【文档说明】黑龙江省哈尔滨市第九中学2020届高三5月第二次模拟考试数学（理）试题【精准解析】.doc，共(24)页，2.783 MB，由小赞的店铺上传

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哈尔滨市第九中学2020届高三第二次模拟考试数学（理）试题本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题），共23题，满分150分，考试时间120分钟．第I卷一､选择题1.已知集合12AxZx=−，2|4Bxx=，则AB

=（）A.0,1B.1,0,1−C.0,1,2D.12xx−【答案】C【解析】【分析】解绝对值不等式求得集合A，解一元二次不等式求得集合B，由此求得AB.【详解】由12x−得212x−−，即13x-<<，故0,1,

2A=.由24x，解得22x−，所以2,2B=−.所以AB=0,1,2.故选：C【点睛】本小题主要考查集合交集的概念和运算，考查绝对值不等式和一元二次不等式的解法，属于基础题.2.已知复数

z满足()113zii−=+，则复数z的共轭复数为（）A.1i−+B.1i−−C.1i+D.1i−【答案】D【解析】【分析】利用复数除法、模的运算求得z，由此求得z的共轭复数.【详解】由()113132zii−=+=+=得()()()2

121111iziiii+===+−−+，所以1zi=−.故选：D【点睛】本小题主要考查复数的除法和模的运算，考查共轭复数的概念，属于基础题.3.“2a”是“10,xaxx+”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】

若10,xaxx+,则min1axx+,利用均值定理可得min12xx+=,则2a,进而判断命题之间的关系.【详解】若10,xaxx+,则min1axx+,因为12xx+,当且仅当1xx=时等号成

立,所以2a,因为|2|2aaaa,所以“2a”是“10,xaxx+”的充分不必要条件,故选:A【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判定,考查利用均值定理求最值.4.函数1cos1xxeyxe−=+的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【

分析】根据函数的定义域和奇偶性，确定正确选项.【详解】令()1cos1xxfexex=−+，()fx的定义域为R，由此排除B选项.()()()11coscos11xxxxeefxxxfxe

e−−−−−=−==−++，所以()fx为奇函数，由此排除CD选项.故选：A【点睛】本小题主要考查根据函数的解析式确定函数图象，属于基础题.5.刘徽（约公元225年—295年），魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一．他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少

，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作．割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n边形等分成n个等腰三角形（如图所示），当n变得很大时，这n个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想得到sin3的近似值为（）A.90B.

180C.270D.60【答案】D【解析】【分析】利用扇形面积公式和三角形的面积公式列方程，化简求得sin3的近似值.【详解】设圆的半径为R，依题意小扇形的圆心角为3，依题意，小扇形的面积近似等于小等腰三角形的面积，故2213sin33602RR

=，化简得sin360=.故选：D【点睛】本小题主要考查三角形面积公式、扇形面积公式，考查中国古代数学文化，属于基础题.6.若0ab,则下列不等式成立的是().A.22abB.2121log2bC.22abD.1122loglogab【答案】D【解析】【

分析】根据0ab,结合指数函数和对数函数单调性,逐项判断,即可求得答案.【详解】对于A,若4,3ab==,则22ab,故A错误;对于B,若3,2ab==,则21012,则12log210=−,

故B错误;对于C,2xy=是增函数,故22ab,故C错误;对于D,12logyx=是减函数,故1122loglogab,故D正确.故选:D.【点睛】本题主要考查了根据已知不等式判断所给不等式是否正确,解题关键是掌握不等式基础知识和

指数函数和对数函数单调性,考查了分析能力,属于基础题.7.已知()522xaxx+−的展开式中所有项的系数和为2−，则展开式中含x项的系数为（）A.80B.80−C.40D.40−【答案】D【解析】【分析】利用展开式中所有项的系数和为2−求得a，再求

得展开式中含x项的系数.【详解】令1x=代入()522xaxx+−得()()511221aa+−=−=，所以()()5522221xaxxxxx=+−+−，二项式52xx−展开式的通项公式为()()51525522rrrrrrCxxCx−−−

−=−.令521r−=−，解得3r=；令521r−=，解得2r=.故()5221xxx+−展开式中含x的项为()()322312155212804040xCxCxxxx−−+−=−+=−，所以展开式中含x项的系数为40−.故选：D【点睛】本小题主要考

查二项式展开式所有项的系数和，考查二项式展开式指定项的系数的求法，属于中档题.8.已知双曲线()222210,0xyabab−=，过右焦点F作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点P，以F为圆心，FP为半径作圆，该圆与双曲线交于M，N两点，且M，N，F三点共线，则双曲线的离心率为（）A.3B.2C.

2D.5【答案】B【解析】【分析】判断出线段PF的长，根据对称性得到M点的坐标，代入双曲线的方程，化简后求得双曲线的离心率.【详解】双曲线焦点到渐近线的距离为b，则PFb=.由于,,MNF三点共线，根据圆和双曲线的对称性可知，,,MNF三点在直线xc=上，所以(),

Mcb，代入双曲线方程得22221cbab−=，即222,2cea==.故选：B【点睛】本小题主要考查双曲线离心率的求法，属于基础题.9.正方体1111ABCDABCD−中，M在平面1111DCBA上，N为11CD的中点，连接1AN且P在线段1AN上．已知12BB=，5

BM=，则PM的最小值为（）A.1B.4515−C.21−D.2【答案】B【解析】【分析】判断出点M的轨迹为圆，根据直线和圆的位置关系，求得PM的最小值.【详解】由于12,5BBBM==，所以22111BMBMBB=−=，由于M在平面1111DCBA上，所以M的轨迹是

以1B为圆心，半径为1的圆.由于P在线段1AN上，所以PM的最小值为1B到线段1AN的距离减1.由于11111112sinsin5ADNABDNAAN===，所以1B到线段1AN的距离为1111245sin255ABNAB==，所以PM的最小值为4515−.故选

：B【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.10.若抛物线22ypx=的焦点为F，点A，B在抛物线上，且3AFB=，弦AB的中点M在准线l上的射影为N，则2MNAB的最大值为（）A.1B.2C.33D.3【答案】B【解析】【

分析】根据抛物线的定义以及正弦定理化简2MNAB，结合三角函数最值的求法，求得2MNAB的最大值.【详解】根据抛物线的定义2MNAFBFABAB+=，由正弦定理得2sinsinsinsin3sinsin3ABFABFA

FBFABFBAFABAFB+−++==①，设20,3ABF=，则①化为2sinsin3sin3+−22sinsincoscoscos33sin3+−=33sincos223sincos2sin632

+==+=+所以当,623+==时，2sin6+有最大值为2，即2MNAB的最大值为2.故选：B【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查正弦定理，考查三角函数最值的求法，属于中档

题.11.在数列na中，11a=，22a=，33a=，()()*3111nnnaanN+++−=，数列na的前n项和为nS，下列结论正确的是（）A.数列{}na为等差数列B.1811a=C.173a=D.311

46S=【答案】D【解析】【分析】根据数列na的递推关系式()()*3111nnnaanN+++−=判断出数列na的规律，由此判断出正确结论.【详解】当n为奇数时，311nnaa++−=，即数列n

a中的偶数项构成以2a为首项，公差为1的等差数列，所以()18291110a=+−=，B选项错误.当n为偶数时，311nnaa+++=，则531nnaa+++=，两式相减得51nnaa++=，即数列na中的奇数项从

3a开始，每间隔一项的两项相等，即数列na从第三项起的奇数项呈周期变化.在311nnaa+++=中，令2n=得531aa+=，则52a=−，所以1743552aaa+===−，C选项错误.在311nnaa++−=中，令1n=

得42413aaa−==，所以数列{}na不是等差数列，A选项错误.根据上述分析可知，在数列{}na中539729271,1,,1aaaaaa+=+=+=，3147333aaa+===；偶数项构成以2a为首项，公差为1的等差数列，所以()311515117315211462S−=++++=

.故选：D【点睛】本小题主要考查根据数列的递推关系式研究数列的规律，属于中档题.12.已知函数()()1cos2sincos3fxxaxx=−−−，且对于任意的()12,,xx−+，当12xx时都有()()12121f

xfxxx−−成立，则实数a的取值范围是（）A.11,44−B.22,33−C.22,66−D.1,1−【答案】C【解析】【分析】不妨设12xx，可得()()1122fxxfxx−−，构造函数()()gxfxx=−，可得函数()gx在R上为减函数，

根据导数和函数的单调性的关系，结合换元法求得a的取值范围.【详解】依题意对于任意的()12,,xx−+，当12xx时都有()()12121fxfxxx−−成立，不妨设12xx，可得()()1122fxxfxx−−，构造函数()()g

xfxx=−，可得函数()gx在R上为减函数，()()()1cos2sincos3gxfxxxaxxx=−=−−−−，则()()'2sin2sincos103gxxaxx=−+−在R上恒成立.设sincos2sin2,24txxx=+=+−，则()22225110333t

attat−−−=−−，在2,2t−上恒成立，即22350tat−−在2,2t−上恒成立，所以4325043250aa+−−−，解得2266a−.故选：C【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化的数学思

想方法，属于中档题.第II卷二､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知向量(1,1),a=(2,1)b=，若()()abab−⊥+，则实数的值为________.【答案】85【解析】【分析】利用向量垂直的性质列方程求解即可.

【详解】()()abab−⊥+,()()0abab−+=,23(1)50+−−=,解得85=，故答案为：85【点睛】本题主要考查了向量垂直的性质，数量积的运算，属于容易题.14.记()modnb

a=表示正整数n除以正整数a后所得的余数为b，例如()82mod6=表示8除以6后所得的余数为2．执行下图的程序框图，若输入的n值为5，则输出的n值为______．【答案】17【解析】【分析】通过分析程序框图的作用，求得输出的n的值.【详解】该程序框图的作用是从8

,11,14,17,20,中，找出第一个被4除余数为1的整数，8被4除余数为0；11被4除余数为3；14被4除余数为2；17被4除余数为1.所以输出的n的值为17.故答案为：17【点睛】本小题主要考查根据程序框图计算输出结果，属于基础题.15

.如图所示的三角形称为希尔宾斯基三角形，现分别从图（2）和图（3）中各随机选取一个点，则此两点均取自阴影部分的概率为______．【答案】2764【解析】【分析】根据相互独立事件概率计算公式，计算出所求概率.【详解】图（2）中，随机选取一个点，该点取自阴影部分的概率为34；图（

3）中，随机选取一个点，该点取自阴影部分的概率为916；根据相互独立事件概率计算公式可知分别从图（2）和图（3）中各随机选取一个点，则此两点均取自阴影部分的概率为392741664=.故答案为：2764【点睛】本小题主要考查几何概型的计算，考查相互独立事件概率计算

，属于基础题.16.半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美．如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它们的棱长都相等，其

中八个为正三角形，六个为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体．若二十四等边体的棱长为2，则其体积为______；若其各个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为______．【答案】(1).4023(2).16【解析】【分析】将二十四正多面体放入正方体中，结合图形求出该几何体的体积.判断出正

方体的中心即球心，由此求得球的半径，进而求得球的表面积.【详解】将二十四正多面体放入正方体中，如下图所示，由于二十四等边体的棱长为2，则正方体的棱长为22.该二十四正四面体是由棱长为22的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得，所以该二十四正四面体的体积为()311402228222323−

=.由于正方体的中心O到正方体各棱中点的距离都为()()22222222+=，所以该二十四正四面体外接球的球心为O，且半径为2，其表面积为24216=.故答案为：(1).4023(2).1

6【点睛】本小题主要考查几何体外接球有关计算，考查空间想象能力，属于中档题.三､解答题（一）必考题17.已知多面体PABCD−中，//ABCD，90BADPAB==，12ABPADAPDCD====，M

是PB的中点．（1）求证：PACM⊥（2）求直线DB与平面PBC所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）105【解析】【分析】（1）取PA的中点O，得到PADO⊥，通过证明PAOM⊥证得PA⊥面ODCM，由此证得PACM⊥.（2）建立空间

直角坐标系，利用直线DB的方向向量和平面PBC的法向量，计算出直线DB与平面PBC所成角的正弦值．【详解】（1）证明：取PA的中点O，连接,OMOD则PADO⊥∵//OMAB，//DCAB，∴//OMDC，∴O，M，D，C四点共面，∵//

OMAB，且ABPA⊥，∴PAOM⊥，又∵DOOMO=，∴PA⊥面ODCM，又CM平面ODCM，∴PACM⊥．（2）设2AB=，以PA的中点O为坐标原点，OA，OD，OM分别为x，y，z建系.则()1,0,2B，()0,3,0D，()0,3,4C，()1,0,0P−，所以()1,3,2DB=

−，()1,3,2BC=−，()2,0,2PB=，设平面PBC的一个法向量为(),,nxyz=，则00nPBnBC==220320xzxyz+=−++=令1x=，则()1,3,1n=−，设直线DB与平面PBC所成角

为，则10sin5DBnDBn==．则直线DB与平面PBC所成角的正弦值为105．【点睛】本小题主要考查线线垂直的证明，考查线面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.18.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c

，已知2sincoscos6BAC−=．（1）求角A的大小；（2）若223abc+=，求cosC的值．【答案】（1）3A=（2）23cos36C=−【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换化简已知条件

，求得tanA的值，进而求得A的大小.（2）利用正弦定理化简已知条件，求得1sin63C−=、22cos63C−=的值，进而求得cosC的值.【详解】（1）∵2sincoscos6BAC−=∴

()3sincoscoscoscosBABAAB−=−+∴3sincossinsinBAAB=又因为sin0B，所以tan3A=又因为()0,A，所以3A=（2）由223abc+=，所以2sinsin2sin3ABC+=所以3si

n2sin33CC++=，所以1sin63C−=,662C−−，所以22cos63C−=所以1323coscoscossin33232336CCCC=−+

=−−−=−【点睛】本小题主要考查正弦定理解三角形，考查三角恒等变换，属于中档题.19.已知椭圆()2222:10xyCabab+=的离心率为32，1F，2F分别为左右焦点，直线:1lxmy=+与椭圆C交于M､N两点，12MFF△12NFF△的重心分别为G､

H，当0m=时，OMN的面积为32．（1）求椭圆C的方程；（2）当102m−时，证明：原点O在以GH为直径的圆的外部．【答案】（1）2214xy+=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据椭圆的离心率和三角形OMN的面积以及222abc=

+，求得22,ab的值，即而求得椭圆方程.（2）联立直线l的方程和椭圆方程，写出根与系数关系，计算0OGOH，由此判断出2GOH，所以原点O在圆外.【详解】（1）22342ceaba===，所以2222:14xyCbb+=:1lx=代入C

得：214yb=−，所以2124MNb=−，所以213122OMNSMNb===△，所以24a=，233cc==，所以椭圆C方程为：2214xy+=（2）设()11,Mxy，()22,Nxy，而

()()123,0,3,0FF−，根据重心坐标公式得11,33xyG，22,33xyH直线:1lxmy=+与椭圆C所以椭圆联立得：()224230mymy++−=，所以()2244mm=++，12224m

yym−+=+，12234yym−+=+()()()2222121232111+14499mmmmyymyymmOGOH−−++++++++==()2214094mm−+所以2GOH，所以原点O在圆外.【点睛】本小题主要考查椭圆方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查运算求解

能力，属于中档题.20.近期，湖北省武汉市等多个地区发生新型冠状病毒感染的肺炎疫情．为了尽快遏制住疫情，我国科研工作者坚守在科研一线，加班加点､争分夺秒与病毒抗争，夜以继日地进行研究．新型冠状病毒的潜伏期检测是疫情控制的关键环节之一．在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或对机体发生

作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期．钟南山院士带领的研究团队统计了武汉市某地区10000名医学观察者的相关信息，并通过咽拭子核酸检测得到1000名确诊患者的信息如下表格：潜伏期（单位：天）0,7(7,14(14,2

1(21,28人数80019082（1）求这1000名确诊患者的潜伏期样本数据的平均数x（同一组数据用该组数据区间的中点值代表）．（2）新型冠状病毒的潜伏期受诸多因素影响，为了研究潜伏期与患者性别的关系，以潜伏期是否超过7天为标准进行分层抽样，从上述1000

名患者中抽取100名，得到如下列联表．请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有90%的把握认为潜伏期与患者性别有关．潜伏期≤7天潜伏期>7天总计男性患者12女性患者50总计100（3）由于采样不当､标本保存不当､采

用不同类型的标本以及使用不同厂家试剂都可能造成核酸检测结果“假阴性”而出现漏诊．当核酸检测呈阴性时，需要进一步进行血清学/IgMIgG抗体检测，以弥补核酸检测漏诊的缺点．现对10名核酸检测结果呈阴性的人员逐一地进行血清检测，记每个人检测出IgM（IgM是近期感染的

标志）呈阳性的概率为()01pp且相互独立，设至少检测了9个人才检测出IgM呈阳性的概率为()fp，求()fp取得最大值时相应的概率p．附：()()()()()22nadbcKabcdacbd−=++++，其中nabc

d=+++．()20PKk0.1000.0500.0250.0100.0050.0010k2.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）4.984天（2）见解析，不能有90%的把握认为潜伏期与患者年龄有关.（3）2515p=−【解析】【分析】（

1）根据平均数的计算方法，计算出平均数.（2）根据已知条件填写22联表，，计算出2K，由此判断出不能有90%的把握认为潜伏期与患者年龄有关.（3）求得()fp的表达式，利用导数求得()fp取得最大值时的p的值

.【详解】（1）()13.580010.519017.5824.524.9841000x=+++=天（2）潜伏期<7天潜伏期≥7天总计男性患者381250女性患者42850总计8020100∵2K的观测值()21003884

21212.70680205050k−==∴不能有90%的把握认为潜伏期与患者年龄有关.（3）由()()()8911fpPpPp=−+−，化简得()()()812fpPpp=−−令1px−=，()0,1x

，则1px=−．则()()()()828111fpxxxxx=−+=−令()()281gxxx=−，()0,1x，则()()72245gxxx=−∵01x，令()0gx解得2505x；令()0gx，解得2505x；∴()gx在2

50,5上单调递增，在25,15上单调递减，∵()gx有唯一的极大值为255g，也是最大值.∴当255x=时，即2515p=−时，()fp取得最大值．【点睛】本小题主要考查平均数的计算，考查

22列联表独立性检验，考查利用导数研究函数的最值，考查数据分析与处理能力，属于中档题.21.已知函数()()1xxfxaeeax−=++−，()()1cosgxax=+．（1）当0a=时，直线ykx=与函数()fx的图象相切，求k的值；（2）若()()fxgx在

)0,+上恒成立，求a的取值范围．【答案】（1）1ke=−−（2）1a【解析】【分析】（1）当0a=时，设出切点坐标，求得切线方程，进而求得k的值.（2）构造函数()()()Gxfxgx=−，根据

()0Gx在)0,+上恒成立，结合导数对a进行分类讨论，由此求得a的取值范围.【详解】（1）0a=时，()xfxex−=−，所以()1xfxe−=−−设切点为()000,xAxex−−，所以()001xkfxe−==−−所以切线方程为：()01

xyex−=−−，将A点代入得：01x=−所以1ke=−−（2）()()fxgx在)0,x+上恒成立即：()()11cosxxaeeaxax−++−+在)0,x+上恒成立设()()()11cosxxGxaeeaxax−=++−−

+，)0,x+，即()0Gx恒成立由()222210002222Gaeeaaeea−=++−+−，()()'11sinxxGxaeeaax−=−+−++①若1a，当0,x时，0xxaee−−，10a−，()1sinax+，

∴()'0Gx所以()Gx在0,递增；当(),x+时，()()'11sin20xxxxGxaeeaaxee−−=−+−++−−所以()Gx在),+递增.综上，()Gx在)0,+递增.所以()()00GxG=恒成立②若01a

，则()'0220Ga=−()()'112xxxxGxaeeaaaee−−−+−−+=−−令1120lnxxaaeexa−++−−==，所以'11ln0aGa++所以0110,lnaxa

++，使()'00Gx=，且当()00,xx时，()'0Gx所以()Gx在()00,x递减，所以()00,xx时，()()00GxG=，所以01a不成立.综上，1a.【点睛】本小题主要考查利用导数求切线的斜率，考

查利用导数求解不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.（二）选考题：[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系．直线l的参数方程为21222xtyt=+=（t为参

数），圆C的参数方程为22cos2sinxy=+=（为参数）．（1）写出直线l的普通方程和圆C的极坐标方程；（2）已知点()1,0M，直线l与圆C交于A，B两点，求MAMB−的值．【答案】（1）10xy−−=，4cos=．（2）2【解析】【分析】（1）消去参数方程中的参数，求

得直线l与圆C的普通方程，根据直角坐标方程和极坐标方程的转化公式，求得圆C的极坐标方程.（2）将直线l的参数方程代入圆的普通方程，化简后写出根与系数关系，根据直线参数方程中参数的几何意义，求得MAMB−的值．【详解】（1）由21222xtyt=+

=，两式相减并化简得直线l的普通方程为：10xy−−=，由22cos2sinxy=+=，消去参数，得圆C的普通方程为：()2224xy−+=2240xyx+−=，所以圆C的极坐标方程为：4cos=．（2）把直线的参数方程21222xtyt=+=（t

为参数）带入到圆C的普通方程：()2224xy−+=中化简可得：2230tt−−=，设A，B对应的参数分别为1t，2t，则122tt+=，123tt=−，∵1t，2t异号，∴12122MAMBtttt−=−=+=【点睛】

本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查直角坐标方程化为极坐标方程，考查直线参数方程中参数的几何意义的运用，属于中档题.[选修4-5：不等式选讲]23.已知,,abc为正数，且满足1.abc++=证明：（1）1119abc++；（2）8.2

7acbcababc++−【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）变换1113bacacbabcabacbc++=++++++，利用均值不等式得到答案.（2）()()()111acbcababcabc++

−=−−−，利用三元均值不等式得到答案.【详解】（1）1abc++=，故111abcabcabcabcabc++++++++=++332229bacacbabacbc=+++++++++=，当13abc

===时等号成立.（2）易知10,10,10abc−−−.()()()()1111acbcababcabcacbcababcabc++−=−+++++−=−−−31118327abc−+−+−=.当13abc===时等号成立.【点睛】本题考查了根据均值不等

式证明不等式，意在考查学生对于均值不等式的应用能力.