.【详解】圆2220xyx+−=

的标准方程为()2211xy−+=，圆心为()1,0A，半径为11r=，圆2240xyy++=的标准方程为()2224xy++=，圆心为()0,2B−，半径为22r=，两圆圆心距为22125AB=+=，

所以，1212rrABrr−+，因此，两圆相交.故选：C.3.若椭圆2212xym+=的离心率为12，则m=（）A.32B.23C.83D.32或83【答案】D【解析】【分析】分类讨论，椭圆焦点分别在x轴和y轴两种情况，结合椭圆中,,acb的关系，求m值【详解】当椭圆焦点在x轴时，则:2222

,,2abmcm===−，由于椭圆的离心率1,2e=则21242me−==，解的：m=32当椭圆焦点在y轴时，则:222,2,2ambcm===−,由于椭圆的离心率1,2e=则2124mem−==，解的：m=83故选：D【点睛】考

查学生椭圆的性质的理解，结合离心率求参数值4.在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为210xy−+=和230xy−+=，另一组对边所在的直线方程分别为1340xyc++=和2340xyc++=，则12cc−=（）A.23

B.25C.2D.4【答案】B【解析】【分析】根据菱形的性质，结合平行线间距离公式进行求解即可.【详解】因为菱形四条边都相等，所以每边上的高也相等，且菱形对边平行，直线210xy−+=和230xy−+=之间的距离为：2213251(

2)−=+−，1340xyc++=和2340xyc++=之间的距离为：121222534cccc−−=+，于是有：121222555cccc−=−=，故选：B5.在长方体1111ABCDABCD−中，

12ABAA==，1AD=，E为1CC的中点，则异面直线1BC与AE所成角的余弦值为（）A.1010B.3010C.155D.31010【答案】B【解析】【分析】建立空间直角坐标系结合空间向量的数量积即可求解.【详解】解：由题意，在长方体中，以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系由题知12A

BAA==，1AD=，E为1CC的中点,则()1,0,0A，()1,2,0B，()10,2,2C，()0,2,1E所以()1,2,1AE=−，()11,0,2BC=−设直线1BC与AE所成角为，则()()()()12222221112012330cos1030121102AEBCAEBC−

−++====−++−++所以直线1BC与AE所成角余弦值为3010.故选：B.6.数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．例如，与22()()xayb−+−相关的

代数问题，可以转化为点(),Axy与点(),Bab之间的距离的几何问题．结合上述观点，对于函数()222222xxxxfx+++−+=，()fx的最小值为（）A.22B.23C.25D.2的【答案】A【解析】【分析】()fx表示动点(),

1Px到定点()1,0A−和()10B,的距离之和，作()10B,关于直线1y=的对称点1B，11PAPBPAPBAB+=+，即可求解【详解】()()()222222221111xxxxfxxx+++−+=+++−+=()()()()2

222110110xx=++−+−+−表示动点(),1Px到定点()1,0A−和()10B,的距离之和，因为点(),1Px在直线1y=上运动，作()10B,关于直线1y=的对称点1B，则()11,2B，故()()22112011

22PAPBPAPBAB+=+=−++=，当且仅当1,,APB三点共线时取等，故()fx的最小值为22故选：A7.若直线30mxny−+=(0m，0n)截圆C：226450xyxy++−+=所得的弦长为42，则21mn+的最小值为（）A.8433−

B.8433+C.843−D.843+【答案】B【解析】【分析】求出圆C的圆心和半径，根据给定弦长可得m，n的关系等式，再借助“1”的妙用即可计算作答.【详解】圆C：22(3)(2)8xy++−=，则圆心

C()3,2−，半径r=22，而直线30mxny−+=截圆所得弦长为42，于得直线30mxny−+=过圆心C()3,2−，即323mn+=，因此，()2112113484332()(8)333mnmnmnmnnm++=++=++，当且仅当34mnnm=时取“=”，由

34mnnm=及323mn+=解得332m−=，且3334n−=，所以当332m−=且3334n−=时，21mn+的最小值为8433+.故选：B8.定义两个向量的一种运算sin,ababab=，则关于向量上述运算的以下结论中恒成立的有（）A.()

()abab=B.如果0a且0b，则0abC.()()()abcacbc+=+D.若()11,axy=，()22,bxy=，则1221abxyxy=−【答案】D【解析】【分析】对于A，通过计算得到()()abab=不会恒成立；对于

B.abrr有可能等于零（此时sin,0ab=），所以0ab不恒成立；对于C，通过计算得到()()()abcacbc+=+不会恒成立；对于D，计算得到1221||abxyxy=−恒成立．【详解】对于A:()(||||sinababa=，)b

，()||||||sinababa=，b，故()()abab=不会恒成立；对于B.如果0a且0b，则sin,ababab=有可能等于零（此时sin,0ab=），所以是0ab不恒成立；对于C，若ab=，()(

1||)||||sinabcbcb+=+，c，()()||||sinacbcbcb+=，||||sincbcb+，(1||)||||sincbcb=+，c，显然()()()abcacbc+=+不会恒成立；对于D，cosa，1212||

||xxyybab+=，sina，212121()||||xxyybab+=−，即有22212121212||||1()||||()||||||xxyyxxyyabababaab++=−=−22222121211222211()

xxyyxyxyxy+=++−+22222222211221212122112121221()()()2||xyxyxxyyxyxyxxyyxyxy=++−+=+−=−．则1221||abxyxy=−恒成立．故选：D二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出

的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.关于空间向量，以下说法正确的是()A.空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面B.若对空间中任意一点O，有1116

32OPOAOBOC=++，则P，A，B，C四点共面C.设{a，b，}c是空间中的一组基底，则{ab+，bc+，}ca+也是空间的一组基底D.若0ab，则a，b是钝角【答案】ABC【解析】【分析】根据共线向量的概念，可判定A是正确的；根据空间向量的基本

定理，可判定B是正确的；根据空间基底的概念，可判定C正确；根据向量的夹角和数量积的意义，可判定D不正确.【详解】对于A中，根据共线、共面向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，所以是正确的；对于B中，若对空间

中任意一点O，有111632OPOAOBOC=++，根据空间向量的共面定理的推论，可得P，A，B，C四点一定共面，所以是正确的；对于C中，由,,abc是空间中的一组基底，则向量,,abc不共面，可得向量,,abbcca+++也不共面，所以,,abbcca+++也是空间

的一组基底，所以是正确的；对于D中，若0ab，又由,0,ab，所以,(,]2ab，所以不正确，故选∶ABC.10.已知1F，2F是椭圆22:1925xyC+=的两个焦点，过1F的斜率存在且不为0的直线l与椭圆C交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，

则下列说法正确的是（）A.椭圆C的离心率为35B.存在点A使得12AFAF⊥C.若2212AFBF+=，则8AB=D.OP与AB的斜率满足925OPABkk=−【答案】BC【解析】【分析】对于A，由椭圆的方程求出,ab，从而可求出c，进而可求出离心率；对于B，设(3cos,

5sin)A，表示出12,AFAF，由120AFAF=求出sin的值，则说明12AFAF⊥；对于C，利用椭圆的定义判断；对于D，设直线AB为ykxm=+，将直线方程与椭圆方程联方程组，消去y，利用根与系数的关

系结合中点坐标公式表示出点P的坐标，从而可求出直线OP的斜率，进而可求得OPABkk的值，进行判断【详解】解：对于A，由22:1925xyC+=可得2225,9ab==，则225,3,4abcab===−=，

所以离心率为45cea==，所以A错误；对于B，令12(0,4),(0,4)FF−,设(3cos,5sin)A，则1(3cos,5sin4)AF=−，2(3cos,5sin4)AF=+，若12AFAF⊥，则22129cos25sin160AFAF=+−

=，解得7sin4=，所以存在点A使得12AFAF⊥，所以B正确；对于C，因为121222420AFAFBFBFaaa+++=+==，11ABAFBF=+,2212AFBF+=，所以8AB=，所以C正确

；对于D，设直线AB为ykxm=+，设1122(,),(,)AxyBxy，由22259225xyykxm+==+，得222(259)18910kxkmxm+++−=，所以12218259kmxxk+=−+，21212221850()22259259kmmyykxxmmkk+=++

=−+=++，所以22925,259259kmmPkk−++，所以22252525999259OPmkkkmkk+==−−+，所以252599OPABkkkk=−=−，所以D错误，故选：BC11.设动直线:30()−−+=Rlmxymm交圆22:(2)(4)3−+−=C

xy于A，B两点（点C为圆心），则下列说法正确的有（）A.直线l过定点(1,3)B.当||AB取得最大值时，1m=−C.当ACB最小时，其余弦值为13D.ABACuuuruuur的最大值为6【答案】ACD【解析】【分析】对于A：整理得()

130()mxym−−+=R，由此可求得直线所过的定点；对于B：由直线l过定点(1,3)，且定点(1,3)在圆C的内部，当直线l过圆心(2,4)时，||AB取得最大值，由此求得m的值；对于C：设直线l过的定点(1,3)M，当CMAB⊥时，A

CB最小，由余弦定理计算可判断；对于D：当ACAB、共线，且方向相同时，ABACuuuruuur取得最大值，由此可判断.【详解】解：对于A：由:30()−−+=Rlmxymm整理得()130()mxym−−+=R，当1030xy−=−+=，即

13xy==时，不论m为何值时，()130()mxym−−+=R都成立，所以直线l过定点(1,3)，故A正确；对于B：因为直线l过定点(1,3)，将定点代入圆22:(12)(34)23C−+−=，所以定点(1,3)在圆C的内部，当直线l过圆心(2,4)时，||AB取得最大值，此时243

0mm−−+=，解得1m=，故B不正确；对于C：设直线l过的定点(1,3)M，当CMAB⊥时，ACB最小，而()()2212342CM=−+−=，所以()()222322AB=−=，所以在ABC中，()()2223321cos3233ACB+−

==，故C正确；对于D：cosABACABACBAC=，而cosABBACuuur表示AB在AC方向上的投影，所以当ACAB、共线，且方向相同时，ABACuuuruuur取得最大值，此时2336ABACABAC===uuuruuuru

uuruuur，所以ABACuuuruuur的最大值为6，故D正确，故选：ACD.12.如图，正方体1111ABCDABCD−的棱长为1，点P是棱1CC上的一个动点（包含端点），则下列说法不正确的是（）A

.存在点P，使//DP面11ABDB.二面角1PBBD−−的平面角为60°C.1PBPD+的最小值是5D.P到平面11ABD的距离最大值是33【答案】BD【解析】【分析】当P与1C点重合时，DP面11ABD，A正确，二面角1P

BBD−−的平面角为45CBD=，B错误，11DPBPDB+，C正确，当P与C点重合时，P到平面11ABD的距离233，D错误，得到答案.【详解】当P与1C点重合时，1DPAB∥，1AB平面11ABD，DP不在面11ABD故

DP面11ABD，A正确；二面角1PBBD−−即二面角1CBBD−−，平面角为45CBD=，B错误；如图所示：1115PBPDPBBPDD++==，当1,,DPB共线时等号成立，C正确；1111DBAC⊥，1111DBCC⊥得到11DB⊥平面11ACC，故111DBAC⊥，同

理可得1AC⊥平面11DBA，设1AC交平面11DBA于H，则11223cos233ACAHACACAACAC====，当P与C点重合时，P到平面11ABD的距离233，D错误.故选：BD.三、填空题：

本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡相应位置.13.已知圆M的方程为22680xyxy+−−=，过点(0,4)P的直线l与圆M相交的所有弦中，弦长最短的弦为AC，弦长最长的弦为BD，则四边形ABCD的面积为______.【

答案】40【解析】【分析】由圆的性质可得最短的弦是以(0,4)P为中点的弦，过(0,4)P最长的弦BD为直径，求出两个弦长即可求出面积.【详解】圆M的标准方程为22(3)(4)25xy−+−=，即圆是以(3,4)M为圆心，5

为半径的圆，且由22(03)(44)925−+−=，知点(0,4)P在圆内，则最短的弦是以(0,4)P为中点的弦，所以2||2592AC=+，所以8AC=，过(0,4)P最长的弦BD为直径，所以10BD=，且ACBD⊥，故1402ABC

DSACBD==.故答案为：40.14.已知实数x，y满足方程22220xy+−=，则xy+的最大值为________．【答案】3【解析】【分析】利用三角换元法，再用辅助角公式，结合三角函数的性质可求出答案.【详解】因为22220xy+−=，所以22112xy+=令2cos,sinxy=

=，则()2cossin3sinxy+==++，所以xy+的最大值为3.故答案为：315.窗花是贴在窗纸或户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一.每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托

着辞旧迎新、接福纳祥的愿望.图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图二中正六边形ABCDEF的边长为4，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆O的直径，则PMPN的取值范围是______.【答案】8,12【解析】【分析】先利用平面向量的

线性运算，将PM、PNuuur用向量PO和OM表示，整理成2PO的形式，结合rPOR即可求解.【详解】正六边形ABCDEF的内切圆半径为3sin604232rOA===，外接圆的半径为4R=，()()2PMPNPOOMPOONPOPOONPOOMOMON

=++=+++()222224POPOONOMOMPOOMPO=++−=−=−，因为rPOR，即234PO，所以21216PO，可得28412PO−，故答案为：8,12.16.已知1F，2

F是椭圆22:195xyC+=的左、右焦点，点P在C上，则12PFPF的最大值为______；若()0,46A，则2PAPF−的最小值为______.【答案】①.9②.4【解析】【分析】首先根据题意得到126PFPF+=，再利用基本不等式即可得到12PFPF的最大值.根

据题意得到216PFPF=−，从而得到216PAPFPAPF−=+−，从而得到答案.【详解】由22195xy+=可得：3a=，2c=，则()12,0F−，由椭圆定义可知1226PFPFa+==，22112()92PF

PFPFPF+=，当12PFPF=时取等号．1221266PFPFaPFPF+===−.211(6)6PAPFPAPFPAPF−=−−=+−，又11PAPFAF+（当且仅当P在线段1AF上时取

等号），()2221min6(02)(460)64PAPFAF−=−=++−−=.故答案为：9；4.【点睛】本题考查椭圆的定义、几何性质、最值类问题，关键在于能够利用椭圆定义将焦半径进行转化，从而变成函数和几何问题来进行求解.四、解答题:请将正确答案做在答题卷相应位置，要有必

要的推理或证明过程，共70分.17.已知ABC的顶点()5,1A，边AB上的中线CM所在直线方程为250xy−−=，边AC上的高BH所在直线方程为250xy−−=．求：（1）顶点C的坐标；（2）直线BC的方程．【答案】（1）()4,3（2）6590xy−

−=【解析】【分析】（1）先根据直线AC与直线BH垂直，斜率乘积为-1，得到2ACk=−，从而利用点斜式求出直线AC方程，与CM所在直线250xy−−=联立求出点C坐标；（2）先设出点M的坐标为(),25mm−，利用中点坐标公式表达出B点坐标，再把B点坐标代入BH所在直

线250xy−−=，求出2m=，从而求出点B坐标，结合第一问求解的点C的坐标，求出直线BC的方程【小问1详解】因为边AC上的高BH所在直线方程为250xy−−=∴1ACBHkk=−，且12BHk=∴2ACk=−∵ABC的顶点()5,1A∴直线AC方程：()125yx−

=−−，即2110xy+−=与250xy−−=联立，2110250xyxy+−=−−=，解得：43xy==所以顶点C的坐标为()4,3【小问2详解】因为CM所在直线方程为250xy−−=故设点M的坐标为(),25mm−因为M是AB中点，()5,1A所以()25,41

1Bmm−−因为()25,411Bmm−−在BH所在直线250xy−−=上所以()25025411mm−−−=−，解得：2m=所以B点坐标为()1,3−−由第一问知：C的坐标为()4,3故直线BC的方程为

()6315yx+=+，整理得：6590xy−−=18.已知以点(1,2)A−为圆心的圆与直线:3450mxy++=相切.(1)求圆A的方程；(2)过点(0,1)B−的直线l与圆A相交于M、N两点,当||23MN=时，求直线l方程．【答案】（1）

22(1)(2)4xy++−=（2）0x=或4-13yx=−【解析】【详解】（1）由题意知()1,2A−到直线:3450mxy++=的距离为圆A半径r，且38525r−++==,所以圆的方程为()()22124xy++−=.（2）记MN中点为Q，

则由垂径定理可知90.MQA=且3MQ=，在RtAMQ△中由勾股定理易知，221AQAMMQ=−=，设动直线l方程为：1ykx=−或0x=，显然0x=合题意.由()1,2A−到l距离为1知22111kk−−−=+，解得43k=−,∴4330xy++=或

0x=为所求l方程.19.如图，在直三棱柱111ABCABC-中，1CACB==，90BCA=，12AA=，M为11AB的中点．N为1BB上一点．（1）求异面直线1BA与1CB所成角的余弦值；（2）若CNBM⊥，求三棱锥CABN−的体积．【答案】（1）3010；（2）124.

【解析】【分析】（1）首先建立空间直角坐标系，求出1A，B，1B，C点坐标，利用空间向量求出夹角；（2）利用CNBM⊥求出N点坐标，再利用三棱锥的体积计算公式计算即可.【详解】（1）以C为原点建系，CA，CB，1CC为x，y，z轴，则()0,0,0C，()

0,1,0B，()11,0,2A，()10,1,2B，()11,1,2BA=−，()10,1,2CB=uuur，111111330cos,1065BACBBACBBACB===uuuruuuruuuruuuruuuru

uur，故异面直线1BA与1CB所成角的余弦值是3010；的（2）设BNa=，则()0,1,Na，11,,222M，()0,1,CNa=，11,,222BM=−，因为CNBM⊥，

所以0CNBM=，即1202a−+=，解得14a=，故14BN=，1111111332424CABNNABCABCVVSBN−−====，【点睛】本题主要考查了利用空间向量解决立体几何中夹角和垂直问题，属于一般题.

注意，在建立空间直角坐标系时，尽量利用几何体中三垂直的角建系.20.已知椭圆2222:1(0,0)xyEabab+=的半焦距为c，原点O到经过两点(,0),(0,)cb的直线的距离为12c，椭圆的长轴长为43．（1）求椭圆E的方程；（2）直线l与椭圆交于A、B两点，线段AB的中点为(2,

1)M−，求弦长||AB．【答案】（1）221123xy+=；（2）||10AB=．【解析】【分析】（1）由已知得243a=，根据点线距离，令过(,0),(0,)cb的直线为0bxcybc+−=，即222bccbc=+得223cb=，即可求得椭圆E的方程.（2）

由直线与椭圆相交且中点(2,1)M−，联立方程结合韦达定理可知124xx+=求k值，即可求12xx，再由212||1||kABxx=−+求弦长||AB．【详解】（1）由题意，有243a=，令过(,0),(0,)cb的直线为0bxcybc+−=，∴

222bccbc=+，可得223cb=，而222abc=+，∴综上：2212,3ab==，即椭圆E的方程为221123xy+=.为（2）由题意知：直线l的斜率k必存在，可令(2)1ykx=−−，若1122(,),

(,)AxyBxy，∴联立椭圆E与直线l的方程得：222(41)8(21)8(221)0kxkkxkk+−+++−=，易知0，∴1228(21)441kkxxk++==+，可得12k=，所以21228(221)241kkxxk+−==+，212212122||||)01411(kkABx

xxxxx=−=+−=++【点睛】关键点点睛：（1）由点线距公式及椭圆参数关系求参数值，写出椭圆方程；（2）由直线与椭圆位置关系，以及已知条件并结合韦达定理、相交线公式求弦长即可.21.如图，四面体ABCD中，平面DAC⊥底面ABC，4ABBCAC===，AD＝C

D＝22，O是AC的中点，E是BD的中点．（1）证明：DO⊥底面ABC；（2）求二面角D-AE-C的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）77.【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到DOAC⊥，在根据面面垂直的性质定理，

证得DO⊥平面ABC.（2）以O为坐标原点建立空间直角坐标系，利用平面DAE和平面CAE的法向量，计算出二面角DAEC−−的余弦值.【详解】（1）证明：∵AD＝CD＝22，O是AC的中点，∴DO⊥AC．∵平面DAC⊥底面ABC

，平面DAC∩底面ABC＝AC，∴DO⊥底面ABC．（2）解：由条件易知DO⊥BO，BO⊥AC．.OA＝OC＝OD＝2，OB＝23如图，以点O为坐标原点，OA为x轴，OB为y轴，OC为z轴建立空间直角坐标系．则(2

,0,0)A，(0,23,0)B，(2,0,0)C−，(0,0,2)D，(0,3,1)E，(2,3,1)AE=−，(2,0,2)AD=−，(4,0,0)AC=−．设平面ADE的一个法向量为111(,,)nxyz=，则·0,·0,nADnAE==即11111220,230,xzxyz−+=

−++=令11z=，则1131,3xy==，所以3(1,,1)3n=．同理可得平面AEC的一个法向量(0,1,3)m=−．310(1)1373cos,71110133mnmnmn+−+===++++．因为二面角D-AE-C的平面角为

锐角,所以二面角D-AE-C的余弦值为77．【点睛】本小题主要考查线面垂直的证明，考查利用空间向量法求二面角的余弦值，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.22.已知椭圆221yExm+=：的下焦点为1F、上焦点为2F，其离心率22e=．过焦点2

F且与x轴不垂直的直线l交椭圆于A、B两点．（1）求实数m的值；（2）求△ABO(O为原点)面积的最大值．【答案】（1）2；（2）22﹒【解析】【分析】(1)根据已知条件得21b=，2am=，结合离心率22cea==，即可解得答案．(2)设直线的方程，与椭

圆方程联立，利用弦长公式以及三角形的面积公式，基本不等式即可得出答案．【小问1详解】由题意可得，21b=，20am=，∵离心率22cea==，∴22cm=，∵222abc=+，∴12mm=+，解得2m=．【小问2详解】由(1)知，椭圆22:12

yEx+=，上焦点2(0,1)F，设1(Ax，1)y，2(Bx，2)y，直线l的方程为：1ykx=+，联立22112ykxyx=++=，得22(2)210kxkx++−=，∴12222kxxk−+=+，12212−=+xxk，∴22212

12122224||()4()22kxxxxxxkk−−=+−=+++222222244(2)88(2)(2)kkkkk+++==++，∴2122221||2kxxk+−=+，∴22122221122121||||

12222ABOkkSxxOFkk++=−==++△22222122111211kkkk+==+++++„，当且仅当22111kk+=+，即0k=时等号成立，∴(ABOO△为原点)面积的最大值为22．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangx

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