【文档说明】十年（2015-2024）高考真题分项汇编 数学 专题21 立体几何大题综合 Word版无答案.docx，共(83)页，8.167 MB，由小赞的店铺上传

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专题21立体几何大题综合考点十年考情（2015-2024）命题趋势考点1空间中的平行关系（第一问）（10年10考）2024·全国新Ⅰ卷、2024·全国甲卷、2024·北京卷、2024·天津卷、2023·全国新Ⅰ卷、20

23·全国甲卷、2023·全国乙卷、2023·天津卷、2022·全国新Ⅱ卷、2022·全国甲卷、2022·天津卷、2022·北京卷2021·天津卷、2020·北京卷、2020·江苏卷、2019·江苏卷、2019·天津卷、2019·天津卷、2019·全国卷、20

19·全国卷、2018·江苏卷2017·天津卷、2017·浙江卷、2017·全国卷2017·全国卷、2017·江苏卷、2016·四川卷、2016·江苏卷、2016·天津卷、2016·全国卷、2016·山东卷、2016·全国卷、2015·江苏卷、2015·天津卷、2015·天津

卷、2015·四川卷2015·山东卷、2015·山东卷、2015·安徽卷2015·福建卷、2015·北京卷空间中的平行关系和垂直关系依然是立体几何大题第一问的命题热点，要熟练掌握空间中的距离及表面积、体积的计算同样是命题热点，异

面直线所成角、线面角、二面角、及其最值范围等内容也是高频考点，同时也需掌握方程思想的应用考点2空间中的垂直关系（第一问）（10年10考）2024·全国新Ⅱ卷、2023·全国新Ⅱ卷、2023·全国甲卷、2023·北京卷、2022

·全国甲卷、2022·全国乙卷、2022·浙江卷、2021·全国新Ⅰ卷、2021·全国新Ⅱ卷、2021·全国甲卷、2021·全国乙卷、2021·浙江卷2020·海南卷、2020·天津卷、2020·浙江卷、2020·山东卷、2020·全国卷、2020·全国卷、20

20·全国卷、2020·全国卷、2020·全国卷、2019·江苏卷、2019·北京卷、2019·北京卷2019·全国卷、2019·全国卷、2019·天津卷、2019·浙江卷、2019·全国卷、2019·全国卷、2018·江苏卷、2018·北京卷、2018·北京卷

、2018·全国卷、2018·浙江卷、2018·全国卷2018·全国卷、2018·全国卷、2018·全国卷、2018·天津卷、2017·山东卷、2017·全国卷、2017·天津卷、2017·全国卷、2017·全国卷、2017·北京卷、2017·江苏卷、2016·浙江卷

2016·北京卷、2016·全国卷、2016·北京卷、2016·山东卷、2016·浙江卷、2016·天津卷、2016·全国卷、2016·全国卷、2015·广东卷、2015·江苏卷、2015·重庆卷、2015·重庆卷201

5·浙江卷、2015·浙江卷、2015·全国卷、2015·全国卷、2015全国卷、2015·天津卷、2015·陕西卷、2015·湖南卷、2015·湖南卷、2015·湖北卷、2015·福建卷、2015·北京卷2015·北京卷考

点3求空间中的线段长度、点面距的值及最值或范围（10年6考）2024·全国甲卷、2024·天津卷、2023·全国甲卷、2022·全国新Ⅰ卷、2021·全国乙卷、2019·全国卷、2018·全国卷考点4求空间中的体积

、表面积的值及最值或范围（10年10考）2024·上海卷、2023·全国乙卷、2022·全国甲卷、2022·全国乙卷、2021·全国新Ⅰ卷、2021·全国甲卷、2021·全国乙卷、2020·全国卷、2020·全国卷、2019·全

国卷、2019·全国卷、2018·全国卷2017·上海卷、2017·全国卷、2017·北京卷、2017·全国卷、2016·江苏卷、2016·全国卷、2016·上海卷、2016·上海卷、2016·全国卷、2016·全国卷、2015·重庆卷、201

5·全国卷2015·湖南卷、2015·湖南卷、2015·湖北卷2015·福建卷、2015·北京卷考点5异面直线所成角及最值或范围（10年4考）2018·天津卷、2017·天津卷、2016·上海卷、2015·广东卷、2015·全国卷、2015·上海卷、2015·山东卷

考点6求线面角及最值或范围（10年10考）2024·天津卷、2024·上海卷、2023·全国甲卷、2022·全国甲卷、2022·全国乙卷、2022·浙江卷、2022·天津卷、2021·浙江卷、2020·海南卷、2020·天津卷、2020·北京卷、2020·浙

江卷2020·山东卷、2020·全国卷、2019·天津卷、2019·浙江卷、2018·江苏卷、2018·浙江卷、2018·全国卷、2018·天津卷、2017·上海卷、2017·天津卷、2017·浙江卷、2017·北京卷2016·浙江卷、2016·天津卷、2016·全国卷、2016

·北京卷、2016·天津卷、2015·广东卷、2015·浙江卷、2015·天津卷、2015·上海卷、2015·全国卷考点7求二面角及最值或范围（10年10考）2024·全国新Ⅱ卷、2024·全国甲卷、20

24·北京卷、2024·天津卷、2023·全国新Ⅱ卷、2023·全国乙卷、2023·北京卷、2023·天津卷、2022·全国新Ⅰ卷、2022·全国新Ⅱ卷、2022·天津卷、2021·全国新Ⅱ卷2021·全国甲卷

、2021·全国乙卷、2021·天津卷、2020·天津卷、2020·江苏卷、2020·全国卷、2020·全国卷、2019·北京卷、2019·全国卷、2019·全国卷、2019·全国卷、2018·北京卷2018·全国卷、2017·山东卷、2017·全国卷、2016·天

津卷、2016·山东卷、2016·浙江卷、2016·全国卷、2016·全国卷、2015·广东卷、2015·重庆卷、2015·浙江卷、2015·四川卷2015·陕西卷、2015·山东卷、2015·安徽卷2015·福建卷、2015·北京卷考点8已知异面直线所成角、线面角、二面角求值或范

围（方程思想）（10年5考）2024·全国新Ⅰ卷、2023·全国新Ⅰ卷、2021·全国新Ⅰ卷、2021·北京卷、2017·天津卷、2017·全国卷、2015·天津卷、2015·湖南卷、2015·湖南卷、2015·湖北卷考点01空间中的平行关系（第一问）1．（20

24·全国新Ⅰ卷·高考真题）如图，四棱锥PABCD−中，PA⊥底面ABCD，2PAAC==，1,3BCAB==．(1)若ADPB⊥，证明：//AD平面PBC；2．（2024·全国甲卷·高考真题）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与

四边形ADEF均为等腰梯形，//,//EFADBCAD，4,2ADABBCEF====，10,23EDFB==，M为AD的中点．(1)证明：//BM平面CDE；3．（2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥PABCD−中，//BCAD，1ABBC

==，3AD=,点E在AD上，且PEAD⊥，2PEDE==．(1)若F为线段PE中点，求证：//BF平面PCD．4．（2024·天津·高考真题）已知四棱柱1111ABCDABCD−中，底面ABCD为梯形，//ABCD，1AA⊥平面ABCD，ADAB⊥，其中12,1A

BAAADDC====．N是11BC的中点，M是1DD的中点．(1)求证1//DN平面1CBM；5．（2023·全国新Ⅰ卷·高考真题）如图，在正四棱柱1111ABCDABCD−中，12,4ABAA==．点2222,,,ABCD分别在棱111,,AABBC

C,1DD上，22221,2,3AABBDDCC====．(1)证明：2222BCAD∥；6．（2023·全国甲卷·高考真题）如图，在三棱锥−PABC中，ABBC⊥，2AB=，22BC=，6PBPC=

=，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，5ADDO=，点F在AC上，BFAO⊥.(1)证明：//EF平面ADO；7．（2023·全国乙卷·高考真题）如图，在三棱锥−PABC中，ABBC⊥，2AB=，22BC=，6PBPC==，,,BPA

PBC的中点分别为,,DEO，点F在AC上，BFAO⊥．(1)求证：EF//平面ADO；8．（2023·天津·高考真题）如图，在三棱台111ABCABC-中，1AA⊥平面111,,2,1ABCABACABACAAAC⊥====，M为

BC中点.，N为AB的中点，(1)求证：1AN//平面1AMC；9．（2022·全国新Ⅱ卷·高考真题）如图，PO是三棱锥−PABC的高，PAPB=，ABAC⊥，E是PB的中点．(1)证明：//OE平面PAC；10．（2022·全国甲卷·高考真题）小明

同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面ABCD是边长为8（单位：cm）的正方形，,,,EABFBCGCDHDA均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD垂直．(1)证明：//EF平面ABCD；11．（2022·天津·高考真题）直三棱柱111ABCABC-中，1

12,,AAABACAAABACAB===⊥⊥，D为11AB的中点，E为1AA的中点，F为CD的中点．(1)求证：//EF平面ABC；12．（2022·北京·高考真题）如图，在三棱柱111ABCABC-中，侧面11BCCB为正方形，平面11BCCB⊥平面1

1ABBA，2ABBC==，M，N分别为11AB，AC的中点．(1)求证：MN∥平面11BCCB；13．（2021·天津·高考真题）如图，在棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点．（I）求证：1//DF平面11AEC；14．

（2020·北京·高考真题）如图，在正方体1111ABCDABCD−中，E为1BB的中点．（Ⅰ）求证：1//BC平面1ADE；15．（2020·江苏·高考真题）在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别

是AC，B1C的中点．（1）求证：EF∥平面AB1C1；16．（2019·江苏·高考真题）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC．求证：（1）A1B1∥平面DEC1；17．（2019·天津·高考真题）如图，在四棱锥PABCD−中，底

面ABCD为平行四边形，PCD为等边三角形，平面PAC⊥平面PCD，PACD⊥，2CD=，3AD=，（Ⅰ）设GH，分别为PBAC，的中点，求证：GH平面PAD；18．（2019·天津·高考真题）如图，⊥AE平

面ABCD，,CFAEADBC∥∥，,1,2ADABABADAEBC⊥====.（Ⅰ）求证：BF∥平面ADE；19．（2019·全国·高考真题）如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC

，BB1，A1D的中点.（1）证明：MN∥平面C1DE；20．（2019·全国·高考真题）如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是B

C，BB1，A1D的中点．（1）证明：MN∥平面C1DE；21．（2018·江苏·高考真题）在平行六面体1111ABCDABCD−中，1AAAB=,111ABBC⊥．求证：（1）11//ABABC平面；22．（2017·天津·高考真题）如图，在三棱锥−PABC中，PA⊥底面

ABC，90BAC=．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，4PAAC==，2AB=．（1）求证：MN∥平面BDE；23．（2017·浙江·高考真题）如图，已知四棱锥P-ABCD，△PAD是以AD为斜

边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB,E为PD的中点.（I）证明：CE∥平面PAB；24．（2017·全国·高考真题）如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是边长为2的等边三角形且垂直于底面ABCD，o1,90,2ABBCADBADAB

C====E是PD的中点．（1）证明：直线//CE平面PAB；25．（2017·全国·高考真题）四棱锥PABCD−中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,01,90.2ABBCADBADABC=

===（1）证明：直线//BC平面PAD;26．（2017·江苏·高考真题）如图，在三棱锥A­BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求证：(1)EF∥平面A

BC；27．（2016·四川·高考真题）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=12AD．（Ⅰ）在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；28．（2016·江苏·高考真

题）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且11BDAF⊥，1111ACAB⊥.求证：（1）直线DE平面A1C1F；29．（2016·天津·高考真题）如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为

矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2.（Ⅰ）求证：EG∥平面ADF；30．（2016·全国·高考真题）如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点.（Ⅰ）

证明MN∥平面PAB;31．（2016·山东·高考真题）在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O'的直径，FB是圆台的一条母线.（Ⅰ）已知G,H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；32．（20

16·全国·高考真题）如图，四棱锥PABCD−中，PA⊥平面ABCD，ADBC∥，3ABADAC===，4PABC==，M为线段AD上一点，2AMMD=，N为PC的中点．（I）证明MN∥平面PAB；33．（2015·江苏·高考真题）如图，在直三棱柱中，

已知，，设的中点为，.求证：（1）；34．（2015·天津·高考真题）如图,已知1AA⊥平面ABC,AB=AC=3,,,点E,F分别是BC,11AB的中点.（Ⅰ）求证:EF∥平面;35．（2015·天津·高考真题）如图，在四棱柱

1111ABCDABCD−中，侧棱1AA⊥底面ABCD，ABAC⊥，1AB=，12ACAA==，5ADCD==，且点M和N分别为1BC和1DD的中点.（1）求证：//MN平面ABCD；36．（2015·四川·高考真题）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，在正方体中，设BC的

中点为M，GH的中点为N(1)请将字母,,FGH标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）(2)证明：直线//MN平面BDH37．（2015·山东·高考真题）如图，三棱台DEFABC−中，2ABDEGH=，，分别为ACBC，的中点.（Ⅰ）求证：//BD平面FGH；38．（2015·山东·高考真

题）如图，在三棱台DEFABC−中，2,,ABDEGH=分别为,ACBC的中点．（Ⅰ）求证：//BD平面FGH；39．（2015·安徽·高考真题）如图所示，在多面体111ABDDCBA，四边形11AABB，11,ADDA

ABCD均为正方形，E为11BD的中点，过1,,ADE的平面交1CD于F.（Ⅰ）证明：1//EFBC；40．（2015·福建·高考真题）如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC

，BEEC⊥，ABBEEC==，G，F分别是线段BE，DC的中点.(1)求证：//GF平面ADE；41．（2015·北京·高考真题）如图，在三棱锥VC−中，平面V⊥平面C，V为等边三角形，C

C⊥且CC2==，，分别为，V的中点．(1)求证：V//平面C；考点02空间中的垂直关系（第一问）1．（2024·全国新Ⅱ卷·高考真题）如图，平面四边形ABCD中，8AB=，3CD

=，53AD=，90ADC=，30BAD=，点E，F满足25AEAD=，12AFAB=，将AEF△沿EF翻折至PEF!，使得43PC=．(1)证明：EFPD⊥；2．（2023·全国新Ⅱ卷·高考真题）如图，三棱锥ABCD−中，DADBDC==，BDCD⊥

，60ADBADC==，E为BC的中点．(1)证明：BCDA⊥；3．（2023·全国甲卷·高考真题）如图，在三棱柱111ABCABC-中，1AC⊥平面,90ABCACB=．(1)证明：平面11ACCA⊥平面11BBCC；4．（2023·北京·高考真题）如图，在三棱锥−PABC

中，PA⊥平面ABC，13PAABBCPC====，．(1)求证：BC⊥平面PAB；5．（2022·全国甲卷·高考真题）在四棱锥PABCD−中，PD⊥底面,,1,2,3ABCDCDABADDCCBABDP=====∥．(1)证明：BDPA⊥；6．（2022·全国乙

卷·高考真题）如图，四面体ABCD中，,,ADCDADCDADBBDC⊥==，E为AC的中点．(1)证明：平面BED⊥平面ACD；7．（2022·浙江·高考真题）如图，已知ABCD和CDEF都是直角

梯形，//ABDC，//DCEF，5AB=，3DC=，1EF=，60BADCDE==，二面角FDCB−−的平面角为60．设M，N分别为,AEBC的中点．(1)证明：FNAD⊥；8．（2021·全国新Ⅰ卷·高考真题）如图，在三

棱锥ABCD−中，平面ABD⊥平面BCD，ABAD=，O为BD的中点.（1）证明：OACD⊥；9．（2021·全国新Ⅱ卷·高考真题）在四棱锥QABCD−中，底面ABCD是正方形，若2,5,3ADQDQAQC====．（1）证明：平面QAD⊥平面ABCD；10．（2021·全国甲卷·高考真题）已知直

三棱柱111ABCABC-中，侧面11AABB为正方形，2ABBC==，E，F分别为AC和1CC的中点，D为棱11AB上的点．11BFAB⊥（1）证明：BFDE⊥；11．（2021·全国乙卷·高考真题）如图，四棱锥

PABCD−的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，M为BC的中点，且PBAM⊥．（1）证明：平面PAM⊥平面PBD；12．（2021·浙江·高考真题）如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是平行四边形，120,1,4,15ABCABBCPA====，M，N分别为,B

CPC的中点，,PDDCPMMD⊥⊥.（1）证明：ABPM⊥；13．（2020·海南·高考真题）如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．（1）证明：l⊥平面PDC；14

．（2020·天津·高考真题）如图，在三棱柱111ABCABC-中，1CC⊥平面,,2ABCACBCACBC⊥==，13CC=，点,DE分别在棱1AA和棱1CC上，且12,ADCEM==为棱11AB的中点．（Ⅰ）求证：11CMBD⊥；15

．（2020·浙江·高考真题）如图，三棱台ABC—DEF中，平面ACFD⊥平面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC=2BC．（I）证明：EF⊥DB；16．（2020·山东·高考真题）如图，四棱锥P-A

BCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．（1）证明：l⊥平面PDC；17．（2020·全国·高考真题）如图，在长方体1111ABCDABCD−中，点E，F分别在棱1DD，1BB上，且12DEED=

，12BFFB=．证明：（1）当ABBC=时，EFAC⊥；18．（2020·全国·高考真题）如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，∠APC=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAC；19．（2020·全国·高考真题）如图，D为圆锥

的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AEAD=．ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，66PODO=．（1）证明：PA⊥平面PBC；20．（2020·全国·高考真题）如图，已知三棱柱ABC–A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别

为BC，B1C1的中点，P为AM上一点．过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．（1）证明：AA1//MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；21．（2020·全国·高考真题）如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C

1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.（1）证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥EB1C1F；22．（2019·江苏·高考真题）如图，

在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC．求证：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．23．（2019·北京·高考真题）如图，在四棱锥PABCD−中，PA⊥平面ABCD，底部ABCD为菱形，E为CD的中点.（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若∠

ABC=60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；24．（2019·北京·高考真题）如图，在四棱锥P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E为PD的中点，点F在PC上，且13PFP

C=．（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAD；25．（2019·全国·高考真题）图1是由矩形,ADEBRtABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中1,2ABBEBF===，60FBC=，将其沿,ABBC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2.（1）证

明图2中的,,,ACGD四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；26．（2019·全国·高考真题）图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，

如图2.（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；27．（2019·天津·高考真题）如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD为平行四边形，PCD为等边三角形，平面PAC⊥平面PCD，PACD⊥，2CD=，3A

D=，（Ⅰ）设GH，分别为PBAC，的中点，求证：GH平面PAD；（Ⅱ）求证：PA⊥平面PCD；28．（2019·浙江·高考真题）如图，已知三棱柱111ABCABC-，平面11AACC⊥平面ABC,90ABC=，1130,,,BACAAACACEF

===分别是11,ACAB的中点.（1）证明：EFBC⊥；29．（2019·全国·高考真题）如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.（1）证明：BE⊥平

面EB1C1；30．（2019·全国·高考真题）如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.（1）证明：BE⊥平面EB1C1；31．（2018·江苏·高考真题）在平行六面体111

1ABCDABCD−中，1AAAB=,111ABBC⊥．求证：（1）11//ABABC平面；（2）111ABBAABC⊥平面平面．32．（2018·北京·高考真题）如图，在三棱柱ABC−111ABC中，1CC⊥平面ABC，D，E，F，G分别为1AA，AC，11AC，1BB的中点，AB=B

C=5，AC=1AA=2．（1）求证：AC⊥平面BEF；33．（2018·北京·高考真题）如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PAPD⊥，PAPD=，E、F分别为AD、PB的中点.（Ⅰ）

求证：PEBC⊥；（Ⅱ）求证：平面PAB⊥平面PCD；34．（2018·全国·高考真题）如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的点．（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；35．（2018·浙江·高考真题）

如图，已知多面体111111,,,ABCABCAABBCC−均垂直于平面111,120,4,1,2ABCABCAACCABBCBB======．（Ⅰ）求证：1AB⊥平面111ABC；36．（2018·全国·高考真题）如图，在三棱锥PABC−中，22ABBC==，4PAPBPCAC==

==，O为AC的中点．（1）证明：PO⊥平面ABC；37．（2018·全国·高考真题）如图，在平行四边形ABCM中，3ABAC==，90ACM=，以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且ABDA⊥．（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；38．（2018·全

国·高考真题）如图，在三棱锥PABC−中，22ABBC==，4PAPBPCAC====，O为AC的中点．（1）证明：PO⊥平面ABC；39．（2018·全国·高考真题）如图，四边形ABCD为正方形，,

EF分别为,ADBC的中点，以DF为折痕把DFC折起，使点C到达点P的位置，且PFBF⊥.（1）证明：平面PEF⊥平面ABFD；40．（2018·天津·高考真题）如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AB=2，AD=23，∠BAD=90

°．（Ⅰ）求证：AD⊥BC；41．（2018·全国·高考真题）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是DF的中点.(1)设P是CE上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；42．（2017·全国·高考真题

）（2017新课标全国Ⅲ理科）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；43．（2017·全国·高考真题）如图，在四棱锥P−ABCD中，AB//CD，且90BAPCDP==.（1）

证明：平面PAB⊥平面PAD；44．（2017·天津·高考真题）如图，在四棱锥PABCD−中，AD⊥平面PDC，ADBC，PDPB⊥，1AD=，3BC=，4CD=，2PD=.（I）求异面直线AP与BC所成角的余弦值；（II）求证：PD⊥平面PBC；45．（2

017·全国·高考真题）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．（1）证明：AC⊥BD；46．（2017·全国·高考真题）如图，在四棱锥PABCD−中，ABCD∥，且90BAPCDP==.（

1）证明：平面PAB⊥平面PAD；47．（2017·北京·高考真题）如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点.(1)求证：PA⊥BD；(2)求证：平面BDE⊥平面PAC；48．（2017·江苏·高考真题）

如图，在三棱锥A­BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求证：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.49．（20

16·浙江·高考真题）如图，在三棱台ABC–DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3.（Ⅰ）求证：BF⊥平面ACFD；50．（2016·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，平面，,ABDCDCAC⊥∥.（Ⅰ）求证：

DCPAC⊥平面；（Ⅱ）求证：PABPAC⊥平面平面；51．（2016·全国·高考真题）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点,EF分别在,ADCD上，,AECFEF=交BD于点H，将DEF沿EF折起

到DEF的位置.（Ⅰ）证明：ACHD⊥；52．（2016·北京·高考真题）如图，在四棱锥PABCD−中，平面PAD⊥平面ABCD，PAPD⊥，PAPD=，ABAD⊥，1AB=，2AD=，5ACCD==.（1）求证：平面PAB；5

3．（2016·山东·高考真题）在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB．（Ⅰ）已知AB=BC，AE=EC．求证：AC⊥FB；54．（2016·浙江·高考真题）如图,在三棱台ABCDEF−中,平面BCFE⊥平面ABC,90,2ACBBC==，3,1ACBEEFF

C====.（Ⅰ）求证：BF⊥平面ACFD；55．（2016·天津·高考真题）如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED⊥平面ABCD，EF||AB，AB=2，BC=EF=1，AE=6，DE=3，∠BAD=60º，G为BC的中点.（Ⅰ）求证：FG||平面BED；（Ⅱ）求证：平面BED⊥平

面AED；56．（2016·全国·高考真题）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点,5,6OABAC==，点,EF分别在,ADCD上，5,4AECFEF==交BD于点H，将DEF沿EF折到DEF位置，10OD=.（1）证明：DH⊥平面ABCD；5

7．（2016·全国·高考真题）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABEF为正方形，2AFFD=，90AFD=，且二面角DAFE−−与二面角CBEF−−都是60.（1）证明：平面ABEF⊥平面EFDC

；58．（2015·广东·高考真题）如图，三角形△PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD＝PC＝4，AB＝6，BC＝3，点E是CD的中点，点F、G分别在线段AB、BC上，且AF＝2FB，CG＝2GB．（1）证明：PE⊥FG；59．

（2015·江苏·高考真题）如图，在直三棱柱中，已知，，设的中点为，.求证：（1）；（2）.60．（2015·重庆·高考真题）如图，三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，ABC=2，点D、E在线段AC上，且AD=DE=EC=2，PD=P

C=4，点F在线段AB上，且EF//BC．(Ⅰ)证明：AB⊥平面PFE.61．（2015·重庆·高考真题）如图，三棱锥−PABC中，PC⊥平面ABC，3PC=，2ACB=．,DE分别为线段,ABBC上的点，且2

,22CDDECEEB====．(1)证明：DE⊥平面PCD；62．（2015·浙江·高考真题）如图，在三棱锥111ABCABC−中，11BAC90ABAC2,4,AAA====，在底面ABC的射影为BC的中点，D为11BC的中点.（1）证明：11DABCA⊥平面；63．（201

5·浙江·高考真题）如图，在三棱柱111ABCABC--中，90BAC=，2ABAC==，14AA=，1A在底面ABC的射影为BC的中点，D为11BC的中点.（1）证明：1AD⊥平面1ABC；64．（2015·全国·高考真题）如图四边形ABCD为菱形，G为

AC与BD交点，BEABCD⊥平面，（I）证明：平面AEC⊥平面BED；65．（2015·全国·高考真题）（2015新课标全国Ⅰ理科）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两

点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC．（1）证明：平面AEC⊥平面AFC；66．（2015·天津·高考真题）如图,已知1AA⊥平面ABC,AB=AC=3,,,点E,F分别是BC,11AB的中点.（Ⅰ）求证:EF∥平面

;（Ⅱ）求证:平面平面1BCB.67．（2015·陕西·高考真题）如图1，在直角梯形CD中，D//C，D2=，C1==，D2=，是D的中点，是C与的交点．将沿折起到1的位置，如图2．（Ⅰ）证明：CD⊥平面1C；68．（20

15·湖南·高考真题）如图，直三棱柱111ABCABC-的底面是边长为2的正三角形，,EF分别是1,BCCC的中点．（１）证明：平面AEF⊥平面11BBCC；69．（2015·湖南·高考真题）如图，已知四棱台1111ABCDABCD−的上、下底面分别

是边长为3和6的正方形，16AA=，且1AA⊥底面ABCD，点,PQ分别在棱1,DDBC上．（1）若P是1DD的中点，证明：1ABPQ⊥；70．（2015·湖北·高考真题）《九章算术》中，将底面为长方形且有

一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马PABCD−中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PDCD=，过棱PC的中点E，作EFPB⊥交PB于点F，连接,,,.DEDFBDBE（Ⅰ）证明：PBDEF⊥平面．试判断四面体DBE

F是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；71．（2015·福建·高考真题）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于,AB的点，垂直于圆所在的平面，且1==

．（Ⅰ）若D为线段AC的中点，求证C⊥平面D；72．（2015·北京·高考真题）如图，在三棱锥VC−中，平面V⊥平面C，V为等边三角形，CC⊥且CC2==，，分别为，V的中点．(1)求证：V//平面C；(2)求证：平面C⊥平面V；73．

（2015·北京·高考真题）如图，在四棱锥AEFCB−中，AEF△为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EFBC∥，4BC=，2EFa=，60EBCFCB==，O为EF的中点．（1）求证：AOBE⊥．考点03求空间中的线段长度、点面距的值及最值或范围1．（2024

·全国甲卷·高考真题）如图，//,//ABCDCDEF，2ABDEEFCF====，104,CDADBC===，AE23=,M为CD的中点.(1)证明：//EM平面BCF；(2)求点M到ADE的距离.2

．（2024·天津·高考真题）已知四棱柱1111ABCDABCD−中，底面ABCD为梯形，//ABCD，1AA⊥平面ABCD，ADAB⊥，其中12,1ABAAADDC====．N是11BC的中点，M是

1DD的中点．(1)求证1//DN平面1CBM；(2)求平面1CBM与平面11BBCC的夹角余弦值；(3)求点B到平面1CBM的距离．3．（2023·全国甲卷·高考真题）如图，在三棱柱111ABCABC-中，1AC⊥平面,90ABCACB=．(1)证明：平面11ACCA⊥平面11BB

CC；(2)设11,2ABABAA==，求四棱锥111ABBCC−的高．4．（2022·全国新Ⅰ卷·高考真题）如图，直三棱柱111ABCABC-的体积为4，1ABC的面积为22．(1)求A到平面1ABC的距离；(2)设D为1AC

的中点，1AAAB=，平面1ABC⊥平面11ABBA，求二面角ABDC−−的正弦值．5．（2021·全国乙卷·高考真题）如图，四棱锥PABCD−的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，1PDDC==，M为BC

的中点，且PBAM⊥．（1）求BC；（2）求二面角APMB−−的正弦值．6．（2019·全国·高考真题）如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，

N分别是BC，BB1，A1D的中点.（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求点C到平面C1DE的距离．7．（2018·全国·高考真题）如图，在三棱锥PABC−中，22ABBC==，4PAPBPCAC====，O为AC的中点．（1）证明：PO⊥平面A

BC；（2）若点M在棱BC上，且2MCMB=，求点C到平面POM的距离．考点04求空间中的体积、表面积的值及最值或范围1．（2024·上海·高考真题）如图为正四棱锥,PABCDO−为底面ABCD的中心．(1)若5,32APAD==，求POA绕PO旋转一周形成的几何体

的体积；(2)若,APADE=为PB的中点，求直线BD与平面AEC所成角的大小．2．（2023·全国乙卷·高考真题）如图，在三棱锥−PABC中，ABBC⊥，2AB=，22BC=，6PBPC==，,,BPAPBC的中点分别为,,DEO，点F在AC上，BFAO⊥．(1)求证：EF//平面A

DO；(2)若120POF=，求三棱锥−PABC的体积．3．（2022·全国甲卷·高考真题）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面ABCD是边长为8（单位：cm）的正方形，,,,EABFBCGCDHDA均为正三角形，且它们所在的平面都

与平面ABCD垂直．(1)证明：//EF平面ABCD；(2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．4．（2022·全国乙卷·高考真题）如图，四面体ABCD中，,,ADCDADCDADBBDC⊥==，

E为AC的中点．(1)证明：平面BED⊥平面ACD；(2)设2,60ABBDACB===，点F在BD上，当AFC△的面积最小时，求三棱锥FABC−的体积．5．（2021·全国新Ⅰ卷·高考真题）如图，在三棱锥ABCD−中，平面ABD⊥平面BCD，ABAD=，O为BD的中点.（1）证明：

OACD⊥；（2）若OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，2DEEA=，且二面角EBCD−−的大小为45，求三棱锥ABCD−的体积.6．（2021·全国甲卷·高考真题）已知直三棱柱111ABCABC-中，侧面11AABB为正方形，2ABBC==，E，F分别为A

C和1CC的中点，11BFAB⊥.（1）求三棱锥FEBC−的体积；（2）已知D为棱11AB上的点，证明：BFDE⊥.7．（2021·全国乙卷·高考真题）如图，四棱锥PABCD−的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，M为BC的中点，且PBAM⊥．（1）证明：平面PAM⊥平面PBD；（2）若1PDD

C==，求四棱锥PABCD−的体积．8．（2020·全国·高考真题）如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，∠APC=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAC；（2）设DO=2，圆锥的侧面积为3π，求三棱锥P−ABC的体积.9

．（2020·全国·高考真题）如图，已知三棱柱ABC–A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点．过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．（1）证明：AA1//

MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；（2）设O为△A1B1C1的中心，若AO=AB=6，AO//平面EB1C1F，且∠MPN=π3，求四棱锥B–EB1C1F的体积．10．（2019·全国·高考真题）图1是由矩形,ADEBRtABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中1,2A

BBEBF===，60FBC=，将其沿,ABBC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2.（1）证明图2中的,,,ACGD四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；（2）求图2中的四边形ACGD的面积.11．（2019·全国·高考真题）如图，

长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.（1）证明：BE⊥平面EB1C1；（2）若AE=A1E，AB=3，求四棱锥11EBBCC−的体积．12．（2018·全国·高考真题）如图，在平行四边形ABCM中，3ABAC

==，90ACM=，以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且ABDA⊥．（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；（2）Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且23BPDQDA==，求三棱锥QA

BP−的体积．13．（2017·上海·高考真题）如图，直三棱柱111ABCABC-的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱1AA的长为5.（1）求三棱柱111ABCABC-的体积；（2）设M是BC中点，求直线1AM与平面ABC所成角的大小.14．（2017·全国

·高考真题）如图，在四棱锥PABCD−中，ABCD∥，且90BAPCDP==.（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PAPDABDC===，90APD=，且四棱锥PABCD−的体积为83

，求该四棱锥的侧面积．15．（2017·北京·高考真题）如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点.(1)求证：PA⊥BD；(2)求证：平面BDE⊥平面PAC；(3)当PA∥平面BDE时，求三棱锥E－BCD的

体积．16．（2017·全国·高考真题）四棱锥PABCD−中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,01,90.2ABBCADBADABC====（1）证明：直线//BC平面PAD;（2）若△PCD面积为27，求四棱锥PABCD−的体积

.17．（2016·江苏·高考真题）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥1111PABCD−，下部分的形状是正四棱柱1111ABCDABCD−（如图所示），并要求正四棱柱的高1OO是正

四棱锥的高1PO的4倍.（1）若16,2,ABmPOm==则仓库的容积是多少？（2）若正四棱锥的侧棱长为6m，则当1PO为多少时，仓库的容积最大？18．（2016·全国·高考真题）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点,EF分别在,ADCD

上，,AECFEF=交BD于点H，将DEF沿EF折起到DEF的位置.（Ⅰ）证明：ACHD⊥；（Ⅱ)若55,6,,224ABACAEOD====，求五棱锥DABCFE−的体积.19．（2016·上海·高考真题）将边长为1的正方形11AAOO（及其内部）绕1OO旋转一周形成圆

柱，如图，AC长为23，11AB长为3，其中1B与C在平面11AAOO的同侧.(1)求三棱锥111COAB−的体积；(2)求异面直线1BC与1AA所成的角的大小.20．（2016·上海·高考真题）将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，

AC长为56，11AB长为3，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧．（1）求圆柱的体积与侧面积；（2）求异面直线O1B1与OC所成的角的大小．21．（2016·全国·高考真题）如图，四棱锥PABCD−

中，PA⊥平面ABCD，ADBC∥，3ABADAC===，4PABC==，M为线段AD上一点，2AMMD=，N为PC的中点．（I）证明MN∥平面PAB；（II）求四面体NBCM−的体积.22．（2016·全国·高考真题）如图，已知正三棱锥P-ABC的侧

面是直角三角形，PA=6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连结PE并延长交AB于点G.（Ⅰ）证明：G是AB的中点；（Ⅱ）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求

四面体PDEF的体积．23．（2015·重庆·高考真题）如图，三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，ABC=2，点D、E在线段AC上，且AD=DE=EC=2，PD=PC=4，点F在线段AB上，且EF//BC．(Ⅰ)证明：A

B⊥平面PFE.(Ⅱ)若四棱锥P-DFBC的体积为7，求线段BC的长.24．（2015·全国·高考真题）如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点，BEABCD⊥平面，（I）证明：平面AEC⊥平面BED；（II）若120ABC=，,AEEC⊥三棱锥EACD−的体积为63，求该三

棱锥的侧面积.25．（2015·湖南·高考真题）如图，直三棱柱111ABCABC-的底面是边长为2的正三角形，,EF分别是1,BCCC的中点．（１）证明：平面AEF⊥平面11BBCC；（２）若直线1AC与平面11AABB所成的角为45，求三棱锥FA

EC−的体积．26．（2015·湖南·高考真题）如图，已知四棱台1111ABCDABCD−的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，16AA=，且1AA⊥底面ABCD，点,PQ分别在棱1,DDBC上．（1）若P是1DD的中点，

证明：1ABPQ⊥；（2）若//PQ平面11ABBA，二面角PQDA−−的余弦值为37，求四面体ADPQ的体积．27．（2015·湖北·高考真题）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱

锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳马PABCD−中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PDCD=，点E是PC的中点，连接,,DEBDBE．（Ⅰ）证明：DE⊥平面PBC．试判断四面体EBCD是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；（Ⅱ）

记阳马PABCD−的体积为1V，四面体EBCD的体积为2V，求12VV的值．28．（2015·福建·高考真题）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于,AB的点，垂直于圆所在的平面，且1==．（Ⅰ）若

D为线段AC的中点，求证C⊥平面D；（Ⅱ）求三棱锥−PABC体积的最大值；（Ⅲ）若2BC=，点E在线段PB上，求CEOE+的最小值．29．（2015·北京·高考真题）如图，在三棱锥VC−中，平面V⊥平面C

，V为等边三角形，CC⊥且CC2==，，分别为，V的中点．(1)求证：V//平面C；(2)求证：平面C⊥平面V；(3)求三棱锥VC−的体积．考点05异面直线所成角及最值或范围1．（2018·天津·高考真题）如图，在四面体ABCD中

，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AB=2，AD=23，∠BAD=90°．（Ⅰ）求证：AD⊥BC；（Ⅱ）求异面直线BC与MD所成角的余弦值；（Ⅲ）求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．2．（2017·天津·高考真题）如图，在四棱锥P

ABCD−中，AD⊥平面PDC，ADBC，PDPB⊥，1AD=，3BC=，4CD=，2PD=.（I）求异面直线AP与BC所成角的余弦值；（II）求证：PD⊥平面PBC；（Ⅲ）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.3．（2016·上海·高考真题）将边长为1的正方形11AAOO（及其内部

）绕1OO旋转一周形成圆柱，如图，AC长为23，11AB长为3，其中1B与C在平面11AAOO的同侧.(1)求三棱锥111COAB−的体积；(2)求异面直线1BC与1AA所成的角的大小.4．（2015·广

东·高考真题）如图，三角形△PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD＝PC＝4，AB＝6，BC＝3，点E是CD的中点，点F、G分别在线段AB、BC上，且AF＝2FB，CG＝2GB．（1）证明：PE⊥FG；（2）求二面角P﹣AD﹣C的正切值；（3）求直线PA与直线FG所成角

的余弦值．5．（2015·全国·高考真题）（2015新课标全国Ⅰ理科）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC．（1）证明：平面AEC⊥平面

AFC；（2）求直线AE与直线CF所成角的余弦值．6．（2015·上海·高考真题）如图，圆锥的顶点为，底面的一条直径为，为半圆弧的中点，为劣弧的中点.已知，，求三棱锥的体积，并求异面直线与所成角的大小.7．（2015·山东·高考真题）如下图，在四棱锥SABCD

−中，底面ABCD是正方形，平面SAD⊥平面ABCD，2SASD==，3AB=．（1）求SA与BC所成角的余弦值；（2）求证：ABSD⊥．考点06求线面角及最值或范围1．（2024·天津·高考真题）已知四棱柱1111ABCDABCD−中，底面ABCD为梯形，//ABCD，1AA⊥

平面ABCD，ADAB⊥，其中12,1ABAAADDC====．N是11BC的中点，M是1DD的中点．(1)求证1//DN平面1CBM；(2)求平面1CBM与平面11BBCC的夹角余弦值；(3)求点B到平面1CBM的距离．2．（2024·上海·高考真题）如图为正

四棱锥,PABCDO−为底面ABCD的中心．(1)若5,32APAD==，求POA绕PO旋转一周形成的几何体的体积；(2)若,APADE=为PB的中点，求直线BD与平面AEC所成角的大小．3．（2023·全国甲卷·高考真题）如图，在三棱柱111AB

CABC-中，1AC⊥底面ABC，190,2ACBAA==，1A到平面11BCCB的距离为1．(1)证明：1ACAC=；(2)已知1AA与1BB的距离为2，求1AB与平面11BCCB所成角的正弦值．4．（2022·全国甲卷·高考真题）在四棱锥PABCD−中，PD⊥底

面,,1,2,3ABCDCDABADDCCBABDP=====∥．(1)证明：BDPA⊥；(2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值．5．（2022·全国乙卷·高考真题）如图，四面体ABCD中，,,ADCDADCDADBBDC⊥==，E为A

C的中点．(1)证明：平面BED⊥平面ACD；(2)设2,60ABBDACB===，点F在BD上，当AFC△的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的正弦值．6．（2022·浙江·高考真题）如图，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，//ABDC，//DCEF，5AB=，3DC=，1EF

=，60BADCDE==，二面角FDCB−−的平面角为60．设M，N分别为,AEBC的中点．(1)证明：FNAD⊥；(2)求直线BM与平面ADE所成角的正弦值．7．（2022·天津·高考真题）直三棱柱111ABCABC-中，112,,AAABACAAAB

ACAB===⊥⊥，D为11AB的中点，E为1AA的中点，F为CD的中点．(1)求证：//EF平面ABC；(2)求直线BE与平面1CCD所成角的正弦值；(3)求平面1ACD与平面1CCD夹角的余弦值．8．（2021·浙江·高考真题）如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是平行

四边形，120,1,4,15ABCABBCPA====，M，N分别为,BCPC的中点，,PDDCPMMD⊥⊥.（1）证明：ABPM⊥；（2）求直线AN与平面PDM所成角的正弦值.9．（2020·海南·高考真题）如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设

平面PAD与平面PBC的交线为l．（1）证明：l⊥平面PDC；（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，QB=2，求PB与平面QCD所成角的正弦值．10．（2020·天津·高考真题）如图，在三棱柱111ABCABC-中，1CC⊥平面,,2AB

CACBCACBC⊥==，13CC=，点,DE分别在棱1AA和棱1CC上，且12,ADCEM==为棱11AB的中点．（Ⅰ）求证：11CMBD⊥；（Ⅱ）求二面角1BBED−−的正弦值；（Ⅲ）求直线AB与平面1DBE所成角的正弦值．11．（202

0·北京·高考真题）如图，在正方体1111ABCDABCD−中，E为1BB的中点．（Ⅰ）求证：1//BC平面1ADE；（Ⅱ）求直线1AA与平面1ADE所成角的正弦值．12．（2020·浙江·高考真题）如图，三棱台ABC—DEF中，平面ACFD⊥平面ABC，∠ACB=∠AC

D=45°，DC=2BC．（I）证明：EF⊥DB；（II）求DF与面DBC所成角的正弦值．13．（2020·山东·高考真题）如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．（1）证明：l⊥平面PDC；

（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．14．（2020·全国·高考真题）如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC

，B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.（1）证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥EB1C1F；（2）设O为△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F，且AO=AB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值.15．（2019·天津·高考真题

）如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD为平行四边形，PCD为等边三角形，平面PAC⊥平面PCD，PACD⊥，2CD=，3AD=，（Ⅰ）设GH，分别为PBAC，的中点，求证：GH平面PAD；（Ⅱ）求证：PA⊥平面PCD；（

Ⅲ）求直线AD与平面PAC所成角的正弦值.16．（2019·浙江·高考真题）如图，已知三棱柱111ABCABC-，平面11AACC⊥平面ABC,90ABC=，1130,,,BACAAACACEF===分别是11,ACAB的中点.（1）

证明：EFBC⊥；（2）求直线EF与平面1ABC所成角的余弦值.17．（2018·江苏·高考真题）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点。（1）求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；（2

）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值18．（2018·浙江·高考真题）如图，已知多面体111111,,,ABCABCAABBCC−均垂直于平面111,120,4,1,2ABCABCAACCABBCBB======．（Ⅰ）求证：1AB⊥平面111ABC；（Ⅱ）求直线1AC与平面1

ABB所成角的正弦值．19．（2018·全国·高考真题）如图，四边形ABCD为正方形，,EF分别为,ADBC的中点，以DF为折痕把DFC折起，使点C到达点P的位置，且PFBF⊥.（1）证明：平面PEF⊥平面A

BFD；（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值.20．（2018·天津·高考真题）如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AB=2，AD=23，∠BAD=90°．（Ⅰ）求证：AD⊥BC；（Ⅱ）求异

面直线BC与MD所成角的余弦值；（Ⅲ）求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．21．（2017·上海·高考真题）如图，直三棱柱111ABCABC-的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱1AA的长为5.（1）求三棱柱111ABCABC-

的体积；（2）设M是BC中点，求直线1AM与平面ABC所成角的大小.22．（2017·天津·高考真题）如图，在四棱锥PABCD−中，AD⊥平面PDC，ADBC，PDPB⊥，1AD=，3BC=，4CD=，2PD=.（I）求异面直线AP与BC所成角的余弦值

；（II）求证：PD⊥平面PBC；（Ⅲ）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.23．（2017·浙江·高考真题）如图，已知四棱锥P-ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=

2CB,E为PD的中点.（I）证明：CE∥平面PAB；（II）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值24．（2017·北京·高考真题）如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD

平面MAC，6PAPD==，4AB=．（1）求证：M为PB的中点；（2）求二面角BPDA−−的大小；（3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．25．（2016·浙江·高考真题）如图，在三棱台ABC–DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠AC

B=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3.（Ⅰ）求证：BF⊥平面ACFD；（Ⅱ）求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.26．（2016·天津·高考真题）如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平

面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2.（Ⅰ）求证：EG∥平面ADF；（Ⅱ）求二面角O−EF−C的正弦值；（Ⅲ）设H为线段AF上的点，且AH=23HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.27．（2

016·全国·高考真题）如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点.（Ⅰ）证明MN∥平面PAB;（Ⅱ）求直线AN与

平面PMN所成角的正弦值.28．（2016·北京·高考真题）如图，在四棱锥PABCD−中，平面PAD⊥平面ABCD，PAPD⊥，PAPD=，ABAD⊥，1AB=，2AD=，5ACCD==.（1）求证：平面PAB；（2）求直线PA

与平面PCD所成角的正弦值；（3）在棱上是否存在点，使得平面PCD？若存在，求的值；若不存在，说明理由.29．（2016·天津·高考真题）如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED⊥平面ABCD，EF||AB，AB=2，BC=EF=1，AE=6，DE

=3，∠BAD=60º，G为BC的中点.（Ⅰ）求证：FG||平面BED；（Ⅱ）求证：平面BED⊥平面AED；（Ⅲ）求直线EF与平面BED所成角的正弦值.30．（2015·广东·高考真题）如图，三角形△PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD＝PC＝4，AB＝6，B

C＝3，点E是CD的中点，点F、G分别在线段AB、BC上，且AF＝2FB，CG＝2GB．（1）证明：PE⊥FG；（2）求二面角P﹣AD﹣C的正切值；（3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值．31．（2015·浙江·

高考真题）如图，在三棱锥111ABCABC−中，11BAC90ABAC2,4,AAA====，在底面ABC的射影为BC的中点，D为11BC的中点.（1）证明：11DABCA⊥平面；（2）求直线1AB和平面11BCBC所成的角的正弦值.32．（2015·天津·高考真题）如图,已知1AA⊥平面A

BC,AB=AC=3,,,点E,F分别是BC,11AB的中点.（Ⅰ）求证:EF∥平面;（Ⅱ）求证:平面平面1BCB.（Ⅲ）求直线与平面1BCB所成角的大小.33．（2015·上海·高考真题）如图，在长方体1111CDCD−中，11=，D2==，、

F分别是、C的中点．证明1、1C、F、四点共面，并求直线1CD与平面11CF所成的角的大小.34．（2015·全国·高考真题）如图，长方体1111ABCDABCD−中,=16AB，=10BC，18AA=，点E，F分别在11AB，11CD上，114AEDF==．

过点E，F的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）；（Ⅱ）求直线AF与平面所成角的正弦值．考点07求二面角及最值或范围1．（2024·全国新Ⅱ卷·高考真题）如图，平面四边形ABCD中，8AB=，3CD=，53AD=，90ADC=，3

0BAD=，点E，F满足25AEAD=，12AFAB=，将AEF△沿EF翻折至PEF!，使得43PC=．(1)证明：EFPD⊥；(2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值．2．（2024·全国甲卷·高考真题）如图，

在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，//,//EFADBCAD，4,2ADABBCEF====，10,23EDFB==，M为AD的中点．(1)证明：//BM平面CDE；(

2)求二面角FBME−−的正弦值．3．（2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥PABCD−中，//BCAD，1ABBC==，3AD=,点E在AD上，且PEAD⊥，2PEDE==．(1)若F为线段PE中点，求证：//BF平面PCD．(2)若AB⊥平面PAD，求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值

．4．（2024·天津·高考真题）已知四棱柱1111ABCDABCD−中，底面ABCD为梯形，//ABCD，1AA⊥平面ABCD，ADAB⊥，其中12,1ABAAADDC====．N是11BC的中点，M是1DD的中点．(1)求证

1//DN平面1CBM；(2)求平面1CBM与平面11BBCC的夹角余弦值；(3)求点B到平面1CBM的距离．5．（2023·全国新Ⅱ卷·高考真题）如图，三棱锥ABCD−中，DADBDC==，BDCD⊥，60ADBADC==，E为BC的中点．(1)证明：BCDA⊥；(2)点F满足

EFDA=，求二面角DABF−−的正弦值．6．（2023·全国乙卷·高考真题）如图，在三棱锥−PABC中，ABBC⊥，2AB=，22BC=，6PBPC==，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，5ADDO=，点F在AC上，B

FAO⊥.(1)证明：//EF平面ADO；(2)证明：平面ADO⊥平面BEF；(3)求二面角DAOC−−的正弦值.7．（2023·北京·高考真题）如图，在三棱锥−PABC中，PA⊥平面ABC，13PAABBCPC====，．(1)求证：BC⊥平面PAB；(

2)求二面角APCB−−的大小．8．（2023·天津·高考真题）如图，在三棱台111ABCABC-中，1AA⊥平面111,,2,1ABCABACABACAAAC⊥====，M为BC中点.，N为AB的中

点，(1)求证：1AN//平面1AMC；(2)求平面1AMC与平面11ACCA所成夹角的余弦值；(3)求点C到平面1AMC的距离．9．（2022·全国新Ⅰ卷·高考真题）如图，直三棱柱111ABCABC-的体积为4，

1ABC的面积为22．(1)求A到平面1ABC的距离；(2)设D为1AC的中点，1AAAB=，平面1ABC⊥平面11ABBA，求二面角ABDC−−的正弦值．10．（2022·全国新Ⅱ卷·高考真题）如图，PO是三棱锥−PABC的高，PAPB=，ABAC⊥，E是PB的中点．(1)证明：//OE

平面PAC；(2)若30ABOCBO==，3PO=，5PA=，求二面角CAEB−−的正弦值．11．（2022·天津·高考真题）直三棱柱111ABCABC-中，112,,AAABACAAABACAB===⊥⊥，D为11AB的中点，E为1AA的中点，F为CD的中点．(1)求证：//E

F平面ABC；(2)求直线BE与平面1CCD所成角的正弦值；(3)求平面1ACD与平面1CCD夹角的余弦值．12．（2021·全国新Ⅱ卷·高考真题）在四棱锥QABCD−中，底面ABCD是正方形，若2,5,3ADQDQAQC====．（1）证明：平面Q

AD⊥平面ABCD；（2）求二面角BQDA−−的平面角的余弦值．13．（2021·全国甲卷·高考真题）已知直三棱柱111ABCABC-中，侧面11AABB为正方形，2ABBC==，E，F分别为AC和1

CC的中点，D为棱11AB上的点．11BFAB⊥（1）证明：BFDE⊥；（2）当1BD为何值时，面11BBCC与面DFE所成的二面角的正弦值最小?14．（2021·全国乙卷·高考真题）如图，四棱锥PABCD−的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，1PDDC==，M为BC的中点，且PBAM⊥．（1）

求BC；（2）求二面角APMB−−的正弦值．15．（2021·天津·高考真题）如图，在棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点．（I）求证：1//DF平面11AEC；（II）求直线1AC

与平面11AEC所成角的正弦值．（III）求二面角11AACE−−的正弦值．16．（2020·天津·高考真题）如图，在三棱柱111ABCABC-中，1CC⊥平面,,2ABCACBCACBC⊥==，13CC=，点,DE分别

在棱1AA和棱1CC上，且12,ADCEM==为棱11AB的中点．（Ⅰ）求证：11CMBD⊥；（Ⅱ）求二面角1BBED−−的正弦值；（Ⅲ）求直线AB与平面1DBE所成角的正弦值．17．（2020·江苏·高考真题）在三棱锥A—BCD中，已知CB=CD=5,BD=2，O为BD的中点，AO⊥

平面BCD，AO=2，E为AC的中点．（1）求直线AB与DE所成角的余弦值；（2）若点F在BC上，满足BF=14BC，设二面角F—DE—C的大小为θ，求sinθ的值．18．（2020·全国·高考真题）如图，在长方体1111ABCDABCD−中，点,

EF分别在棱11,DDBB上，且12DEED=，12BFFB=．（1）证明：点1C在平面AEF内；（2）若2AB=，1AD=，13AA=，求二面角1AEFA−−的正弦值．19．（2020·全国·高考真题）如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AEAD=．ABC是底

面的内接正三角形，P为DO上一点，66PODO=．（1）证明：PA⊥平面PBC；（2）求二面角BPCE−−的余弦值．20．（2019·北京·高考真题）如图，在四棱锥P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E为PD的中点，点F在PC上，且13PFP

C=．（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAD；（Ⅱ）求二面角F–AE–P的余弦值；（Ⅲ）设点G在PB上，且23PGPB=．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．21．（2019·全国·高考真题）图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=

BF=2，∠FBC=60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2.（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；（2）求图2中的二面角B−CG−A的大小.22．（

2019·全国·高考真题）如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.（1）证明：BE⊥平面EB1C1；（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值.2

3．（2019·全国·高考真题）如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求二面角A-MA1-N的正弦值．24．（2018·北京·高考真题）

如图，在三棱柱ABC−111ABC中，1CC⊥平面ABC，D，E，F，G分别为1AA，AC，11AC，1BB的中点，AB=BC=5，AC=1AA=2．（1）求证：AC⊥平面BEF；（2）求二面角B−CD−C1的余弦值；（3）证明：

直线FG与平面BCD相交．25．（2018·全国·高考真题）如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的点．（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；（2）当三棱锥MABC−体积最大时，求面MAB与面MCD所

成二面角的正弦值．26．（2017·山东·高考真题）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是DF的中点.(1)设P是CE上的一点，且AP⊥

BE，求∠CBP的大小；(2)当AB＝3，AD＝2时，求二面角E－AG－C的大小.27．（2017·全国·高考真题）（2017新课标全国Ⅲ理科）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠

ABD=∠CBD，AB=BD．（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C的余弦值.28．（2017·全国·高考真题）如图，在四棱锥

P−ABCD中，AB//CD，且90BAPCDP==.（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，90APD=，求二面角A−PB−C的余弦值.29．（2017·江苏·高考真题）如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD

，且AB＝AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝120°.(1)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；(2)求二面角B－A1D－A的正弦值．30．（2016·天津·高考真题）如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2.（Ⅰ）求证：

EG∥平面ADF；（Ⅱ）求二面角O−EF−C的正弦值；（Ⅲ）设H为线段AF上的点，且AH=23HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.31．（2016·山东·高考真题）在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O'的直径，FB是圆台的一条母线.（Ⅰ

）已知G,H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；（Ⅱ）已知EF=FB=12AC=23，AB=BC．求二面角FBCA−−的余弦值.32．（2016·浙江·高考真题）如图,在三棱台ABCDEF−中,平面BCFE⊥平面ABC,90,2ACBBC==，3

,1ACBEEFFC====.（Ⅰ）求证：BF⊥平面ACFD；（Ⅱ）求二面角BADF−−的平面角的余弦值.33．（2016·全国·高考真题）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点,5,6OABAC==，点,EF分别在,ADCD上，5,4AECFEF==交BD于点H，将DEF沿EF折到DEF

位置，10OD=.（1）证明：DH⊥平面ABCD；（2）求二面角BDAC−−的正弦值.34．（2016·全国·高考真题）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABEF为正方形，2AFFD=，90AFD=，且二面角DAFE−

−与二面角CBEF−−都是60.（1）证明：平面ABEF⊥平面EFDC；（2）求二面角EBCA−−的余弦值.35．（2015·广东·高考真题）如图，三角形△PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD＝PC＝4，AB＝6，BC＝3，点E是CD的中点，点F、G分别在线

段AB、BC上，且AF＝2FB，CG＝2GB．（1）证明：PE⊥FG；（2）求二面角P﹣AD﹣C的正切值；（3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值．36．（2015·重庆·高考真题）如图，三棱锥−PABC中，P

C⊥平面ABC，3PC=，2ACB=．,DE分别为线段,ABBC上的点，且2,22CDDECEEB====．(1)证明：DE⊥平面PCD；(2)求二面角APDC−−的余弦值．37．（2015·浙江·高

考真题）如图，在三棱柱111ABCABC--中，90BAC=，2ABAC==，14AA=，1A在底面ABC的射影为BC的中点，D为11BC的中点.（1）证明：1AD⊥平面1ABC；（2）求二面角1A-BD-1B的平面角的余弦值.38．（2015·四川·高考真题）一

个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，在正方体中，设BC的中点为M，GH的中点为N(1)请将字母,,FGH标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）(2)证明：直线//MN平面BDH(3)求二面角AEGM−−的余弦值.39．（2015·

陕西·高考真题）如图1，在直角梯形CD中，D//C，D2=，C1==，D2=，是D的中点，是C与的交点．将沿折起到1的位置，如图2．（Ⅰ）证明：CD⊥平面1C；（Ⅱ）若平面1⊥平面CD，求平面1C与平面

1CD夹角的余弦值．40．（2015·山东·高考真题）如图，在三棱台DEFABC−中，2,,ABDEGH=分别为,ACBC的中点．（Ⅰ）求证：//BD平面FGH；（Ⅱ）若CF⊥平面ABC,,ABBCCFDE⊥=，45BAC=，求平面FGH与平面ACFD所

成角（锐角）的大小．41．（2015·安徽·高考真题）如图所示，在多面体111ABDDCBA，四边形11AABB，11,ADDAABCD均为正方形，E为11BD的中点，过1,,ADE的平面交1CD于F.（Ⅰ）证明：1//

EFBC；（Ⅱ）求二面角11EADB−−余弦值.42．（2015·福建·高考真题）如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BEEC⊥，ABBEEC==，G，F分别是线段BE，DC的中点.(1)求证：//GF平面ADE

；(2)求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值.43．（2015·北京·高考真题）如图，在四棱锥AEFCB−中，AEF△为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EFBC∥，4BC=，2EFa=，60EBCFC

B==，O为EF的中点．（1）求证：AOBE⊥．（2）求二面角FAEB−−的余弦值．（3）若BE⊥平面AOC，求a的值．考点08已知异面直线所成角、线面角、二面角求值或范围（方程思想）1．（2024·全国

新Ⅰ卷·高考真题）如图，四棱锥PABCD−中，PA⊥底面ABCD，2PAAC==，1,3BCAB==．(1)若ADPB⊥，证明：//AD平面PBC；(2)若ADDC⊥，且二面角ACPD−−的正弦值为427，求AD．2．（2023·全国新Ⅰ卷·高考真题）

如图，在正四棱柱1111ABCDABCD−中，12,4ABAA==．点2222,,,ABCD分别在棱111,,AABBCC,1DD上，22221,2,3AABBDDCC====．(1)证明：2222BCAD∥；(2)点P在棱1BB上，当二面角222PACD−−为150时，求2BP．3．（2021

·全国新Ⅰ卷·高考真题）如图，在三棱锥ABCD−中，平面ABD⊥平面BCD，ABAD=，O为BD的中点.（1）证明：OACD⊥；（2）若OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，2DEEA=，且二面角EBCD−−的大小为45，求三棱锥ABCD−的体积.4．（2021·北

京·高考真题）如图：在正方体1111ABCDABCD−中，E为11AD中点，11BC与平面CDE交于点F．（1）求证：F为11BC的中点；（2）点M是棱11AB上一点，且二面角MFCE−−的余弦值为53，求111AMAB的值．5．（201

7·天津·高考真题）如图，在三棱锥−PABC中，PA⊥底面ABC，90BAC=．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，4PAAC==，2AB=．（1）求证：MN∥平面BDE；（2）求二面角CEM

N−−的正弦值；（3）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为721，求线段AH的长．6．（2017·全国·高考真题）如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是边长为2的等边三角形且垂直于底面ABCD，o1,90,2ABBCADBADABC====E

是PD的中点．（1）证明：直线//CE平面PAB；（2）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为o45，求二面角MABD−−的余弦值．7．（2015·天津·高考真题）如图，在四棱柱1111ABCDABCD−中，侧棱1AA⊥底面ABCD，ABAC⊥

，1AB=，12ACAA==，5ADCD==，且点M和N分别为1BC和1DD的中点.（1）求证：//MN平面ABCD；（2）求二面角11DACB−−的正弦值；（3）设E为棱11AB上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为

13，求线段1AE的长.8．（2015·湖南·高考真题）如图，直三棱柱111ABCABC-的底面是边长为2的正三角形，,EF分别是1,BCCC的中点．（１）证明：平面AEF⊥平面11BBCC；（２）若直线1AC与平面11AABB所成的角为45，求三棱锥FAEC−的体积．9．（2015·

湖南·高考真题）如图，已知四棱台1111ABCDABCD−的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，16AA=，且1AA⊥底面ABCD，点,PQ分别在棱1,DDBC上．（1）若P是1DD的中点，证明：1ABPQ⊥；（2）若//PQ平面11ABBA，二面角PQDA−−的余弦值为37

，求四面体ADPQ的体积．10．（2015·湖北·高考真题）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马PABCD−中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PDCD=，过棱PC的中点E，作EFPB⊥交PB于点F

，连接,,,.DEDFBDBE（Ⅰ）证明：PBDEF⊥平面．试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（Ⅱ）若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为π3，求DCBC的值．