【文档说明】专题06 一元一次方程【热考题型】 -2022年中考数学一轮复习精讲+热考题型（全国通用）（解析版）.docx，共(25)页，1.068 MB，由管理员店铺上传

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专题06一元一次方程考查题型一列方程【解题思路】准确找到题中相等关系的量并列出方程1．（2020·青海·中考真题）根据图中给出的信息，可得正确的方程是（）A．2286(5)22xx=+B．2286(5)22xx=−C．2286

(5)xx=+D．22865x=【答案】A【提示】根据题意可得相等关系的量为“水的体积”，然后利用圆柱体积公式列出方程即可.【详解】解：大量筒中的水的体积为：282x，

小量筒中的水的体积为：26(5)2x+，则可列方程为：2286(5)22xx=+.故选A.【名师点拨】本题主要考查列方程，解此题的关键在于准确找到题中相等关系的量，然后利用圆柱的体积公式列出方程即可.

2．（2021·安徽经济开发区·二模）药店销售某种药品原价为a元/盒，受市场影响开始降价，第一轮价格下降30%，第二轮在第一轮的基础上又下降10%，经两轮降价后的价格为b元/盒，则a，b之间满足的关系式为（）A．b＝（1﹣30%）（1﹣10%）aB．b＝（1﹣30%﹣10%）aC．00

0013010ab=++D．0000(130)(110)ab=++【答案】A【详解】解：由题意可知b＝（1﹣30%）（1﹣10%）a故选：A【名师点拨】本题考查列二元一次方程，正确理解题意找到等量关系是关键3．（2021·浙江新昌·一模）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，

书中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x匹，则可列方程为（）A．()33100100xx+−=B．()3100100xx+−=C．()131001003xx+−=D．

()3100100xx+−=【答案】C【提示】根据“大马拉瓦+小马拉瓦=100”可以列出方程．【详解】解：设大马有x匹，则由题意可得：()131001003xx+−=，故选C．【名师点拨】本题考查一元一次方程的应用，熟练掌握列方程的方法是解题关键．考查题型二等式的性质【解题思路】掌握等式的

两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0的数（或字母），等式仍成立．4．（2021·山东聊城·中考真题）若﹣3＜a≤3，则关于x的方程x＋a＝2解

的取值范围为（）A．﹣1≤x＜5B．﹣1＜x≤1C．﹣1≤x＜1D．﹣1＜x≤5【答案】A【提示】先求出方程的解，再根据﹣3＜a≤3的范围，即可求解．【详解】解：由x＋a＝2，得：x＝2-a，∵﹣3＜

a≤3，∴﹣1≤2-a＜5，即：﹣1≤x＜5故选A．【名师点拨】本题主要考查解一元一次方程以及不等式的性质，用含a的代数式表示x，是解题的关键．5．（2021·安徽·中考真题）设a，b，c为互不相等的实数，且4155bac=+，则下列

结论正确的是（）A．abcB．cbaC．4()abbc−=−D．5()acab−=−【答案】D【提示】举反例可判断A和B，将式子整理可判断C和D．【详解】解：A．当5a=，10c=，41655bac=

+=时，cba，故A错误；B．当10a=，5c=，41955bac=+=时，abc，故B错误；C．4()abbc−=−整理可得1455bac=−，故C错误；D．5()acab−=−整理可得4155bac=+

，故D正确；故选：D．6．（2020·浙江杭州·模拟预测）下列运用等式的性质，变形不正确的是（）A．若xy=，则55xy+=+B．若ab=，则acbc=C．若xy=，则xyaa=D．(0)abccc=，则ab=【答案】C【提

示】根据等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0的数（或字母），等式仍成立，进行判断．【详解】选项A：若xy=，等式两边同时加5，则55xy+=+，故不符合题意；选项B：若ab=，等式两边同时乘以c，则acbc=，故不符合题意；选项

C：若xy=，当0a时xyaa=，故符合题意；选项D：若(0)abccc=，则ab=，故不符合题意，故选：C．7．（2020·浙江杭州·模拟预测）下列等式变形正确的是（）A．若3(1)21xx+−=，则3321xx+−=B．若2658xx−=+，则2568xx+=+C．1143xx+−

=，则34(1)1xx−+=D．若25x−=，则25x=−【答案】A【详解】A、若3(1)21xx+−=，则3321xx+−=，该选项正确；B、若2658xx−=+，则2568xx−=+，故原变形错误；C、若1143xx+−=，则

34(1)12xx−+=，故原变形错误；D、若25x−=，则52x=−，故原变形错误；故选：A．【名师点拨】本题考查一元一次方程的变形，熟练掌握等式的基本性质是关系．考查题型三解一元一次方程【解题思路】牢记解一元一次方程的基本步骤，即“去分母、去括号、移项、合并同类项、系

数化为1”，并能灵活运用.括号注意几点：①不要漏乘括号里的每一项；②括号前面是负因数，去掉括号和负号，括号里的每一项一定都变号．8．（2021·湖南株洲·中考真题）方程122x−=的解是（）A．2x=B．3x=C．5x=D．6x=【答案】D【提示】

通过移项、合并同类项、系数化为1三个步骤即可完成求解．【详解】解：122x−=,32x=,6x=；故选：D．9．（2021·浙江温州·中考真题）解方程()221xx−+=，以下去括号正确的是（）A．41xx−+=−B．42xx−+=−C．41xx−−=D．4

2xx−−=【答案】D【提示】去括号得法则：括号前面是正因数，去掉括号和正号，括号里的每一项都不变号；括号前面是负因数，去掉括号和负号，括号里的每一项都变号．【详解】解：()221xx−+=,42xx−−=，故选：D．10．（2021·广西梧州·中考真题）在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝4

∠C，则∠C等于（）A．32°B．36°C．40°D．128°【答案】A【提示】直接根据三角形内角和定理求解即可．【详解】解：∵180ABC++=，且∠A＝20°，∠B＝4∠C，∴20+4180CC+=∴5160C=∴∠C=32°故选：A．【名

师点拨】此题主要考查了三角形内角和定理的应用以及解一元一次方程，运用方程思想解答此类试题是常用的思想方法．11．（2020·重庆·中考真题）解一元一次方程11(1)123xx+=−时，去分母正确的是（）A．3(1)12xx+=−B．2(1)13xx+=−C．2(1)

63xx+=−D．3(1)62xx+=−【答案】D【提示】根据等式的基本性质将方程两边都乘以6可得答案．【详解】解：方程两边都乘以6，得：3（x+1）＝6﹣2x，故选：D．【名师点拨】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是

掌握解一元一次方程的步骤和等式的基本性质．12．（2020·浙江·模拟预测）若方程3134x+=和方程3106ax−−=的解相同，则a的值为（）A．3−B．1−C．1D．3【答案】C【提示】先解3134x+=，求出x的值，代入3106ax−−=，然后解

关于a的方程即可．【详解】解：3134x+=，移项、合并同类项得3x=-9，系数化为1，得x=-3，把x=-3代入3106ax−−=得，33106a+−=，去分母，得6-3a-3=0，移项，得-3a=3-6，合并同类项，得-3a=-3，系数化为1，得a=1，故选C．【名师点

拨】本题考查了一元一次方程解的定义及一元一次方程的解法，能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解；解一元一次方程的基本步骤为：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系

数化为1．13．（2020·浙江·模拟预测）若关于x的方程12+=+axxa无解，则a的值是（（）A．1B．1−C．2D．2−【答案】C【详解】12+=+axxa，21axxa−=−，()21−=−axa，要使关于x的方程()21−=−axa无解，则20a−=，解得2a=，故选：C

．14．（2019·四川成都·中考模拟）下面是一个被墨水污染过的方程：2x﹣12＝3x+，答案显示此方程的解是x＝﹣1，被墨水遮盖的是一个常数，则这个常数是()A．1B．﹣1C．﹣12D．12【答案】D【提示】把方程的解x=-1代入方程进行计算即可求解．【详解】∵x=-1是方程的解，

∴2×（-1）-12=3×（-1）+，-2-12=-3+，解得=12．故选D．【名师点拨】本题考查了一元一次方程的解，方程的解就是使方程成立的未知数的值，代入进行计算即可求解，比较简单．考查题型四利用一元一次方程解决工程问题15．（2021·四川成都·中考真题）为改善城市人居环境，《成都

市生活垃圾管理条例》（以下简称《条例》）于2021年3月1日起正式施行．某区域原来每天需要处理生活垃圾920吨，刚好被12个A型和10个B型预处置点位进行初筛、压缩等处理．已知一个A型点位比一个B型点位每天多处理7吨生活垃圾．（1）求每个B型点位每天处理生活垃圾的吨数；（2）由于《条

例》的施行，垃圾分类要求提高，现在每个点位每天将少处理8吨生活垃圾，同时由于市民环保意识增强，该区域每天需要处理的生活垃圾比原来少10吨．若该区域计划增设A型、B型点位共5个，试问至少需要增设几个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾？【答案】（1）38吨；（2

）3个【提示】（1）设每个B型点位每天处理生活垃圾的吨数为x，则A型为x+7，由每天需要处理生活垃圾920吨列出方程求解即可；（2）设至少需要增设y个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾．则B型为5-y，根据两种需要处理的生活垃圾和不低于910吨列不等式求解即可．【

详解】解：（1）设每个B型点位每天处理生活垃圾的吨数为x，则A型为x+7，由题意得：10x+12（x+7）=920，解得：x=38，答：每个B型点位每天处理生活垃圾为38吨数；（2）设至少需要增设y个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾．则B型为5-y．由题意得（12+y）(38+7-8)+（10

+5-y）（38-8）≥920-10解得：y≥167，∵y为整数∴至少需要增设3个A型点位，答：至少需要增设3个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾．【名师点拨】本题考查一元一次方程以及一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出

关系式是解题关键．16．（2021·广西桂林·中考真题）为了美化环境，建设生态桂林，某社区需要进行绿化改造，现有甲、乙两个绿化工程队可供选择，已知甲队每天能完成的绿化改造面积比乙队多200平方米，甲队与乙队合作一天能完成800平方米的绿化改造面积．（1）甲、乙两工程队每天各能完成多少平方米的绿

化改造面积？（2）该社区需要进行绿化改造的区域共有12000平方米，甲队每天的施工费用为600元，乙队每天的施工费用为400元，比较以下三种方案：①甲队单独完成；②乙队单独完成；③甲、乙两队全程合作完成．哪一种方案的施工费用

最少？【答案】（1）甲队每天能完成绿化的面积是500平方米，乙队每天能完成绿化的面积是300平方米；（2）选择方案①完成施工费用最少【提示】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是x平方米，根据甲队与乙队合作一天能完成800平方米的绿化改造面积，列出方程，求解即可；（2）设应安排甲队工作a天

，根据这次的绿化总费用不超过8万元，列出不等式，求解即可．【详解】解：（1）设乙队每天能完成绿化的面积是x平方米，则甲队每天能完成绿化的面积是（x+200）米，依题意得：x+x+200=800解得：x=300，x+200=500∴甲队每天能完成绿化的面积

是500平方米，乙队每天能完成绿化的面积是300平方米．（2）选择方案①甲队单独完成所需费用=1200060014400500=（元）；选择方案②乙队单独完成所需费用=1200040016000300=（元）；选择

方案③甲、乙两队全程合作完成所需费用=()1200040060015000800+=（元）；∴选择方案①完成施工费用最少．【名师点拨】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出方程；（2）利用总费

用=每天支出的费用×工作时间，分别求出选择各方案所需费用．考查题型五利用一元一次方程解决销售盈亏问题17．（2021·重庆·中考真题）某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产A产品，乙车间生产B产品，去年两个车间生产产品的数量相同且全部售出．已知A产品的销售单价比B产品的销售单价高100元，1

件A产品与1件B产品售价和为500元．（1）A、B两种产品的销售单价分别是多少元？（2）随着5G时代的到来，工业互联网进入了快速发展时期．今年，该工厂计划依托工业互联网将乙车间改造为专供用户定制B产品的生产车间．预计A产品在售价不变的情况下产量将在去年的基础上增加a%；B产品产量将

在去年的基础上减少a%，但B产品的销售单价将提高3a%．则今年A、B两种产品全部售出后总销售额将在去年的基础上增加2925a%．求a的值．【答案】（1）A产品的销售单价为300元，B产品的销售单价为200元；（2）20【提示】（1）设B产品的销售单价为x元，则A产

品的销售单价为（x+100）元，根据题意列出方程解出即可；（2）设去年每个车间生产产品的数量为t件，根据题意根据题意列出方程()()()293001%20013%1%5001%25atatata+++−=+解出即可；【详解】解：（1）设B

产品的销售单价为x元，则A产品的销售单价为（x+100）元．根据题意，得()100500xx++=．解这个方程，得200x=．则100300x+=．答：A产品的销售单价为300元，B产品的销售单价为20

0元．（2）设去年每个车间生产产品的数量为t件，根据题意，得()()()293001%20013%1%5001%25atatata+++−=+设a%=m，则原方程可化简为250mm−=．解这个方程，得121,05mm==（舍去

）．∴a=20．答：a的值是20．【名师点拨】本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元二次方程．18．（2019·广西河池·中

考真题）在某体育用品商店，购买30根跳绳和60个毽子共用720元，购买10根跳绳和50个毽子共用360元．（1）跳绳、毽子的单价各是多少元？（2）该店在“五•四”青年节期间开展促销活动，所有商品按同样的折数打折销售．节日期间购买100根跳绳和100个毽子只需1800元，该店的商品

按原价的几折销售？【答案】（1）跳绳的单价为16元/条，毽子的单件为5元/个；（2）该店的商品按原价的9折销售．【提示】（1）设跳绳的单价为x元/条，毽子的单件为y元/个，根据：购买30根跳绳和60个毽子共用720元，购买1

0根跳绳和50个毽子共用360元，列方程组求解即可；（2）设该店的商品按原价的x折销售，根据：购买100根跳绳和100个毽子只需1800元，列出方程求解可得．【详解】解：（1）设跳绳的单价为x元/条，毽子的单件为y元/个，可得：30607

201050360xyxy+=+=，解得：164xy==，答：跳绳的单价为16元/条，毽子的单件为5元/个；（2）设该店的商品按原价的x折销售，可得：1001610041800()10x+=，解得：9x=，答：该店的商品按原价的9折销售．【名师点拨】本题主要考查二元一次方程组

及一元一次方程的应用，理解题意找到相等关系是解题关键．19．（2020·安徽·中考真题）某超市有线上和线下两种销售方式．与2019年4月份相比．该超市2020年4月份销售总额增长10%,其中线上销售额增长43%．线下销售额增长4%，()1设2019年4月份的销售总额为a元．线上销售

额为x元，请用含,ax的代数式表示2020年4月份的线下销售额(直接在表格中填写结果)；()2求2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值．【答案】()1()1.04ax−；()21.5【提示】()1根据增长率的含义可得答案；()2由题意列方程()1.431.041.1,x

axa+−=求解x即可得到比值．【详解】解：()12020年线下销售额为()1.04ax−元，故答案为：()1.04ax−．()2由题意得：()1.431.041.1,xaxa+−=0.390.06,xa=2,13xa=20

20年4月份线上销售额与当月销售总额的比值为：21.4321131.3.1.1135aa==答：2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值为：1.5【名师点拨】本题考查的列代数式及一元一次方程的应用，掌握列一元一次方程解决应用题是解题的关键．20．（2021·

陕西·中考真题）一家商店在销售某种服装（每件的标价相同）时，按这种服装每件标价的8折销售10件的销售额，与按这种服装每件的标价降低30元销售11件的销售额相等．求这种服装每件的标价．【答案】这种服装每件的标价是110元【提示】设这种服装每件的标价是x元，根据题

意列出方程进行求解即可．【详解】解：设这种服装每件的标价是x元，根据题意，得()100.81130xx=−，解得110x=；答：这种服装每件的标价是110元．【名师点拨】本题主要考查一元一次方程的应用，熟练掌握一元一次

方程的应用是解题的关键．考查题型六利用一元一次方程解决方案选择问题21．（2020·湖南娄底·中考真题）为了预防新冠肺炎疫情的发生，学校免费为师生提供防疫物品．某校花7200元购进洗手液与84消毒液共400瓶，已知洗手液的价格是25元瓶，84消毒液的价格是15元瓶．求：（1）该校购进洗

手液和84消毒液各多少瓶？（2）若购买洗手液和84消毒液共150瓶，总费用不超过2500元，请问最多能购买洗手液多少瓶？【答案】（1）该校购进洗手液120瓶，购进84消毒液280瓶；（2）最多能买洗手液25瓶．【提示】（1）设购进洗手液x瓶，则购进84消毒液为()400x−瓶，根据题

意得到一元一次方程，故可求解；（2）设最多能购买洗手液a瓶，根据题意得到不等式，故可求解．【详解】解：（1）设购进洗手液x瓶，则购进84消毒液为()400x−瓶依题意得：2515(400)7200xx+−=解得120x=400280x−=答：该校购进洗手液120瓶

，购进84消毒液280瓶．（2）设最多能购买洗手液a瓶2515(150)2500aa+−„解得25a答：最多能买洗手液25瓶．【名师点拨】此题主要考查一元一次方程与不等式的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系或不等关系列式求解．22．（202

0·江西·中考真题）放学后，小贤和小艺来到学校附近的地摊上购买一种特殊型号的笔芯和卡通笔记本，这种笔芯每盒10支，如果整盒买比单支买每支可优惠0.5元，小贤要买3支笔芯，2本笔记本需花19元，小艺要买7支笔芯，1本笔记本需花费26元．（1）求笔记本的单价和单独购买一支笔芯的价格；

（2）小贤和小艺都还想再买一件单价为3元的小工艺品，但如果他们各自为要买的文具付款后，只有小贤还剩2元钱，他们要怎样做才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品，请通过运算说明．【答案】（1）5元，3元；（2）当两人共同购买笔芯，享受整盒购买的优惠时，能让两人既买到各自的文具又都买到小工艺品．【提示

】（1）根据小贤买3支笔芯，2本笔记本花费19元，可知等量关系：笔芯的单价×3+笔记本单价×2=小贤花费金额，同样可得小艺的等量关系，这两个等量关系可列方程组解答；（2）小贤买3支笔芯，小艺4支笔芯，凑起来即为一盒，由题目已知整盒买比单支买每支可优惠0.5元，可知优惠5元，再加上小贤剩余两

元即可让两人既买到各自的文具，又都买到小工艺品．【详解】（1）设单独购买一支笔芯的价格为x元，一本笔记本的价格为y元，有3219726xyxy+=+=，解得35xy==；故笔记本的单价为5元，单独购买一支笔芯的价格为3元．（2）两人共有金额1

9+26+2=47元，若两人共购买10支笔芯（一盒），3本笔记本，由题目已知整盒买比单支买每支可优惠0.5元，故两人买到各自的文具需要花费10×2.5+3×5=40（元），剩余47-40=7（元），可购买两件单价为3元的小工艺品；故只有当两人一同购买笔芯，享受整盒购买优惠，即可能让

他们既买到各自的文具，又都买到小工艺品．【名师点拨】（1）本题主要考查了二元一次方程组的求解，其中根据题目信息找到等量关系，；列出方程组是解题的关键；（2）本题主要是对题目中关键信息的理解以及应用，其中观察到整盒购买享受优惠是成功让两人既买到各自的文具，又都买到小工艺品的关

键．23．（2020·四川乐山·中考真题）某汽车运输公司为了满足市场需要，推出商务车和轿车对外租赁业务．下面是乐山到成都两种车型的限载人数和单程租赁价格表：车型每车限载人数（人）租金（元/辆）商务车6300轿车4（1）如果单程租赁2辆商务车和3辆轿车共需付

租金1320元，求一辆轿车的单程租金为多少元？（2）某公司准备组织34名职工从乐山赴成都参加业务培训，拟单程租用商务车或轿车前往．在不超载的情况下，怎样设计租车方案才能使所付租金最少？【答案】（1）租用一辆轿车的租金为240元．（2）租用商务车5辆和轿车1辆时，所付租金最

少为1740元．【提示】（1）本题可假设轿车的租金为x元，并根据题意列方程求解即可．（2）本题可利用两种方法求解，核心思路均是分类讨论，讨论范围分别是两车各租其一以及两车混合租赁，方法一可利用一次函数作为解题工具，根据函数特点求解本题；方法二则需要利用枚举法求

解本题．【详解】解：（1）设租用一辆轿车的租金为x元．由题意得：300231320x+=．解得240x=，答：租用一辆轿车的租金为240元．（2）方法1：①若只租用商务车，∵342563=，∴只租用商务

车应租6辆，所付租金为30061800=（元）；②若只租用轿车，∵348.54=，∴只租用轿车应租9辆，所付租金为24092160=（元）；③若混和租用两种车，设租用商务车m辆，租用轿车n辆，租金为W元．由题意，得6434300240mnWmn+==+由6434mn+=，

得4634nm=−+，∴30060(634)602040Wmmm=+−+=−+，∵63440mn−+=，∴173m，∴15m，且m为整数，∵W随m的增大而减小，∴当5m=时，W有最小值1740，此时1n=，综上，租用商务车5辆和轿车1辆时，所付租金最少为1740元．方法2：设租用商务车

m辆，租用轿车n辆，租金为W元．由题意，得6434300240mnWmn+==+由6434mn+=，得46340nm=−+，∴173m，∵m为整数，∴m只能取0，1，2，3，4，5，故租车方案有：不租商务车，则需租9辆轿车，所需租金为92402160=（元）；租1商务车，则需租7

辆轿车，所需租金为130072401980+=（元）；租2商务车，则需租6辆轿车，所需租金为230062402040+=（元）；租3商务车，则需租4辆轿车，所需租金为330042401860+=（元）；租

4商务车，则需租3辆轿车，所需租金为430032401920+=（元）；租5商务车，则需租1辆轿车，所需租金为530012401740+=（元）；由此可见，最佳租车方案是租用商务车5辆和轿车1辆，此时所付租金最少，为1740元．【名师点拨】本题考查一次函数的实际问题以及

信息提取能力，此类型题目需要根据题干所求列一次函数，并结合题目限制条件对函数自变量进行限制，继而利用函数单调性以及分类讨论思想解答本题．考查题型七利用一元一次方程解决几何问题24．（2021·安徽·中考真题）某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角

三角形地砖排列而成，图1表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列．[观察思考]当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块（如图2）；当正方形地砖有2块时，等腰直角三角形地砖有8块（如图3）；以此类推，[规律总结]（1）若人行道上每增加1块正方形地砖，则等腰直角三角

形地砖增加块；（2）若一条这样的人行道一共有n（n为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为（用含n的代数式表示）．[问题解决]（3）现有2021块等腰直角三角形地砖，若按此规律再建一条人行道，要求等腰直角三角形地砖剩余最少，则需要正方形地砖多少块？【答案】（1）2；（2

）24n+；（3）1008块【提示】（1）由图观察即可；（2）由每增加一块正方形地砖，即增加2块等腰直角三角形地砖，再结合题干中的条件正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块，递推即可；（3）利用上一小题得到的公式建立方程，即可得到等腰直角三角形地砖剩余最少时需要正方形

地砖的数量．【详解】解：（1）由图可知，每增加一块正方形地砖，即增加2块等腰直角三角形地砖；故答案为：2；（2）由（1）可知，每增加一块正方形地砖，即增加2块等腰直角三角形地砖；当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块，即2+4；

所以当地砖有n块时，等腰直角三角形地砖有（24n+）块；故答案为：24n+；（3）令242021n+=则1008.5n=当1008n=时，242020n+=此时，剩下一块等腰直角三角形地砖需要正方形地砖1008块．【名师点拨】本题为图形规律题，涉及到了一元一次方程、列代数式以及代数式

的应用等，考查了学生的观察、发现、归纳以及应用的能力，解题的关键是发现规律，并能列代数式表示其中的规律等．25．（2020·河北·模拟预测）已知n边形的内角和θ=（n-2）×180°.（1）甲同学说，θ能取36

0°；而乙同学说，θ也能取630°.甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n.若不对，说明理由；（2）若n边形变为（n+x）边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x.【答案】（1）甲对，乙不对,理由见解析；（2）2.【详解】（1）甲对，乙不对.∵θ=360°，∴（n-2）×180°=

360°，解得n=4.∵θ=630°，∴（n-2）×180°=630°，解得n=.∵n为整数，∴θ不能取630°.（2）由题意得，（n-2）×180+360=（n+x-2）×180，解得x=2.26．（2020·浙江·模拟预测）如图，

将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”，图中点A表示-12，点B表示10，点C表示20，我们称点A和点C在数轴上相距32个长度单位．动点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B

期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着折线数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒．则：（1）动点P从点A运动至点C需要时间多少秒？（2）若P，Q两点在点M处相遇，则点M在

折线数轴上所表示的数是多少？（3）求当t为何值时，P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等．【答案】（1）21；（2）6；（3）当2,8,14,17t=时，OPBQ=．【提示】（1）根据路程除以

速度等于时间，可得答案；（2）根据相遇时P，Q两点在线段BO上，根据BO=10，可得方程，根据解方程，可得答案；（3）根据PO与BQ的时间相等，可得方程，根据解方程，可得答案．【详解】解：（1）点P运动至

点C时，所需时间t＝12÷2＋10÷1＋10÷2＝21（秒），答：动点P从点A运动至C点需要21s；（2）由题意可得10ts，P，Q两点在线段BO上相遇∴()()621010tt−+−=，∴12t=，∴M所对的数字为

12-6=6;（3）当点P在AO上，点Q在CB上时，122OPt=−，10BQt=−，∵OPBQ=，∴12210tt−=−，∴2t=；当点P在OB上，点Q在CB上时，6OPt=−，10BQt=−，∵OPBQ=，∴610tt−=−，∴8t=；

当点P在OB上，点Q在OB上时，6OPt=−，()210BQt=−，∵OPBQ=，∴()6210tt−=−，∴14t=，当点P在OB上，点Q在OA上时，61510tt−=−+，无解当点P在BC上，点Q在OA上

时，()10216OPt=+−，()1015BQt=+−，∵OPBQ=，∴()()102161015tt+−=+−，∴17t=∴当2,8,14,17t=时，OPBQ=．【名师点拨】本题考查了一元一次方程的应用，利用PO与BQ的时间相等得出方程是解题关键

，要分类讨论，以防遗漏．27．（2020·河北·模拟预测）如图，在数轴上有A，B两点，点A在点B的左侧．已知点B对应的数为2，点A对应的数为a．（1）若a＝﹣1，则线段AB的长为；（2）若点C到原点的距离为3，

且在点A的左侧，BC﹣AC＝4，求a的值．【答案】（1）3；（2）﹣2【提示】（1）根据点A、B表示的数利用两点间的距离公式即可求出AB的长度；（2）设点C表示的数为c，则|c|＝3，即c＝±3，根据BC﹣AC

＝4列方程即可得到结论．【详解】（1）AB＝2﹣a＝2﹣（﹣1）＝3，故答案为：3；（2）∵点C到原点的距离为3，∴设点C表示的数为c，则|c|＝3，即c＝±3，∵点A在点B的左侧，点C在点A的左侧，且点B表示的数为2，∴点C表示的数为﹣3，∵BC﹣AC＝4，∴2﹣（﹣3

）﹣[a﹣（﹣3）]＝4，解得a＝﹣2．【名师点拨】本题主要考查数轴上两点之间的距离，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.考查题型八利用一元一次方程解决和差倍分问题28．（2020·广东广州·中考真题）粤港澳大湾区自动驾驶产业联盟积极推进自动驾驶出租车应用落地工作，无人

化是自动驾驶的终极目标．某公交集团拟在今明两年共投资9000万元改装260辆无人驾驶出租车投放市场．今年每辆无人驾驶出租车的改装费用是50万元，预计明年每辆无人驾驶出租车的改装费用可下降50%．（1）求明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是

多少万元；（2）求明年改装的无人驾驶出租车是多少辆．【答案】（1）明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是25万元；（2）明年改装的无人驾驶出租车是160辆．【提示】（1）根据今年每辆无人驾驶出租车的改装费用是50万元，预计明年每辆无

人驾驶出租车的改装费用可下降50%，列出式子即可求出答案；（2）根据“某公交集团拟在今明两年共投资9000万元改装260辆无人驾驶出租车投放市场”列出方程，求解即可．【详解】解：（1）依题意得：()501-50%=25（万元）（2）设明年改装的无人驾驶

出租车是x辆，则今年改装的无人驾驶出租车是（260-x）辆,依题意得：()50260x+25x=9000−解得：x=160答：（1）明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是25万元；（2）明年改装的无人驾驶出租车是160辆．【名师

点拨】本题考查了一元一次方程的实际应用问题，解题的关键是找到数量关系，列出方程．29．（2021·四川眉山·中考真题）为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某中学以体育为突破口，准备从体育用品商场一次性购买若千个足球和篮球，用于学校球类比赛活动．每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相

同．已知篮球的单价比足球单价的2倍少30元，用1200元购买足球的数量是用900元购买篮球数量的2倍．（1）足球和篮球的单价各是多少元？（2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共200个，但要求足球和篮球的总费用不超过15500元，学校最多可以购买多少个篮球

？【答案】（1）每个足球60元，每个篮球90元；（2）最多购进篮球116个【提示】（1）设一个足球的单价x元，已知篮球的单价比足球单价的2倍少30元，则一个篮球的单价为（2x-30）元，根据“用1200元购买足球的数量是用900元购买篮球数量的2倍”列方程求解即可；（2）设买篮球m个，则买

足球（200-m）个，根据购买足球和篮球的总费用不超过15500元建立不等式求出解即可．【详解】解：（1）设每个足球x元，每个篮球（2x-30）元，根据题意得：12009002230xx=−，解得x=60，经检验x=60是方程的根且符合题意，2x

-30=90，答：每个足球60元，每个篮球90元．（2）设设买篮球m个，则买足球（200-m）个，由题意得：9060(200)15500mm+−，解得21163m．∵m为正整数，∴最多购进篮球11

6个．【名师点拨】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，列一元一次不等式解实际问题的运用，解答本题时找到方程的等量关系和建立不等式的不等关系是解答本题的关键．30．（2021·广西梧州·中考真题）运用方程或方程组解决实际问题：若干学生分若干支铅笔，

如果每人5支，那么多余3支；如果每人7支，那么缺5支．试问有多少名学生？共有多少支铅笔？【答案】学生有4人，铅笔23支【提示】设学生有x人，则铅笔数表示为5x＋3或7x−5，由此利用铅笔数相等联立方程求得答案即可．【详解】解：设学

生有x人，由题意得5x＋3＝7x−5，解得：x＝4，经检验，符合题意则6x＋3＝23．答：学生有4人，铅笔23支．【名师点拨】此题考查一元一次方程的实际运用，设出人数，表示出铅笔数是解决问题的关键．考查题型九利用一元一次方

程解决电费水费问题31．（2021·吉林·中考真题）港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，它由桥梁和隧道两部分组成，桥梁和隧道全长共55km．其中桥梁长度比隧道长度的9倍少4km．求港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度．【答案】港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度分别为49.1km和5.9km【提

示】设港珠澳大桥隧道长度为kmx，桥梁长度为kmy．由桥梁和隧道全长共55km，得55xy+=．桥梁长度比隧道长度的9倍少4km，得94yx=−，然后列出方程组，解方程组即可．【详解】解：设港珠澳大桥隧道长度为kmx，

桥梁长度为kmy．由题意列方程组得：5594xyyx+==−．解得：5.949.1xy==．答：港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度分别为49.1km和5.9km．【名师点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的

等量关系，列出方程组．32．（2021·广西贺州·中考真题）为了提倡节约用水，某市制定了两种收费方式：当每户每月用水量不超过312m时，按一级单价收费；当每户每月用水量超过312m时，超过部分按二级单价收费．已知李阿姨家

五月份用水量为310m，缴纳水费32元．七月份因孩子放假在家，用水量为314m，缴纳水费51.4元．（1）问该市一级水费，二级大费的单价分别是多少？（2）某户某月缴纳水费为64.4元时，用水量为多少？【答案】（1）一级水费

的单价为3.2元/3m，二级水费的单价为6.5元/3m；（2）316m【提示】（1）设该市一级水费的单价为x元/3m，二级水费的单价为y元/3m，根据题意，列出二元一次方程组，即可求解；（2）先判断水量超过312m，设用水量为3ma，列出方程，即可求解.【详解】（1）设该市一

级水费的单价为x元/3m，二级水费的单价为y元/3m，依题意得()103212141251.4xxy=−−=，解得3.26.5xy==，答：该市一级水费的单价为3.2元/3m，二级水费的单价为6.

5元/3m．（2）当水费为64.4元，则用水量超过312m，设用水量为3ma，得，()123.2126.564.4a+−=，解得：16a=．答：当缴纳水费为64.4元时，用水量为316m．【名师点拨】

本题主要考查二元一次方程组以及一元一次方程的实际应用，找准等量关系，列出方程（组），是解题的关键.33．（2020·浙江杭州·模拟预测）某市规定：每户每月用水不超过20立方米时，水费按“基本价”收费；超过20立方米时，不超过20立方米部分仍按“基本价”收

费，超过20立方米部分按“调节价”收费小明今年一二月份的用水量和水费如表所示．月份用水量（立方米）水费（元）11531.5022456.40（1）请你算一算该市水分的“基本价格”和“调节价”分别是每立方米多少钱？（2）若小明家3月份用水量为30立方米，请你算一算，3月份的水费是多少元？【

答案】（1）该市水分的“基本价格”是每立方米2.1元，“调节价”是每立方米3.6元；（2）3月份的水费是78元．【提示】（1）因为15立方米不超过20立方米，用15立方米的水费除以15就是基本价格，设“调节价”是每立方米x元，则根据20ד基本价格”+4ד调节价”=56.4

0列出方程求解即可；（2）用基本价乘20求出20立方米的水费，再求出超过20立方米的水乘调节价求出超过20立方米的水费，然后再相加即可解答．【详解】解：（1）基本价：31.50÷15=2.1（元）设“调节价”是每立方米x元

，则2.120456.40x?=，解得3.6x=，所以该市水分的“基本价格”是每立方米2.1元，“调节价”是每立方米3.6元；（2）20×2.1+（30-20）×3.6=42+36=78（元）所以3月份的水费是78元．【名师点

拨】本题考查一元一次方程的应用．能读懂题意找出等量关系是解题关键．34．（2020·浙江杭州·模拟预测）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市民居民“一户一表”生活用水阶梯

式计费价格表的部分信息：自来水销售价格污水处理价格每户每月用水量单价：元/吨单价：元/吨17吨及以下a0.80超过17吨但不超过30吨的部分b0.80超过30吨的部分6.000.80（说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用水量；②水费=自来水费用+污水处理费）已知小

王家2020年4月份用水15吨，交水费45元；5月份用水25吨，交水费91元．（1）求a,b的值；（2）如果小王家6月份上交水费150元，则小王家这个月用水多少吨？【答案】（1）a=2.2，b=4.2；（2）35吨【提示】（1）根据等量关系：小王家2013年4月用水15吨，交水费45元，

5月份用水25吨，交水费91元，列出方程组求解即可．（2）设小王家这个月用水x吨，根据17吨及以下按2.2元收费，超过17吨但不超过30吨的部分按4.2元收费，超过30吨的部分按6元收费和污水处理的钱数，列出方程，求出x的值即可．【详解】解：（1）根据题意，得15(0.8

)4517(0.8)8(0.8)91aab+=+++=，解得：2.24.2ab==．答：a的值是2.2，b的值是4.2；（2）设小王家这个月用水x吨，则17（a+0.8）+13（b+0.8）+（x-30）×（6+0.8）＝150，解得：x＝35，答：小王家这个月用水35

吨．【名师点拨】本题考查二元一次方程组的应用，解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程组．考查题型十利用一元一次方程解决行程问题35．（2020·吉林长春·中考真题）已知A、B两地之间有一条长240千米的公路．甲车从A地出发匀速开往B地，

甲车出发两小时后，乙车从B地出发匀速开往A地，两车同时到达各自的目的地．两车行驶的路程之和y（千米）与甲车行驶的时间x（时）之间的函数关系如图所示．（1）甲车的速度为_________千米/时，a的值为____________．（2）求乙车出发后，y与x之间的函

数关系式．（3）当甲、乙两车相距100千米时，求甲车行驶的时间．【答案】（1）40，480；（2）100120yx=−；（3）135小时或235小时【提示】（1）根据图象可知甲车行驶2行驶所走路程为80千米，据此即可求出甲

车的速度；进而求出甲车行驶6小时所走的路程为240千米，根据两车同时到达各自的目的地可得a=240×2=480；（2）根据题意直接运用待定系数法进行提示解得即可；（3）由题意分两车相遇前与相遇后两种情况分别列方程解答即可．【详解】解：

（1）由题意可知，甲车的速度为：80÷2=40（千米/时）；a=40×6×2=480，故答案为：40；480；（2）设y与x之间的函数关系式为ykxb=+，由图可知，函数图象过点()2,80，()6,480，所以2806480kbkb+=+=解得100120kb==−所

以y与x之间的函数关系式为100120yx=−；（3）两车相遇前：()801002240100x+−=−解得：135x=两车相遇后：()801002240100x+−=+解得：235x=答：当甲、乙两车相距100千米时，甲车行驶的时间是135小时或235小时．【名师点拨】本题考查一次函数的应用，解

答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．36．（2020·宁夏·中考真题）“低碳生活，绿色出行”是一种环保、健康的生活方式，小丽从甲地匀速步行前往乙地，同时，小明从乙地沿同一路线匀速步行前往甲地，两

人之间的距离()my与步行时间()minx之间的函数关系式如图中折线段ABBCCD−−所示．（1）小丽与小明出发_______min相遇；（2）在步行过程中，若小明先到达甲地．①求小丽和小明步行的速度各是多少？②计算出点C的

坐标，并解释点C的实际意义．【答案】（1）30；（2）①小丽步行的速度为80m/min，小明步行的速度为100m/min；②点()544320C，，点C表示：两人出发54min时，小明到达甲地，此时两人相距4320m．【提示】（1）直接从图像获取信息即可

；（2）①设小丽步行的速度为1m/minV，小明步行的速度为2m/minV，且21VV，根据图像和题意列出方程组，求解即可；②设点C的坐标为(),xy，根据题意列出方程解出x，再根据图像求出y即可，再结合两人的运动过程解释点C的意义即可．【详解】（1）由图像

可得小丽与小明出发30min相遇，故答案为：30；（2）①设小丽步行的速度为1m/minV，小明步行的速度为2m/minV，且21VV，则121230305400(67.530)30VVVV+=−=

，解得：1280100VV==，答：小丽步行的速度为80m/min，小明步行的速度为100m/min；②设点C的坐标为(),xy，则可得方程()()(10080308067.5)5400xx+−+−=，解得54x=，()100+80(5430)4320my=−=，∴点()544320C，，点

C表示：两人出发54min时，小明到达甲地，此时两人相距4320m．【名师点拨】本题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次方程的实际应用，从图像获取信息是解题关键．37．（2021·广西百色·中考真题）据国际

田联《田径场地设施标准手册》，400米标准跑道由两个平行的直道和两个半径相等的弯道组成，有8条跑道，每条跑道宽1.2米，直道长87米；跑道的弯道是半圆形，环形跑道第一圈（最内圈）弯道半径为35.00米到38.00米之

间．某校据国际田联标准和学校场地实际，建成第一圈弯道半径为36米的标准跑道．小王同学计算了各圈的长：第一圈长：87×2＋2π（36＋1.2×0）≈400（米）；第二圈长：87×2＋2π（36＋1.2×1）≈408（米）；第三圈长：87×2＋2

π（36＋1.2×2）≈415（米）；……请问：（1）第三圈半圆形弯道长比第一圈半圆形弯道长多多少米？小王计算的第八圈长是多少？（2）小王紧靠第一圈边线逆时针跑步、邓教练紧靠第三圈边线顺时针骑自行车（均以所靠边线长计

路程），在如图的起跑线同时出发，经过20秒两人在直道第一次相遇．若邓教练平均速度是小王平均速度的2倍，求他们的平均速度各是多少？（注：在同侧直道，过两人所在点的直线与跑道边线垂直时，称两人直道相遇）【答案】（1）第三圈弯道比第一圈弯道长15米，第八圈长453米；（2）小王的速度为

6.79m/s，老师的速度为13.58m/s．【提示】（1）根据题意，计算第三圈与第一圈的路程差即可解第一问，根据题中路程公式，可解得第八圈的路程；（2）提示两人在左边的直道上相遇，且两人的总路程刚好是第一圈的长度加上两个半圆赛道长度的差，

小王的速度为vm/s，则老师的速度为2vm/s，列关于v的一元一次方程，解方程即可解题．【详解】解：（1）根据题意得，第三圈弯道比第一圈弯道长：()()8722361.228722361.2015++−−+=（米）；第八圈长：()8722361.2

7453++=（米）答：第三圈弯道比第一圈弯道长15米，第八圈长453米．（2）由于两人是第一次相遇，教练的速度更快，且是在直道上两人相遇，那么两人一定在左边的直道上相遇，两人的总路程刚好是第一圈的长度加上两个半圆赛道长度的差：()()361.22361.207.536+−+

=（米）设小王的速度为vm/s，则老师的速度为2vm/s20(2)4007.536vv+=+6.79m/sv=213.58m/sv=答：小王的速度为6.79m/s，老师的速度为13.58m/s．【名师点拨】本题考查圆的计算、一元一次方程的应用等知识，理解相关路程公式的计算是解题

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