【文档说明】湖南省郴州市2022-2023学年高三上学期第一次教学质量监测数学试卷word版含答案.docx,共(10)页,684.069 KB,由envi的店铺上传
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郴州市2023届高三第一次教学质量监测试卷数学注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂
其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。4.考试时间为120分钟,满分为150分。5.本试题卷共5页。如缺页,考生须声明,否则后果自负。一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共
40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合2560Axxx=+−,120232023xBx=,则AB=()A.(3−,1−)B.(2−,1)C.(1−,1)
D.(1−,6)2.已知复数z满足13i1iz+=−(i为虚数单位),z是z的共轮复数,则zz=()A.5B.5C.10D.103.△ABC中,D为BC中点,设向量ABa=,ACb=,32AEBC=,则DE=()A.2ab−+B.2ab−C.2ab−D.2ab−+4.某种疾
病的患病率为5%,通过验血诊断该病的误诊率为2%,即非患者中有2%的人诊断为阳性,患者中有2%的人诊断为阴性随机抽取一人进行验血,则其诊断结果为阳性的概率为()A.0.46B.0.046C.0.68D.0.0685.设正项等比数列
na的前n项和为nS,若321238Saa=+,8722SS=+,则2a=()A.4B.3C.2D.16.设函数()sin6fxx=−(0),已知()fx在区间0,上有且仅有3个零点,下列结论正确的是()A.直线76x=是函数()fx的图象的一条对称轴B.的取值
范围是1319,66C.()fx的图象向右平移3个单位后所得图象的函数是奇函数D.()fx在区间()0,上有且仅有2个极值点7.F1、F2是双曲线C:22221xyab−=(0ab)的左、右焦点,过左焦点F1的直线l
与双曲线C的左、右两支分别交于A、B两点,若|AB|:|BF2|:|AF2|=12:5:13,则双曲线的离心率为()A.52B.2C.62D.1028.某村计划修建一条横断面为等腰梯形(上底大于下底)的水渠,
为了降低建造成本,必须尽量减少水与渠壁的接触面.已知水渠横断面面积设计为6平方米,水渠深2米,水渠壁的倾角为(02),则当该水渠的修建成本最低时的值为()A.6B.4C.3D.512二、多项选择题(本题共
4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)9.如图1,在四棱锥P−ABCD中,底面ABCD是菱形,且∠DAB=60°,侧面PAD为正三角形,且平面
PAD⊥平面ABCD,则下列说法正确的是()A.在棱AD上存在点M,使AD⊥平面PMBB.异面直线PA与DC所成的角的余弦值为14C.直线PB与平面PAD所成的角为45°D.BD⊥平面PAC10.已知无穷等差数列na的首项为1,它的前n项和为nS,且89SS,910SS,则(
)A.数列na是单调递减数列B.116SS=C.数列na的公差的取值范围是11,89−−D.当16n时,0nS11.已知抛物线24xy=的焦点为F,M(4,0y)在抛物线上,延长MF交抛物线于点N,抛物线准线与y轴交于点Q,则下列叙述正
确的是()A.6MF=B.点N的坐标为(1−,14)C.94QMQN=D.在x轴上存在点R,使得∠MRF为钝角12.已知函数()fx,()gx的定义域为R,()'gx为()gx的导函数,且()()'100fxgx+−=,()
()'4100fxgx−−−=,若()gx为偶函数,则下列一定成立的有()A.()()130ff+=B.()40f=C.()()13ff−=−D.()20220f=三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.若()3sincos0−−=,
则2sin2cos−=________.14.已知12nxx−(nN)展开式中第5项和第6项的二项式系数最大,则其展开式中常数项是________.15.如图2,已知△ABC的外接圆为
圆O,AB为直径,PA垂直圆O所在的平面,且PA=AB=1,过点A作平面PB⊥,分别交PB、PC于点M、N,则三棱锥P−AMN的外接球的体积为________.16.已知函数()xfxe=,()1ln33xgx=+,对任意mR,存在()0,n+,使()()fmgn=,则n
m−的最小值为________.四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知数列na中,11a=,其前n项和为nS,131nnSS+=+.(1)求数列na的通项公式
;(2)设31lognnba+=,若数列21nnbb+的前n项和为nT,求证:34nT.18.(本小题满分12分)△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足coscossin2sinACBa
cC+=.(1)求a;(2)若AD⊥BC于D,且AD=3,求角A的最大值.19.(本小题满分12分)在图3(1)五边形ABCDE中,ED=EA,AB∥CD,CD=2AB,∠CDE=150°,将△ADE沿AD折起到△SAD的位置,得到
如下图3(2)所示的四棱锥S−ABCD,F为线段SC的中点,且BF⊥平面SCD.(1)求证:CD⊥平面SAD;(2)若CD=2SD,求直线BF与平面SBD所成角的正弦值.20.2022年北京冬季奥运会,是由中国举办的国际性
奥林匹克赛事,于2022年2月4日开幕,2月20日闭幕。本次冬奥会极大地鼓舞了中国人民参与冰雪运动的热情,某校短道速滑社团的队员们纷纷加练,训练场内热火朝天,为了给刻苦训练的运动员们以激励,社团决定开展“训练赢吉祥物”活动,游戏规则如下:有一张共10格的长方形格子图,依次编号为第1格、第2格、
第3格、……、第10格,游戏开始时“跳子”在第1格,队员每次完成训练后抛掷一枚均匀的硬币,若出现正面,则“跳子”前进2格(从第k格到第k+2格),若出现反面,则“跳子”前进1格(从第k格到第k+1格)(k为正整数),当“跳子”前进到第9格或者第10
格时,游戏结束.“跳子”落在第9格,则每位队员可以得到一只“雪容融”玩偶,“跳子”落在第10格,则每位队员可以得到一只“冰墩墩”玩偶.记“跳子”前进到第n格(110n)的概率为nP.(1)求3P;(2)(i)证明数
列1nnPP−−(29n)是等比数列;(ii)求该社团参加一次这样的游戏获得“冰墩墩”玩偶的概率.21.(本小题满分12分)已知椭圆E:22221xyab+=(0ab)的离心率为22,过坐标原点O的直线交椭圆E于P、A两点,其中P在第一象
限,过P作x轴的垂线,垂足为C,连接AC.当C为椭圆的右焦点时,△PAC的面积为2.(1)求椭圆E的方程;(2)若B为AC的延长线与椭圆E的交点,试问:∠APB是否为定值,若是,求出这个定值;若不是,说明理由.22.(本小题满分12分)已知函数()1
xxefxxex=−.(1)求()fx在)1,+上的最小值.(2)设()()1lnxgxfxxexxa=++−−,若()gx有两个零点1x,2x,证明:121xx.郴州市2023届高三第一次教学质
量监测试卷数学参考答案及评分细则一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1-5CAADA6-8BDC二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部
分选对的得3分,有选错的得0分)9.ABC10.ACD11.BC12.ABD三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.32−14.212−15.π616.3ln3+四、解答题(本题共6小题,共70
分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)(Ⅰ)由题意得131nnSS+=+,131nnSS−=+(2n),两式相减得()113nnnnSSSS+−−=−(2n),13nnaa+=又
12131aaa+=+,11a=,23a=,213aa=,13nnaa+=(nN),na是首项为1,公比为3的等比数列,13nna−=.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知13nna−=,则13nna+=所以313loglog3
nnnban+===,()211111222nnbbnnnn+==−++1111111112324352nTnn=−+−+−++−+111131
11122124212nnnn=+−−=−+++++又nN,34nT.18.(本小题满分12分)(Ⅰ)已知等式化为()coscos2coscos2cAaCbcAaCabacc+=+=()()2sinco
ssincossin2sinsinCAACaBCAaB+=+=2sinsin2BaBa==(Ⅱ)由已知得ABC△的面积11sin322SbcAaAD===,得到23sinbcA=,又由余弦定理得()22222cos22cos21cosbcbcAbcb
cAbcA=+−−=−()()2232sin231cos21cos222sin2sincos22AAbcAAAA−−3ππtan23263AAA,即角A的最大值为π3.19.(本小题满分12分)(Ⅰ)证明:设SD中点为N,连接FN,AN则12FNDC∥
,又12ABDC∥,FNAB∥,且FNAB=,ABFN为平行四边形,BFAN∥BF⊥平面SCD,AN⊥平面SCD,ANSD⊥,ANCD⊥;又N为SD中点.ADAS=,又SDAS=,SAD△为等边三角形,60
SDA=,又150EDC=,90ADC=,即CDAD⊥又CDAN⊥,ANADA=,CD⊥平面SAD,(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知CD⊥平面SAD,平面SAD⊥平面ABCD;设O为AD中点,则SOAD⊥,SO⊥平面ABCD以O原点建立空
间直角坐标系,设2AD=,则()0,0,3S,()1,2,0B,()1,4,0C−,()1,0,0D−,13,2,22F−,33,0,22BF=−,3BF=;()2,2,0DB=,
()1,0,3DS=设(),,nxyz=为平面SBD得法向量,直线BS与平面SBD所成的角为,则00300xynDBxznDS+==+==,令1z=−得()3,3,1n=−−,且7n=,33332227sin773nBFnBF−−==
=.20.解:(Ⅰ)“跳子”开始在第1格为必然事件,11P=.第一次掷硬币出现反面,“跳子”移到第2格,其概率为12,即212P=.第一次掷硬币出现正面或前两次掷硬币均出现反面,其概率为11132224+=,即334P=.(Ⅱ)(ⅰ)由(Ⅰ)知:11
P=,212P=“跳子”前进到第n(39n)格的情况是下面两种,而且只有两种:①“跳子”先到第2n−格,又掷出正面,其概率为212nP−,②“跳子”先到第1n−格,又掷出反面,其概率为112nP−,211122nnnPPP−−
=+,()11212nnnnPPPP−−−−=−−,21102PP−=−,10nnPP−−(29n),当29n时,数列1nnPP−−是等比数列,首项为2112PP−=−,公比为12−.1112nnnP
P−−−=−(29n),(ⅱ)由(ⅰ)得()()()121122111111222nnnnnnnPPPPPPPP−−−−−=−+−++−+=−+−++−+11212113212nn−−==−−
−−(29n)8821255132256P=−−=,10811702256PP==则获得“冰墩墩”玩偶的概率为85256.21.(本小题满分12分)(Ⅰ)由离心率2222122beaba=−
==当C为椭圆的右焦点时,由PCx⊥轴易得2,bPca(其中c为椭圆半焦距)此时22122222PACACCbSScba===△△依题意得222222bb==,24a=椭圆E的方程为22142xy+=(Ⅱ)设直线AP得方程为ykx=(0k
),()00,Axkx−−,()00,Pxkx,()11,Bxy则()0,0Cx,得直线AC的斜率0022ACkxkkx==,直线AC的方程为()02kyxx=−由()()022222002222280142kyxxkxxk
xkxxy=−+−+−=+=由由韦达定理得2001222xkxxk−+=+,2010222xkxxk=++()30110222xkkyxxk=−=+由此得到23000222,22xkxkBxkk+++()3220000222222222,,,122222xkk
xkxxkxkPBkxkkkkkk−=−==−+++++又()()0002,221,PAxkxxk=−−=−()20241102kxPAPBkkk=−+−=+,PAPB⊥即90
APB=22.(Ⅰ)()()1112111xxxxxexxefxeeexxxx−−=−+=−令()1xxehxex=−(1x),()()12210xxexehxxx−=+,()hx在)1,+上单调递增,()
()10hxh=,即10xxeex−()0fx,()fx在)1,+上单调递增,故()()min10fxf==(Ⅱ)()lnxegxxxax=+−−(0x),()11xxegxxx−=+令()01gxx,令
()001gxx.()gx在()0,1上单调递减,在()1,+上单调递增.()gx有两个零点1x,2x,则101x,21x要证121xx,只要证121xx.而101x,2101x,()gx在()0,1
上单调递减,所以只证()121gxgx,而()()12gxgx=,即证()221gxgx.即证:()212222212ln0xxexxxexx+−−−由(Ⅰ)知221220xxexex−.设()12lnpxxxx=−−(1)x
),()()22212110xpxxxx−=−+=.()px在()1,+上单调递增,()()10pxp=,22212ln0xxx−−综上,(*)式成立,即121xx.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com