【文档说明】山西省阳泉市第一中学校2023-2024学年高二上学期开学分班数学试题 含解析.docx，共(17)页，965.654 KB，由小赞的店铺上传

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阳泉一中2023年高二分班考试试题数学考试时间120分钟分值150一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一项是符合要求的）1.已知实数集为R，集合3Mxx=，1Nxx=，则RMCN=A.B.13xxC.13xxD.13xx【答案

】C【解析】【详解】分析：先求出RCN，再根据集合的交集运算，即可求解结果.详解：由题意，集合1Nxx=，所以1RCNxx=，又由集合3Mxx=，所以RMCN=13xx，故选C.点睛：本题主要考查了集合的混合运算，熟练掌握集合的交集、并集、补集的运算是解答的关键，

着重考查了推理与运算能力.2.设i是虚数单位，若复数1izi=+，则z的共轭复数为（）A.1122i+B.112i+C.112i−D.1122i−【答案】D【解析】【分析】利用复数的四则运算化简z，再得出z的共轭复

数.【详解】(1)111(1)(1)222iiiziii−+===++−1122zi=−故选：D【点睛】本题主要考查了复数的除法以及求共轭复数，属于基础题.3.甲盒中有一个红球，两个白球，这三个球除了颜色外完全相同，有放回地连续抽取两次，每次从中任意抽取

一个，取出的两个球中至少有一个白球的概率为（）A.19B.13C.23D.89【答案】D【解析】【分析】首先分析总的基本事件个数，再分析满足题意的事件的基本事件个数，最后根据古典概型求出概率即可.【详解】由题意可知，设抽到红球为事件A，抽到两个白球分别为

事件12,BB则基本事件共有AA,1AB,2AB,1BA,11BB,12BB,2BA,21BB,22BB共9个，则取出的两个球中至少有一个白球由8个基本事件，所以由古典概型可知：89P=,故选：D【点睛】有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基

本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.4.已知关于x的不等式20xmxn++的解集为12xx−，则mn−的值为（）A.1

B.1−C.3D.3−【答案】A【解析】【分析】由题得1−、2为方程20xmxn++=的根，将1−代入20xmxn++=，即得解【详解】由题得1−、2为方程20xmxn++=的根，将1−代入20xmxn++=，得10mn−+=，即1mn−=，故选：A5.若正

数,xy满足40xyxy+−=，则xy+的最小值为A.9B.8C.5D.4【答案】A【解析】【分析】将x+4y＝xy，转化为411xy+=，再由x+y＝（x+y）（41xy+）展开后利用基本不等式可求出x+y的最小值．【详解】∵x＞0，y＞0，x+4y＝xy，∴4

11xy+=,∴x+y＝（x+y）（41xy+）＝5+4xyyx+≥5+24xyyx＝9，当且仅当x＝2y取等号，结合x+4y＝xy，解得x＝6，y＝3∴x+y的最小值为9，故答案为A．【点睛】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推

理能力与计算能力，属于中档题．解决二元的范围或者最值问题，常用的方法有：不等式的应用，二元化一元的应用，线性规划的应用，等.6.要得到函数4ysinx=−（3）的图象，只需要将函数4ysinx=的图象A.向左平移12个单位B.向右平移12个

单位C.向左平移3个单位D.向右平移3个单位【答案】B【解析】【详解】因为函数sin4sin[4()]312yxx=−=−，要得到函数43ysinx=−的图象，只需要将函数4ysinx=的图象向右平移12个单位．本题选择B选

项.点睛：三角函数图象进行平移变换时注意提取x的系数，进行周期变换时，需要将x的系数变为原来的ω倍，要特别注意相位变换、周期变换的顺序，顺序不同，其变换量也不同．7.设非零向量abc，，满足abcabc

==+=，，则a与b的夹角为（）A.150B.120C.60D.30【答案】B【解析】【分析】设=1abc==，由abc+=平方化简计算可得.详解】解：设=1abc==，由abc+=平方，得2222ababc++=，1121ab++=，化简得12ab=−，

1cos2ab=−，1cos2=−，又0,180120=.故选：B8.棱长为1的正四面体ABCD中，点E，F分别是线段BC，AD上的点，且满足13BEBC=，14AFAD=，则AECF=（）A.132

4−B.12−C.12D.1324【答案】A【解析】【分析】设ABa=，ACb=，ADc=uuurr，以这3个向量为空间中的基底，将AECF转化为基底的数量积运算，即可得答案.【详解】设ABa=，ACb=，ADc=uuurr，

由题意可得121()333AEABBEabaab=+=+−=+，14CFcb=−，则211334AECFabcb=+−2121163123acabbcb=−+−11211111316232122324=−+−=−

.故选：A.【点睛】本题考查空间向量基本定理的运用、数量积运算，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意基底思想的运用.二、多选题（共4小题，每小题5分，共20分，每小题有多项符合要求，全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错的不得分）9.不等式24x成立

的充分不必要条件可以是（）A.(,2x−B.)2,x+【C.(),2x−D.1,2x【答案】CD【解析】【分析】求出不等式的解，然后概率充分必要条件的定义判断．【详解】由24x得2x，因此A是充要条件，B既不是充分条件也不是必要条件，CD是

充分不必要条件．故选：CD．10.已知复数121izi+=+−（i为虚数单位），则（）A.z的共轭复数z的虚部为i−B.2z−为纯虚数C.2z的模为5D.若在复平面内，向量AB对应的复数为z，向量CB对应的复数为13i−+，则

向量CA对应的复数为32i−+【答案】BCD【解析】【分析】由已知复数相等，应用复数的四则运算得2zi=+，结合各选项的描述即可判断正误.【详解】21(1)22212iizii++=+=+=+−，A：2zi=−，虚部为1−，错误；B：222zii−=+−=，

正确；C：22(2)34zii=+=+，所以2||5z=，正确；D：(2,1),(1,3)ABCB==−，由(3,2)CACBBACBAB=+=−=−，其对应的复数为32i−+，正确.故选：BCD.11.已知A、B是随机事件，则下列

结论正确的是（）A.若A、B是互斥事件，则()()()PABPAPB=B.若A、B是对立事件，则A、B是互斥事件C.若事件A、B相互独立，则()()()PABPAPB+=+D.事件A、B至少有一个发生的概率不小于A、B恰好有一个发生的概率【答案】BD【解析】【分析】

利用互斥事件的定义可得出AB=，进而可判断A选项；利用对立事件的定义可判断B选项；利用并事件的概率公式以及独立事件的概率公式可判断C选项；列举两个事件所包含的基本情况，可判断D选项.【详解】对于A选项，若A、B是互斥事件，则AB=，则()()()0PABPAP

B=，A错；对于B选项，若A、B是对立事件，则A、B是互斥事件，B对；对于C选项，若事件A、B相互独立，则()()()()()()()()()()PABPAPBPABPAPBPAPBPAPB+=+−=+−+，C错；对于D选

项，事件A、B至少发生一个包含三种情况：AB、AB、AB，事件A、B恰好发生一个包含两种情况：AB、AB，因此，事件A、B至少有一个发生的概率不小于A、B恰好有一个发生的概率，D对.故选：BD.12.如图，在长方形ABCD中，2AB=，1BC=，E为DC的中点

，F为线段EC(端点除外)上一动点.现将AFD△沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD内过点D作DKAB⊥，K为垂足.设AKk=，则k的取值可以是（）A.12B.23C.34D.1【答案】BC【解析】【分析】首先连接KF，设DFm=，()1,2m，根据面面垂直的性质得到DK⊥平面

ABC，从而得到DKKF⊥，利用勾股定理得到21DKk=−，221KFmk=−+，21AFm=+，根据DFAFAB==得到22111mmkm=++，即可得到1mk=，再根据()1,2m即可得到答案.【

详解】连接KF，设DFm=，()1,2m.因为平面ABD⊥平面ABCAB=，DKAB⊥，所以DK⊥平面ABC.又因为KF平面ABC，所以DKKF⊥.在RTADK△中，21DKk=−，在RTDKF△中，22

1KFmk=−+，在RTADF中，21AFm=+，设DFAFAB==，在DAF△中，2cos1mm=+，在AKF中，()222222111cos211mkmkkmkm++−−+==++，所以2211

1mmkm=++，即1mk=又因为()1,2m，所以1,12k.故选：BC三、填空题（本题共4个小题，每题5分，共20分）13.已知函数1,0()2,0xxxfxx−=，则((1))ff−=________.【答案】4【解析】【分析】本题根据分段函数由内

向外求函数值即可.【详解】解：∵1,0()2,0xxxfxx−=，.∴(1)1(1)2f−=−−=，2((1))(2)24fff−===，故答案为：4.【点睛】本题考查分段函数求函数值，是基础题.14.已知(2,3)a=，(,2)bx=，若ab

⊥，则x=______.【答案】3−【解析】【分析】根据给定条件，利用垂直的坐标表示求解作答.【详解】向量(2,3)a=，(,2)bx=，且ab⊥，则2230abx=+=，所以3x=−.故答案为：3−15.已知

，都是锐角，4sin5=，5cos()13+=，则sin=___________．【答案】1665【解析】【分析】由，都是锐角，得出+的范围，由sin和cos()+的值，利用同角三角函数间的基本关系分别求出cos和sin()+的值，然后把所求式子的角变

为()+−，利用两角和与差的正弦函数公式化简，把各自的值代入即即可求出值．【详解】解：Q，都是锐角，(0,)+，又4sin5=，5cos()13+=，3cos5=，12sin()13

+=，则sinsin[()]=+−sin()coscos()sin=+−+12354135135=−1665=．故答案为：1665【点睛】本题考查了同角三角函数间的基本关系，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键，同时注意角度的范围．16.已知a、b

、c分别为ABC的三个内角A、B、C的对边，且()2222sin30abCabc++−=，点D是边AB上的中点，若1CD=，则ABC的面积最大值为_______．【答案】3【解析】【分析】利用余弦定理可求得tanC的值，可求得角C的值，利用平面向量的数量积结合基本不等式可求得ab的最大

值，再利用三角形的面积公式可求得结果.【详解】因为()2222sin30abCabc++−=，所以，2sin23cos0abCabC+=，即sin3cos0CC+=，所以，tan3C=−.0C，解得23C=.()()111222CDCAA

DCAABCACBCACACB=+=+=+−=+，所以，()22222222422cosCDCACBCACBCACBbaabCabab=+=++=++=+−，由基本不等式可得2242ababababab=+−−=，当且仅当2ab==时，等号成立，即ab的最大值为4，所以，13si

n324ABCSabCab==△.故答案为：3.【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑

正弦定理“角化边”；（2）若式子中含有a、b、c的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，

要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.四、解答题（6个题，共70分，解答应写出必要文字说明、证明过程或推演步骤）17.集合A＝{x|x2﹣（2a+1）x+a2+a≤0}，B＝{x|x＜1

或x＞2}，若p：x∈A，q：x∈B，且p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【答案】a＞2或a＜0．【解析】【分析】先求出集合A的范围，结合充分不必要条件的定义，建立不等式关系进行求解即可．【详解】集合A中x2﹣（2a+1）x+a2+a=（x﹣a）（x﹣a﹣1）≤

0得a≤x≤a+1，即A＝{x|a≤x≤a+1}，且B＝{x|x＜1或x＞2}，因为p是q的充分不必要条件，则A⊊B，即a+1＜1或a＞2，解得a＞2或a＜0，实数a的取值范围是a＞2或a＜0．【点睛】本题主要考查充分条件不必要条件的应用，结合条件转化为集合关系是解决本题的关键，属于基础题.18

.已知点A、B、C的坐标分别为()3,0A、()0,3B、()cos,sinC，3,22.（1）若ACBC=，求角的值；（2）若1ACBC=−，求22sinsin21tan++的值.【答案】（1）54；（2）59−【解析】【

分析】（1）根据两向量的模相等，利用两点间的距离公式建立等式求得tan的值，根据的范围求得；（2）根据向量的基本运算根据1ACBC=−，求得sin和cos的关系式，然后用同角和与差的关系可得到52sincos9=−，再

由化简可得22sinsin22sincos1tan+=+，进而可确定答案．【详解】（1）∵ACBC=，∴()()()()22223cos0sin?0cos3sin−+−=−+−化简得tan1=，∵3,22

，∴54=．（2）∵1ACBC=−，∴()()cos3,sincos,sin31−−=−，∴2sincos3+=，∴52sincos9=−，在∴()22sincossincos2sinsin252sincos

1tansincos9++==−++＝．【点睛】本题主要考查两角和与差的基本关系和三角与向量的综合题，属于中档题.19.如图，在棱长为1的正方体1111ABCDABCD−中，E点是1DD的中点．（1）证明：1//DB平面11EAC;（2）求

三棱锥111DEAC−外接球的表面积．【答案】（1）证明见解析；（2）94.【解析】【分析】（1）连接11BD交11AC于点F，连接EF，利用中位线的性质可得1//DBEF，利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）将三棱锥111DEAC−补成长方体1111PMN

EABCD−，计算出该长方体的体对角线长，可得出外接球的半径，结合球体的表面积公式可求得结果.【详解】（1）连接11BD交11AC于点F，连接EF，则F为11BD的中点，因为E为1DD的中点，则1//DBEF，1DB平面11EAC，EF平面11EAC，因此，1//DB平面11EAC；（2）将

三棱锥111DEAC−补成长方体1111PMNEABCD−，如下图所示：则长方体1111PMNEABCD−的体对角线长为222131122++=，所以，三棱锥111DEAC−外接球半径为34r=，因此，三棱锥111DEAC−外接球表面积为2944r=.【点睛】方法点睛：

求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接

球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.20.正三棱锥的高为1，底面边长为26，内有一个球与它的四个面都相切，求：（1）棱锥的表面积；（2）内切球

的半径.【答案】（1）92+63；（2）62−.【解析】【分析】（1）根据正三棱锥棱长与锥体的高关系求出锥体的表面积；（2）根据等体积法求出内切球的半径.【详解】（1）如图，过点P作PD⊥平面ABC于D，连结并延长AD交BC于E，连结PE，∵ABC是正三角形，∴AE是BC边上的高和中线，D

为ABC的中心，∵26AB=，∴12632632ABCS==，又1132233DEAE===，∴22221(2)3PEPDDE=+=+=，∴1263322PABPBCPCASSS====△△△，∴三棱锥表面

积为332639263S=+=+表面积；（2）设内切球的半径为r，以球心O为顶点，棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥，∵1PD=，∴11(9263)(3223)33PABCVSrrr−==+=+表面积，由等体积可得23623223r==−+，∴内切球的半径

为62−.【点睛】对于正三棱锥常构造以下四个直角三角形：1、斜高、侧棱、底边的一半构成的直角三角形；（含侧棱与底边夹角）2、高、斜高、斜高射影构成的直角三角形；（含侧面与底面夹角）3、高、侧棱、侧棱射影构成的直角三角形；（含侧棱与底面夹角）4、斜高射影、

侧棱射影、底边的一半构成的直角三角形。第二问解题关键点是几何体内切球的大小用等体积法求其半径．21.习近平总书记指出：“要健全社会心理服务体系和疏导机制、危机干预机制，塑造自尊自信、理性平和、亲善友爱的社会心态.”在2020年新冠肺炎疫情防控阻

击战中，心理医生的相关心理疏导起到了重要作的用.某心理调查机构为了解市民在疫情期的心理健康状况，随机抽取n位市民进行心理健康问卷调查，按所得评分（满分100分）从低到高将心理健康状况分为四个等级：调查评分)40,50)5060，)6070，)7080，)8090，90100，心理等

级有隐患一般良好优秀并绘制如图所示的频率分布直方图.已知调查评分在[70,80)的市民为400人.（1）求n的值及频率分布直方图中t的值；（2）在抽取的心理等级为“有隐患”的市民中，按照调查评分分层抽取3人，进行心理疏导.据以往数据统计，经过心理

疏导后，调查评分在)40,50的市民心理等级转为“良好”的概率为14，调查评分在)50,60的市民心理等级转为“良好”的概率为13，若经过心理疏导后的恢复情况相互独立，试问在抽取的3人中，经过心理疏导后，至少有一人心理等级

转为“良好”的概率为多少?【答案】（1）2000，0.002t=（2）23【解析】【分析】（1）由频率分布直方图数据列式求解，（2）由分层抽样与对立事件的概率公式求解．【小问1详解】由已知条件可得40020000.0210n

==，每组的纵坐标的和乘以组距为1，所以0.84801t+=，解得0.002t=.【小问2详解】由（1）知0.002t=，所以调查评分在[40,50)的人数占调查评分在)50,60人数的12，若按分层抽样抽取3人，则调查评分在[40,50)有1人，

)50,60有2人，因为经过心理疏导后的恢复情况相互独立，所以选出的3人经过心理疏导后，心理等级均达不到良好的概率为32214333=，所以经过心理疏导后，至少有一人心理等级转为良好的概率为322214333P=−=

.22.已知向量33cos,sin22xxa=r，cos,sin22xxb=−，且3,2x.(1)求ab及ab+；(2)求函数()fxabab=++rrrr的最

小值，并求使函数取得最小值时x的值.【答案】(1)cos2x−，2sinx−；(2)当x=时，()min1fx=−.【解析】【分析】(1)由向量的数量积的计算公式和向量的模的计算公式，结合三角恒等变换的公式，

即可求解，得到答案；(2)利用向量的数量积的运算，求得()22sin2sin1fxxx=−−，再结合题设条件和二次函数的性质，即可求解.【详解】(1)由向量的数量积的计算公式，可得33coscossinsincos22222xxxxabx=−+=−，又由2233c

oscossinsin2222xxxxab+=−++3322coscossinsin2222xxxx=−−22cos22sinxx=−=因为3,2x，所以sin0x，所以2sinabx+=−.(2)由

函数()2cos22sin2sin2sin1fxababxxxx=++=−−=−−2132sin22x=−−，因为3,2x，所以1sin0x−，所以当sin0x=，即x=时，函数()fx有

最小值，最小值为()min1f=−.【点睛】本题主要考查了向量的数量积和向量的模的运算，以及三角函数的性质的应用，其中解答中熟记向量的运算公式，合理应用三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.获

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