【文档说明】上海市复旦大学附属中学2022-2023学年高二下学期3月月考数学试题 含解析.docx，共(17)页，731.660 KB，由小赞的店铺上传

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上海市复旦大学附属中学2022-2023学年高二下3月月考数学试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第712题每题5分）1.若()23f=，则()()0222limxfxfx→+−=________.【答案】6.【解析】【分析】根据导数的极限定义即可求

解【详解】()()()()()00222222lim2lim2262xxfxffxffxx→→+−+−===.故答案为：6【点睛】本题主要考查了导数的定义，属于容易题.2.已知2()1382fxxx=−+，()04fx=，则0x=________.【

答案】3【解析】【分析】根据导数的计算公式求出()fx，然后把0x代入解方程即可．【详解】()()2138284fxxxfxx=−+=−+,.()04fx=,()000844,3fxxx=−+==．故答案为：3．3.已知函数()cos,()fxxfx=是它的导函

数，则π3f=________．【答案】32−【解析】【分析】根据导数运算可求得导函数()sinfxx=−，再计算π3f即可.【详解】由题意知()sinfxx=−，故ππ3s

in332f=−=−．故答案为：32−.4.已知函数2()ln31fxxxx=+−，则1f（）=______.【答案】7【解析】【分析】求出()fx的导数()fx，再将1x=代入，即可得答案.【详解】

解：因2()ln31fxxxx=+−，所以1()ln6ln61fxxxxxxx=++=++，所以(1)ln16117f=++=.故答案为：75.若()33fxxx=−的两个极值点为1x，2x，则12xx+=______.【答案】0【解析】【分析】利用导数

，求出函数的极值点即可得解.【详解】由()33fxxx=−可得2()33fxx=−，令()0fx解得1x−或1x，令()0fx解得11x−，所以()fx在(,1)−−和(1,)+上单调递增，在(1

,1)−上单调递减，所以函数的极值点为1−和1，则120xx+=.故答案为：06.函数()ln2fxxx=−−的最大值为___．【答案】ln2【解析】【分析】由题可得()ln2,02ln2,2xxxfxxxx+−=−+，然后分段求函

数的最值即得.【详解】函数()ln2,02ln2ln2,2xxxfxxxxxx+−=−−=−+，为∴当02x时，()ln2fxxx=+−单调递增，所以()maxln2fx=，当2x时，()ln2fxxx=−+，()111

0xfxxx−=−=，函数单调递减，所以()ln2fx；综上，函数的最大值为ln2.故答案为：ln2.7.已知直线2kykx=−与曲线ln(21)yx=−相切，则实数k=________．【答案】2e【解析】【分析】令()()ln21fxx=−，切点为()()00,ln2

1xx−，求导，再根据导数的几何意义求出切线方程，再结合题意即可得出答案.【详解】由题意知，令()()ln21fxx=−，则()221fxx=−，设切点为()()00,ln21xx−，则()00221fxx=−，故切线方程可表

示为：()()0002ln2121yxxxx−−=−−，即()000022ln212121xyxxxx=+−−−，则()00002212ln21221kxxkxx=−−=−+−−，解得：02ee12kx

=+=，所以2ek=.故答案为：2e.8.已知函数()3fxx=，过点2,03P作曲线()fx的切线，则其切线方程为______．【答案】0y=或320xy−−=【解析】【分析】根据导数的几何意义可求出结果.【详解】设切点

为300(,)xx，因为()3fxx=，所以2()3fxx=，所以切线的斜率为203x，所以切线方程为320003()yxxxx−=−，因为切线过2,03P，所以3200023()3xxx−=−，解得00x=或01x=，所以切线方程为0y=或320

xy−−=.故答案为：0y=或320xy−−=9.已知函数2()(1)2fxfxx=++，则(1)f=________．【答案】1−【解析】【分析】利用基本初等函数的导数公式及运算法则即可求得答案.【详解】解：由题意知()()211fx

fx=+，令1x=，解得()11f=−．故答案为：-110.曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率,表明曲线偏离直线的程度,曲率越大,表示曲线的弯曲程度越大,工程规划中常需要计算曲率,如高铁的弯道设计.曲线()yfx=在点(,())xfx曲率的计算公式是()()321y

Ky+=,其中y是y的导函数.则曲线1xy=上点的曲率的最大值是______.【答案】22【解析】【分析】根据定义直接计算,最后利用基本不等式得出结果【详解】对于曲线1xy=,即1yx=2312,yyxx=−=33333624422222

22211111xKxxxxx====+++≤当且仅当||1x=时等号成立故答案:2211.已知函数1()lnfxxx=+，过点()0,m有两条直线与曲线()yfx=相切，则实数m的取值范围是________．【答案】(ln2,)+【解析】

【分析】根据导数的几何意义及直线的点斜式方程，将所求问题转化为方程的根的问题，利用导数法求函数的最值即可求解.【详解】由()1lnfxxx=+，得()21xfxx−=，设切点为0001,lnxxx+，则切线方程为：()00020011lnxyxxxxx−−+=−

．因为过点()0,m有两条直线与曲线()yfx=相切，所以()00020011ln0xmxxxx−−+=−有两根，即0021lnmxx=−+有两根．令()21lngxxx=−+，则()22xgxx=−，令()0,gx即

220,xx−解得2x；令()0,gx即220,xx−解得02x；()gx在()0,2递减，在(2,)+递增．当2x=时，()gx取得极小值也为()gx的最小值，为所以()min22(2)1ln2ln2gxg==−+=，故实数m的取值范围是(l

n2,)+．故答案为：(ln2,)+.12.已知()fx是定义在(,0)(0,)−+上的奇函数，()fx是()fx的导函数，当0x时，()2()0xfxfx+，若(2)0f=，则不等式2()0xfx的解集是________．【

答案】()()2,02,−+【解析】【分析】构造新函数()()2gxxfx=，利用条件求得()gx的单调性，再根据奇偶性即可解得不等式解集.【详解】解：构造函数()()2gxxfx=，其中()fx为奇函数且0x，则()()()()()22gxxfxxfxgx

−=−−=−=−，所以，函数()gx为奇函数，且()20g=，()()220gg−=−=，当0x时，()()()()()2220gxxfxxfxxxfxfx=+=+，所以，函数()gx在()0,+上是

单调递增函数，因为函数()gx为奇函数，故函数()gx在(),0−上是严格增函数，故()()200xfxgx，当0x时，()()02gxg=−，可得20x−；当0x时，()()02gxg=，可得2x．综上所述，不等式()20xfx的解集为()()2,02,−+．

故答案为：()()2,02,−+二、填空题（本题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15~16题每题5分）13.函数()lnfxxx=的单调递减区间是（）A.(),0−B.1,e+C.1,e−D.10,e

【答案】D【解析】【分析】求出导函数()ln1fxx=+，令()0fx，即可得到()lnfxxx=的单调递减区间.【详解】函数()lnfxxx=的定义域为()0,+，()ln1fxx=+，令()ln1

0fxx=+，解得：1xe，所以函数()lnfxxx=的单调递减区间是10,e.故选：D14.现有一球形气球，在吹气球时，气球的体积V（单位：L）与直径d（单位：dm）的关系式为36dV=，当2dmd=时，气球体积的瞬时变化率为（）A.2B.C.2D.4【答案】A【解

析】【分析】设3()6dVfd==，求出导数，即可求出()2f，从而得解；【详解】解：设3()6dVfd==，所以2()2dfd=，所以(2)2f=．故选：A15.已知函数()fx的导函数()fx的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A.曲线()yfx=在点(2,(2

))f−−处的切线斜率小于零B.函数()fx在区间(1,1)−上单调递增C.函数()fx在1x=处取得极大值D.函数()fx在区间()3,3−内至多有两个零点【答案】D【解析】【分析】根据导函数的图象,可判断原函数的单调性,进而可逐一求解.【详解】根据()fx

图像可知(2)=0f−，故()yfx=在点(2,(2))f−−处的切线斜率等于零，A错误；()0fx在()11−，，故()fx在区间(1,1)−上单调递减，故B错误，在1x=的左右两侧()0fx，故1x=不是极值点，故C错误，()fx在()32−−，单调递增，在()2

3−，单调递减，故()fx在区间()3,3−内至多有两个零点，D正确；故选：D16.若e1eln22xxyy+=，其中0x，2y，则（）A.exyB.2exyC.24exyD.2exy【答案】D【解析】【分析】由题意得()11ln112ee2xyxy++++

=，令()()1ln0xfxxx+=，则上式可转化为()1ee2xyff+=，利用导数研究()fx单调性，再利用单调性即可求解【详解】由e1eln22xxyy+=，得1e1ln22xxyy+

=+，所以()11ln112ee2xyxy++++=，令()()1ln0xfxxx+=，则上式可转化为()1ee2xyff+=，又()()2ln0xfxxx=−，令()0fx¢>，

解得01x，令()0fx，解得1x，所以()fx在()01，上单调递增，在()1,+上单调递减，又()()112eeeeexxxxxxff+++==，所以()e2xyff，又0

,2xy，所以e1,12xy，所以e2xy，即2exy，故选：D三、解答题（本大题共5题，共78分）17.已知函数32()39fxxxx=−−．（1）求曲线()fx在点(0,0)处的切线方程．（2）求()fx

在区间[2,2]−上的最大值和最小值．【答案】（1）90xy+=；（2）最大值为5，最小值为22−【解析】【分析】(1)求导，利用导数的几何意义可求得切线方程；(2)利用导数确定函数()fx在区间22−,上的单

调性，进而可得最值.【小问1详解】由已知()2369fxxx=−−，则()09f=−，所以曲线()fx在点()0,0处的切线方程为()090yx−=−−，即90xy+=.故()fx在点()0,0处的切线方程为：90xy+=小问2详解】令()0fx¢>，即23690

xx−−得1x−或3x，令()0fx，则得13x−，【所以()fx在2,1−−上单调递增，在1,2−上单调递减，又()11395f−=−−+=，()2812182f−=−−+=−，()28121822f=−−=−，显然，()fx在区间22−,上的最大值为5，最小值为22−

.故()fx在区间22−,上的最大值为5，最小值为22−.18.设函数()322fxxaxbxm=+++导函数为()fx，若函数()yfx=的图象关于直线12x=−对称，且()10f=.（1）求实数a

、b的值；（2）若函数()fx恰有三个零点，求实数m的取值范围.【答案】（1）3a=，12b=−；（2）()20,7−【解析】【分析】(1)先求()yfx=,再借助已知代入即可解出,ab.(2)由（1）得：()322312fxxxxm=+−+求得可知函数(

)fx在(),2−−，()1,+?上是增函数，在()2,1−上是减函数,再求出极值,只需极大值为正,极小值为负,即可使()fx恰有三个零点.即可求出实数m的取值范围.【详解】（1）由()322fxx

axbxm=+++，得：()262fxxaxb=++则其对称轴为6ax=−，因为函数()yfx=的图象关于直线12x=−对称，所以，162a−=−，所以3a=则()266fxxxb=++，又由()10f=可得，12b=−.（2）由（1）得：()322312fxxxxm=+

−+的所以，()()()26612612fxxxxx=+−=−+当(),2x−−时，()0fx，()2,1x−时，()0fx，()1,x+时，()0fx.故函数()fx在(),2−−，()1,+?上是增函数，在()2,1−上是减函数，所以，函数()fx

的极大值为()220fm−=+，极小值为()17fm=−.而函数()fx恰有三个零点，故必有20070mm+−，解得：207m−.所以，使函数()fx恰有三个零点的实数m的取值范围是()20,7−.【点睛】本题考查利用导函数判断函数单调性,考查极值点的应用,考查已知函数的

零点求参数问题,难度一般.19.已知函数()sinfxxx=+．（1）设P、Q是函数()fx的图像上相异的两点，证明：直线PQ的斜率大于0；（2）求实数a的取值范围，使不等式c(s)oaxfxx在π0,2上恒成立．【答案】（1）证明见

解析（2）(,2−【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义可得函数()fx为单调递增，再利用函数单调性以及两点间斜率公式即可得直线PQ的斜率大于0；（2）将不等式c(s)oaxfxx在π0,2上恒成立转化成函

数()cossin0hxaxxxx=−−在π0,2上恒成立，对实数a的取值范围进行分类讨论即可求出结果.【小问1详解】由()sinfxxx=+可得()1cos0fxx=+，故函数()fx在xR是严格增函数，设()11,Pxy，

()22,Qxy，12xx，则12120yyxx−−，即0PQk，即直线PQ的斜率大于0．【小问2详解】由题意得，设()cossinhxaxxxx=−−，π0,2x，①当0a时，()0hx恒成立，符合题意；②当0a时，()()1cossin1

hxaxaxx=−−−，（ⅰ）若02a，()()1cossin1cossin1sin0hxaxaxxxaxxaxx=−−−−−−，所以()hx在π0,2x上是严格减函数，()()00hxh=，满足题意；（ⅱ）若2a，注

意到在π0,2x时，sinxx，于是()()cossincos2cos2hxaxxxxaxxxxax=−−−=−，故ππ3πππ30662666ah−−>>，不满足题意舍去；综上，实数

a的取值范围是(,2−．20.已知函数()ln2=−fxaxxx.（1）若()fx在1x=处取得极值，求()fx的单调区间；（2）若2a=，求()fx在区间1,22上的最值；（3）若函数2()()2=−+fxhxxx有

1个零点，求a的取值范围.（参考数据：ln20.693）【答案】（1）()fx单调递减区间为(0,1)，单调递增区间(1,)+（2）最小值-2,最大值为4ln2-4,（3）(,0){2e}−【解析】【分析】（1）求导，且()10f=，求得2a=，根据导数与函数单调性的

关系，即可求得()fx单调区间；（2）根据导数与函数单调性，可求闭区间上的最值.（3）求得()hx及其导数，讨论函数单调性结合零点存在定理可求参数的范围.【小问1详解】由题意可得()ln2fxaxxx=−，0x，则()ln2fxaxa=+−，由()102fa==−，即2a=，的所以

()2ln222lnfxxx=+−=，所以，当(0,1)x时，()0fx，()fx单调递减，当(1,)x+时，()0fx，()fx单调递增，所以()fx单调递减区间为(0,1)，单调递增区间(1,)+；【小问2详解】由（1）()fx在1(,1)2上单调递减，在(1,2)单调

递增故当1x=时,()fx取最小值(1)=-2f,1()-ln2-1,(2)4ln2-4,2ff==()11(2)()4ln2-4--ln2-15ln2-30,(2)()22ffff−==所以()fx取最大值为(

2)=4ln2-4,f【小问3详解】()()2222ln22lnfxhxxaxxaxxx=−+=−−+=−，()2ahxxx=−，若0a，则()0hx在()0,+上恒成立，当0a=时，()2hxx=−，此时()hx在()0,+上无零点，当a<0时，而()110h

=−，12e1e0aah=−，故()hx在()0,+上有且只有一个零点.若0a，当20,2ax时，()0hx，当2,2ax+时，()0hx，故()hx在20,

2a上为增函数，在2,2a+上为减函数，故()max2ln2222aaaahxh==−，当2ea=时，()max0hx=，此时()hx在()0,+上有且只有一个零点.当02ea时，()max0hx，当2ea时，()ma

x0hx，此时()110h=−，()2ln(ln)haaaaaaa=−=−，设()ln,2esaaaa=−，则()110saa=−，故()sa在()2e,+上为增函数，故()()2eln212e0s

as=+−，而12aa，故此时()hx在()0,+上有且只有两个不同的零点，不合题设，舍，综上，a的取值范围(,0){2e}−．【点睛】本题考查导数的综合应用，导数与函数单调性的关系，函数零点问题，考查分离参数法，函数思想，计算能力，属于中档题．21.已知函数()ln2f

xxx=−−.（1）求曲线()yfx=在1x=处的切线方程；（2）函数()fx在区间(),1kk+()kN上有零点，求k的值；（3）记函数21()2()2gxxbxfx=−−−，设1212,()xxxx是函数()gx的两个极值点，若32b，且12()()gxgxk−恒

成立，求实数k的取值范围.【答案】（1）1y=−（2）0或3（3）152ln28k−【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再求出切点坐标，即可求出切线方程；（2）求出()fx的导数，判断()fx的单调性，利用零点存在

性定理判断即可；（3）求函数的导函数，令()0gx=，依题意方程2(1)10xbx−++=有两不相等的正实根1x、2x，利用韦达定理，结合b的取值方程，即可求出1x的取值范围，则212112111()()2ln()2gxgxxxx−=−−，构造函数2211()2ln()2Fxx

xx=−−，10,2x，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最小值，从而得解．【小问1详解】解：因为()ln2fxxx=−−，所以1()1fxx=−，切线斜率为()10f=，又()11f=−，切点为()1,1-，所以切线方程为1y=−；【小问2详解】解：1()xfxx−=

，()0,x+，当01x时，()0fx，函数()fx单调递减；当1x时，()0fx，函数()fx单调递增，所以()fx的极小值为()110f=−，2222(e)elne2e0f−−−−=−−=，()fx在

区间(0,1)上存在一个零点1x，此时0k=；又()33ln321ln30f=−−=−，()44ln4222ln22(1ln2)0f=−−=−=−，()fx在区间(3,4)上存在一个零点2x，此时3k=．综上

，k的值为0或3；【小问3详解】解：函数2211()2()ln(1)22gxxbxfxxxbx=−−−=+−+，()0,x+，所以21(1)1()(1)xbxgxxbxx−++=+−+=，由()0gx=得2(1)10xbx−++=，依题意方程2(1

)10xbx−++=有两不相等的正实根1x、2x，121xxb+=+，121=xx，211xx=，又32b，111512xbx+=+，12110xxx=，解得1102x„，222112121211221111()

()ln()(1)()2ln()22xgxgxxxbxxxxxx−=+−−+−=−−，构造函数2211()2ln()2Fxxxx=−−，10,2x，所以223321(1)()0xFxxxxx−−=−−=，()Fx在10,

2上单调递减；所以当12x=时，115()()2ln228minFxF==−，所以152ln28k−．