【文档说明】（新教材）2021-2022学年下学期高一暑假巩固练习2 平面向量的应用【高考】.docx，共(13)页，678.225 KB，由小赞的店铺上传

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一、单选题．1．ABC△的三个内角A､B､C满足sin:sin:sin2:3:4ABC=，则cosA=（）A．29B．78C．158D．1542．若平面四边形ABCD满足：ABCD+=0，()0ABADAC−=，则该四边形一定是（）A．平行四边形B．菱形C．矩形D．正方形3．

在ABC△中，已知()()3bcabcabc+−++=，且2cossinsinBCA=，则ABC△的形状为（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形4．在ABC△中，a，b，c分别为角A，B，C

的对边，若10b=，6A=，且ABC△有唯一解，则a的取值情况是（）A．5a=B．5a=或者10aC．510aD．不确定5．在ABC△中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若()()sinsinabAB+−()sinbcC=+，7a=，则该三角形的外接圆直径为（

）A．14B．7C．733D．14336．在ABC△中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若tan3A=−，ABC△的面积为3a，则bc的最小值为（）A．16B．163C．48D．243暑假练习02平面向量的

应用二、多选题．7．在ABC△中，角A，B，C所对的对边分别为a，b，c，下列命题中正确的是（）A．若ABC，则sinsinsinABCB．若40a=，20b=，25B=，则满足条件的ABC△有且仅有一个C．若cosabC=，则ABC△是直角三角形D．若ABC△为

锐角三角形，且cos23sin20AA−+=．若63bc+=，则ABC△外接圆面积的最小值为98．在ABC△中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且()()::abac++()9:10:11bc+=，则下列

结论正确的是（）A．sin:sin:sin4:5:6ABC=B．ABC△是钝角三角形C．当6c=时，ABC△的面积1574D．若6c=，则9ab+=三、填空题．9．已知()()1,1,1=−=，ab，若a与b的夹角为钝角，求的取值范围为___________．10．如图，某中学校园中央

有一座钟楼，某学生为了测量钟楼高AB，该学生先在钟楼的正西方点C处测得钟楼顶部的仰角为45°，然后从点C处沿南偏东30°方向前进60m到达点D处，在D处测得钟楼顶部的仰角为30°，则钟楼AB的高度是_________m．11．在ABC△中，1cos3BAC=−，2AC=，D是边BC上的点，且

BD＝2DC，AD＝DC，则AB等于_________．四、解答题．12．证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．已知：平行四边形ABCD．求证：222222ACBDABBCCDDA+=+++．13．如图所示，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处31−海里的

B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船，奉命以203海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以20海里/小时的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船应沿什么方向行驶才能最快截获走私船?并求出

所需时间．14．设ABC△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，tanbaB=，且A为钝角．（1）证明：2AB−=；（2）求2sinsinBC+的取值范围．15．在ABC△中，,,abc分别是内角,,ABC所对的边，向量(),3ba=m与()cos,sinBA=n共线．（1）求角B的大小；（2

）若5ac+=，ABC△外接圆面积为163，求ABC△在AC边上的高．16．如图，在圆内接四边形ABCD中，2AB=，4BC=，且,,ACBCBABAC依次成等差数列．（1）求边AC的长；（2）求四边形ABCD周长的最大值．一、单选题．1．【答案】B【解析】因为::sin:sin:sin2

:3:4abcABC==，可设2,3,4(0)akbkckk===，由余弦定理可得()()()2222223427cos22348kkkbcaAbckk+−+−===，故选B．2．【答案】B【解析】ABCD+=0，ABDC=，所以四边形ABCD

为平行四边形，()0ABADAC−=，0DBAC=，所以BD垂直AC，所以四边形ABCD为菱形，故选B．3．【答案】B【解析】由题意，()()sinsinπsinsincossincosAABCBCCB=−=+=+，则2coss

insincossincosBCBCCB=+()sincoscossinsin0BCBCBC−=−=，又BC−−，则BC=，由()()3bcabcabc+−++=，可得22()3bcabc+−=，即222bcabc+−=，所以2221cos22bcaAbc+−==，由0A，知3A

=，综上可知，ABC△的形状是等边三角形，故选B．4．【答案】B【解析】由正弦定理得sin5sinsinbAaBB==，由ABC△有唯一解，当sin1B=时，即90B=∠，ABC△唯一，符合条件，可得5a=；当1sin,12B

时，B有两个值，ABC△不唯一，不符合条件；答案与解析当1sin0,2B时，5sinabB=，故BA，ABC△唯一，符合条件，可得10a，故选B．5．【答案】D【解析】由已知，()()()sinsinsinabABbcC+−=+，由正

弦定理可得()()()ababbcc+−=+，化简得222bcabc+−=−，所以2221cos222bcabcAbcbc+−−===−，又因为ABC△中，(0,π)A，所以2π3A=，所以2π3sinsin32A==，设三角形的外接圆半径为r，

由正弦定理可得71432sin332arA===，所以该三角形的外接圆直径为1433，故选D．6．【答案】C【解析】因为0A且tan3A=−，则23A=，因为13sin324ABCSbcAbca===△

，所以4bca=，由余弦定理可得()2222222cos316bcabcbcAbcbcbc==+−=++，所以48bc，当且仅当43bc==时，等号成立，故bc的最小值为48，故选C．二、多选题．

7．【答案】ACD【解析】对于A，若ABC，则abc，由正弦定理可得sinsinsinabcABC==，则sinsinsinABC，故A正确；对于B，若402025abB===，，，则40sin2540sin3020=，ab，因此满足条件的ABC△有两个，故B

错误；对于C，cosabC=，则2222abcabab+−=，整理得222acb+=，故ABC△为直角三角形，故C正确；对于D，由cos23sin20AA−+=，可得212sin3sin20AA−−+=，∴()()sin32si

n30AA+−=，又sin0A，∴3sin2A=，又ABC△为锐角三角形，∴3A=，∴()()2222222cos332bcabcbcAbcbcbc+=+−=+−+−()21082744bc+===，当且仅当bc=时，取等号，∴

33a，由正弦定理可得2sinsinsinabcRABC===，（R为外接圆半径）可得32sin3aaRA==，∴ABC△外接圆面积的最小值为9，故D正确，故选ACD．8．【答案】ACD【解析】由()()()::9:10:11abac

bc+++=，得::4:5:6abc=，在ABC△中，由正弦定理得sin:sin:sin::4:5:6ABCabc==，A正确；依题意，角C是最大角，2221cos028abcCab+−==，则C是锐角，ABC△是锐角三角形，B不正确；当6c=时，4,5ab==，237sin1cos

8CC=−=，1157sin24ABCSabC==△，9ab+=，C，D都正确，故选ACD．三、填空题．9．【答案】()(),11,1−−−【解析】a与b的夹角为钝角，所以0ab且a与b不共线，由()()1,1,110=−=−ab，得1，由a与b不共线，得()10−−

，1−，所以的取值范围为()(),11,1−−−，故答案为()(),11,1−−−．10．【答案】30【解析】由题意知：45,60,30,60ACBBCDADBCD====，设ABx=，则,3tan45tan30ABABBCxDBx====，2222co

s3BDCDCBCDCB=+−，即221336002602xxx=+−，解得30x=或60−（舍去），故答案为30．11．【答案】3【解析】设,DCxABy==，因为BD＝2DC，AD＝DC，所以3,BCxADDCx===，

在ADC△中，由余弦定理可知2222241cos24ACCDADxxCACDCxx+−+−===，在ABC△中，由余弦定理可知2222249cos212ACCBABxyCACBCx+−+−==，于是有222249198(1)12xyxyxx+−=−=，在ABC△中，由余弦定理可知22

222491cos243ABCACByxAABACy+−+−===−，22273412(2)xyy−−=，把(1)代入(2)中得，3y=，故答案为3．四、解答题．12．【答案】证明见解析．【解析】证明：不妨设A

B=a，AD=b，则AC=+ab，DB=−ab，22AB=a，22AD=b，得222()()2ACACAC=+=+=++abababab①同理222()()2DBDBDB=−=−=+−abab

abab②，①+②得：222222222222ACDBABADABADBCCD+=+=+++=+（））（ab，所以，平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和，得证．13．【答案】缉私船应沿北偏东60°的方

向行驶，才能最快截获走私船，大约需要620小时．【解析】设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获（在D点）走私船，则203CDt=海里，20BDt=海里．在ABC△中，由余弦定理，有2222212cos(31)22(31)262BCABACABACA=

+−=−+−−−=，则6BC=．又sinsinBCACBACABC=，2sin1202sin26ABC==，∴45ABC=，故B点在C点的正东方向上．∴9030120CBD=

+=，在BCD△中，由正弦定理得sinsinBDCDBCDCBD=，sin20sin1201sin2203BDCBDtBCDCDt===，∴30BCD=，则缉私船应沿北偏东60°的方向行驶．又在BCD△中，120CBD=，30DCB=，∴30

CDB=，6BDCB==，206BDt==，解得620t=，故缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要620小时．14．【答案】（1）证明见解析；（2）31,2．【解析】（1）tanbaB=，sinsinsintansincosBBABAB

==，sin1cosAB=，sincosAB=，因为A为钝角，sinsin()cossin2AABB=−==−，因为A−，2B−均为锐角，故2AB−=−，即2AB−=．（2）2AB

−=，2AB=+，()22CABB=−+=−．22sinsin2sinsin22sincos22sin12sin2BCBBBBBB+=+−=+=+−，02B，0222CB=−，04B

，2sin0,2B．当1sin2B=时，2sinsinBC+取得最大值为32；当sin0B=时，2sinsinBC+取得最小值1，所以2sin0,2B时，2sinsinBC+的取值范围为31,2．1

5．【答案】（1）3；（2）338．【解析】（1）解：因为(),3ba=m与()cos,sinBA=n共线，∴sin3cosbAaB=，∴sinsin3sincosBAAB=，∵sin0A，∴sin3cosBB=，即tan3B=，∵0

B，∴3B=．（2）∵ABC△外接圆面积为163，∴ABC△外接圆半径为433，∵3sin432bB=，解得4b=，又∵5ac+=，根据余弦定理得()2222222cos3bacacBacacacac=+−=+−=+−，∴1625

3ac=−，得3ac=，∴ABC△的面积为11333sin32224acB==，设ABC△在AC边上的高为h，则133424h=，解得338h=．16．【答案】（1）23；（2）10．【解析】（1）因为,,ACBCBABAC依次成等差数

列，所以2ACBBACCBA+=，又ACBBACCBA++=，所以3CBA=，又2AB=，4BC=，则由余弦定理得：22212cos416224122ACABBCABBCCBA=+−=+−=，所以2

3AC=．（2）由圆内接四边形性质及3CBA=，知23ADC=，在ADC△中，由余弦定理得()22222cosDCCDADCACADDCADADDCAD=+−=+−，又因为()24AADDCDCD+（当且仅当

ADDC=时“=”成立），所以()223124AADCCD+=，即4ADDC+，则四边形ABCD周长最大值24410++=．