【文档说明】云南省昆明市第一中学2023-2024学年高二上学期11月期中考试数学试题 含解析.docx，共(23)页，2.059 MB，由小赞的店铺上传

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高二数学总分：150分时间：120分钟注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核对条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定位置贴好

条形码.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.第I卷（

选择题，共60分）一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分，四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线340xy++=的倾斜角是（）A.150°B.120°C.60°D.30°【答案】A【解析】【分析】先求得直线的斜率，进而求得倾斜角.【详解】直线340xy++=的斜率为1333−

=−，所以直线340xy++=的倾斜角为150.故选：A2.“3=”是“直线(23)(1)30xy−+++=与直线(1)30xy+−+=互相垂直”的（）A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既

不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合两直线垂直的性质分析判断.【详解】∵直线(23)(1)30xy−+++=与直线(1)30xy+−+=互相垂直∴(23)(1)(1)0−+−+=，∴3=或1−，而“3=”是“3=或1−”的充

分不必要条件∴“3=”是“直线(23)(1)30xy−+++=与直线(1)30xy+−+=互相垂直”的充分不必要条件，故选：A.3.直线220xy−+=在x轴上的截距是（）A.1−B.1C.2−D.2【

答案】A【解析】【分析】根据截距的概念运算求解.【详解】令0y=，则2020x−+=，解得=1x−∴直线220xy−+=在x轴上的截距是1−故选：A.4.在ABC中，60BAC=，36BCAB==，，且有12CDDB=，则线段AD的长为（）A.132B.2C.31+D

.23【答案】C【解析】【分析】在ABC中，利用余弦定理求得AC，再在ABC中，利用余弦定理求得cosB，然后在ABD△中，利用余弦定理求解.【详解】解：在ABC中，60BAC=，36BCAB==，

，由余弦定理得2222cosBCABACABACBAC=+−，即2630ACAC−−=，解得6322AC+=，在ABC中，由余弦定理得22233cos226ABBCACBABBC+−−==，所以2222

cosADABBDABBDB=+−，336426226−=+−，423=+，所以13AD=+，故选：C5.已知正三棱柱111ABCABC-的各棱长都等于2，点E是11AB的中点，则异面直线AE与1BC所成角的余弦值为（）A.31020B.3

1010C.7520D.1010【答案】A【解析】【分析】由题意，根据正三棱柱的性质，求得对应线段的长，结合异面直线夹角的定义以及余弦定理，可得答案.【详解】如图，设AB的中点为1,MAC的中点为N，

11AC的中点为F，连接111,,,,MNMBNBNFBF，则可得11,AEMBMNBC∥∥，在1RtBCC中，由221122BCBCCC=+=，则1122MNBC==，在1RtMBB中，由2222111152MBMBBBABBB=+=+=，由三棱柱111AB

CABC-中，易知在等边111ABC△中，13232BF==，在1RtNFB中，22221111122BNBFNFBFAA=+=+=，所以异面直线AE与1BC所成的角是1NMB或它的补角，由余弦定理得2221(2)(5)2310cos20225NMB+−

==，则异面直线AE与1BC所成的角的余弦值为31020.故选：A.6.已知圆O：224xy+=，00(,)Mxy为圆O上位于第一象限的一点，过点M作圆O的切线l.当l的横纵截距相等时，l的方程为（）A.220xy−−=B.202xy+−=C.420xy+−=D.22

0xy+−=【答案】D【解析】【分析】由题意可知，直线经过一、二、四象限，所以0,0kb，再依据直线与圆相切，且在坐标轴上的截距相等，即可求得直线方程.【详解】由题意可知，直线的斜率存在，所以设过点M的切线方程为ykxb=+，因为l的横纵截距相等，所以1k=−，0b，又因为直线与圆相切，所

以211bd==+，所以22b=，所以直线方程为220xy+−=.故选：D7.阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆22221xyab+=（0ab）的右焦点为(3,0)F，过F作直线l交椭圆

于A、B两点，若弦AB中点坐标为(2,1)−，则椭圆的面积为（）A.362πB.182πC.92πD.62π【答案】C【解析】【分析】利用作差法构建斜率、中点坐标相关方程2121221212yyxxbxxyya−+=−−+，再结合22cab=−即可求解出a、b，进

而求出面积.【详解】设()11,Axy，()22,Bxy，则有22112222222211xyabxyab+=+=，两式作差得：2222121222xxyyab−−=−，即2121221212yyxxbkxxyya−+==−−+，弦AB中点

坐标为(2,1)−，则2212221221xxbbkyyaa+=−=−+−，又∵0(1)132k−−==−，∴22211ba=−−，∴222ab=，又∵223cab=−=，∴可解得32a=，3b=，

故椭圆的面积为π92πab=.故选：C8.如图，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面边长为1，侧棱长为2，点P，Q分别在半圆弧C1C，A1A(均不含端点)上，且C1，P，Q，C在球O上，则（）A.当点Q在弧A1A的三等分

点处，球O的表面积为(1133)−B.当点P在弧C1C的中点处，过C1，P，Q三点的平面截正四棱柱所得的截面的形状都是四边形C.球O的表面积的取值范围为(4π，8π)D.当点P在弧C1C的中点处，三棱锥C1—PQC的体积为定值【答案】D【解析】【分析】取1CC中点E，1DD中点

F，1AA中点G，根据球的性质，容易知道球心O在线段EF上，设出OE的长度和∠FGQ，算出FQ的长度，利用OC1=OQ，即可判断A,B；作出过C1，P,Q三点的截面即可判断C；利用11QPCCAPCCVV−−=即可求出体积，进而判断D.【详解】如图1，取1

CC中点E，1DD中点F，1AA中点G，由题意，球心O在线段EF上，设,[0,)2FGQ=，在FGQ中，由余项定理2||22cosFQ=−，设OEx=，则22||1OCx=+，∴()2222||||||122cosOQOFFQx=+=−+−，设外接球半径为R，∵22

21||||OQOCR==，∴()22122cos1xx−+−=+，∴1cos[0,1)x=−，∴221[1,2)Rx=+，∴球O的表面积24[4,8)SR=，C错误；当点Q在1AA的三等分点处，=6，则31cos12x=

−=−，2221311||11324ROC==−+=−，∴∴球O的表面积()241143SR==−，A错误；对B，如图2，取1DD中点F，当Q在FA上时，连接AF，在平面ADD1A1上过点Q作AF

的平行线，与线段1DD，AD分别交于M,N，延长C1P与BC交于R，连接RN交AB于S，此时截面为1CMNSP，B错误；对D,当点P位于1CC的中点处，三棱锥1CPQC−的体积11111211323QPCCAPCCVV−−===为定

值，D正确.故选：D.【点睛】本题涉及知识点较多，题目运算量大比较复杂，多面体外接球的球心的确定，一定要取多面体的特殊面，先确定其外心，然后过外心作截面的垂线，设出球心（垂线上）的位置，进而根据勾股定理求出外接球半径；如果棱锥的体积不好求得，我们可以用等底等高的棱锥进行转化.二、多项选择题：共

4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，至少两项是符合题目要求的.9.若直线过点()1,2P且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线的方程可能为（）A.10xy−+=B.30xy+−=C.20xy−=D.10xy++=【答案】ABC【解析】【分析】将点坐标代

入各方程判断是否在直线上，再求直线在x、y轴上的截距，即可得答案.【详解】A：显然()1,2P在10xy−+=上，且在x、y轴上的截距均为1，符合；B：显然()1,2P在30xy+−=上，且在x、y轴上的截距均为3，符合；C：显然()1,2P在20xy−=上，且在x、y轴上的截距均为0，符合；D：

()1,2P不在10xy++=上，不符合.故选：ABC10.若直线20xay+−=与直线210axy++=垂直，则a=（）A.0B.1−C.2D.1【答案】AB【解析】【分析】根据直线垂直列出方程，化简求得a的值.【详解】由于直线20xay+−=与直线210axy++=垂直，所以

()22110,10aaaaaa+=+=+=，解得0a=或1a=−.故选：AB.11.已知椭圆22:143xyC+=，1F，2F是椭圆的左右焦点，P为椭圆上任意一点.下列说法中正确．．的是（）A.椭圆离心率为

12B.1PF的最大值为3C.1203FPFD.124PFPF+=【答案】ABCD【解析】【分析】根据椭圆的定义、有关概念和几何性质依次判断选项即可.【详解】A：由22143xy+=知2,3ab==

，则221cab=−=，所以12cea==，故A正确；B：当点P为椭圆的右顶点时，1PF最大，且最大值为3ac+=，故B正确；C：当点P为椭圆左、右顶点时，12FPF最小，且最小值为0，当点P为椭圆的上、下顶点时，12FPF最大，此时1

2122PFPFFF===，12FPF△为等边三角形，123FPF=，所以1203FPF，故C正确；D：由椭圆的定义知，1224PFPFa+==，故D正确.故选：ABCD.12.如图，已知二面角l−−的棱上有不同两点A和B，若Cl，Dl，

AC，BD，则（）的A.直线AC和直线BD为异面直线B.若2ACABBD===，则四面体ABCD体积的最大值为2C.若3AC=，6AB=，4BD=，7CD=，ACl⊥，BDl⊥，则二面角l−−的大

小为3D.若二面角l−−的大小为3，6ACABBD===，ACl⊥，BDl⊥，则过A、B、C、D四点的球的表面积为84【答案】ACD【解析】【分析】由异面直线的定义可判断A；AC⊥面ADB且ABBD⊥，此时四面体ABCD体积的最大值，求出即可判断B；在平面内

过A作BD的平行线AE，且使得AEBD=，连接,CEED，四边形AEDB是一个矩形，CAE是二面角l−−的一个平面角，由余弦定理求出cosCAE∠即可判断C；取AD的中点1O，BC的中点2O，取AB的中点M，连接12,MO

MO，易知21OMO是二面角l−−的一个平面角，则213OMO=，过2O作平面ABC的垂线和1O平面ABD的垂线，交于点O，O即为外接球球心，求出1OO，即可求出R，可判断D.【详解】对于A，由异面直线的定义知A正确；对于B，要求四面体

ABCD体积的最大值，则AC⊥面ADB且ABBD⊥，此时四面体ABCD体积的最大值：11142223323ADBVSAC===,故B不正确；对于C，在平面内过A作BD的平行线AE，且使得AEBD=，连接,CEED，四边形AEDB是一个矩形，CAE是二面角l

−−的一个平面角，且AB⊥面AEC，所以ED⊥面AEC，从而2222227613CECDEDCDAB=−=−=−=.在AEC△中，由余弦定理可知：2222234131cos,22342ACAECECAEACAE+−+−===所以3CAE=.故C正确；对于D，因为二面角l−

−的大小为3，6ACABBD===，ACl⊥，BDl⊥，如下图，所以平面ABC与平面ABD所成角的大小为3，,CAABABBD⊥⊥，取AD的中点1O，BC的中点2O，12,OO为△,ABD△ABC的外心，取AB的中点M，连接12,MOMO，则21,,OMABOMA

B⊥⊥所以21OMO是二面角l−−的一个平面角，则213OMO=，过2O作平面ABC的垂线和过1O作平面ABD的垂线，交于点O，O即为外接球球心，所以2OO⊥面CAB，1OO⊥面DAB，连接OM，123OMOM==，所以易证得：1OMO与2OMO全等，所以126OMOOMO==，所

以在直角三角形1OMO，11113tan30333OOOOOOMO====，21131821ODROOOD==+=+=，则过A、B、C、D四点的球的表面积为2484SR==.故D正确.故选：AC

D第Ⅱ卷（共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知直线l经过点P（0，1）且一个方向向量为（2，1），则直线l的方程为______．【答案】112yx=+【解析】【分析】根据方向向量可得直线的斜率，进而根据点斜式求解方程即可.【详解】因为直线l的一个方向向量为（2

，1），所以其斜率为12，所以直线l的方程为()1102yx−=−，即112yx=+．故答案为：112yx=+14.已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2,1,30abB===，则A=_________.【答案】90【解析】【分析】根据正弦

定理，可直接求得答案.【详解】由题意在ABC中，2,1,30abB===，所以12sin2,sin1sinsin1abaBAABb====，因为0180A，所以90A=,故答案：9015.四棱锥P-ABCD的各个顶点都在球心为O的球面上，且PA⊥面ABCD，底面

ABCD为矩形，PA=AB=2，AD=3，则球O的体积为___________.【答案】1717π6##1717π6【解析】【分析】根据线面垂直得到,,PAABAD两两垂直，故四棱锥P-ABCD的外接球可以补形为长方体的外接球，求出外接球半径，进而求出外接球的体积.【

详解】因为PA⊥面ABCD，,ABAD平面ABCD，所以PAAB⊥，PAAD⊥，又因为底面ABCD为矩形，为所以,,PAABAD两两垂直，故四棱锥P-ABCD的外接球可以补形为长方体ABCDPEFG−的外接球，如图所示，故外接球O的直径为22222317+

+=，半径为172r=，球O的体积为341717ππ36r=故答案为：1717π616.已知O为坐标原点，圆M：()2211xy++=，圆N：()2224xy−+=．,AB分别为圆M和圆N上的动点，则OABS的最大值为_______．【答案】332【解析】【分析】如图所示，

以ON为直径作圆，延长AO交新圆于E点，BO交新圆于F点，首先证得2OABOEBOEFSSS==，将题意转化为求圆内接三角形面积的最大值，将基本不等式和琴生不等式相结合即可得结果.【详解】如图所示，以ON为直径作圆，延长AO交新圆于E

点，BO交新圆于F点，连接FE，NF，则NF与OB垂直，又=NBNO，所以F为OB中点，由对称性可知OAOE=，∵1=sin2OABSOAOBAOB，()11=sinsin22OEBSOBOEAOBOBOEAOB−=所以2O

ABOEBOEFSSS==，因此当OEFS最大值时，OABS最大，故题意转化为在半径为1的圆内求其内接三角形ABC的面积最大值，圆内接三角形的面积1sin2SabC=，由正弦定理得2sinaA

=，2sinbB=，∴3sinsinsin2sinsinsin23ABCSABC++=由于()sinfxx=，0,x时为上凸函数，可得33sinsinsin3

3sin338ABCABC++++=即334ABCS，当且仅当3ABC===时等号成立，进而可得OABS的最大值为3333242=，故答案为332【点睛】本题主要考查了圆内接三角形面积最大值的求

法，考查了解析几何中的对称思想以及等价转化思想，用不等式求最值是难点，属于难题.四、解答题（本大题共6个小题，共70分，其中17题10分，其余每题12分）各题解答必须答在答题卷上相应题目指定的方框内（必须写出必要的文字说明、演算步

骤或推理过程）.17.已知三角形的三个顶点503302ABC（-，），（，-），（，），求：（1）AC边所在直线的方程（2）BC边上中线所在直线方程．【答案】（1）25100xy−+=（2）1350x

y++=【解析】【分析】（1）根据直线方程的截距式方程列式，化简即得AC边所在直线的方程；的（2）由线段的中点坐标公式，算出BC中点D的坐标，从而得到直线AD的斜率k113=−，再由直线方程的点斜式列式，化

简即得BC边上中线所在直线的方程．【小问1详解】5002AC−（，）、（，），∴直线AC的截距式方程为152xy+=−，化简得25100xy−+=即AC边所在直线的方程为：25100xy−+=；【小问2详解】3302BC−（，），（，），∴BC中点为D（32，12−），直

线AD的斜率为k101231352−−==−+因此，直线AD的方程为y113=−（x+5），化简得1350xy++=，即为BC边上中线所在直线的方程．18.△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且△ABC的外接圆半径R满足()sincoscoscos

RCCaBbA=+.（1）求角C；（2）若3c=，求△ABC周长取值范围.【答案】（1）π3C=（2）(23,33【解析】【分析】（1）利用正弦定理进行边角转化，再结合三角恒等变换化简整理求解；（2）利用正弦定理进行边化角，再结合三角恒等变换化简

整理可得π23sin36++=++abcA，再以π6+A为整体结合三角函数求范围.【小问1详解】由正弦定理2sinsinsinabcRABC===，可得1sin,2sin,2sin2===RC

caRAbRB，的∴()()coscoscos2cossincossincosCaBbARCABBA+=+()2cossin2cossincosRCABRCCcC=+==，所以1cos2cCc=，则1cos2C=，因为0πC，所以π3C=.【小问2详解】∵3c=，π3C=，

由正弦定理得32sinsinsin32abcABC====，∴2sinaA=，2sinbB=，∴△ABC周长：2π2sin2sin32sin2sin33++=++=+−+abcABAA3sin3cos3AA=++π23sin36=++A，由2π0,3A，得ππ

5π,666+A，∴π1sin,162A+，∴a＋b＋c的取值范围(23,33，即△ABC周长的取值范围是(23,33.19.如图，三棱柱111ABCABC-的底面是边长为2的正三角形，1AA⊥平面ABC，12AA=，D是AB的中点.（1）证明：1

//BC平面1ADC；（2）求异面直线1BC与1AC所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）14【解析】的【分析】（1）作出辅助线，得到线线平行，从而得到线面平行；（2）作出辅助线，找到异面直线1BC与1AC所成角，利用余弦

定理求出余弦值.【小问1详解】证明：连接1AC，交1AC的于O，连接OD，则O为1AC的中点，因为,OD分别是1AC，AB的中点，1//ODBC，OD平面1ADC，1BC平面1ADC，1//BC平面1ADC；【小问2详解】由（1）得：1//ODBC

，DOC（或其补角）就是异面直线1BC与1AC所成的角，∵三棱柱111ABCABC-的底面是边长为2的正三角形，12AA=，∴2OC=，3CD=，2222112222BCBCCC=+=+=，∴1122ODBC==由余弦定理得：2222231cos242

22ODOCCDDOCODOC+−+−===，故异面直线1BC与1AC所成角的余弦值为14.20.已知圆M：()2221xy+−=，Q是x轴上的动点，QA、QB分别与圆m相切于AB、两点.（1）若()

1,0Q，求切线方程；（2）求四边形QAMB面积的最小值；【答案】（1）1x=，3430xy+−=（2）3【解析】【分析】（1）设切线方程，根据圆心到直线的距离等于半径列方程求解即可；（2）设点Q的坐标，根据2QAMBQAMSS=求出面积，再分析面积的最小值即可.【小问1详

解】由题意，过点()1,0Q且与x轴垂直的直线显然与圆M相切，此时，切线方程为1x=，当过点()1,0Q的直线不与x轴垂直时，设其方程为1ykx=−（），即kxyk0−−=，由2211kk−−=+解得34k=−，此时切线方程为3430

xy+−=.【小问2详解】连接QM，因为圆的方程为()2221xy+−=，所以()0,2M，1r=，设(),0Qm，所以24QMm=+，根据勾股定理得23QAm=+，所以221223132QAMBQAMSSmm=

=+=+，所以当0m=时，四边形QAMB的面积最小，3minS=.21.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD为直角梯形，//ADBC，90ADC=，22ABADBC===，PADBAD≌.（1）M为PC上一点，且PMMC=，当//PA平面DMB时，求实数的值；（2）当平

面PAD与平面PBC所成的锐二面角的大小为30时，求PC与平面ABCD所成角的正弦值.【答案】（1）2=（2）31020【解析】【分析】（1）找到平面PAC与平面DMB的交线MN，根据线面平行的性质定理知//PAMN，由已知条件，结合三角形相似，可推得的值；（2）首先找到

平面PAD与平面PBC的交线l，根据二面角平面角的定义，再找到其平面角BPO，计算出PO的值，进一步由线面角的定义，寻找PH⊥平面ABCD，找到线面角PCH，计算得答案.【小问1详解】如图，连接AC交

BD于点N，连接MN，∵//PA平面BDM，PA平面PAC，平面PAC平面BDMMN=，∴//PAMN，在梯形ABCD中，∵//BCAD，∴ADNCBN∽△△，∴12CNCBANAD==，∵//PAMN，∴2PMANMCCN==，∴2=【小问2详解】取AD的中点O，连接OP，OB，∵O为AD

的中点，且//BCAD，2ADBC=，∴//ODBC且ODBC=，∴四边形OBCD为平行四边形，∴//CDOB，∵90ADC=，∴90BOD=，∴ADOB⊥，又ABAD=，∴ABD△为等边三角形，又PADBAD≌，∴PAD为等边三角形，∴ADOP⊥∵OPOBO=，OP平面PO

B，OB平面POB，∴AD⊥平面POB，∵BP平面POB，∴ADBP⊥，过点P作//lAD，由//ADBC，则//lBC，∴l平面PAD，l平面PBC，即平面PAD平面PBCl=，∴lOP⊥，lBP⊥，∴BPO为平面PAD与平面PBC所成的锐二面

角，∴30BPO=.又由3==OPOB，∴30OBP=，∴120BOP=，作PHBO⊥交BO的延长线于H，连接CH，∵PHOB⊥，∵AD⊥平面POB，PH平面POB，∴ADPH⊥，∵ADOBO=，AD平面ABCD，OB平面AB

CD，∴PH⊥平面ABCD，∴PCH为PC与平面ABCD所成的角，在RtPOH中，3sin602PHOP==，3cos602OHOP==∵332BHOBOH=+=，∴22312CHBCBH=+=，

2210PCPHCH=+=，∴3102sin20031PHPCHPC===，因此，PC与平面ABCD所成角的正弦值为31020.22.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的离心率为32，短轴长为4．（1）求椭圆C的方程；（2）若过点()0,1P的直线交椭

圆C于A，B两点，求OAOB的取值范围．【答案】（1）221164xy+=；（2）11,4−−.【解析】【分析】（1）根据离心率及短轴长及222abc=+求出4a=，2b=，求出椭圆方程；（2）先考虑直线

AB的斜率不存在时OAOB的值，再考虑直线AB的斜率存在时，设出直线方程，与椭圆方程联立后得到两根之和，两根之积，从而求出)27411,441AOBkO=−−−−+，从而求出OAOB的取值范围.【小问1详解】32c

ea==，24b=，∴2b=，又222abc=+，即22344aa=+，解得：4a=，23c=，椭圆的标准方程为221164xy+=；【小问2详解】当直线AB的斜率不存在时，:0ABx=，不妨设()()0,2,0,2AB−，则4OAOB=−当直线AB的斜率存在时，设()()11221,,,

,ABykxAxyBxy=+：，由2211641xyykx+==+得()22418120kxkx++−=，()226448410kk=++恒成立，故121222812,4141kxxxxkk+=−=−++，∴()()12121

21211OAOBxxyyxxkxkx=+=+++()()()22222121212814141111kkkkxxkxxk−−++=++++=++)2222222121284116117411

,4414141kkkkkkk−−−++−−===−−−−+++，综上：11,4OAOB−−，故OAOB的取值范围为11,4−−．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com获得更多资源请扫码加入享学资源网微信

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