【文档说明】黑龙江省哈尔滨市第九中学2020届高三5月第二次模拟考试文科数学试题【精准解析】.doc，共(20)页，1.510 MB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-825be0d62b98c2e318a9cb0a766adff1.html

以下为本文档部分文字说明：

哈尔滨市第九中学2020届高三第二次模拟考试数学试题(文科)第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在客观题答题卡上．1.已知集合|11,PxxxR=−，|Qxx

N=，则PQ=（）A.0,2B.0,1C.1,2D.0,1,2【答案】D【解析】【分析】先解不等式求出集合P，再根据交集的定义求解即可．【详解】解：∵11x−，∴111x−−，即02

x，∴0,2P=，又|QxxN=，∴0,1,2PQ=，故选：D．【点睛】本题主要考查集合的交集运算，考查绝对值不等式的解法，属于基础题．2.已知复数z满足(33)3,izi+=则z=（）A.3322i−B.3344i−C.33

22i+D.3344i+【答案】B【解析】【分析】由题意得333izi=+，从而根据复数代数形式的除法运算求出z，再根据共轭复数的定义求出z．【详解】解：∵(33)3izi+=，∴333313iizii==

++()()()3133341313iiiii−+==+−3344i=+，∴3344zi=−，故选：B．【点睛】本题主要考查复数代数形式的除法运算，考查共轭复数的定义，属于基础题．3.设非零向量,,abc→→→满足3||||3||abc→→→==，abc→→→

+=，则a→与b→的夹角为（）A.150°B.120°C.60°D.30°【答案】C【解析】【分析】设a→与b→的夹角为，由abc→→→+=得2222cosababc→→→→→++=，结合3||||3||abc→→→==即可求出答案．【详解】解：设a→与b→为单位向量，夹角为，

∵abc→→→+=，∴22abc→→→+=，∴2222cosababc→→→→→++=，又3||||3||0abc→→→==，∴112cos3++=，即1cos2=，∴60=，故选：C．【点睛】本题主要考查平面

向量数量积的定义的应用，属于基础题．4.4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数学之和为偶数的概率是（）A.12B.13C.23D.34【答案】B【解析】试题分析：由题意知本题是一个古典概型概率的计算问题．从这4张卡片中随

机抽取2张，总的方法数是246C=种，数学之和为偶数的有13,24++两种，所以所求概率为13，选B．考点：古典概型．5.平面∥平面的一个充分条件是（）A.存在一条直线a，a∥，a∥B.存在一条直线a，a⊂，a∥C.存在两条平行直线a，b，a⊂，b

⊂，a∥，b∥D.存在两条异面直线a，b，a⊂，b⊂，a∥，b∥【答案】D【解析】试题分析：对于A，一条直线与两个平面都平行，两个平面不一定平行．故A不对；对于B，一个平面中的一条直线平行于另一个平面，两个平面不一定平行，故B不对；对于C

，两个平面中的两条直线平行，不能保证两个平面平行，故C不对；对于D，两个平面中的两条互相异面的直线分别平行于另一个平面，可以保证两个平面平行，故D正确考点：空间线面平行的判定与性质6.函数2cos43yx=

+图象中最近的对称中心与对称轴间的距离为（）A.16B.8C.4D.2【答案】B【解析】【分析】根据公式求出函数的最小正周期T，函数图象中最近的对称中心与对称轴间的距离为14T，由此可得答案．【详解】解：

∵函数2cos43yx=+的最小正周期242T==，∴函数图象中最近的对称中心与对称轴间的距离为148T=，故选：B．【点睛】本题主要考查三角函数的周期性与对称性的应用，属于基础题．7.双曲线2214yx−=的两条渐近线与直

线3x=围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是（）A.202003xyxyx−+B.202003xyxyx−+C.202003xyxyx−+D.202003xyxyx−+【答案】A【解析】【分

析】由双曲线22221xyab−=的渐近线为byxa=，则可画出它与直线3x=围成的三角形区域，再由形到数即可．【详解】解：双曲线2214yx−=的两条渐近线方程为221yxx==，与直线3x=围成一个三角形区域如图，

由图可知，该三角形区域包含点()1,0，则202003xyxyx−+，故选：A．【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程以及线性规划中由形到数的能力，属于基础题．8.若1sin24=，42

，则cossin−的值是（）A.32B.32−C.34D.34−【答案】B【解析】22122cos,sincos14sinsin==+=，()213cos144sin−=−=，3,cossin422−=−，故选B.9.甲、乙、丙三

人中，一人是教师、一人是记者、一人是医生.已知：丙的年龄比医生大；甲的年龄和记者不同；记者的年龄比乙小.根据以上情况，下列判断正确的是（）A.甲是教师，乙是医生，丙是记者B.甲是医生，乙是记者，丙是教师C.甲是医生，乙是教师，丙是记者D.甲是记者，乙是医生，丙是教师【答

案】C【解析】由甲的年龄和记者不同和记者的年龄比乙小可以推得丙是记者，再由丙的年龄比医生大，可知甲是医生，故乙是教师.故选C10.过椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左顶点A的斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射

影恰好为右焦点F，若11,32k则椭圆离心率的取值范围是（）A.19(,)44B.2(,1)3C.12(,)23D.1(0,)2【答案】C【解析】【详解】试题分析：如图所示：2AFac=+，222acBFa−=，∴22222

tan()BFackBAFAFaac−===+，又∵1132k，∴22113()2acaac−+，∴2111312ee−+，∴1223e，故选C．考点：椭圆的简单性质．11.已知空间几何体ABCD是由圆柱切割而成的阴影部分构成，其中A，B为下底面圆直径的两个端点，C，D为上

底面圆直径的两个端点，且ABCD⊥，圆柱底面半径是1，高是2，则空间几何体ABCD可以无缝的穿过下列哪个图形（）A.椭圆B.等腰直角三角形C.正三角形D.正方形【答案】D【解析】【分析】由题意可知2ABCD==，且该几何体的高也是2，A中直接根据椭圆的几何性质可知A不符合题意；B、C中设O

为CD的中点，连接OA，OB，易得AOB既不是直角三角形，也不是正三角形，均不符合题意；D中边长为2的正方形恰好和以AB为直径的圆相切，符合题意．【详解】解：由题意可知2ABCD==，且该几何体的高也是2，A

中，若椭圆的长轴长为2，短轴长小于2，则几何体无法穿过，若椭圆的短轴长为2，长轴长大于2，则几何体穿过时有缝隙，均不符合题意；B中，设O为CD的中点，连接OA，OB，则易证AOB为二面角ACDB−−的平面角，易求得5OAOB==，而2AB=，则AOB不是直角三

角形，故B不符合题意；C中，由B中结论，OAOBAB=，AOB不是正三角形，故C不符合题意；D中，由题意，边长为2的正方形恰好和以AB为直径的圆相切，故D符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查几何体的截面问题，考查几何体的结构特征，考查空间想象能力与逻辑推理能力，属于中档题．12

.有限数列12,,,,nnAaaaS=为其前n项和，定义12nSSSn+++L为A的“凯森和”，如有504项的数列12504,,,aaa的“凯森和”为2020，则有505项的数列125042,,,,aaa的“凯森和”为（）A.2014B.2016C.2018D.2

020【答案】C【解析】【分析】本题根据根据“凯森和”的定义，分别写出两个数列的“凯森和”的定义式，然后进行比较，找出两个定义式的联系，进行转化并加以计算可得正确选项．【详解】解：由题意，可知对于504项的数列1a，2a，，504a，根

据“凯森和”的定义，有1250411212504()()2020504504SSSaaaaaa++++++++++==，则11212()()2020504naaaaaa++++++=，对于505项的数列2，1

a，2a，，504a，根据“凯森和”的定义，有12505112125042(2)(2)(2)505505SSSaaaaaa++++++++++++++=112125042505()()505aaaaaa++++++++=2505202050

4505+=2018=，故选：C．【点睛】本题主要考查数列的新定义的理解及运用的问题，考查了转化与化归思想，整体思想，分组求和法的应用，以及逻辑思维能力和数学运算能力，属于中档题．第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题：本题共4小题，每小题5

分，共20分，请将答案写在答题纸指定的位置上．13.已知()fx是定义在R上的偶函数，且当0x时，()23fxx=−，则当0x时，()fx=______．【答案】()23(0)fxxx=−−【解析】【分析】根据题意，设0x，则0x−，由函数的解析式可得()23fxx

−=−−，结合函数的奇偶性分析可得答案．【详解】解：根据题意，设0x，则0x−，有()2()323fxxx−=−−=−−，又由()fx为偶函数，则()()23fxfxx=−=−−，即()23fxx=−−，故答案为：()23(

0)fxxx=−−．【点睛】本题主要考查函数奇偶性的性质以及应用，属于基础题．14.已知函数()cossin3fxfxx=+，则3f=______．【答案】1【解析】【分析】求导得()sincos3fxfxx=−+，将3x=

代入即可求出3f，从而可得3f．【详解】解：∵()cossin3fxfxx=+，∴()sincos3fxfxx=−+，∴sincos3333ff=−+，即

313232ff=−+，解得233f=−，∴()()23cossinfxxx=−+，∴()()23cossin1333f=−+=，故答案为：1．【点睛】本题主要考查基本初等函数的导数的运算，考查计算能力，属于基础题．15.抛物线2ya

x=的焦点恰好为双曲线222yx−=的上焦点，则a=______．【答案】18【解析】【分析】将双曲线化成标准方程，可得它的焦点在y轴且222ab==，得它的上焦点坐标为(0,2)，抛物线2yax=化成标准方程，得它的焦点为

1(0,)4Fa，结合题意得124a=，解方程即可求得实数a的值．【详解】解：双曲线222yx−=化成标准方程，得22122yx−=，∴双曲线的焦点在y轴，且222ab==，∴双曲线的半焦距222cab=+=，得上焦点坐标为(0,2)，抛物线2yax=即21xya=，得它的焦

点为1(0,)4Fa，且F为双曲线的一个焦点，∴124a=，解得18a=，故答案为：18．【点睛】本题主要考查抛物线和双曲线的方程和简单的几何性质，属于基础题．16.在ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c且满

足21abc++=+，sinsin2sinABC+=，则c=_____，若3C=，则ABC的面积S=______．【答案】(1).1(2).312【解析】【分析】先利用正弦定理把题设等式中角的正弦转化成边的关系，进而与21abc++=+联立求得c，再利用余弦定理求得ab的值，最后利用三

角形面积公式求得ABC的面积．【详解】解：依题意及正弦定理得2abc+=，且21abc++=+，因此221cc+=+，1c=，当3C=时，222222cos1cababCabab=+−=+−=，2()31abab+−=，又2ab+=，因此231ab−=，13ab=，则AB

C的面积1113sinsin223312SabC===，故答案为：1；312．【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，考查计算能力与转化能力，属于中档题．三、解答题：本题共6小题，满分70分(17题至2

1题12分，选修题10分)．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.如图，正三棱柱111ABCABC−的底面边长为a，点M在边BC上，1AMC是以点M为直角顶点的等腰直角三角形．（1）求证：点M为BC边的中点；（2）求点

C到平面1AMC的距离．【答案】（1）详见解析；（2）66a．【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形，可得1AMCM⊥且1AMCM=，根据三垂线定理可知AMCM⊥，而底面ABC为边长为a的正三角形，则即可证得点M为BC边的中点；（2）过点C作1CHMC⊥，根据线面垂直的判定定理

可知AM⊥平面1CCM，CH⊥平面1CAM，则CH即为点C到平面1AMC的距离，根据等面积法可求出CH的长．【详解】（1）证：1AMC△为以点M为直角顶点的等腰直角三角形，1AMCM⊥且1AMCM=

，三棱柱111ABCABC−，1CC⊥底面ABC，1CM在底面内射影为CM，AMCM⊥，底面ABC为边长为a的正三角形，点M为BC边的中点；（2）解：由（1）知AM⊥平面11BCCB，则平面1AMC⊥平面11BCCB．在平面11BCCB内过点C作1CHCM⊥于H，且平面1AMC平

面111BCCBCM=，∴CH⊥平面1AMC，∴CH即为C到平面1AMC的距离，在正三角形ABC内，∵ABa=，∴32AMa=，则132CMa=，在1RtCCM△中，2aCM=，则122CCa=，∴1166CMCCCHaCM==，∴C

到平面1AMC的距离为66a．【点睛】本题主要考查点线的位置关系，以及点到平面的距离，同时考查了空间想象能力和计算能力，以及转化与化归的思想，属于中档题．18.等比数列{na}的前n项和为nS，已知1S,3S,2S成等差数列（1）求{na}的公比q；（2

）求1a－3a＝3，求nS【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）n811--32【解析】【详解】（Ⅰ）依题意有由于，故又，从而5分（Ⅱ）由已知可得故从而10分19.某车间20名工人年龄数据如下表：年龄（岁）工人数（人）1912832933053143

23401合计20（1）求这20名工人年龄的众数与极差；（2）以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；（3）求这20名工人年龄的方差.【答案】（1）众数为30，极差为21；（2）详见解析；（3）12.6.

【解析】【详解】试题分析：（1）根据频率分布表中的相关信息结合众数与极差的定义求出众数与极差；（2）根据频率分布表中的信息以及茎叶图的作法作出这20名工人年龄的茎叶图；（3）根据茎叶图所反映的信息，先求出平均数，然后根据方差的计算公式求出这20名

工人年龄的方差.（1）这20名工人年龄的众数为30，极差为401921−=；（2）茎叶图如下：（3）年龄的平均数为19283293305314323403020++++++=，故这20名工人年龄的方差为()()()2222

22211132315041321020−+−+−++++()1112112341210025212.62020=+++++==.考点：本题考查茎叶图、样本的数字特征，考查茎叶图的绘制，以及样本的众数、极差、平均数以及方差的计算，属于中等题.2

0.设O为坐标原点，动点M在椭圆C22:12xy+=上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足2NPNM=.（1）求点P的轨迹方程；（2）设点Q在直线3x=−上，且1OPPQ=.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦

点F.【答案】（1）222xy+=；（2）见解析.【解析】【详解】（1）设P（x，y），M（00,xy）,则N（0,0x），00NP(x,),NM0,xyy=−=（）由NP2NM=得00202xyy==，.因为M（00,xy）在C上，所以22x122y+=.因此点P的轨迹为

222xy+=.由题意知F（-1,0），设Q（-3，t），P（m，n），则()()OQ3tPF1mnOQPF33mtn=−=−−−=+−，，，，，()OPmnPQ3mtn==−−−，，（，）.由OPPQ1

=得-3m-2m+tn-2n=1，又由（1）知222mn+=，故3+3m-tn=0.所以OQPF0=，即OQPF⊥.又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.点睛:定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，

或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒成立的.定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.21.已知函数()ln1fx

xx=++，()22gxxx=+.（Ⅰ）求函数()()yfxgx=−的极值；（Ⅱ）若实数m为整数，且对任意的0x时，都有()()0fxmgx−恒成立，求实数m的最小值.【答案】（Ⅰ）极大值为1ln2

4−，无极小值；（Ⅱ）1.【解析】【分析】(Ⅰ)由题意首先求得导函数的解析式，然后结合导函数的符号讨论原函数的单调性，从而可确定函数的极值；(Ⅱ)结合题意分离参数，然后构造新函数，研究构造的函数，结合零点存在定理找到隐零点的范围，最后利用函数值的范围即可确定整数m的最小值.【详解】(

Ⅰ)设()()()2ln1xfxgxxxx=−=−−+，∴()()()211121xxxxxx−−+=−−=，令()0x，则102x；()0x，则12x；∴()x在10,2

上单调递增，1,2+上单调递减，∴()11=ln224x=−极大，无极小值.(Ⅱ)由()()0fxmgx−，即()2ln120xxmxx++−+在()0,+上恒成立，∴2ln12xxmx

x+++在()0,+上恒成立，设()2ln12xxhxxx++=+，则()()()()2212ln2xxxhxxx−++=+，显然10x+，()2220xx+设()()2lntxxx=−+，则()210txx=−+，故()t

x在()0,+上单调递减由()110t=−，11112ln2ln202222t=−+=−，由零点定理得01,12x，使得()00tx=，即002ln0xx+

=且()00,xx时，()0tx，则()0hx，()0,xx+时，()0tx.则()0hx∴()hx在()00,x上单调递增，在()0,x+上单调递减∴()()0002max00ln12xxhxhxxx++==+，又由002ln0xx+=，01,12x

，则()0002000ln111,1222xxhxxxx++==+∴由()mhx恒成立，且m为整数，可得m的最小值为1.【点睛】本题主要考查导数研究函数的极值，导数研究函数的单调性，隐零点问题及其处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和

计算求解能力.22.已知曲线C：4cos,{3sin,xtyt=−+=+（t为参数），C：8cos,{3sin,xy==（为参数）．（1）化C，C的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若C上的点P对应的参数为2t=，Q为C上的动点，求PQ中

点M到直线332,:{2xtCyt=+=−+（t为参数）距离的最小值．【答案】（Ⅰ）1C为圆心是（4,3)−，半径是1的圆.2C为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.（Ⅱ）85.5d取得最小值【解析】【详解】（1）()()222212:431,:1649xyCx

yC++−=+=1C为圆心是()4,3−，半径是1的圆，2C为中心是坐标原点，焦点在x轴，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.（2）当2t=时，()()4,4,8cos,3sinPQ−，故324cos,2sin2M

−++3C的普通方程为270xy−−=，M到3C的距离54cos3sin135d=−−所以当43cos,sin55==−时，d取得最小值855.考点：圆的参数方程；点到直线的距离公式；直线的参数方程.23.若,,xyzR，0a，0b

，0c，求证：2222()bccaabxyzxyyzzxabc+++++++．【答案】详见解析【解析】【分析】由重要不等式222mnmn+（当且仅当mn=取得等号），结合不等式的同向可加性，即可得证．【详解】证：∵,,xyzR

，0a，0b，0c，∴222bccaabxyzabc+++++=222222bacbacxyyzzxabbcca+++++()2222xyyzzxxyyzzx++=++，当且仅当22

2222,,bacbacxyyzzxabbcca===时等号成立．【点睛】本题主要考查不等式的证明，注意运用重要不等式和不等式的同向可加性，考查推理能力，属于中档题．