【文档说明】江苏省徐州市铜山区大许中学2021届高三上学期第一次月考数学试卷含答案.doc，共(13)页，715.500 KB，由小赞的店铺上传

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数学时量：120分钟满分：150分第Ⅰ卷（选择题共60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集}61|N{=xxU，}4,3,2,1{=A，}3

|{=xUxB，则下列结论正确的是A．}6,5,4{=ACUB．6,5,4,3=BC．}4,3{=BAD．UBA=2．i为虚数单位，计算=−+i1|i|)i42(A．i31+−B．i21+−C．i31−D．i21

−3．如果向量a和b满足2||,1||==ba，且)(baa−⊥，那么a和b的夹角大小为A．600B．450C．750D．135。4．若双曲线)1(122:22=−−mmymxE的焦距为10，则该双曲线的离心率为A．34B．35C．4

5D．16255．若2ln,0=cba，则A．ccbloglogB．baccloglogC．ccbaD．bacc6．已知A、B是球O的球面上两点,2=AOB,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为332

，则球O的表面积为A．64B．3256C．256D．3647．设集合}.6,3,1{},4,2,0{==BA现分别从A、B中任取2个元素组成无重复数字的四位数，其中不能被5整除的数共有A．64个B．96个C．144个D．152个8．“珠算之父”程大

位是我国明代伟大的数学家，他的应用数学巨著《算法统宗》的问世，标志着我国的算法由筹算到珠算转变的完成，程大位在《算法统宗》中常以诗歌的形式呈现数学问题，其中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节三升九，上梢

四节贮三升，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明．”（[注释]三升九：3.9升．次第盛：盛米容积依次相差同一数量）用你所学的数学知识求得中间两节的容积为A．1.9升B．2.1升C．2.2升D．2.3升二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分

，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．由我国引领的5G时代已经到来，5G的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应和波及效应，

间接带动国民经济各行业的发展，创造出更多的经济增加值．如图是某单位结合近年数据，对今后几年的5G经济产出所做的预测．结合图，下列说法正确的是A．5G的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加B．设备制造商的经济产出前期增长较快，后期

放缓C．设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位D．信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势10．如图直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，BC=CD=21AB=2，E为AB中点，以DE为折痕把△ADE折起，使点A到达点P的位置，且PC=32．则A

．平面PED⊥平面PCDB．PC⊥BDC．二面角P－DC－B的大小为4D．PC与平面PED所成角的正切值为在211．已知函数()2||,0)sin()(+=xxf的最小正周期是，若其图象

向右平移3个单位后得到的函数为奇函数，则下列结论正确的是A．函数的图象关于直线32=x对称B．函数)(xf的图象关于点)0,1211(对称C．函数)(xf在区间]12,2[−−上单调递减D．函数)(xf在]23,4[上有2个零点12．已知函数)(xfy=是定义在]2,0[

上的增函数，图象是连续不断的曲线，若),0,0()2(,)0(==NMNfMf那么对上述常数M、N，下列四个选项正确的是A．一定存在]2,0[x，使得2)(NMxf+=B．一定存在]2,0[x，使得MNxf=)(C．一定存在]2

,0[x，使得2)(NMxf+D．一定存在]2,0[x，使得NMxf112)(+=第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．−42sin72cos132sin18cos的值为.14．课本中，在形如nnnrrnrnnnnnnbCbaCbaCaCb

a+++++=+−−110)(展开式中，我们把),,2,1,0(nrCrn=叫做二项式系数，则nnnnnnnCCCCC)1(3210−++−+−的值为.15．设抛物线xyC4:2=的焦点为F，过F且斜率为)0(kk的直线l与C交于A，B两点，8||=AB.则直

线l的方程为．16．函数||1|log|)(cos)(2−==xxgxxf与的图象所有交点的横坐标之和为.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（本小题满分10分）设*Nn,数列}{na的前n项和为Sn，已知21++=+nnnaS

S,.请在①al，a2,a5成等比数列，35,956==Sa③②这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题．(1)求数列}{na的通项公式；(2)若数列}{nb满足nnanabn)1()2(1−+=+，

求数列}{nb的前2n项的和T2n.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18.（本小题满分12分）已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，满足caCA44sinsin2+=.(1)求a的值；(2)若△ABC

的外接网的网心O在△ABC的内部，4,33=+=cbSOBC,求角A，B，C．19.（本小题满分12分）《中华人民共和国道路交通安全法》第47条的相关规定：机动车行经人行道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”，《中华人民共和国道路交通安全法》第90条规定

：对不礼让行人的驾驶员处以扣3分，罚款50元的处罚．下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为统计数据：月份12345违章驾驶员人数1201051009085(1)请利用所给数据求违章人数y与月份x之间的回归直线方程axbyˆˆˆ+=,并预测该路口9

月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数；(2)若从表中1月份和4月份的违章驾驶员中，采用分层抽样方法抽取一个容量为7的样本，再从这7人中任选2人进行交规调查，求抽到的两人恰好来自同一月份的概率，参考公式：xbyaxxyyxxxnxyxnyxbiniiiniiniiiniˆˆ,)())((ˆ2112

211−=−−−=−−=====.参考数据：.141551==iiiyx20.（本小题满分12分）如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF//DE，DE=3AF，BE与平面A

BCD所成角为60°．(1)求二面角F－BE－D的余弦值；(2)设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM//平面BEF，并证明你的结论．21.（本小题满分12分）如图，椭圆)2(121:22=−++mmymxC的离心率2

3=e，椭圆C的左、右顶点分别为A，B，又P，M，N为椭圆C上非顶点的三点，设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2．(1)求椭圆C的方程，并求k1·k2的值；(2)若AP∥ON，BP∥OM，判断△OMN的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为

定值，请说明理由．22．（本小题满分12分）设函数).(21ln)(Raxxxaxf−+=(1)设.2)()(xxfxF+=讨论)(xF单调性；(2)①若21=x是)(xf的极小值点，求)(xf的极大值；②若曲线)(xfy=

在点))1(,1(f处的切线方程为12+−=xy，证明：.21)(xexfx−数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．C【解析】}4,3{},5,4,3{},4,3,2,1{},5,4,3,2,1{====

BABAU，故选C.2．A【解析】.i31)i1)(i21(i1|i|)i42(+−=++=−+=z3．A【解析】由.60,21||||||||||cos,,0)(222======−−⊥baababaababaabaa得4．C【解析】45,4,16,9,252222

2======+−=+aceaammmba得.5．B【解析】由10c可知xyclog=是减函数，又0ba，所以.loglogbacc故选B．6．A【解析】当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O－ABC的体积最大，设球O的半

径为R，此时4,332612131VV32=====−−RRRRAOBCABCO故，则球O的表面积为.6442==RS故选A．7．C【解析】所求的四位数中，数字含0的数有7233122312=ACCC个，数字不含0的数有72442322=ACC个，

共有144个．8．B【解析】要按依次盛米容积相差同一数量的方式盛米，设相差的同一数量为d升，下端第一节盛米a1升，由题意得=+−+=−=+=,3)2455()2899(,9.32233115913dadaSSdas解得

1.0,4.11−==da，所以中间两节盛米的容积为1.27.08.272)4()3(11154=−=+=+++=+dadadaaa（升），故选B．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．9．ABD【解析】由图可知设备制造商在

各年的总经济产出中在前期处于领先地位，而后期是信息服务商处于领先地位，故C项表达错误．10．ABC【解析】由题易知32,2,22===PCPEEC又，所以222PCECPE=+，所以PE⊥EC，又PE⊥ED，EECED=，所以PE⊥平面DEBC，所以PE⊥DC，又DC⊥DE，ED

EPF=，所以DC⊥平面PED，DC平面PCD，所以平面PED⊥平面PCD，故A正确；易知∠PDE即为二面角P－DC－B的平面角，又PE⊥ED．PE=ED．所以4=PDE，故C正确；易知∠CPD为PC与平面PED所成的角，又,,2,22PDCDCDPD⊥==所以22222ta

n===PDCDCPD，故D错误．11．CD【解析】函数)2||,0)(sin()(+=xxf的最小正周期是,),2sin()(.2,2+===xxf解得若其图象向右平移3个单位后得到的函数)(xg为奇函数，,0)32sin()0(),

322sin()(=+−=+−=gxxg可得−=−==+−3,1,,32可得取得kZkk),32sin()(−=xxf验证：1)1211(,0)32(−==ff，因此A，B不正确若

−−−−−2,3432,12,2xx则，因此函数)(xf在区间−−12,2上单调递减，C正确若23,4x，则−38,632x，因此函数)(xf在区间

23,4x上只有两个零点，D正确．12．ABD【解析】当]2,0[x时)(xf值域为],[NM，++成立，可证NNMMNNMMNM2112,0A，B，D正确，但NNMM+2不一定成立，C不正确.三、填空题：本

题共4小题，每小题5分，共20分．13．21【解析】==−=−260cos42sin18sin42cos18cos42sin72cos132sin18cosI14．0【解析】,)(110nnnrrnrnnnnnnbCbaCbaCaCba+++++=+−−令.

0)1(1,13210=−++−+−−==nnnnnnnCCCCcba得15．1−=xy【解析】由题意得)0,1(F，l的方程为)0)(1(−=kxky设),(),,(2211yxByxA，由=−=xyxky4)1(2，得.0)

42(2222=++−kxkxk+=++=2221242,01616kkxxk故所以+=+++=+=222144)1()1(||||||kkxxBFAFAB由题设知84422=+kk，解得k=－（舍去），k=l.因此l方程为y=x－1．16．4【解析】

作xxfxxgcos)(||1|log|)(2=−=和的图象，共有A，B，C，D4个交点，由中点坐标公式可得：,2,2=+=+CBDAxxxx故所有交点的横坐标之和为4．四、解答题：本题共6小题，共70

分．17．【解析】选①，(1)由)N(2-1:2*1=+++=+naaaSSnnnnn得，数列}{na是以a1，为首项，2为公差的等差数列．…………………………………3分由a1，a2，a5成等比数列得1),8()2(11121=+=+aaaa解

得…………………………4分*)(12Nnnan−=……………………………………………………………………5分（2）)12()1(2)1(.)2(1−−+=−+=+narbnnnnan……………………………………7分.222)]14()3

4(7531[12)12(21222−+=−+−−−+−+−+−−=+nnnTnnn…10分选②，(1)由*),(2211NnaaaSSnnnnn=−++=++得数列}{na是以a1，为首项，2为公差的等差数列．…………………………………3分由,1,9

259116−==+=aaa解得得………………………………………………4分*).(32Nnnan−=…………………………………………………………………5分（2）),32()1(2)1()2(11−−+=−+=−+nabnnnnann………………………………………7分nnnnTnnnn2

14212)]34()54(5311[1212222+−=+−=−+−−−+−++−−=……………………………………………………………………………………………10分选③，(1)同理，由*),(2211NnaaaSSnnnnn=++=++得

数列}{na是以a1，为首项，2为公差的等差数列，…………………………………3分由S5=35得5al+10d=35，解得a1=3，………………………………………………4分*).(12Nnnan+=…………

………………………………………………………5分（2）),12()1(2)1()2(11+−+=−+=++nabnnnnnn……………………………………7分.424242)]14()14(9753[12)1

2(2122222−+=+−=++−−−+−+−+−−=++nnnnTnnnn……………………………………………………………………………………………10分18．【解析】（1）由正弦定理可知，,2sin,

2sinRcCRaA==,4444sinsin22acccacacaCA=++==则……………………………………………3分.2,0)2(4444,0222==−=+=+=aaaaacccac可得……………6分(2

)记BC中点为D，，故120,3321====BOCODODBCSOBC…………8分，6021==BOCA…………………………………………………………………10分由余弦定理可知，Abccbacos2222−+=，由上

可得bccb−+=224，又b+c=4，则b=c=2，故△ABC为等边三角形．即B=C=60。．…………………12分19.【解析】(1)由表中数据知，100,3==yx，……………………………………………1分,5.8455515001415ˆ2211−=−−=−−===nxx

yxnyxbiniiini………………………………………3分,5.125ˆˆ=−=xbya………………………………………………………………………4分所求回归直线方程为.5.1255.8ˆ+−=xy……………………………………………5

分人则令495.12595.8ˆ,9=+−==yx.………………………………………………6分(2)由已知可得：1月份应抽取4位驾驶员，4月份应抽取3位驾驶员，从这7人中任选2人包含的基本事件总数为2127=C；………………………………………………8分设“其中两人恰好来自同一月

份”为事件A，则事件A包含的基本事件总数为,9632423=+=+CC……………………………………………………………………10分故抽到的两人恰好来自同一月份的概率73219)(==AP.……………………………12

分20.【解析】(1)因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系D－xyz如图所示．因为BE与平面ABCD所成角为60°，.3,60==DBEDDBE所以即……………………………1分.6,63

3===AFDEAD可知由),0,3,0(),0,3,3(),63,0,0(),6,0,3(),0,0,3(CBEFA则).62,0,3(),6,3,0(−=−=EFEF所以……………………………………………2分设平面BEF的法向量为),,,(zyxn=则==,0,0EFnBF

n即=−=+−,0623,063zxzy).6,2,4(,6==nz则令……………………………………………………………3分因为AC⊥平面BDE，所以CA为平面BDE的法向量，)0,3,3(−=CA，…………4分所以=

==131326236|||n,cosCACAnCAn………………………………5分因为二面角为锐角，所以二面角F－BE－D的余弦值为1313………………………6分(2)解法一（几何法）：点M在线段BD上，使得AM/

/平面BEF.过点M作直线MN，使MN//ED，交BE于点N，连结MN，AM，FN，,31BDBM=,31,31===DEMNBDBMBEBN有………………………8分由已知,,31,3AFMNDEAFDEMNAF

DE====又由已知AF//DE，而MN//ED，∴MN//AF，∴四边形AMNF为平行四边形．……………………………………………………10分,,,//BEFFNBEFAMFNAM平面平面BEFAM平面//,满足条件．……………………………………………………12分解法二（向量法）

：点M在线段BD上，BM=31BD，使得AM//平面BEF.证明如下：点M是线段BD上一个动点，设M(t，t，0).则),0,,3(ttAM−=……8分因为AM//平面BEF，所以.2,02)3(4,0==+−=tttnAM解得即……………10分此时，点M坐标为,3

1),0,2,2(BDBM=符合题意．………………………………12分21.【解析】(1)由题意得,1,2,23,3)2()1(=====−−+=baacemmc所以又即椭圆.14:22=+yxC…………………………………………………………………2分设),0,2(),0,2(),,(00BAyxP−

又则−=−−=+−=41441)2)(2(|2020002021xxxxykk………………………………………5分(2)设直线MN的方程为),,(),,(),0(2211yxNyxMktkxy=+==++=，14

,22yxtkxy,0448)14(222=−+++tktxxk,1444,1482221221+−=+−=+ktxxkktxx……………………………………………………8分,0))((40441.41212121212211=+++=+−=−=x

xtkxtkxxxyyxyxykkBPAP,1420414841444)14(,04)(4)14(2222222221212=−=++−+−+=++++kttkktktktktxxktxxk…………………………………………………………………………………………10分]4))[(1())(1

(||2122122212xxxxkxxkMN−++=−+=，1412214444)148)1(2222222++=+−−++=kkktkktk.12||21||1412,1||22222==+++=+=ttktkkSktd∴△OMN的面积为

定值1．……………………………………………………………11分22.【解析】(1)),0(1ln2)()(+=+=xxxaxxfxF2211)('xaxxxaxF−=−=,……………………………………………………………2分),0()(,0)('0+在时，当xFxFa

上单调递减，………………………………4分当axxFaxxFa10)(',100)(',0得由得由时)(xF在)1,0(a上单调递减，在),1(+a上单调递增．(2)①函数)(21ln)(Raxxxaxf−+=的定义域为),0(+21)('2−−=xxaxf，

由已知.3,062242)21('==−=−−=aaaf当,2ln3)(,3xxIxxfa−+==时),0()1)(12(132213)('2222−−−=+−−=−−=xxxxxxxxxxf…………………6分当)21,0()(,0)(',)21

,0(在时xfxfx上单调递减；当)1,21()(,0)()1,21(在时，xfxfx上单调递增；当),1()(,0)(),1(++在时，xfxfx上单调递减．所以当x=1时，f(x)取得极大值f(x)(1)=－1

．…………………………………………8分②由已知曲线)(xfy=在点（1，f（1））处的切线方程为,12+−=xy,1,23)1('=−=−=aaf………………………………………………9分这时，,0,21ln)(−+=xxxxxf所以不等式xexfx21)(−可变为+xe

xx11ln要证明上述不等式成立，即证明+xexxx1ln……………………………………10分设,1,0)(',ln1)(',1ln)(exxgxxgxxxg==+=+=得令则在()(,0)(',)1,0xgxge=

上是减函数，在)(,0)('),1(xgxge+上是增函数．所以−=eegxg11)1()(令,1)(',)(xxexxhexxh−==则在)(,0)(')1,0(xhxh上，是增函数；在)(,0)(',),1xhx

h+上是减函数，所以,111)1()(eehxh−=所以1ln),()(+xxexxgxhx即，由此可知.21)(xexfx−……………………12分