【文档说明】河北省大数据应用调研联合测评2023-2024学年高三下学期2月月考试题 数学 含解析.docx，共(14)页，1.097 MB，由管理员店铺上传

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绝密★启用前河北省2024届高三年级大数据应用调研联合测评（V）数学班级__________姓名__________注意事项1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级和考号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z满足()202

412iiz−=（i为虚数单位），则z=（）A.12i5+B.12i5−C.12i5+−D.2i15−2.已知,ab为平面向量，其中||1,||2,1abab===，则2ba−=（）A.1B.2C.23D.43.德国数学家康托尔在其著作《集合论》中给出正交集合的定义：若集合A和B

是全集U的子集，且无公共元素，则称集合AB､互为正交集合.规定空集是任何集合的正交集合.若全集()221log13,,7100,UxxxAxxxx=+=−+NN∣∣„，则集合A关于集合U的正交集合B的个数为（）A.8B.16C.32D.644.某小学为提高课后延时

服务水平和家长满意度，对该校学生家长就服务质量､课程内容､学生感受､家长认可度等问题进行随机电话回访.某天共回访5位家长，通话时长和评分情况如下表：时长x（分钟）1012141519评分y60m751.25m+90根据散点图分析得知y与x具有线

性相关关系且求得其回归方程为ˆ3.229.8yx=+，则m=（）A.61B.63C.65D.675.已知函数()()3cos(0)fxx=+满足对于任意xR都有()π3fxf„.若函数()fx在区间ππ,82

上有且仅有一个零点，则的最大值为（）A.3B.214C.154D.56.已知ab､均为正实数，且满足132ab+=，则232123ab+−−的最小值为（）A.2B.22C.23D.267.陀螺是中国传统民俗

体育游戏，流传甚广，打陀螺已被列入第五批国家级非物质文化遗产代表性项目名录.陀螺结构分为上下两部分：上部分为木质件，下部分为球形钢珠.其中木质件的形状为上部是底面半径为2.2cm，高为1.63cm的圆柱，下部为上底半径为2.2cm，下底半径为0.21cm，高为0

.78cm的圆台.若陀螺的木质件由一个球形原料经车床一次性车制而成，那么原料的半径最小为（）A.2.21cmB.2.22cmC.2.23cmD.22cm8.已知圆221:4Cxy+=上有一动点P，圆222:(2

)(3)1Cxy−+−=上有一动点Q，直线:30lxy−+=上有一动点M，直线PM与圆1C相切，直线QM与圆2C相切，则PMQM+的最小值为（）A.4B.5C.26D.142+二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部

分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知()()π53,0,,cos,sin2135+=−=，则（）A.()12sin13+=B.()4cos5−=−C.63sin26

5=D.tan33tan7=10.双曲抛物面又称马鞍面，其形似马具中的马鞍表面而得名.其在力学､建筑学､美学中有着广泛的应用.在空间直角坐标系中，将一条xOz平面内开口向上的抛物线沿着另一条yOz平面内开口向下的抛物线滑动（两条抛物线的顶点重合）所形成的就是马鞍面，其坐标

原点被称为马鞍面的鞍点，其标准方程为22222(0,0)xyzabab−=，则下列说法正确的是（）A.用平行于xOy平面的面截马鞍面，所得轨迹为双曲线B.用法向量为()1,0,0的平面截马鞍面所得轨迹为抛物线C.用垂直于y轴的平面截马鞍面所得轨迹为双曲线D.用过原点且法向量为(

)1,1,0的平面截马鞍面所得轨迹为抛物线11.已知函数()fx是定义在R上的连续可导函数，且满足①()()32226128fxfxxxx−−=−+−；②()fx为奇函数，令()()3gxfxx=+，则下列说法正确的是（）A.()gx的图象关于1x=对称B.()13f=−C.

()320242024f=D.()2202332023f=−三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.第14题第一空2分，第二空3分.12.已知()42260126(2)23xxxaaxaxax+

+=++++，则4a=__________.13.已知椭圆22221(0)xyabab+=的左､右焦点分别为12FF､，点P为第一象限内椭圆上一点，12FPF的内心为()1,3I，且130FPI=，则椭圆的离心率为__________

.14.已知数列na满足12a=，且2142nnnaaa+=++，则na=__________；令11131nnnbaa+=+++，若nb的前n项和为nS，则nS=__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字

说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知函数()21ln(0)2mfxxmx=+−.（1）当1m=时，求曲线()yfx=在点()()1,1f处的切线方程；（2）若()12fx…恒成立，求实数m的取值范围.16.（本小题满

分15分）已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的右焦点F到一条渐近线的距离为1，且双曲线左支上任意一点M到F的距离的最小值为23+.（1）求双曲线C的方程；（2）已知直线:1lykx=

+交C于AB､两点，O为坐标原点，若10OAOB=，求直线l的斜率k的值.17.（本小题满分15分）已知在多面体PQABCD中，平面PADQ⊥平面ABCD，四边形ABCD为梯形，且AD∥BC，四边形PADQ为矩形，其中M和N分别为AD和AP的中点

，7,5,2ABBCADDC====.（1）证明：平面BMN⊥平面QDC；（2）若二面角NBMC−−的余弦值为55−，求直线BQ与平面BMN所成角的正弦值.18.（本小题满分17分）现有红､绿､蓝三种颜色的箱子，其中红箱中有4个红球，2个绿球，2个蓝球；

绿箱中有2个红球，4个绿球，2个蓝球；蓝箱中有2个红球，2个绿球，4个蓝球.所有球的大小､形状､质量完全相同.第一次从红箱中随机抽取一球，记录颜色后将球放回去；第二次要从与第一次记录颜色相同的箱子中随机抽取一球，记录颜色后将球放回去；以此类推，第k+1次是从

与第k次记录颜色相同的箱子中随机抽取一球，记录颜色后放回去.记第n次取出的球是红球的概率为nP，（1）求第3次取出的球是蓝球的概率；（2）求nP的解析式19.（本小题满分17分）设,ab为非负整数，m为正整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记

为()modabm.（1）求证：()332165mod7+；（2）若p是素数，n为不能被p整除的正整数，则()11modpnp−，这个定理称之为费马小定理.应用费马小定理解决下列问题：①证明：对于任意整数x都有()130mod546

xx−；②求方程()9730mod35xxxx+−−的正整数解的个数.河北省2024届高三年级大数据应用调研联合测评（V）数学参考答案及解析题号1234567891011答案BBBCABADACDABABD1.【答案】B【解析】由()202412iiz−

=，得112i12i5z+==−，所以12i5z−=，故选B，2.【答案】B【解析】由||1,||2,1abab===可知2222|2|444442babababa−=−=−+=−+=，故选B.3.【答案】B【解析】集合AB､互为正交集合说明集

合AB､没有公共元素，由已知可得2,3,4,5,6,7,3,4UA==，集合B满足UBAð，故集合B有4216=种可能，故选B.4.【答案】C【解析】由已知得14,460.44xym==+，将点(),xy代入回归方程，即460.443.21

429.8m+=+，解得65m=，故选C.5.【答案】A【解析】由题意可知函数()fx的图象关于直线π3x=对称，且πππ,382，设()fx的最小正周期为T，则函数()fx在区间ππ,82上有且仅有一个零点当且仅当ππππ23438T−−„，即ππ5π6

224„，所以1235„，所以的最大值为3.故选A.6.【答案】B【解析】由132ab+=，得32abab+=，所以()()23649649212321234623abababababab+−+−+==−−−−−−+6493ab+−，又()11314186

4641896222baabababab+=++=+++…，当且仅当418,132,baabab=+=即()12,23224ab+==+=时取等号.

所以23222123ab+−−…，故选B.7.【答案】A【解析】由题意可知当本质件几何体内接于球形原料时，所用原料的半径最小，此时取几何体的轴截面，得到如图所示的图形.则1212121.630.782.41,2.2cm,0.21cmOOOOOOOFOD=+==+==，设外，接球

半径为1,cmROOx=因为2221122222OFOORODOOR+=+=，所以2222222.2,0.21(2.41),xRxR+=+−=①②由①-②得0.21x=代入①得2.21cm

R=，故选A.8.【答案】D【解析】由已知得()()120,0,2,3CC，设直线::30lxy−+=上动点()00,3Mxx+，则22221002004265,1243PMCMxxQMCMxx=−=++=−=−+，则2222000000005326524323222PM

QMxxxxxxxx+=+++−+=+++−+()2222003122010222xx=++−+−++.设()0312,,1,,,022

2ABNx−−，则()22142PMQMANBNAB+=+=+…，当且仅当ABN､､三点共线时取等号，故选D.9.【答案】ACD【解析】因为ππ0,022，所以ππ0π,22

+−−，因为()5cos13+=，所以()()212sin1cos13+=−+=，故A正确；因为()3sin5−=，所以()()24cos1sin5−=−−=，故B错误；()()()()()()1245363sin2sinsincoscossin

13513565=++−=+−++−=+=，故C正确；()12sinsincoscossin13+=+=，①()3sinsincoscossin5

−=−=，②①+②得992sincos65=，②-①得212sincos65=，上述两式相除即可得992sincos3365212sincos765==，则tan33tan7=，故D正确.故选ACD.10.【答案】

AB【解析】平行于xOy平面的面中z为常数，不妨设为()000zz，得220222xyzab−=，故所得轨迹是双曲线，A正确；法向量为()1,0,0的平面中x为常数，不妨设为0x，则2222022bxybza=−+，为抛物线方程，故B正确；垂直于y轴的平面中y为常数，不妨设为0y，则2

222022ayxazb=+，为抛物线方程，故C不正确；设平面上的点坐标为(),,Axyz，因为平面过原点且法向量为()1,1,0n=，由0OAn=，得0xy+=，故yx=−，代入马鞍面标准方程，得222112xzab−=，当

ab=时，方程为0z=，不是抛物线.故D不正确.故选AB.11.【答案】ABD【解析】由()()3gxfxx=+，则()()322(2)gxfxx−=−+−，所以()()()22gxgxfx−−=−−()()()3432(2)2261280fxxxfxfxxxx+−−=−−−+−+=.所以()

()2gxgx−=.所以()gx的图象关于1x=对称.又因为()fx是奇函数.故()gx为奇函数.所以()gx为周期为4的周期函数.对于A.由上面分析得()gx的图象关于1x=对称.A正确：对于B.因为()gx的图象关于1x=对称.故(

)10g=.因为()()23gxfxx=+.故()()1133fg=−=−.B正确：对于()()()3C.20240020242024ggf===+，故()320242024f=−.C错误.对于D.因为()gx为周期为4的奇函数.故(

)gx为周期为4的偶函数，()()()()22023110202332023gggf=−===+，故()2202332023f=−，D正确.故选ABD.12.【答案】72【解析】【解析】4(2)x+的展开式的通项为

4142rrrrTCx−+=，则1332222242428,224TCxxTCxx====，则42428372a=+=.13.【答案】35111−【解析】设内切圆I与x轴､12PFPF､分别切于

点ABC､､，故点A的坐标为()1,0，则由切线长定理可知11221,,1AFFBcBPCPAFCFc==+===−，且内切圆半径3r=.在RtBPI中，130,3FPIBIr===，故3BPCP==，所以12124,2,PFc

PFcFPF=+=+的周长为46c+.由等面积法可知()12121211sin6022PFPFFFrPFPF++=.即()()()134634224ccc+=++，整理得2240cc−−=，解得15c=+或15c=−（合）.由椭圆的定义得122

26PFPFac+==+.所以345ac=+=+.所以153511145cea+−===+.14.【答案】222n−（2分）1211321n+−−（3分）【解析】由2142nnnaaa+=++，可得21244nnnaaa++=

++，即()2122nnaa++=+.两边取以4为底的对数得()()414log22log2nnaa++=+，则数列()4log2na+是以1为首项，2为公比的等比数列.所以()14log22nna−+=.所以1224222nnna−=−=−.由214

2nnnaaa+=++，得()()2114313nnnnnaaaaa++=++=++，则()()111111113213nnnnnaaaaa+==−+++++，得1211113nnnaaa+=−

+++，故1111113111nnnnnbaaaa++=+=−++++.所以1211111111321nnnSaa++=−=−++−.15.【解】（1）()233122(0)mxmfxxxxx−=−=，当1m=时.()11f=−，()111122f=−=.所以曲线()yf

x=在点(1,(1))f处的切线方程为()112yx−=−−.即302xy+−=.（2）由（1）得()244122(0)mxmfxxxxx−=−=.因为0m.所以由()0fx=，得2xm=，所以当()0,2xm时，()()0,fxfx单调递诚；当()2,xm+时

.()()0,fxfx单调递增.所以()min()2ln2fxfmm==.10分由()12fx…，得min1()ln22fxm=…，解得e2m….所以实数m的取估范围为e,2+.16.【解】（1）双曲线2

222:1(0,0)xyCabab−=的一条渐近线方程为byxa=，故右焦点(),0Fc到直线y=bxa的距离为22bcbab=+.所以1b=.由题意知23ac+=+.故221,2,1,232332323bccacaacaacca==−=−=−+=+

=+=++=+因此双曲线22:13xCy−=.（2）设()()1122,,,AxyBxy.将了线l与双曲线C的方程联立得22113ykxxy=+−=，消去y整理得()2231660kxkx−++=，()222310,3624310,

kkk−=−−解得223k，且213k，2122263511103131kOAOBxxkk+=+=+==−−.解得259k=，满足题意.所以53k=.17.【解】（1）证明：四边形PADQ为矩形，DQAD⊥，又平面PADQ⊥平面ABCD

.平面PADQ平面,ABCDADDQ=⊥平面,ABCDDQBM⊥.在BC边上取点E，使2CEAD==，连接AE，又AD∥,CE四边形AECD为平行四边形.2AE=.在ABE中，3BEBCCE=−=，由余弦定理知.2224971cos22232AEBE

ABAEBAEBE+−+−===，故60AEB=.过点A作AFBC⊥于F，在RtAEF中.sin3,AFAEAEBEFAE===.cos1AEB=.故2BFBEEF=−=.以AFADAP､､所在组线分别为x轴､y轴､z轴，建立如图所示空间直角坐标系，所以()3,2,0B−，()()

()()()0,1,0,0,20,3,3,0,3,3,0,3,1,0,33MDCBMDCBMDC=−==−+3100,BMCD+=⊥.又.CDDQDBM=⊥平面QDC，又BM平面BMN，平面BMN⊥平面QDC

.（2）平面BMC的一个法向量为()0,0,1m=，设()N0,0,(0)hh，则()0,1,MNh=−，设平面BMN的法向量为(),,nxyz=.则0,0.nBMnMN==即3300xyyhz−

+=−+=.取1z=.则3xhyh==.平面BMN的一个法向量为()3,,1nhh=.设二面角NBMC−−的平面角为.则2215coscos,531mnmnmnhh====++，解得1h=.平面BMN的一个法向量为()311n=，

()()0.2,2,3,4.2QBQ=−.设BQ与平面BMN所成角为.则3115sincos115nBQnBQnBQ===.18.【解】（1）设第n次取出的球是绿球､蓝球的概率分别为nnab､.显然111111,,244Pab===

.则211121112111111311151115,,24484241644216PPabaPabbPab=++==++==++=.故32221112144264bPab=++=.（2）由上述规律可知111111111111244111424111.442nn

nnnnnnnnnnPPabaPabbPab−−−−−−−−−=++=++=++①②③将②-③得()1114nnnnabab−−−=−.111,4nnabab===.代入①得111122nnnPPa−−=+，又11,21,2nnn

nnnnPPabPaa−++=+==，11144nnPP−=+.1111343nnPP−−=−，又11136P−=，数列13nP−是首项为16，公比为14的等比数列，1111364nnP−−=，1

111643nnP−=+.19.【解】（1）证明：因为33111111111110111111128(71)C7C7C71==+=++++，所以332被7除所得的余数为1，所以3321+被7除所得的余数为2，又65

被7除所得的余数为2.所以()332165mod7+.（2）①证明：由费马小定理得()130mod13xx−，又()()()()213126661111xxxxxxxxx−=−=−=+−，所以()130

mod7xx−，同理：()()13130mod2,0mod3xxxx−−，因为2,3,7,13都为素数.23713546=，所以()130mod546xx−.②易得()()()()97326

27111xxxxxxxxxx+−−=+−=+−，由费马小定理知道对于任意正整数x都有()70mod7xx−，即()9730mod7xxxx+−−.()()()()()()()97326224254211111

1xxxxxxxxxxxxxxxx+−−=+−=+−++=−++，由费马小定理知道对于任意正整数x都有()50mod5xx−，即()9730mod5xxxx+−−.因为5和7互为质数.所以对于任意的正整数x都有()973

0mod35xxxx+−−.