【文档说明】湖南省郴州市2022-2023学年高三上学期第一次教学质量监测数学试卷word版含答案.docx，共(10)页，684.069 KB，由envi的店铺上传

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郴州市2023届高三第一次教学质量监测试卷数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，

写在本试卷上无效。3.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。4.考试时间为120分钟，满分为150分。5.本试题卷共5页。如缺页，考生须声明，否则后果自负。一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在

每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合2560Axxx=+−，120232023xBx=，则AB=（）A.（3−，1−）B.（2−，1）C.（1−，1）D.（1−，6）2.已知复数z满足13i1iz+=−（i为虚数单位），z是z

的共轮复数，则zz=（）A.5B.5C.10D.103.△ABC中，D为BC中点，设向量ABa=，ACb=，32AEBC=，则DE=（）A.2ab−+B.2ab−C.2ab−D.2ab−+4.某种疾病的患病率为5%，通过验血诊断该病的误诊率为2

%，即非患者中有2%的人诊断为阳性，患者中有2%的人诊断为阴性随机抽取一人进行验血，则其诊断结果为阳性的概率为（）A.0.46B.0.046C.0.68D.0.0685.设正项等比数列na的前n项和为nS，若321238Saa=+，8722SS=+，则2a=（）A.4B.3C.2D

.16.设函数()sin6fxx=−（0），已知()fx在区间0,上有且仅有3个零点，下列结论正确的是（）A.直线76x=是函数()fx的图象的一条对称轴B.的取值范围是1319,66C.()fx的图象向右平移3个单位后所得图象的

函数是奇函数D.()fx在区间()0,上有且仅有2个极值点7.F1、F2是双曲线C：22221xyab−=（0ab）的左、右焦点，过左焦点F1的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A、B两点，若|AB|：|BF2|：|AF2|=12：5：13，则双曲线的离心率为（）A.5

2B.2C.62D.1028.某村计划修建一条横断面为等腰梯形（上底大于下底）的水渠，为了降低建造成本，必须尽量减少水与渠壁的接触面.已知水渠横断面面积设计为6平方米，水渠深2米，水渠壁的倾角为（02），则当该水渠的修建成本最低时的值为（）A.6B.4C.

3D.512二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.如图1，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是菱形，且∠DAB=60°，侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面

ABCD，则下列说法正确的是（）A.在棱AD上存在点M，使AD⊥平面PMBB.异面直线PA与DC所成的角的余弦值为14C.直线PB与平面PAD所成的角为45°D.BD⊥平面PAC10.已知无穷等差数列na的首项为1，它的前n项和为nS，且89SS，9

10SS，则（）A.数列na是单调递减数列B.116SS=C.数列na的公差的取值范围是11,89−−D.当16n时，0nS11.已知抛物线24xy=的焦点为F，M（4，0y）在抛物线上，延长MF交抛物线于点N，抛物线准线与y轴交于点Q，则下列叙述正确的是（）A.

6MF=B.点N的坐标为（1−，14）C.94QMQN=D.在x轴上存在点R，使得∠MRF为钝角12.已知函数()fx，()gx的定义域为R，()'gx为()gx的导函数，且()()'100fxgx+−=，()()'4100fxgx−−−=，若()gx为偶函数，则下列一定成立的有（）

A.()()130ff+=B.()40f=C.()()13ff−=−D.()20220f=三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.若()3sincos0−−=，则2sin2cos−=__

______.14.已知12nxx−（nN）展开式中第5项和第6项的二项式系数最大，则其展开式中常数项是________.15.如图2，已知△ABC的外接圆为圆O，AB为直径，PA垂直圆O所在的平面，且

PA=AB=1，过点A作平面PB⊥，分别交PB、PC于点M、N，则三棱锥P−AMN的外接球的体积为________.16.已知函数()xfxe=，()1ln33xgx=+，对任意mR，存在()0,n+，使()()fmgn=，则nm−的最小值为________.四、解答题（本题共6小题

，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）已知数列na中，11a=，其前n项和为nS，131nnSS+=+.（1）求数列na的通项公式；（2）设31lognnba+=，若数列21nnbb+的前n项

和为nT，求证：34nT.18.（本小题满分12分）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足coscossin2sinACBacC+=.（1）求a；（2）若AD⊥BC于D，且AD=3，求角A的最大值.19.（本小题满分12分）在图3（1）五

边形ABCDE中，ED=EA，AB∥CD，CD=2AB，∠CDE=150°，将△ADE沿AD折起到△SAD的位置，得到如下图3（2）所示的四棱锥S−ABCD，F为线段SC的中点，且BF⊥平面SCD.（1）求证：CD⊥平面SAD；（2）若CD=2SD，求直线BF与平面SBD所成角的正弦值.

20.2022年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事，于2022年2月4日开幕，2月20日闭幕。本次冬奥会极大地鼓舞了中国人民参与冰雪运动的热情，某校短道速滑社团的队员们纷纷加练，训练场内热火朝天，

为了给刻苦训练的运动员们以激励，社团决定开展“训练赢吉祥物”活动，游戏规则如下：有一张共10格的长方形格子图，依次编号为第1格、第2格、第3格、……、第10格，游戏开始时“跳子”在第1格，队员每次完成训练后抛掷一枚均匀的硬币，若出现正面，则“跳子”前进

2格（从第k格到第k+2格），若出现反面，则“跳子”前进1格（从第k格到第k+1格）（k为正整数），当“跳子”前进到第9格或者第10格时，游戏结束.“跳子”落在第9格，则每位队员可以得到一只“雪容融”玩偶，“跳子”落在第10格，则每位队员可以得到一只“冰墩墩”玩偶.记“跳子”前进到第n

格（110n）的概率为nP.（1）求3P；（2）（i）证明数列1nnPP−−（29n）是等比数列；（ii）求该社团参加一次这样的游戏获得“冰墩墩”玩偶的概率.21.（本小题满分12分）已知椭圆E：22221xyab+=（0ab）的离心率为22，过坐标原点O的直线交椭圆E于P

、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC.当C为椭圆的右焦点时，△PAC的面积为2.（1）求椭圆E的方程；（2）若B为AC的延长线与椭圆E的交点，试问：∠APB是否为定值，若是，求出这个定值；若不

是，说明理由.22.（本小题满分12分）已知函数()1xxefxxex=−.（1）求()fx在)1,+上的最小值.（2）设()()1lnxgxfxxexxa=++−−，若()gx有两个零点1x，2x，证明：121xx.郴州市2023届高三第一次教学质量监

测试卷数学参考答案及评分细则一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1-5CAADA6-8BDC二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20

分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9.ABC10.ACD11.BC12.ABD三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.32−14.212−15.π616.3ln3+四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应

写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）（Ⅰ）由题意得131nnSS+=+，131nnSS−=+（2n），两式相减得()113nnnnSSSS+−−=−（2n），13nnaa+=又12131aaa

+=+，11a=，23a=，213aa=，13nnaa+=（nN），na是首项为1，公比为3的等比数列，13nna−=.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知13nna−=，则13nna+=所以313loglog3nnnban+===

，()211111222nnbbnnnn+==−++1111111112324352nTnn=−+−+−++−+11113111122124212nnnn=+−−=−+++++

又nN，34nT.18.（本小题满分12分）（Ⅰ）已知等式化为()coscos2coscos2cAaCbcAaCabacc+=+=()()2sincossincossin2sinsinCAACaBCAaB+=+=2sinsin2BaBa==（

Ⅱ）由已知得ABC△的面积11sin322SbcAaAD===，得到23sinbcA=，又由余弦定理得()22222cos22cos21cosbcbcAbcbcAbcA=+−−=−()()2232sin231cos21cos222sin2sincos22AA

bcAAAA−−3ππtan23263AAA，即角A的最大值为π3.19.（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：设SD中点为N，连接FN，AN则12FNDC∥，又12ABDC∥，FNAB∥，且FNAB=

，ABFN为平行四边形，BFAN∥BF⊥平面SCD，AN⊥平面SCD，ANSD⊥，ANCD⊥；又N为SD中点.ADAS=，又SDAS=，SAD△为等边三角形，60SDA=，又150EDC=，90ADC=，即CD

AD⊥又CDAN⊥，ANADA=，CD⊥平面SAD，（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知CD⊥平面SAD，平面SAD⊥平面ABCD；设O为AD中点，则SOAD⊥，SO⊥平面ABCD以O原点建立空间直角坐标系，设2AD=，则()0,0,3S，()1,2,0B，()1,4,0C−，()1,0,0D−，

13,2,22F−，33,0,22BF=−，3BF=；()2,2,0DB=，()1,0,3DS=设(),,nxyz=为平面SBD得法向量，直线BS与平面SBD所成的角为，则00300xynDB

xznDS+==+==，令1z=−得()3,3,1n=−−，且7n=，33332227sin773nBFnBF−−===.20.解：（Ⅰ）“跳子”开始在第1格为必然事件，11P=.第一次掷硬币出现反面，“跳子”移到第2格，其概率为12，即212P=.第一

次掷硬币出现正面或前两次掷硬币均出现反面，其概率为11132224+=，即334P=.（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）知：11P=，212P=“跳子”前进到第n（39n）格的情况是下面两种，而且只有两种：①“跳子”先到第2n−格，又掷出正面，其概率为212

nP−，②“跳子”先到第1n−格，又掷出反面，其概率为112nP−，211122nnnPPP−−=+，()11212nnnnPPPP−−−−=−−，21102PP−=−，10nnPP−−（29n），当29n时，数列1nnPP−−是等比数列，首项为2112PP−=−，公

比为12−.1112nnnPP−−−=−（29n），（ⅱ）由（ⅰ）得()()()121122111111222nnnnnnnPPPPPPPP−−−−−=−+−++−+=−+−++−+112

12113212nn−−==−−−−（29n）8821255132256P=−−=，10811702256PP==则获得“冰墩墩”玩偶的概率为85256.21.（本小题满分12分

）（Ⅰ）由离心率2222122beaba=−==当C为椭圆的右焦点时，由PCx⊥轴易得2,bPca（其中c为椭圆半焦距）此时22122222PACACCbSScba===△△依题意得222

222bb==，24a=椭圆E的方程为22142xy+=（Ⅱ）设直线AP得方程为ykx=（0k），()00,Axkx−−，()00,Pxkx，()11,Bxy则()0,0Cx，得直线AC的斜率0022ACkxkkx==，直线AC的方程为()02k

yxx=−由()()022222002222280142kyxxkxxkxkxxy=−+−+−=+=由由韦达定理得2001222xkxxk−+=+，2010222xkxxk=++()30110222xkkyxxk=−=+由此得到23000222,22xkxkBxk

k+++()3220000222222222,,,122222xkkxkxxkxkPBkxkkkkkk−=−==−+++++又()()0002,221,PAxkxxk=−−=−()20241102kxPAPBkkk=−+−=

+，PAPB⊥即90APB=22.（Ⅰ）()()1112111xxxxxexxefxeeexxxx−−=−+=−令()1xxehxex=−（1x），()()12210xxexehxxx−=+，()hx在)1,+上单调递增，()()10hxh=，即

10xxeex−()0fx，()fx在)1,+上单调递增，故()()min10fxf==（Ⅱ）()lnxegxxxax=+−−（0x），()11xxegxxx−=+令()01gxx，令()001g

xx.()gx在()0,1上单调递减，在()1,+上单调递增.()gx有两个零点1x，2x，则101x，21x要证121xx，只要证121xx.而101x，2101x，()gx在()0,1上单调递减，所以只证()121gxgx

，而()()12gxgx=，即证()221gxgx.即证：()212222212ln0xxexxxexx+−−−由（Ⅰ）知221220xxexex−.设()12lnpxxxx=−−（1)x），()()22212110

xpxxxx−=−+=.()px在()1,+上单调递增，()()10pxp=，22212ln0xxx−−综上，（*）式成立，即121xx.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue

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