【文档说明】青海师范大学附属实验中学2023届高三上学期12月月考数学（理）试卷 含解析.doc，共(17)页，1.295 MB，由小赞的店铺上传

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青海师范大学附属实验中学2022-2023学年度第一学期教学质量检测高三理科数学一、单选题：本题12小题，共60分。1．复数z满足()1i32iz+=+（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象

限2．已知定义在R上的偶函数()fx，在(,0]−上为减函数，且(3)0f=，则不等式(3)()0xfx+的解集是（）A．(,3)(3,)−−+B．(,3)(0,3)−−C．(3,0)(0,3)−D．(,3)(3,3)−−−3．已知集合101

A=−，，，集合202B=−，，，则AB=（）A．0B．21012−−，，，，C．0D．()22−，4．“0a，0b”是“0ab”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件5．等比数列{an}中，a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则数列{an}的通项公式为（）A．42nna−=B．42nna−=C．32nna−=D．32nna−=6．已知函数()3=sin3cos,44fxxxxR−−+，则()fx=A．最大值

为2，且图象关于点,012对称B．周期为，且图象关于点,012对称C．最大值为2，且图象关于512x=对称D．周期为2，且图象关于点,012−对称7．设

na是公差不为0的等差数列，12a=且136,,aaa成等比数列，则na的前n项和nS=A．2744nn+B．2533nn+C．2324nn+D．2nn+8．在ABC中，()1,2A，()2,4B，()0,6C，D为BC中点，则AD的坐标为A．()0,3B．()0,3−C．()

3,0−D．()3,09．为更好实施乡村振兴战略，加强村民对本村事务的参与和监督，根据《村委会组织法》，某乡镇准备在各村推选村民代表.规定各村每15户推选1人，当全村户数除以15所得的余数大于10时再增加1人.那么，各村可推选的人数y与该

村户数x之间的函数关系用取整函数[]yx=([]x表示不大于x的最大整数)可以表示为（）A．1115xy+=B．415xy+=C．1015xy+=D．515xy+=10．数学对于一

个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数字通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选2门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式

有（）A．36种B．54种C．72种D．90种11．椭圆C：()222210xyabab+=左右焦点分别为1F，2F，P为C上除左右端点外一点，若121cos2PFF=，211cos3PFF=，则椭圆

C的离心率为（）A．436−B．5237−C．7335−D．7265−12．已知数列na的首项1aa=，且04a，14464nnnnnaaaaa+−=−，nS是此数列的前n项和，则以下结论正确的是A．不存在．．．a和n使得2015nS=B．不存在．．．a和n使得2

016nS=C．不存在．．．a和n使得2017nS=D．不存在．．．a和n使得2018nS=二、填空题：本题5小题，共20分。13．已知1(34)(2)izxyyx=−+−，2(2)(3)izxyxy=−++−，,xy为实数，若1253izz

−=−，则12zz+=_____．14．在ABC中，若cos2cos2cosACcaBb−−=，则sinsinCA=______．15．已知函数()tanfxx=的导函数为()fx，者(0,)2x，满足()()4fxfx的实数x的最大值为，则cos3=___________.1

6．已知曲线y＝()fx存在两条互相平行的切线，请写出一个满足条件的函数：_______.三、解答题：本题6小题，共70分。17．某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮训练，

每人投10次，投中的次数统计如下表：学生1号2号3号4号5号甲班65798乙班48977（1）从统计数据看，甲、乙两个班哪个班成绩更稳定（用数字特征说明）；（2）在本次训练中，从两班中分别任选一个同学，比较两人的投中次数，求甲班

同学投中次数高于乙班同学投中次数的概率．18．经过抛物线24yx=的焦点的直线l交该抛物线于M，N两点，求MN的取值范围．19．已知等差数列{an}满足a1+a2=10,a5=a3+4.(1)求{an

}的通项公式;(2)记{an}的前n项和为Sn若Sk+1<2ak+a2,求正整数k的值20．如图，1111ABCDABCD−是正四棱柱.(1)求证：BD⊥平面11ACCA；(2)若二面角1CBDC−−的大小为60，求异面直线1BC与AC所成角的大小.21．已知奇函数()fx的定义

域为()(),00,−+，且当0x时，()2logfxxx=+.（1）求()fx的解析式；（2）已知()2xgxx=+，存在1x，2x使得()()120fxgx==，试判断1x，2x的大小关系并证明.22．已知圆C的圆心位于x轴的正半轴

上，该圆与直线3470xy−+=相切，且被y轴截得的弦长为23，圆C的面积小于13．(1)求圆C的标准方程．(2)设过点M（0，3）的直线l与圆C交于不同的两点A，B，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB．是否存在这样的直线l，使得直线OD与MC恰好平行？如

果存在，求出l的方程；如果不存在，请说明理由．23．已知函数()1||2fxxxa−=−+，0a（1）若1a=时，求不等式()1fx的解集；（2）若()fx的图象与x轴围成的三角形面积小于6，求a的取值范围．参考答案1．D判断复数在复平面上的象限，只要把

复数表示成标准的复数形式即可.由(1i)32i+=+z，得232i(32i)(1i)33i2i2i51i1i(1i)(1i)222++−−+−====−++−z，所以复数z在复平面内对应的点为51,22

−，位于第四象限，故选:D．2．D根据函数的性质，画出函数的图象，数形结合求出解集由题意，画出()fx的图象如图，(3)()0xfx+等价于30()0xfx+，或30()0xfx+，由图可知，不等式的

解集为(,3)(3,3)−−−故选：D．3．A由集合的交集运算可得答案.由集合101A=−，，，集合202B=−，，，可得0AB=故选：A4．A利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可.若0,0ab，则必有0ab.若0ab，则0,

0ab或0,0ab.所以"0,0"ab是"0"ab的充分不必要条件.故选:A.本题主要考查充分条件和必要条件的定义和判断.5．A设等比数列{an}的公比为q，由2413aaaa++可求出公比，再将1310aa+=，可求出1a，从而得出答案.设等比数列{an}的公比为q，由()132

4131351102qaaaaqaaaa++====++13111151044aaaaa+=+==，解得18a=所以11411822nnnnaaq−−−===故选：A6．A试题分析：()3sin3cossin3cos4444fxxxxx=−−

+=−+−+sin3cos44xx=+−+132sincos2424xx=+−+2sin2sin4312xx

=+−=−，∵12xRxR−，，∴1sin112x−−，则()fx的最大值为2；∵1=，∴周期2T=；当()12xkkZ−=时，()fx图象关于某一点对称，∴当0k=，求出12x=，即(

)fx图象关于,012对称，故选A．考点：三角函数()sinyAx=+的性质．7．A设公差为d则解得，故选A.8．A根据向量加法的平行四边形法则可得2ABACAD+=，再将坐标代入，即可得答案；在ABC中，(1,2),(1,4)ABAC=

=−，2ABACAD+=(1,2)(1,4)(0,3)2+−==，故选：A.本题考查向量加法的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题.9．B用x除以15所得余数分别为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12

,13,14，其中当余数为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10时结果就是商，但当余数为11,12,13,14时，函数值是商加1，因此可利用4x+后除以15取整得．解：根据规定15推选一名代表，当各班人数除以15的余数大于10时再增加一名代表，即余数分别为11，12，13，14时可以增选

一名代表，也就是x要进一位，所以最小应该加4，因此利用取整函数可表示为415xy+=.故选：B.本题考查函数的应用，解题关键是怎样确定人数除以15的余数大于10时再增加一名代表，即余数分别为11，12，13，14时

可以增选一名代表，函数值要在商基础上加1．10．B根据学习时间是两个学年或者三个学年进行分类讨论，由此计算出不同的选修方式.三个学年学生选科组合有{2,2,0}，{2,1,1}，∴当{2,2,0}时，三个学年选两个学年选完有23C，再为每个学年选两门课

22242222CCAA，故选修方式为222242322218CCCAA=；当{2,1,1}时，三个学年学完，选课方式有112321432236CCCAA=；∴总共有183654+=种.故选：B11．D根据图形在12PFF△中，利用余弦定理解出123212PFPFc+=，再由

椭圆的定义式122PFPFa+=，整理出12,PFPF关于,ac的式子，最后代入已知三角函数值中，得到关于,ac得二次式，从而可求椭圆离心率.解：如图在12PFF△中，22222211221212112141cos242PFFFPFP

FcPFPFFPFFFcPF+−+−===，即22212142PFcPFcPF+−=①22222221212122112241cos243PFFFPFPFcPFPFFPFFFcPF+−+−===，即222212443PFcPFcPF+−=②且122PFPF

a+=，故①+②得：2124823ccPFcPF=+，即123212PFPFc+=.所以12112221243212612PFPFaPFcaPFPFcPFac+==−+==−，代入到22222211221212112141cos242PFFFPFPFcPFPFFP

FFFcPF+−+−===中，整理得：2251450caca−+=，故两边除以2a得：251450ee−+=解得：7265e−=或7265e+=，又01e，所以7265e−=.即椭圆C的离心率为7265−.故选：D.12．A当24a时，12,4aa=

，262,4aa=−，32,4aa=，···，可知3,2,33,21,nnnkkNSnankkN==−+=+，则当672n=时，2016nS=；当673,2na==时，2018nS=；当02a时，()10,2aa=，()264,6aa=−，()320,

2aa=−，()444,6aa=+，()50,2aa=，···，可知3,4,33,41,3,42,31,43,nnnkkNnankkNSnnkkNnankkN=−+=+==+−−=+，则当6

73,1na==时，2017nS=；所以2015nS=取不到．故选A．点睛：本题考查数列的综合应用．本题中的数列情况较为复杂，则学生可以通过列举来寻找规律．本题中的26aa=−，则想到分24a和02a两类进行讨论，再进行列举，就可以

发现数列为循环数列，进一步进行求和判断即可．13．2根据复数的加减运算结合1253izz−=−可得x和y的值，再计算12zz+，由模长公式即可求解.因为1(34)(2)izxyyx=−+−，2(2)(3)izxyxy=−++−，所以12(34)(2)i(2)(3)izzxyyxxyxy−

=−+−−−++−(34)(2)(2)(3)ixyxyyxxy=−−−++−−−(55)(34)i53ixyxy=−+−+=−，所以555343xyxy−=−+=−，解得1,0xy==，所

以132iz=−，22zi=−+，所以121izz+=−，所以122zz+=．故答案为：2.14．2先用正弦定理边化角，去分母，用两角和与差的正弦公式化简可得.由正弦定理，cos2cos22sinsincossinACcaCABbB−−−==，去分母，

得sincos2sincos2sincossincosBABCCBAB−=−即sincossincos2sincos2sincosBAABBCCB+=+，得()()sin2sinABBC+=+，在ABC中

，有()()sinπ2sinπCA−=−，即sin2sinCA=，所以有sin2sinCA=.故答案为：215．22−先对函数求导，进而建立不等式，然后通分化简，结合二倍角公式与三角函数的图象和性质求得x的最大值为512=，即可求解.由()tanfxx=可得21()cosfxx

=，由()4()fxfx可得214tancosxx，即22114sincos4tan0coscosxxxxx−−=，故4sincos1xx，故1sin22x，由0,2x可得2(0,)x

，故5266x，即51212ππx，故x的最大值为512=，故52cos3cos42==−.故答案为：22−.16．()3fxx=（答案不唯一）直接根据导数的几何意义即可得结果.两条切线互相平行应先满足在切点处的导数值相等，例如()3f

xx=，()23fxx=，()11f=，()11f−=−，此时()13f=，()13f−=，函数在()1,1处的切线方程为：32yx=−；函数在()1,1−−处的切线方程为：32yx=+；合乎题意，故答案为：()3f

xx=（答案不唯一）17．（1）甲更稳定；（2）25．（1）计算平均数，甲乙两个班的平均值相等，再计算方差比较即可；（2）利用古典概型的概率求解.解：（1）两个班数据的平均值都为7，甲班的方差2222221675777978725s−+−+−+−+−==（

）（）（）（）（），乙班的方差222222247879777771455s−+−+−+−+−==（）（）（）（）（），∵2212ss，甲班的方差较小，∴甲班的成绩比较稳定；（2）甲班1到5号记作a，b，c，d，，乙班1到5号记作1，2，3

，4，5，从两班中分别任选一个同学，得到的基本样本空间由5525=个基本事件组成，将“甲班同学投中次数高于乙班同学投中次数”记作A，则1,1,1,1,2,4,5,1,4,5Aabcddddeee=，由10个基本事件组成，∴甲班同学投中次数高于乙班同学投中次数的

概率为102255=．18．[4,)+.直线斜率不存在时，可得MN的长度，直线斜率存在时，设直线方程与抛物线联立，根据焦点弦公式求出弦长的表达式，利用函数的性质即求.由题可知抛物线的焦点坐标为()1,0，当直线斜率不存在时，令1x=得：2y=，所以4MN=，当直线斜率存在时，设直线方程为()

1ykx=−，0k，联立()214ykxyx=−=得：()2222240kxkxk−++=，设()()1122,,,MxyNxy，则212222442kxxkk++==+，1222442244xxABpkk++=+=

++=，综上，MN的取值范围为[4,)+.19．(1)an=2n+2;(2)k=1.试题分析：(1)根据等差数列的性质可得a5a3d253−==−，由此可求出14a=，则na的通项公式可求;(2)由等差数列的前n项和公式可得2123,2nkkSnnSaa+=++,即()()(

)22131222660,kkkkk++++++−整理解不等式，注意k是正整数试题解析：(1)d=a5a353−−=2a1+a2=10,即a1+a1+d=10所以a1=4,an=4+2(n-1)=2n+2.(2)Sn=4n+()nn12+2=n2

+3n,Sk+1<2ak+a2,即(k+1)2+3(k+1)<2(2k+2)+6k2+k-6<0,(k-2)(k+3)<0-3<k<2,k是正整数,所以k=120．(1)证明见解析；(2)55.（1）利用线面垂直的判定定理即可证明；（2）先证明出11ACB为异面直线1BC与AC所成角，利

用余弦定理求解.（1）因为1111ABCDABCD−是正四棱柱，所以1AA⊥底面ABCD且四边形ABCD为正方形.因为BD底面ABCD，所以1AA⊥BD.因为四边形ABCD为正方形，所以AC⊥BD.因为1ACAAA=∩,AC面11ACCA,1

AA面11ACCA,所以BD⊥平面11ACCA.（2）设AC与BD交点为E，连结1EC.因为底面ABCD是正方形,所以CDCE=,且E为DB的中点,所以1CEBD⊥，所以1CEC为ニ面角1CBDC−−的平面角，所以160CEC=.设1CE=,则112,3

CECC==，2AB=.因为11//ACAC,所以异面直线1BC与AC所成角即为1BC与11AC所成角,即为11ACB.连结1AB,则△11ACB中,112AC=，115,5CBAB==所以222112(5)(5

)5cos5225ACB+−==，所以异面直线1BC与AC所成角的余弦值为55.21．（1）()()22log0log0xxxfxxxx+=−−；（2）当10x时，12xx=；当1>0x时120xx，证明见解析.(1)令0x得0x−，利用0x时()

2logfxxx=+和奇函数的性质即可.(2)结合函数零点存在性定理和函数的奇偶性，计算即可得出结果.(1)令0x，则0x−，因为()fx为奇函数，所以()()()()()22loglogfxfxxxxx=−−=−−+−=−−，所以()()22log0log0xxxfxxxx+=−−

.(2)当0x时，()2logfxxx=+，易知()fx在()0,+上单调递增，因为111()10(1)10222ff=−=−=，，所以()fx在()0,+上存在唯一零点，因为()fx为奇函数

，所以()fx在(,0)−上存在唯一零点，所以()fx有两个零点，易知()2xgxx=+在R上单调递增，因为11211()20,(1)12022gf−−=−+−=−+，所以()2xgxx=+在R上存在唯一零点2x，且2102x−，因为()22220xgxx=+=，所以222

xx−=，即()222logxx−=，即()222log0xx−−=，所以2x也是()fx的一个零点，所以当10x时，12xx=；当1>0x时120xx.22．(1)()2214xy−+=(2)不存在，理由见解析（1）利用待

定系数法，根据已知条件建立方程组求解.（2）假设存在，把直线方程与圆的方程联立、消元、韦达定理，根据条件进行求解、判断.（1）设圆C的方程为()()2220,0xayrar−+=，由题意，知()22237343arar+=+−+=，解得12ar==

或138198ar==，又圆C的面积213Sr=，∴1a=，2r=，∴圆C的标准方程为()2214xy−+=．（2）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，不满足题意．当直线l的斜率存在时，假设存在满足题意的直线l，设直线l的方程为3ykx=+，()11,Axy，(

)22,Bxy，由()22314ykxxy=+−+=，得()()2216260kxkx++−+=，∵直线l与圆C相交于不同的两点，∴()()222622411224200kkkk=−−+=−−，解得2

613k−或2613k+．122621kxxk−+=−+，()121222661kyykxxk++=++=−+，∵线段OD过线段AB的中点1212,22xxyy++，且线段AB与OD互相平分，∴点D的坐标为()1212,xxyy++，即12122632613ODy

ykkkxxkk+++===+−−，又MC的斜率为30301−=−−，∴3313kk+=−−，解得34k=．由于32626,11,433k=−−++，故不存在这样的直线l．23．（1）2|

23xx−−（2）()0,2（1）利用零点分段法分类讨论的数学思想，求得不等式()1fx的解集.（2）先用零点分段法去绝对值，将()fx转化为分段函数的形式，求得()fx的图象与x轴三个交点的坐标，由此求得所

围成三角形面积的表达式，根据面积小于6列不等式，解不等式求得a的取值范围.解：（1）当1a=时，()1fx，化为：|1|2|1|10xx−−+−，①，当1x−时，①式化为：20x+，解得：21x−＜-，当11x−时，①式化为：320x−

−，解得213x−−，当1x时，①式化为：40x−−，无解，∴()1fx的解集是2|23xx−−；（2）由题设可得：21,()312,112,1xaxafxxaaxxax++−=−+−−

−−−∴函数()fx的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为：,(20)1Aa--，,()1Baa+-，12,03aC−，∴21442(1)(1)233ABCaSaa+=+=+△，由题设可得：22(1)63a+，解得：02a，故a的范围是()0,2．

本小题主要考查零点分段法解绝对值不等式，考查三角形的面积公式和一元二次不等式的的解法，属于中档题.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com