【文档说明】浙江省杭州市学军中学2024年新高一分班考试数学试题 Word版含解析.docx，共(21)页，2.591 MB，由小赞的店铺上传

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学军中学新高一分班考数学卷一、选择题：本大题有8个小题，每小题3分，共24分.1.下列四个命题：①平分弦的直径垂直于弦；②在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；③三角形有且只有一个外接圆；④垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧.其中真命题的个数有（）A.1个B.2个C.3

个D.4个【答案】B【解析】【分析】根据圆周角定理、确定圆的条件、垂径定理，分别判断即可.【详解】①平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故①错误；②在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补，故②错误；③三角形有且只有一个

外接圆，是真命题；④垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧，是真命题，所以③④是真命题.故选：B.2.如图，在2014年的体育中考中，某校6名学生的体育成绩统计如图，则这组数据的众数、中位数、方差依次是（）A.28，2

8，1B.28，27.5，3C.28，28，3D.28，27.5，1【答案】A【解析】【分析】根据统计图，列出这组数据，利用众数、中位数、方差的定义和计算公式即得.【详解】由统计图可知，这组数据27,27,28,28,2830，显然众数为28，中

位数为2828282+=，平均数为：1(272728282830)286x=+++++=，则方差为：22221(112)16s=++=.为故选：A.3.已知方程组32342321xyaxya−=−−=−的解满足xy，则a的取值范围是（）A.1aB.1aC.5aD

.5a【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，用a表示出xy−即可列出不等式求解得结果.【详解】由方程组32342321xyaxya−=−−=−，得5555xya−=−，即1xya−=−，而xy，因此10a−，解得1a，所以a的取值范围是1a.

故选：A4.如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使𝐵𝐷=2𝐷𝐶，连接AC，5tan3B=，则tanCAD的值是（）A.33B.35C.13D.15【答案】D【解析】【分析】过点C作CEAD⊥交AD的延长线于点E，由tanB=53，

即53ADAB=，设5ADx=，则3ABx=，可得CDEBDA，进而求得35,22CExDEx==，则求得tanCAD的值.【详解】如图，过点C作CEAD⊥交AD的延长线于点E，因为tanB=53，即53ADAB=，设

5ADx=，则3ABx=，因为,CDEBDACEDBAD==，所以CDEBDA，所以12CEDECDABADBD===，所以35,22CExDEx==，所以1tan5ECCADAE==.故选：D.5.如图，在RtABC△中，,,90ACBCACB=，四边形,D

EFGGHIJ均为正方形，点E在AC上，点I在BC上，J为边DG的中点，则GH的长为（）A.1921B.1C.6077D.100259【答案】C【解析】【分析】设GHx=，由勾股定理可得5AB=，利用三角形相似可求得34HBx=，83A

Fx=，又ABAFFGGHHB=+++，可得x的方程，求解即可.【详解】设GHx=，因为RtABC△中，4,3,90ACBCACB===，所以2222ABACBC345=+=+=，因为四边形,DEFGGHIJ均为正方形，所以RtRtRtBH

IEFABCA，所以34HBEFBCIHAFAC===，所以333444HBIHGHx===，因为J为边DG的中点，所以2FGDGx==，所以448333AFEFFGx===，又所以ABAFFGGHHB=+++，所以835234xxxx=+++，解得6077x=.故选：C.6.如图，正方形OABC

的一个顶点O是平面直角坐标系的原点，顶点A，C分别在y轴和x轴上，P为边OC上的一个动点，且BPPQ⊥，BPPQ=，当点P从点C运动到点O时，可知点Q始终在某函数图象上运动，则其函数图象是（）A.线段B.圆弧C.抛物线的

一部分D.不同于以上的不规则曲线【答案】A【解析】【分析】首先设正方形OABC的边长是a，则点B的坐标是(),aa，设点Q的坐标是(),xy，点P的坐标是(),0(0)bba然后根据BPPQ⊥，BPPQ=，推

得yab=−，再根据0ba，可得0ya，所以其函数图象是线段.【详解】设正方形OABC的边长是a，则点B的坐标是(,)aa，设点Q的坐标是(,)xy，点P的坐标是(,0),(0)bba，PQBP⊥，1yaxbab=−−−，()()2222ayxbab−=−①，PQBP=

，2222()()xbyaba−+=−+，()()2222xbyaba−+=−+②，把①代入②，可得222222()()ayyabaab+=−+−，整理,可得22()yab=−，0y，ba，yab=−

，0ba，0ya，∴点Q在某函数图象上运动，则其函数图象是线段.故选:A.7.如图，以点()5,0M−为圆心，4为半径的圆与x轴交于A，B两点，P是☉M上异于A，B的一动点，直线PA，PB分别交y轴于点C，D，以CD为直径的☉N与x轴交于点E，F则EF的长为（

）A.42B.43C.6D.随P点位置而变化【答案】C【解析】【分析】通过证明相似三角形的方法，结合圆的几何性质求得EF.【详解】连接NE，设圆N的半径为r，ONx=，则ODrx=−，OCrx=+，依题意，9,1OAOB==，90APBBO

DCPDAOC====，对顶角PBAOBD=，所以PABODB=，所以OBDOCA△△，所以229,,91OCOArxrxOBODrx+==−=−，由垂径定理得2222229,3OEOFNEONrxOEOF==−=−===，所以6EF=.

故选：C8.已知二次函数图象的对称轴为1x=，且过点(3,0)A与()0,1.5B，则下列说法中正确的是（）①当0221x+时，函数有最大值2；②当0221x+时，函数有最小值2−；③P是第一象限内抛物线上的一个动点，则PAB面积的最大值为32；④对于非零

实数m，当11xm+时，y都随着x的增大而减小.A.①②B.①②③C.①②④D.②③④【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，求出二次函数解析式，再利用二次函数的图象、性质逐一判断即可.【详解】由二次函数图象的对称轴为1x=，且过点(3,0)A，得该图象还过点(1,0)−，设二次

函数的解析式为(1)(3)yaxx=+−，由图象过点()0,1.5B，得31.5a−=，解得12a=−，因此二次函数的解析式为211(1)(3)(1)222yxxx=−+−=−−+，对于①，当0221x+时，1x=，y取得最大值2，①正确；对于②，当0221x+时，221x=+，y取得

最小值2−，②正确；对于③，设直线AB方程为32ykx=+，由3,0xy==，得12k=−，即直线AB：1322yx=−+，过点P作直线//PQy轴交AB于Q，设000(,)(03)Pxyx，取032x=，则2001139(1)2()2228PQxx=−−

+−−+=，此时PAB面积为19273328162=，③错误；对于④，当0m时，111m+，当11xm+时，y随着x的增大而增大，④错误，因此说法中正确的是①②.故选：A二、填空题：本大题有8个小题，每小题5分，共

40分9.已知a是实数，且满足()320aa−−=，则代数式2241aa−+的值是_______________.【答案】1【解析】【分析】由根式有意义，求出a的范围，结合等式特点求出a的值，代入所求式计算即得.详解】由()320aa−−=有意义，可得20a

−，即2a，故30a−，依题意，须使20a−=，即2a=，此时，22241224211aa−+=−+=.故答案为：1.10.已知函数3(1)()=+−ykxxk，下列说法：①方程3(1)()3kxxk+−=−必有实数根；②若移动函数图象使其经过原点，则只能将

图象向右移动1个单位；③当3k时，抛物线顶点在第三象限；④若0k，则当1x−时，y随着x的增大而增大，其中正确的序号是_______________.【答案】①③【解析】【分析】利用二次函数与x轴的交点及二次函数的性质，逐一判断各个选项即得.【详解】

二次函数3(1)()=+−ykxxk与x轴交于点3(1,0),(,0)k−，对于①，方程3(1)()3kxxk+−=−化为3(1)0kxxk+−=，解得𝑥=0或31xk=−，①正确；对于②，将函数3(1)()=+−ykxxk图象向右移动1个单位或向右(0)k、向

左(0)k平移3k个单位，所得函数图象都过原点，②错误；对于③，当3k时，31k，抛物线开口向上，对称轴3102kx−=，又与x轴有两个交点，则抛物线顶点在第三象限，③正确；对于④，取1k=−，抛物线(1)(3)yxx=−++的

开口向下，对称轴为2x=−，当2<<1x−−时，y随着x的增大而减小，④错误，所以正确的序号是①③.故答案为：①③11.如图，COD是AOB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点C恰好落在AB上，且∠AOD的度数为90°，

则∠B的度数是_______.【【答案】60°【解析】【分析】根据等腰三角形、直角三角形的知识求得正确答案.【详解】依题意得90404010BOC=−−=，而OAOC=，所以18040702OAC−

==由于401050AOB=+=，所以180705060B=−−=.故答案为：60°12.如图，在5×5的正方形网格中，△ABC为格点三角形（顶点都在格点上），则图中与△ABC相似的最小的三角形与最大的三角形的面积比值为______.【答案】110##0.1【解析

】【分析】根据相似三角形的知识求的正确答案.【详解】不妨设小正方形的边长为1，则2,2,10BCABAC===，则最小的三角形（最短的边长为1）边长分别为22101,2,5222===，如下图所示三角形DEF，最大的三角形（最长的边长为52

）的边长分别为11010,21025,51052===，如下图所示三角形IGH.最小的三角形与最大的三角形的相似比为110，所以面积比为110.故答案为：11013.如图，边长为2的等边ABCV

的顶点A、B分别在MON的两边上滑动，当45MON=时，点O与点C的最大距离是________.【答案】123++【解析】【分析】取AB中点E，确定OC取得最大值的条件，再结合直角三角形求解即得.【详解】取AB中点E，连接,CEOE，由ABCV是等边三角形，得,2si

n603CEABCE⊥==，显然OCOECE+，当且,,OEC三点共线时取等号，此时OEAB⊥，在OE上取点F，使1EFEA==，连接AF，则2,45AFAFE==，在等腰OAB△中，由OEAB⊥，得22.5AOF=，则45

22.5OAFAOF=−=，于是2OFAF==，所以点O与点C的最大距离是123++.故答案为：123++14.如图，正方形ABCD的边长为4，点O是对角线AC，BD的交点，点E为边CD的中点，连接BE，过点C作

CF⊥BE，垂足为F，连结OF，则OF的长为______.【答案】2105##2105【解析】【分析】在BE上截取BGCF=，连接OG，证明OBG△≌OCF△，从而推出OGOF⊥，继而求出相关线段长，在等腰直角三角形OGF中

即可求得答案.【详解】在BE上截取BGCF=，连接OG，四边形ABCD为边长为4的正方形，即4,90ABBCCDADBCDABCBADADC========，在RtBCE中，,CFBEEBCECF⊥=，则OBGOCF=，在,OBGOCF中，,,OBOC

OBGOCFBGCF===，故OBG△≌OCF△，,OGOFBOGCOF==，故90GOFGOCCOFGOCBOG=+=+=，故OGOF⊥，又4,2BCDCDECE====，故2225BEBCCE=+=,由射影定理得2BCBFB

E=，即285425,5BFBF==，255EFBEBF=−=，又2CFBFEF=，故455CF=，则455GFBFBGBFCF=−=−=，在等腰直角三角形OGF中，510222OFGF==，故答案为：210515.如图，矩形ABCD为☉O的内接矩形，3,3AB

BC==，点E为弧BC上一动点，把弓形沿AE折叠，使点O恰好落在弧AE上，则图中阴影部分的面积为________.【答案】3π342−【解析】【分析】根据题意推出ABO为等边三角形，可得点B为弧AE所在圆的圆心，进而求出BF的长，结合扇形面积

公式，即可求得答案.【详解】连接,ACBD，则,ACBD交于O点，由3,3ABBC==，得()223323ACBD==+=，3AOBOAB===，故ABO为等边三角形，点B为弧AE所在圆的圆心；结合题意把弓形沿AE折叠，使点O恰好落在弧AE上，可知BOAE⊥，30tan301B

AEOAEBFAB====，故阴影部分面积为()2903π13π331360242−=−，故答案为：3π342−16.已知A是双曲线2yx=在第一象限上的一动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边三角形ABC，点C在第四象限，已知点C的位

置始终在一函数图象上运动，则这函数解析式是________.【答案】()60yxx=−【解析】【分析】设()2,,,AaCxya，根据已知条件求得,xy的关系式，从而求得正确答案.【详解】依题意，三角

形ABC是等边三角形，连接OC，则OC是线段AB垂直平分线，ABOC⊥，设2,Aaa，则2,Baa−−，3OCOA=，而222OAaa=+，所以2222212333OCOAaa

aa==+=+，过C作CDx⊥轴于点D，则AODOCD=，设(),Cxy，则2tantan,xaAODOCDay==−，整理得22ayx=−，在直角三角形COD中，222CDODOC+=，即2222123xyaa+=+，的将22ayx=−代入上式

得222221232axxaa+−=+，整理得2212xa=，C在第四象限，得23xa=，则22332ayaa=−=−，所以6xy=−，则()60yxx=−，所以这函数的解析式是()60yxx=−.故答案

为：()60yxx=−三、解答题：本大题有5个小题，共56分.17.如图，已知∠A，请你仅用尺规，按下列要求作图和计算（保留作图痕迹，不写画法）：（1）选取适当的边长，在所给的∠A图形上画一个含∠A的直角三角形ABC，并标上字母，其中点C为直角顶点，点B为

另一锐角顶点；（2）以AC为一边作等边△ACD；（3）若设∠A=30°，BC边长为a，则BD的长为__________________.【答案】（1）见解析（2）见解析（3）7a或a【解析】【分析】（1）在一边上任取一点C，然后

过点C作AC的垂线与另一边相交于点B，则ABCV即为所求作的三角形；（2）分别以A、C为圆心，以AC长为半径画弧，相交于点D，连接AD、CD则ACD即为所求作等边三角形；（3）根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AB

的长度，再利用勾股定理求出AC的长度，然后分的两种情况①点D在AC的下方时，作DEBC⊥交BC的延长线于点E，求出DE、CE的长度，然后求出BE的长度，再利用勾股定理列式计算即可得解，②点D在AC的上方时，求出30BAD=，根据等边三角形的性质可得ABC

D⊥，再根据对称性可得ABD△与ABCV关于AB成轴对称，根据轴对称的性质可得BDBC=．【小问1详解】如图所示，ABCV为所求作的直角三角形（答案不唯一）；小问2详解】如图所示，ACD为所求作的等边三角形，有点D在AC的上方与下方两种情况；【小问3详解】30A=、BC边长

为a，22ABBCa==，根据勾股定理，2222(2)3ACABBCaaa=−=−=，①点D在AC的下方时，作DEBC⊥交BC的延长线于点E，则1322DEACa==，333sin60322CEaaa===，所以，3522BEBC

CEaaa===+=，在RtBDE中，222235()()722BDDEBEaaa=+=+=；②点D在AC的上方时，30BAC=，603030BAD=−=，BACBAD=，ABCD⊥，ABD与ABCV关于AB成轴对

称，BDBC=，BCa=，BDa=；综上所述，BD的长度为7a或a．18.如图，PB为O的切线，B为切点，过B做OP的垂线BA，垂足为C，交O于点A，连接PA、AO，并延长AO交O于点E，与PB的延长线交于点D.【（1）求证：PA是O的切线；（2）若23OCAC=，且

OC=4，求PA的长和tanD的值.【答案】（1）证明见解析；（2）313AP=，512.【解析】【分析】（1）连接OB，利用圆的性质及全等三角形性质证得OAPA⊥即可推理得证.（2）由（1）的信息，利用勾股

定理及相似三角形性质求出PA；连接BE，可得//OCBE，再利用平行线推比例式求出BD，进而求出tanD.【小问1详解】连接OB，由OPAB⊥，得C是弦AB的中点，即OP垂直平分线段AB，于是PAPB=，而,OAOBOPOP==，则OPA≌OP

B△，因此OAPOBP=，又PB切O于点B，则90OAPOBP==，即OAPA⊥，所以PA是O的切线.【小问2详解】由23OCAC=，4OC=，得226,213ACAOOCAC==+=，由（1）知，90OAPOCA==，又AOPCOA=，则AOP∽COA，因此32PAAC

AOOC==，所以313PA=；由（1）得313PBPA==，2213OPAOAP=+=，连接BE，由AE为O的直径，得90EBAOCA==，则//,28BEOCBEOC==，于是813BDBEPDOP==，即813313BDBD=+，解得24135BD=，在RtOBD△

中，2135tan1224135OBDBD===.19.已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC=12cm，BD=16cm.点P从点B出发，方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，直线E

F从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为1cm/s，EF⊥BD，且与AD，BD，CD分别交于点E，Q，F；当直线EF停止运动时，点P也停止运动.连接PF，设运动时间为t（s）（08t）.解答下列问题：（1）当t为何值时，四边形APFD是平行四边形？

（2）设四边形APFE的面积为y（2cm），求出y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使S四边形APFE：S菱形ABCD=17：40？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由.【答案】（1）当40s9t=时，四边形APFD是平行

四边形（2）2364845ytt=−++（3）存在，t=4【解析】【分析】（1）当APDF=时，四边形APFD为平行四边形，用t表示出10APt=-，54DFt=，列等式计算；（2）作高CM，利用面积相等求出CM的长，由图可知：四边形APFE的面积四边形APFD的面

积EFD−的面积；代入求出y与t之间的函数关系式；（3）先计算菱形ABCD的面积，再将（2）得到的y代入到式子:17:40APFEABCDSS=四边形菱形中，解出即可．【小问1详解】四边形ABCD为菱形，1116822BOBD===，1112622AOAC===，ACBD⊥，22681

0AB=+=，由题意可知：BPt=，DQt=，则10APt=-，//FQOC，FQDQOCOD=，68FQt=，34FQt=，EFBD⊥，由勾股定理得：2235()44DFttt=+=，//ABCD，//APDF，当APDF=时，四边形APFD

为平行四边形，则5104tt−=，409t=；所以当409t=时，四边形APFD是平行四边形；【小问2详解】过C作CMAB⊥于M，则Δ11··22ABCSACBOABCM==，ACBOABCM=，12810CM

=，9.6CM=，则()2Δ151339.61021.24824244EFDAPFDySStttttt=−=−+−=−++四边形；【小问3详解】存在，1112169622ABCDSACBD===菱形，:17:40AP

FEABCDSS=四边形菱形，则231.2481749640tt−++=，258480tt−−=，解得：14t=，2125t=−（舍去），08t，4t=符合题意，当4t=时，:17:40APFEABCDSS=四边形菱形．20.为控制

H7N9病毒传播，某地关闭活禽交易，冷冻鸡肉销量上升.某公司在春节期间采购冷冻鸡肉60箱销往城市和乡镇.已知冷冻鸡肉在城市销售平均每箱的利润y1（百元）与销售数量x（箱）的关系为()()115,0201017.5,206040xxyxx+=

−+，在乡镇销售平均每箱的利润2y（百元）与销售数量t（箱）的关系为()()26,03018,306015tytt=−+（1）t与x的关系是：将2y转化为以x为自变量的函数

，则2y等于？（2）设春节期间售完冷冻鸡肉获得总利润W（百元）当在城市销售量x（箱）的范围是020x时，求W与x的关系式；（总利润=在城市销售利润+在乡镇销售利润）（3）经测算，在20x30的范围内，可以获得最大总利润，并求出此时x

的值.【答案】（1）60tx=−，()()214,030156,3060xxyx+=；（2）21524030Wxx=++；（3）30x=，最大382.5【解析】【分析】（1）将60tx=−代入解析式2y可得；（2）根据自变量范围，选择相应解析式计算最大利润即可；

（3）根据自变量范围，选择相应解析式表示出W，然后由二次函数性质可得.【小问1详解】由题知，60tx=−，则()()()26,060301608,30606015xyxx−=−−+−()()6,3060

14,03015xxx=+，即()()214,030156,3060xxyx+=.【小问2详解】当在城市销售量x（箱）的范围是020x时，在乡镇销售量为()6040,60x−，所以()21115460524

0101530Wxxxxxx=+++−=++.【小问3详解】当20x30时，()211157.54016024401512021Wxxxxxx=−+++−=−++，由二次函数性质知，函数开口向下且对称轴为450301

1x=，当30x=时，最大值2max133030360382.5402W=−++=（百元）.21.如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为()2,2−，点B的坐标为（6,6），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点E.（1）求点E的坐

标；求抛物线的函数解析式；（2）点F为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线EF与抛物线交于M、N两点（点N在y轴右侧），连结ON、BN，当点F在线段OB上运动时，求△BON的面积的最大值，并求出此时点N的坐标；（3）连结AN，当

△BON面积最大时，在坐标平面内求使得△BOP与△OAN相似（点B、O、P分别与点O、A、N对应）的点P的坐标.【答案】（1）()0,3E，21142yxx=−（2）273,3,44N（3）15

1515,,,1544【解析】【分析】（1）设直线AB解析式，根据过的点求出设直线AB解析式，求出点E坐标，设抛物线解析式，根据过的点求出设抛物线解析式；（2）求出直线OB的解析式，设过N点且与直线OB平行的

直线解析，当点N到BO的距离最大时BON△面积最大，求出点N坐标，求出BON△面积；（3）过点A作ASGQ⊥于S，证明OANNOB=，所以ON的延长线存在一点P使得~BOPOANVV，设出点P的坐标，列出方程求出点P坐标.【小

问1详解】设直线AB解析式为ykxb=+，所以2266kbkb−+=+=，所以123kb==，所以132yx=+，令0x=得(0,3)E，设抛物线解析式为2yaxbxc=++，所以42236660abcabcc−+=++==，所以14120abc

==−=，所以21142yxx=−；【小问2详解】由题意得直线OB的解析式为yx=，设过N点且与直线OB平行的直线解析式为yxm=+，联立21142yxxyxm=−=+，过N点与OB平行的直线与抛物线有唯一公共点，则点N到B

O的距离最大，所以BON△面积最大，解得94m=−，3x=，34y=，即3(3,)4N，此时BON△面积为13132766(6)332424412−+−=；【小问3详解】过点A作ASGQ⊥于S，因为(2,2)A−，(6,6)B，3(3,)4N，所以45AOEOASBOH==

=，3OG=，34NG=，54NS=，5AS=，在RtSAN△和RtNOGV中，1tan4tanSANNOG==，所以SANNOG=，所以OASSANBOGNOG−=−，所以OANNOB=，所以ON

的延长线存在一点P使得~BOPOANVV，所以BOOPBPOAANON==，因为(2,2)A−，3(3,)4N，所以62BO=，22OA=，5174AN=，3174ON=，所以15174OP=，9174BP=，设(4,)Pxx，所以2221517

16()4xx+=，所以415x=，因为P和P关于直线yx=对称，所以15(15,)4P或15(,15)4.【点睛】关键点点睛：本题（3）关键在于过点A作ASGQ⊥于S，证明OANNOB=，ON的延长线存在一点P使得~BOPOANVV.