【文档说明】重庆市南开中学2022-2023学年高三上学期9月第一次质量检测试题 数学 含解析.docx，共(26)页，1.616 MB，由小赞的店铺上传

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重庆南开中学高2023届高三九月考数学考试一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数2iz=−，则1z=（）A.12i55−B.12i55+C.21i55−D.21i

55+【答案】C【解析】【分析】由已知复数写出其共轭复数，利用复数除法化简1z.【详解】由题设2iz=+，故112i2i2i(2i)(2i)5z−−===++−.故选：C2.命题2:0,10pxxax−

+的否定是（）A.20,10xxax−+B.20,10xxax−+C.20,10xxax−+D.20,10xxax−+【答案】C【解析】【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即得.【详解】命题2:0,10

pxxax−+的否定是20,10xxax−+.故选；C.3.设集合(1)(2)0,AxxxBxxa=−+=∣∣，且AB=R，则a的取值范围是（）A.2a−B.1aC.1aD.2a−【答案】D【解析】【分析】先化简集合A

，再由并集的定义求解即可【详解】因为(1)(2)02Axxxxx=−+=−∣或1x，Bxxa=∣，AB=R，所以2a−，故选：D4.若曲线3lnyxax=+在点(1,1)处的切线方程为4ykx=−，则=a（）

A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】根据导数的几何意义有1|xyk==，且41k−=，即可求出参数a.【详解】由题设23ayxx=+，则3ak+=，又41k−=，所以5k=，故32ak=−=.故选：B5.橙子辅导中

学的高一､二､三这三个年级学生的平均身高分别为xyz，，，若按年级采用分层抽样的方法抽取了一个600人的样本，抽到高一､高二､高三的学生人数分别为100､200､300，则估计该高中学生的平均身高为（）A.111632xyz++B.2x

yz++C.111236xyz++D.3xyz++【答案】A【解析】【分析】由分层抽样的定义结合平均数的计算公式即可得出答案.【详解】设橙子辅导中学的总人数为m，由题意知，高一､高二､高三的学生总人数分别为：,,632mmm，所以估

计该高中学生的平均身高为：111632632mmmxyzxyzm++=++.故选：A.6.若233π1log3log2,2,logπlog2abc=+==+，则（）A.abcB.cabC.cbaD.bca【答案】B【解析】【分析】根据基本不等式判断

出ab，再根据函数单调性判断出ca，从而求出答案.【详解】由基本不等式得：2323log3log22log3log22a=+=，所以ab，因为()()23log,logfxxgxx==单调递增，所以2323logπlogπlog3log2

c=++，所以ca.故选：B.7.圆222690xyxy+−−+=上一点A发出的光线经x轴反射后经过点()2,1P−，则光线从点A到点P的最短路程为（）A.3B.4C.5D.6【答案】B【解析】【分析】设点P关于x轴的对称点为()1

2,1P−−，求出圆心C的坐标以及圆的半径，作出图形，分析可知光线从点A到点P的最短路程11PC−，即可得解.【详解】圆222690xyxy+−−+=的标准方程为()()22131xy−+−=，圆心为()1,3C，半径长为1，

如下图所示：设点P关于x轴的对称点为()12,1P−−，设反射光线交x轴于点Q，221345PC=+=，则1PQPQ=，所以，光线从点A到点P的路程为11PQAQPQAQPA+=+=，光线从点A到点P的最短路程为1

14PC−=.故选：B.8.公元656年，唐代李淳风注《九章》时提到祖暅的开立圆术.祖暅在求球体积时，使用一个原理：“幂势既同，则积不容异”，意思是两个同高的立体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.上述

原理在中国被称为祖暅原理，我们可以应用此原理将一些复杂几何体转化为常见几何体的组合体来计算体积.如图，将双曲线22:5Cyx−=与直线2x=所围成的平面图形绕双曲线的实轴所在直线旋转一周得到几何体，下列平面图形绕其对称轴（虚线所示）旋转一周所得几何体与的体积相

同的是（）A.图①，长为6､宽为4的矩形的两端去掉两个弦长为4､半径为3的弓形B.图②，长为25､宽为4的矩形的两端补上两个弦长为4､半径为3的弓形C.图③，长为6､宽为4的矩形的两端去掉两个底边长为4､腰长为3的等腰三角形D.图④，长为25､宽为4的矩形的两端补上两个底边长为4､

腰长为3的等腰三角形【答案】B【解析】【分析】将所有图形均以矩形的中心为原点，以对称轴为y轴建立平面直角坐标系，根据在y轴的最短和最长距离与双曲线实轴长和几何体母线长对比可排除③④；假设()53ytt=，与双曲线C相交后旋转，可求得圆环面积；分别在①②中求得()53yt

t=与图形相交所得的弦长，根据旋转后的圆环面积和圆面积是否与已知的圆环面积相等来判断出结果.【详解】由2252yxx−==得：3=y，则当()53ytt=与C相交于两点时，内圆半径25rt=−，则在该位置旋转一周所得圆环面积为()()22459tt−−=−；将所

有图形均以矩形的中心为原点，以对称轴为y轴建立平面直角坐标系，对于③，双曲线实轴长为25，③中y轴的最短距离为226232625−−=−，不合题意，③错误；对于④，几何体母线长为6，④中y轴的最长距离为22

2523245+−=，不合题意，④错误；对于①，在y轴的最短距离为()226233225−−−=，母线长为6，与几何体吻合；当()53ytt=与①中图形相交时，两交点之间距离为()222335t−+−，此时圆环面积为()()()()22243352351425ttt−

++−=−++−−，不合题意，①错误对于②，在y轴的最长距离为()222523326+−−=，矩形高为25，与几何体吻合；当()53ytt=与②中图形相交时，两交点之间距离为2222329tt−=−，此时圆面积为()29t−，与圆环面积相同，满足题意，②正确.故选：B.【点睛】关键

点点睛：本题以祖暅原理为载体，考查了旋转体截面面积的求解问题；解题关键是能够充分理解祖暅原理，根据直线与平面图形的相交弦来确定旋转后所得的图形，并求得图形面积，根据“幂势既同，则积不容异”来得到结论.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，

共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知角的终边落在第二象限，则下列不等式一定成立的是（）A.sin02B.tan02C.sincos22D.sincos22【答案】BD【解析】【分析】由题

设可得ππππ422kk++，Zk，结合三角函数的性质及各选项描述即可判断正误.【详解】由题设π2π2ππ2kk++，Zk，故ππππ422kk++，Zk，所以2在第一象限右上部分或第三象限左下部分（不含边界），故sin2符号不定且与cos2大小不

定，而tan02，sincos22.所以A、C错误，B、D正确.故选：BD10.已知数列,nnab满足：函数()2xfx=的图象经过点(),nnab，设数列na的前n项和为nS，则下列

命题中的真命题是（）A.若na是等差数列，则nb是等比数列B.若nb是等比数列，则na是等差数列C.若nS是单增数列，则nb是单增数列D.若nb是单增数列，则nS是单增数列【答案】AB【解析】【分析】根据等差数列，等比数列的定义可

判断AB，利用特值可判断CD.【详解】若na为等差数列，则有1nnaad+−=，则有11122202nnnnaaadnanbb++−+===，故nb为等比数列，所以A正确；若nb为等比数列，因

为2nanb=，所以0nb，则有10nnbqb+=，则有11222nnnnaaaaq++−==，则有12lognnaaq+−=，故na为等差数列，所以B正确；设1na=，则有1,22nnSnb===，可知nS单增，但nb不单增

，故C错误；设3nan=−，则有32nnb−=，则nb为单增数列，但1121212,3SaSaaa==−=+=−，所以nS是单增数列不成立，故D错误.故选：AB.11.在棱长为3的正方体1111ABCDABCD−中，点P在棱D

C上运动（不与顶点重合），则点B到平面1ADP的距离可以是（）A.2B.3C.2D.5【答案】CD【解析】【分析】利用坐标法，设(0,,0)Pt，可得平面1ADP的法向量(,3,)ntt=，进而即得.【详解】以D为原点，1,,

DADCDD分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则1(0,0,0),(3,0,0),(3,3,0),(0,0,3)DABD，设(0,,0)Pt，所以()()13,,0,3,0,3APtAD=−=−，

(0,3,0)AB=，设()1111,,nxyz=为平面1ADP的法向量，则有：111111133003APxtyAxznDn=−+===−+，令13y=，可得(,3,)ntt=，则点B到平面1ADP的距离为2929

ABndnt==+，因为03t，所以距离的范围是(3,3).故选：CD.12.已知1ab，则（）A.lnlnabbaB.11eabab−C.11eba−D.若mbbn=+，则maan+【答案】BC【解析】【分析】根据各个选项中的不等式，通过构造新函数，利用导数判断其

单调性，再结合特例法进行判断即可.【详解】因为1ab，所以lnlnlnlnbaabbaba，设函数ln()(1)xfxxx=，21ln()xfxx−=，当(1,e)x时，()0fx，函数()fx单调递增，

当(e,)x+时，()0fx，函数()fx单调递减，所以A选项错误；因为1ab，所以由111111elnlnlnlnabaababbabab−−−−−，设函数1()lngxxx=−，211()gxxx=+，当,

()0x+时，()0gx，函数()gx单调递增，所以B选项正确；因为111eln1baab−−，设函数1()ln1haaa=−−，所以21()ahaa−=，当()1,a+时，()0ha，函数

()ha单调递增，当()0,1a时，()0ha，函数()ha单调递减，所以()(1)0hah=，即11ln10ln1aaaa−−−，因为1ab，所以111111abab−−，因此11ln11aab−−，所以C选项正确.令2

,0bm==，则有1n=−，又令3a=，所以01,2maaan==+=，显然不成立，所以D选项错误，故选：BC【点睛】方法点睛：不等式是否成立可以通过构造函数利用导数的性质来进行判断.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知π4sin35+=，则πsin26+

=___________.【答案】725##0.28【解析】【分析】利用倍角余弦公式求得2π7cos(2)325+=−，由诱导公式π2πsin(2)cos(2)63+=−+，即可求值.【详解】22π

π167cos(2)12sin12332525+=−+=−=−，而πππ2π7sin(2)cos(2)cos(2)662325+=−++=−+=.故答案为：72514.已知抛物线22(0)ypxp=的焦点为F，A为抛物线上第一象限内一点，直线A

F与y轴交于点B，且AFFB=，则直线AB的斜率为___________.【答案】22【解析】【分析】由题意可设A、B、F的坐标，运用AFFB=可解出1xp=，利用抛物线解析式可得12yp=，由斜率公式解出即可.【详解】由题意可设()1

1,Axy，,02pF，()20,By，AFFB=，11,02pAFxy=−−，20,02pFBy=−−1=022ppx−−1xp=221122ypxp==A为抛物线上第一象限内

一点12yp=直线AF的斜率为；11022222ypkppxp−===−−直线AB的斜率为：22故答案为：22.15.将6名同学分成两个学习小组，每组至少两人，则不同的分组方法共有___________种.

【答案】25【解析】【分析】根据题意分两类：一是一组2人，一组4人，另一个是两组均为3人，求出各类的方法数，再利用分类加法原理求解即可.【详解】由题知，6人分为两组共有两种分法：（1）一组2人，一组4人：这种分法数为4262C

C15=种；（2）两组均为3人：这种分法数为3363CC102!=种，所以，由分类加法原理可得共有25种分法.故答案为：2516.已知平面向量ab，满足||1,||2ab==，则ab−在a方向上的投影的最小值是________

___.【答案】1−【解析】【分析】法一：由题意可知A，B在以原点为圆心，半径分别为1，2的圆上运动，所以abBA−=，当BA与OA反向时，投影最小，即可求出答案.法二：由题意(1,0),(2cos,2sin)ab==，求出ab−，由向量投影的定义表示出ab−在a方向上的投影，即可求出答案.

【详解】法一：设,aOAbOB==，因为平面向量ab，满足||1,||2ab==则有A，B在以原点为圆心，半径分别为1，2的圆上运动，则abBA−=，当BA与OA反向时，投影最小，可设(1,0),(2,0)ab==，所以(1,0)ab−=−，投影为1−.法二：

设(1,0),(2cos,2sin)ab==，则(12cos,2sin)ab−=−−，则ab−在a方向上的投影为()||cos||12cos[1,3]||abaabababa−−=−=−−−‖，所以

投影最小值为1−.故答案为：1−.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知数列na的前n项和nS，nSn为是公差为1的等差数列，且248,,

aaa成等比数列.（1）求nS；（2）设1nnbS=，求数列nb的前n项和.【答案】（1）2nSnn=+；（2）1nn+【解析】【分析】（1）利用题意假设nSnbn=+即2nSnbn=+，则能求出248,,aaa，结合248,,aaa成等比数列即可得到答案；（2）利用裂项相消法即可求解【

小问1详解】因为nSn为是公差为1的等差数列，所以设nSnbn=+，则有2nSnbn=+，所以2214438873,7,15aSSbaSSbaSSb=−=+=−=+=−=+，由248,,aaa成等比数列可得2428aaa=即2(7)(3)(15

)bbb+=++，解得1b=，故2nSnn=+；【小问2详解】1111(1)1nnSnnbnn===−++，设数列nb的前n项和为nT，所以1211111111223111nnnTbbbnnnn=++=−+−++−=−=

+++18.ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为BC边上一点，2CDDB=，且ADAC⊥，1tan,132Cc==（1）求b；（2）求ABD△的面积.【答案】（1）4b=（2）2【解析】【分析】（1）根据1tan2C=求出2cos5C=，得到,ab

的关系式，再用余弦定理求出4b=；（2）先求出ADC的面积，进而利用2CDDB=，求出ABD△的面积.【小问1详解】因为1tan2C=，所以2cos5C=，因为在ACD△中，ADAC⊥，所以5,,22bACbCDbAD===，因为2CDDB=，则354ab=在ABC中：2222132co

s1316cababCb=+−==，所以4b=；【小问2详解】因为22bAD==，ADAC⊥，2DCBD=所以11112422224ABDADCSSADAC====△△.19.冬奥会在我国圆满结束，越来越多的人们喜欢冰雪运动，公

众号山城学术圈为了研究喜爱滑雪是否与性别有关，对橙子辅导的200位居民进行问卷调查，根据统计结果得到如下22列联表：喜爱滑雪不喜爱滑雪合计男性40女性70合计200已知从接受问卷调查的200位橙子辅导社区居民中任选一人，选到喜欢滑雪的居民的概率为0.65.

（1）是否有90%的把握认为人们喜爱滑雪与性别有关？（2）现采用分层抽样的方法从接受问卷调查且不喜爱滑雪的居民中随机抽取7人认定为该滑雪馆的免费会员，若从这7名免费会员中随机抽取3人进行滑雪培训，记抽到的3人中有X位女士，求X的分布列与数学期望.附：

22()()()()()nadbcKabcdacbd−=++++，其中nabcd=+++()20PKk0.100.050.010.0010k2.7063.8416.63510.828【答案】（1）没有90%的把握认为二者有关（2）分布列见解析，()97EX=【解析】【分析】（1）依题意

完善列联表，再计算出卡方，即可判断；（2）首先由分层抽样求出男、女的人数，则X的可能取值分别为0，1，2，3，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望.【小问1详解】解：由题可知，喜欢滑雪的人有200065130=．，所以22列联表如下：喜爱滑雪不喜

爱滑雪合计男性6040100女性7030100合计13070200所以()22200603040702.202.70610010013070K−=，所以没有90%的把握认为二者有关；【小问2详解】解：由题知：抽取的7人

中男性有40744030=+人，女性有30734030=+人，所以X的所有可能取值分别为0，1，2，3，所以3437C4(0)C35PX===，214337CC18(1)C35PX===，124337CC12(2)C35PX===，3337C1(3)C35PX===，所以X的分布列为：X012

3P43518351235135故X的数学期望()41812190123353535357EX=+++=.20.如图，在三棱柱111ABCABC−中，1112,,ABACAAABACAABAAC===⊥=，D是棱11BC的中点.（1）证明：1AABC⊥；（2）若三棱锥11BABD−

的体积为146，求平面1ABD与平面11CBBC所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）2222【解析】【分析】（1）作出辅助线，由三线合一证明线线垂直，进而证明线面垂直，得到BC⊥平面1AAO，从而证明1AABC⊥；（2）作出辅助线，由三棱锥的体积求出172AH=，方法

一：建立空间直角坐标系，利用空间向量求解二面角；方法二：作出辅助线，找到二面角的平面角，再求解余弦值.【小问1详解】取BC中点O，连接AO，1AO,1AC,因为ABAC=,所以AOBC⊥,因为11AABAAC=，11,ABACAAAA==，所以11

AABAAC，所以11ABAC=，所以1AOBC⊥，因为1AOAOO=，1,AOAO平面1AAO，所以BC⊥平面1AAO，因为1AA平面1AAO，所以1AABC⊥；【小问2详解】连接OD，则平面1AAO即为平面1AADO，由（

1）知BC⊥平面1AADO，因为BC平面ABC，且BC平面11BCCB，故平面1AADO⊥平面ABC，平面1AADO⊥平面11BCCB，过O作1OMAD⊥于M，则OM⊥平面ABC，过1A作1AHOD⊥于H，则1AH⊥平面11BCCB，因为11DOBBAA∥∥知DOBC⊥，在ABC中：2

,22ABACBC===，所以11122BDBSDBDO==△，所以11111111214336BABDABDBBDBAAVVShh−−====△，所以1172AAHh==，法一：设MOD=，则1DAH=，在1RtAHD△中117142cos42AHAD===，所以

214sin,cos22DMDOOMOD====，又12AD=，所以点M为线段1AD的中点，以O为原点，分别以,,OAOBOM分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，1214(2,0,0),(0,2,0

),(0,2,0),,0,22ABCA−，1214214,2,,,0,2222BD−−，设面1ABD的法向量为()1111,,xnyz=，则有11111111121420222142022nBAxyznBDxyz=−+==−−+

=，两式相减得：10x=，所以1114202yz−+=，令12z=，可得：17y=，所以1(0,7,2)n=，设面11CBBC的法向量为()2222,,nxyz=，则有221122220214022nCBynCBxz===−+=，解得：20y=，令21z=，

解得：27x=所以2(7,0,1)n=，设锐二面角为，则有121222cos2122477nnnn===++.法二：过H做HEBD⊥，连接1AE，1AH⊥面11BCCB，1AHDB⊥，则DB⊥面1AHE，1AEBD⊥，则1AE

H即为所求二面角.在1RtADH△中，117,22AHAD==，则12DH=，在RtDOB中，2,2,6DOOBDB===，由RtRtDEHDOB可得：HEDHOBDB=，36HE=，则1116AE=，111

22cos2222HEAEHAE===.21.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的离心率为22，上顶点为D，斜率为k的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，M为线段AB的中点，当点M的坐标为(2,1)时，直线l恰好经过D点.（1）求椭圆C的方

程：（2）当l不过点D时，若直线DM与直线l的斜率互为相反数，求k的取值范围.【答案】（1）221189xy+=（2）62k或62k−【解析】【分析】（1）由离心率22e=可得22abc==，又因为2212OMbkka=−=−即可求出,,abc，即可得出椭圆C的方程；（2

）设直线为ykxm=+，联立直线和椭圆的方程得到关于x的一元二次方程，可表示出M的坐标，即可表示出直线DM的斜率解得226312kmk+=−，因为l不过D点，则2263312kk+−，再结合0即可求出k的取

值范围.【小问1详解】由题意知，离心率22e=，所以22abc==，设()()1122,,,AxyBxy，22112222222211xyabxyab+=+=两式相减得2212OMbkka=−=−，所以1k=−；所以直线为1(2)yx−=−−，即3yx=−+，所以3==bc，椭圆方

程为221189xy+=；【小问2详解】设直线为ykxm=+，由22218ykxmxy=++=得()2221242180kxkmxm+++−=，则1222212Mxxkmxk+−==+，212Mmyk=+，()()()22222216412

21881890kmkmkm=−+−=−+，所以236302MDMMykmkkxkm−+−===−−，解得226312kmk+=−，2120−k，22k因为l不过D点，则2263312kk+−，即0k则()()2222263189012kkk++−−，化简得4

24430kk−−，解得()()2223210kk−+，232k，所以62k或62k−.22.设函数()()ln1,R1afxxax=+++.（1）若()fxa恒成立，求a的值；（2）当*Nn且2n时，证明：111ln23nn+++.【答案】（1）1a=（2）证明

见解析【解析】【分析】（1）()()gxfxa=−，用导数法研究max()0gx即可；（2）由（1）可知n(1)1xxx++恒成立，令11xn=−，所以11ln1ln11nnnn+=−−，再用累加法求解即可证明【小问1详解】令(

)()ln(1)1axgxfxaxx=−=+−+，则有(0)0g=，21()1(1)agxxx=−++，若(0)0g，则存在10x，使得()gx在()1,0x上单调递增，所以()10gx，矛盾；若(0)0g，则存在20x，使得(

)gx在()20,x上单调递减，所以()20gx，矛盾；若(0)0g=即1a=，2()(1)xgxx=+，()gx在(1,0)−上单减，在(0,)+上单增，故()(0)0gxg=，符合；综上，1a=【小问2详解】由（1）知，当1a=时，()0gx恒成立，即()ln11xxx

++恒成立，当且仅当0x=时取等.令11xn=−，所以11ln1ln11nnnn+=−−，11lnln(1),ln2ln12nnn−−−，两边累加即111lnln(1)ln(1)ln(2)ln2ln112nnnnnn−−+−−−++−++

+−111ln23nn+++即证【点睛】对于恒成立问题，常用到以下两个结论：（1）()afx恒成立⇔()maxafx；（2）()afx恒成立⇔()minafx；.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.

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