【文档说明】江苏省南京市六校联考2020-2021学年高二下学期期中考试数学试题 含解析.docx，共(13)页，288.581 KB，由小赞的店铺上传

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南京市2020—2021学年度第二学期期中六校联考高二数学试卷本卷：共150分考试时间：120分钟一、单选题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．设z＝3－2i，则在复平面内z对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．5名同学去听同时举行的3个课外知识讲座，

每名同学可自由选择听其中的1个讲座，不同的选择的种数为（）A．60B．125C．240D．2433．已知递增等比数列{an}的前n项和为Sn，a2＝2，S3＝7，则S7＝()A．64B．63C．127D．484．3名大学生利用假期到2个山村参加

扶贫工作，每名大学生只去1个村，每个村至少1人，则不同的分配方案共有（）A．4种B．5种C．6种D．8种5．已知函数f(x)＝13a2x3－32ax2＋2x＋1在x＝1处取得极大值，则a的值为()A．－1或－2B．1或2C．1D．26．甲、乙

等5人在9月3号参加了纪念抗日战争胜利70周年阅兵庆典后，在天安门广场排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻且都不站在两端的排法有()A．12种B．24种C．48种D．120种7．数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常

常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数学通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选3门，大一到大三三学年必须将四门选修课

程选完，则每位同学的不同选修方式有()A．60种B．78种C．84种D．144种8．定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，若对任意实数x，有f(x)＞f′(x)，且f(x)＋2022为奇函数，则不等式f(x)＋20

22ex＜0的解集是()A．(－，0)B．(－，2022)C．(0，＋)D．(2022，＋)二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项．．．符合题目要求。全部选对的得5分

，部分选对的得2分，有选错的得．．．．．0．分．。)9．已知复数z＝4＋7i3＋2i，则下列结论中正确的是（）A．z的虚部为iB．z＝2－iC．|z|＝5D．z在复平面内对应的点位于第四象限10．已知函数f(x

)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下列选项中正确的是（）A．函数f(x)在x＝1处取得极大值B．函数f(x)在x＝－1处取得极小值C．f(x)在区间(－2，3)上单调递减D．f(x)的图象在x＝0处的切线斜率小于零11．现安排高二年级A，B，C三名同

学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂），且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是（）A．所有可能的方法有34种B．若工厂甲必须有同学去，则不同的安排方法有37种C．若同学A必须去工厂甲，则不同的安排方法有16种D．若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排

方法有24种12．若0＜x1＜x2＜1，e为自然对数的底数，则下列结论错误．．的是（）A．x2ex1＜x1ex2B．x2ex1＞x1ex2C．ex2－ex1＞lnx2－lnx1D．ex2－ex1＜lnx2－lnx1三、填空题(本大题共

4小题，每小题5分，共20分)13．设z1＝x＋2i，z2＝3－yi，(x，y∈R)，且z1＋z2＝5－6i，则z1z2＝__________.14．函数f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－2，2]上的最大值是___________.15．用数字0、1、2、3、4、5可以组

成无重复数字且能被5整除的的五位数有____个.（用数字作答）16．已知f(x)＝xex＋1e＋e2，g(x)＝－x2－2x－1＋a，若存在x1∈R，x2∈(－1，＋)，使得f(x1)≤g(x2)成立，则实数a的取值范围是_________

__.四、解答题(本大题共6小题，第17题10分，18—22题每题12分，共70分)17．10件不同厂生产的同类产品：（1）在商品评选会上，有2件商品不能参加评选，要选出4件商品，并排定选出的4件商品的名次，有多少种不同的选法？（2）若要选6件商品放在不同的位

置上陈列，且必须将获金质奖章的两件商品放上，有多少种不同的布置方法？18．已知i是虚数单位，复数()()242,zaaiaR=−++.（1）若z为纯虚数，求实数a的值；（2）若z在复平面上对应的点在直线210xy++=上，求复数z的模z.19．已知函数2()lnf

xaxbx=−在1x=处的切线为210y+=．（1）求实数a，b的值；（2）求函数()fx在1,ee上的最大值．20．已知数列na的前n项和为nS，且21nnSa=−，nN．数列nb是公差大于0的等差数列，23ba=，且1b，2b

，4a成等比数例．（1）求数列na和nb的通项公式；（2）若11223311nnnnnTababababab−−=+++++，求nT．21．将四个编号为1，2，3，4的小球放入四个编号为1，2，3，4的盒子中

．（1）若每盒至多一球，则有多少种放法？（2）若恰好有一个空盒，则有多少种放法？（3）若每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，则有多少种放法？22．已知()214ln2fxxxa=−+，()()2144xgxxxee=−

+−（1）求函数()gx的单调区间；（2）若()()fxgx恒成立，求实数a的取值范围.南京市2020—2021学年度第二学期期中六校联考高二数学试卷解析版本卷：共150分考试时间：120分钟一、单选题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．设z＝3－2i，

则在复平面内z对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【考点】复数的几何意义【解析】由题意，因为z＝3－2i，实部大于0，虚部小于0，所以在复平面内z对应的点位于第四象限，故答案选D.2．5名同学去听同时举行的3个

课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，不同的选择的种数为（）A．60B．125C．240D．243【答案】D【考点】排列组合【解析】由题意可知，每名同学都有3种选择方式，5名同学则共有35＝243种选择种数，故答案选D.3．已知递

增等比数列{an}的前n项和为Sn，a2＝2，S3＝7，则S7＝()A．64B．63C．127D．48【答案】C【考点】等比数列的概念及性质应用【解析】由题意可设，等比数列的公比为q，则2q＋2＋2q＝7，化简得2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或

12(舍去)，则a1＝1，所以S7＝1－271－2＝127，故答案选C.4．3名大学生利用假期到2个山村参加扶贫工作，每名大学生只去1个村，每个村至少1人，则不同的分配方案共有（）A．4种B．5种C．6种D．8种【答案】C【考点】

排列组合：选派问题【解析】由题意可知，对于选派问题，先选：C23C11，然后再排：A22，则不同的分配问题共有C23C11A22＝6种，所以答案选C.5．已知函数f(x)＝13a2x3－32ax2＋2x＋1在x＝1处取得极大值，

则a的值为()A．－1或－2B．1或2C．1D．2【答案】C【考点】函数的极值点概念应用【解析】由题意可知，f′(x)＝a2x2－3ax＋2，则f′(1)＝0，即a2－3a＋2＝0，解得a＝1或2，当a＝1时，f′(x)＝x2－3x＋2，令f′(

x)＝0，解得x＝1或2，所以f(x)在(－，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，在(2，＋)上单调递增，即在x＝1处取得极大值，满足题意；当a＝2时，f′(x)＝4x2－6x＋2，令f′(x)＝0，解得x＝12或1，所以f(x)在(－，12)上单调递增

，在(12，1)上单调递减，在(1，＋)上单调递增，即在x＝12处取得极大值，不符合题意，所以舍去，故答案选C.6．甲、乙等5人在9月3号参加了纪念抗日战争胜利70周年阅兵庆典后，在天安门广场排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻且都不站在两端的排法有()A．12种B．24种C．4

8种D．120种【答案】B【考点】排列组合：站位问题中的捆绑法与插空法【解析】由题意可知，甲和乙必须相邻则需要捆绑，则先排其他3人，无位置要求，为A33，此时有4个空位，需要插空，则甲和乙不站在两端则有2个空，为C12，最后考虑甲和乙两

人的位置，为A22，所以甲和乙必须相邻且都不站在两端的排法有A33C12A22＝24种，故答案选B.7．数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世

界数学通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选3门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有()A．60种B．78种C．84种D．144种

【答案】B【考点】新情景问题下的【解析】由题意可知，三年修完四门]课程，则每位同学每年所修课程数为1，1，2或0，1，3或0，2，2．①若是1，1，2，则先将4门学科分成三组共C14C13C22A22种不同方式，再分配到三个学年共有A33种不同分配方式，由乘法原理可得共有C14C13C22A22

A33＝36种；②若是0，1，3，则先将4门学科分成三组共C14C33种不同方式，再分配到三个学年共有A33种不同分配方式，由乘法原理可得共种C14C33A33＝24种；③若是0，2，2，则先将4门学科分成三组C24

C22A22种不同方式，再分配到三个学年共有A33种不同分配方式，由乘法原理可得共有C24C22A22A33＝18种．所以每位同学的不同选修方式有36＋24＋18＝78种；故答案选B．8．定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，若对任意实数x，

有f(x)＞f′(x)，且f(x)＋2022为奇函数，则不等式f(x)＋2022ex＜0的解集是()A．(－，0)B．(－，2022)C．(0，＋)D．(2022，＋)【答案】C【考点】函数的单调性应

用：利用导数的运算律构造新函数进而解不等式【解析】由题意，因为f(x)＋2020为奇函数，所以f(0)＋2020＝0，f(0)＝－2020，考虑函数F(x)＝f(x)ex＋2020，则F′(x)＝f′(x)－f(x)ex＜0，所以F(x)＝f(x)ex＋2020在

R上单调递减，因为F(0)＝f(0)e0＋2020＝0，所以f(x)＋2022ex＜0的解集等价于f(x)ex＋2020＜0的解集，即F(x)＜F(0)的解集为(0，＋∞)，故答案选C．二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每

小题给出的四个选项中，有多项．．．符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得．．．．．0．分．。)9．已知复数z＝4＋7i3＋2i，则下列结论中正确的是（）A．z的虚部为iB．z＝2－iC．|z|＝5D．z在复平面内对应的点位

于第四象限【答案】BC【考点】复数的概念及运算综合【解析】由题意可知，z＝4＋7i3＋2i＝(4＋7i)(3－2i)(3＋2i)(3－2i)＝2＋i，所以z的虚部为1，z＝2－i，|z|＝22＋12＝5，z在复平面内对应的点位于第一象限，所以选项BC正确，选项AD错误

，故答案选BC.10．已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下列选项中正确的是（）A．函数f(x)在x＝1处取得极大值B．函数f(x)在x＝－1处取得极小值C．f(x)在区间(－2，3)上单调递减D．f(x)的图象在x＝0处的切线斜率小于零【答案】CD【考点】导

数的概念、几何意义及应用【解析】由题意，根据f′(x)的图象可得到，f(x)在(－，－2)上单调递增，在(－2，1)上单调递减，在(1，3)上单调递减，且f′(－2)＝f′(1)＝0，所以函数f(x)在x

＝－2处取得极大值，不在x＝－1处取得极小值，因为f′(x)在(－2，3)上满足f′(x)≤0，所以可得到f(x)在区间(－2，3)上单调递减，又f′(0)＜0，则由导数的几何意义可知f(x)的图象在x＝0处的切线斜率小于零，所以选项AB错误，选项CD正确；故答案选CD.11．现安排高

二年级A，B，C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂），且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是（）A．所有可能的方法有34种B．若工厂甲必须有同学去，则不同的安排方法有37种C．若同学A必须去工厂甲，则不同的安排方法有16种D．若三名同学所选工厂各

不相同，则不同的安排方法有24种【答案】BCD【考点】两个计数原理的应用【解析】由题意可知，对于选项A，每名同学都有4种选择，则只能选择一个工厂共有43种，所以选项A错误；对于选项B，则①若有1名同学去工厂甲，则去工厂甲的同学情况

为C13，另外两名同学的安排方法有3×3＝9种，则此情况共有C13×9＝27种；②若有2名同学去工厂甲，则同学选派情况有C23，另外1名同学的排法有3种，此种情况共有C23×3＝9种；③若有3名同学去工厂甲

，即3名同学都去工厂甲，此种情况唯一，为1种；则工厂甲必须有同学去的情况共有27＋9＋1＝37种安排方法，所以选项B正确；对于选项C，若同学A必须去工厂甲，则另外2名同学各有4个工厂选择，即另外2名同学有4×4＝16种安排方法，所以选项C正确；对于选项D，若三名同学所选工厂各不相

同，则有C34A33＝24种，所以选项D正确；综上，答案选BCD．12．若0＜x1＜x2＜1，e为自然对数的底数，则下列结论错误．．的是（）A．x2ex1＜x1ex2B．x2ex1＞x1ex2C．ex2－ex1＞lnx2－l

nx1D．ex2－ex1＜lnx2－lnx1【答案】ACD【考点】函数的单调性应用：构造新函数问题【解析】由题意可知，对于选项AB，可构造f(x)＝exx，则f′(x)＝(x－1)exx2，所以当x＜1时

，f′(x)＜0，即f(x)在(0，1)上单调递减，又因为0＜x1＜x2＜1，所以f(x1)＞f(x2)，即ex1x1＞ex2x2，则化为x2ex1＞x1ex2，所以选项A错误，选项B正确；对于选项CD，可构造g(x)＝ex－lnx，则g′(x)＝e

x－1x＝xex－1x，设h(x)＝xex－1，因为h(0)＝－1＜0，h(1)＝e－1＞0，则由函数的零点存在性定理可知，存在x0∈(0，1)，使得h(x0)＝0，又因为h′(x)＝(1＋x)ex，则当x∈

(0，1)时，h(x)＞0，所以h(x)在(0，1)上单调递增，所以当x∈(0，x0)时，g′(x)＜0，函数g(x)在(0，x0)上单调递减；当x∈(x0，1)时，g′(x)＞0，函数g(x)在(x0，

1)上单调递增，若0＜x1＜x2＜x0，则有g(x1)＞g(x2)，即ex1－lnx1＞ex2－lnx2，则有ex2－ex1＜lnx2－lnx1；若x0＜x1＜x2＜1，则有g(x1)＜g(x2)，即ex1－lnx1＜ex2－lnx2，

则有ex2－ex1＞lnx2－lnx1，则选项CD错误；综上，答案选ACD.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．设z1＝x＋2i，z2＝3－yi，(x，y∈R)，且z1＋z2＝5－6i，则z1z2＝__________.【答案】22－10i【考点】复数的简单运算【解析】由题意

可知，z1＋z2＝x＋2i＋3－yi＝x＋3＋(2－y)i＝5－6i，所以x＋3＝5，2－y＝－6，解得x＝2，y＝8，所以z1＝2＋2i，z2＝3－8i，所以z1z2＝(2＋2i)(3－8i)＝22－10i.14．函数f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－2，2]上的最大值是______

_____.【答案】2【考点】利用函数单调性求最值【解析】由题意可知，f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)＝0，则x＝0或2，所以f(x)在[－2，0)上单调递增，在[0，2]上单调递减，且f(2)＝－2，f(－2)＝－18，f(0)＝2，所以在[－2，2]上的最大

值是2.15．用数字0、1、2、3、4、5可以组成无重复数字且能被5整除的的五位数有____个.（用数字作答）【答案】216【考点】排列组合：整除问题【解析】由题意，有分类计数原理可得：①当个位数为0时，其他位数上无要求，

则有C45A44＝120个；②当个位数为5时，则先从1、2、3、4种选一个数放到万位上，然后再全排中间的三个位数上的数字，则有C14A44＝96个；所以满足题意的五位数有120＋96＝216个.16．已知f(x)＝x

ex＋1e＋e2，g(x)＝－x2－2x－1＋a，若存在x1∈R，x2∈(－1，＋)，使得f(x1)≤g(x2)成立，则实数a的取值范围是___________.【答案】(e2，＋)【考点】函数的成立问题求参数范围【解析】由题意可知，f′(x)＝(x＋1)ex，令f′(x)＞0，解得x＞－1；

f′(x)＜0，解得x＜－1，所以f(x)在(－，－1)上单调递减，在(－1，＋)上单调递增，所以在x＝－1处取得最小值，即f(x)min＝f(－1)＝e2，又g(x)＝－x2－2x－1＋a＝－(x＋1)2＋

a，所以g(x)在(－1，＋)上单调递减，所以g(x)max＝g(－1)＝a，因为存在x1∈R，x2∈(－1，＋)，使得f(x1)≤g(x2)成立，所以f(x)min≤g(x)max，则e2＜a，所以实数a的取值范围是(e2，＋).四、解答题(本大题共6小题，第17题10分，1

8—22题每题12分，共70分)17．10件不同厂生产的同类产品：（1）在商品评选会上，有2件商品不能参加评选，要选出4件商品，并排定选出的4件商品的名次，有多少种不同的选法？（2）若要选6件商品放在不同的位置上陈列，且必须将获金质奖章的两件商品放上，有多少种不同的布置方法？【答案】（1

）1680种；（2）50400种．【考点】两个计数原理与排列组合的应用【解析】（1）10件商品，除去不能参加评选的2件商品，剩下8件，从中选出4件进行排列，有481680A=(或44841680CA=)(种)；（2）分步完成，先将获

金质奖章的两件商品布置在6个位置中的两个位置上，有26A种方法，再从剩下的8件商品中选出4件，布置在剩下的4个位置上，有48A种方法，共有246850400AA=(或468650400CA=)(种)．18．已知i是虚数单位，复数

()()242,zaaiaR=−++.（1）若z为纯虚数，求实数a的值；（2）若z在复平面上对应的点在直线210xy++=上，求复数z的模z.【答案】（1）2（2）10【考点】复数的概念及运算应用【解析】（1）若z为纯虚数，则240a−=，且20a+，解得实数a的值为2；（2）z在复

平面上对应的点()24,2aa−+，由条件点()24,2aa−+在直线210xy++=上，则242(2)10aa−+++=，解得1a=−．则3zi=−+所以()23110z=−+=19．已知函数2()lnfxaxbx=−在1x=处的切线为2

10y+=．（1）求实数a，b的值；（2）求函数()fx在1,ee上的最大值．【答案】（1）1a=,12b=（2）12−【考点】导数的几何意义应用：切线方程问题；利用函数单调性求最值问题【解析】（1）

由题意可知切点为11,2−，即11(1),22fbb=−=−=，()afxxx=−，(1)10fa=−=，即1a=，（2）由（1）可知，21()ln2fxxx=−，211()xfxxxx−=−=，当1,1xe时，()0fx；当()1,xe时，()0fx，

即函数()fx在区间1,1e上单调递增，在区间()1,e上单调递减，即max11()(1)ln122fxf==−=−.20．已知数列na的前n项和为nS，且21nnSa=−，nN．数列nb是公差大于0的等差数列，23b

a=，且1b，2b，4a成等比数例．（1）求数列na和nb的通项公式；（2）若11223311nnnnnTababababab−−=+++++，求nT．【答案】（1）12nna-=，2nbn=；（2）

()1122nnTn+=−+．【考点】数列的通项与求和【解析】（1）∵21nnSa=−，∴2n时1121nnSa−−=−，两式相减得()122nnaan−=，由1121Sa=−得110a=，∴数列na是公比2q=的等比数列，首项11a=，所

以数列na的通项公式为12nna-=，又234ba==，48a=，1b，2b，4a成等比得2184b=，∴12b=，∴公差212dbb=−=，数列nb的通项公式为2nbn=．（2）()0122122426221222nnnTnn−−=++++−+

L，①()1231222426221222nnnTnn−=++++−+L②①－②得()()12112122222122nnnnTnn−+−=++++−=−−−L∴()1122nnTn+=−+．21．将四个编号为1，2，3，4的小球放入四个编号为1，2，3，4的盒子

中．（1）若每盒至多一球，则有多少种放法？（2）若恰好有一个空盒，则有多少种放法？（3）若每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，则有多少种放法？【答案】（1）24；（2）144；（3）8．【考点】排列组合经典问题：全排问题、捆绑法、列举法等【

解析】（1）每盒至多一球，这是4个元素全排列问题，共有44A24=种．答：共有24种放法．（2）先取四个球中的两个“捆”在一起，有24C种选法，把它与其他两个球共三个元素分别放入四个盒子中的三个盒子，有34A种投放方法，所以共有2344CA144=（种）放法．答：共有144种放法．（3）一个

球的编号与盒子编号相同的选法有14C种，当一个球与一个盒子的编号相同时，用局部列举法可知其余三个球的投入方法有2种，故共有14C28=（种）放法．答：共有8种放法．22．已知()214ln2fxxxa=−+，()()2144xgxxxee=−+−（1）求函数()gx的单

调区间；（2）若()()fxgx恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）单调递增区间为(),0−和()2,+，递减区间为()0,2；（2）1,24ln2e−−−.【考点】函数的单调性求解、利用函数的单调性解决恒成立问题【解析】（1）解：()yg

x=的定义域为R，()()()()()()2224442222xxxxxgxexxexexexxxe=−+−+=−+−=−，令()0gx=得2x=或0x=.当x变化时，(),()gxgx变化如下：x(),0−0()0,22()2,+()gx+0−0+()gx增极大值

减极小值增所以()gx的单调递增区间为(),0−和()2,+，递减区间为()0,2.（2）因为()yfx=定义域为()0,+，()ygx=的定义域为R令()()()()2211444ln2xFxgxfxxxexxae=−=−+−−+−(0x)则()()()4222xx

xFxxxexxxexx+=−−+=−+，所以当()0,2x时，()0Fx，()Fx为减函数；当()2,x+时，()0Fx，()Fx为增函数，所以()()min1224ln2FxFae==−+

−−，则124ln20ae−+−−，所以124ln2ae−−故实数a的取值范围为1,24ln2e−−−