【文档说明】辽宁省沈阳市东北育才学校高中部2020届高三第八次模拟考试数学（文）试题【精准解析】.doc，共(22)页，1.957 MB，由小赞的店铺上传

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东北育才学校高中部2020届高三第八次模拟考试数学试题（文科）考试时间：120分钟试卷命题：高三数学备课组第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（共12小题，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）1.已知集合2{|2}Axyx==−，集合2{|2}Byyx==−，则有()A.AB=B.AB=C

.ABA=D.ABA=【答案】C【解析】【分析】首先根据二次函数的定义域和值域，分别求得集合A，B，判断两集合的关系，最后分析选项得出结果.【详解】2{|2}AxyxR==−=，2{|2}[2,)Byy

x==−=−+，所以BA，故ABA=，故选：C.【点睛】该题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有二次函数的定义域和值域，两集合的关系，属于基础题目.2.若复数满足(2)5iz+=，则在复平面内与复数z对应的点Z位

于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】【分析】根据复数的除法运算求出复数z，再根据复数的几何意义可得答案.【详解】由(2)5iz+=得52zi=+5(2)1052(2)(2)5i

iiii−−===−+−，所以复数z对应的点Z的坐标为(2,1)−，其位于第四象限.故选：D.【点睛】本题考查了复数的除法运算，考查了复数的几何意义，属于基础题.3.“为第一或第四象限角”是“cos0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答

案】A【解析】【分析】根据x轴正半轴上的角的余弦值也大于0以及充分条件、必要条件的定义可得答案.【详解】当为第一或第四象限角时，cos0，所以“为第一或第四象限角”是“cos0”的充分条件，当cos0时，为第一或第四象限角或x轴正半轴上的角，所以“为第一或第四象限角”

不是“cos0”的必要条件，所以“为第一或第四象限角”是“cos0”的充分不必要条件.故选：A【点睛】本题考查了三角函数的符号规则，考查了充分必要条件的概念，属于基础题.4.为实现国民经济新“三步走”的发展战略目标，国家

加大了扶贫攻坚的力度.某地区在2015年以前的年均脱贫率（脱离贫困的户数占当年贫困户总数的比）为70%.2015年开始，全面实施“精准扶贫”政策后，扶贫效果明显提高，其中2019年度实施的扶贫项目，各项目参加户数占比（参加该项目户数占2019年贫困户总数的比

）及该项目的脱贫率见下表：实施项目种植业养殖业工厂就业服务业参加用户比40%40%10%10%脱贫率95%95%90%90%那么2019年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的（）A.75B.4835C.4735D.3728【答案

】C【解析】【分析】首先算出2019年的年脱贫率，再与2015年以前的年均脱贫率相比即可.【详解】由图表得，2019年的年脱贫率为()0.40.950.40.950.10.90.10.90.94EX=+++=.所以2019年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫

率的0.94470.735=.故选：C【点睛】本题主要考查数学期望的实际应用，同时考查了学生的分析问题能力，属于简单题.5.已知正项等比数列na的前n项和为nS，()4123Saa=+，则公比q的值为（）A.2B.3C.5D.2【答案】D【解析】

【分析】利用等比数列的通项公式求和公式即可得出．【详解】解：4123()Saa=+，1q．411(1)3(1)1aqaqq−=+−，10a213q+=化为：22q=，解得2q=．故选：D．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式求和公式

，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，F为DE的中点，若34AFxABAD=+，则x=()A.34B.23C.12D.14【答案】C【解析】【分析】以,ABAD为基底，利用向量的中点公式，以及三角形法则即可表示出AF，由34AFxABAD=+

，根据平面向量基本定理，可知对应项系数相等，即求解．【详解】因为F为DE的中点，所以()12AFADAE=+，而1122AEABBEABBCABAD=+=+=+，即有11132224AFADABADABAD=++=+

，又34AFxABAD=+，所以12x=．故选：C．【点睛】本题主要考查平面向量基本定理的应用，以及向量的中点公式，三角形法则的应用，属于基础题．7.人们通常以分贝（符号是dB）为单位来表示声音强度的等级，其中0

dB是人能听到的等级最低的声音.一般地，如果强度为x的声音对应的等级为()fxdB，则有12()10lg110xfx−=，则90dB的声音与60dB的声音强度之比()A.100B.1000C.1100D.11000【答案】B【解析】【分析】设90dB与60dB的声音强度分别为12,xx，根据

1()90fx=，2()60fx=计算即可求解.【详解】设90dB的声音与60dB的声音强度分别为12,xx，则1()90fx=，即11210lg90110x−=，解得3110x−=.由2()60fx=，即21

210lg60110x−=，解得6210x−=.因此所求强度之比为316210100010xx−−==.故选：B【点睛】本题考查了对数的运算法则，对数函数的应用，考查函数在实际问题中的应用，属于容易题.8.如图，在以下四个正方体中，使得直线AB与平面C

DE垂直的个数是()A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】①根据ABC是正三角形，利用异面直线所成的角结合线面垂直的定义判断；②根据正方形对角线相互垂直，利用线面垂直的判定定理判断；③根据AB与CE的夹角为60

，再由线面垂直的定义判断；④易知CE⊥平面ABD，得到ABCE^，同理ABED⊥，再利用线面垂直的判定定理判断.【详解】①因为ABC是正三角形，所以AB与AC的夹角为60，又因为//ACED，所以AB与ED的夹角为60，故错误；②

因为正方形对角线相互垂直，所以ABCE^，,ABEDEDCEE⊥=，AB⊥平面CDE，故正确；③由①知AB与CE的夹角为60，故错误；④因为,,CEADCEBDBDADD⊥⊥=，所以CE⊥平面ABD，则ABCE^，同理ABED⊥，又EDCEE

=，所以AB⊥平面CDE，故正确.故选：B【点睛】本题主要考查直线与平面垂直的判定与性质，还考查了空间想象和逻辑推理的能力，属于中档题.9.已知圆2216xy+=与抛物线22(0)ypxp=的准线l交于A，B两点，且||215AB=，P为该

抛物线上一点，PQl⊥于点Q，点F为该抛物线的焦点.若PQF△是等边三角形，则PQF△的面积为（）A.43B.4C.23D.2【答案】A【解析】【分析】首先由条件可得出2p=，然后由PQF△是等边三角形，焦点F到准线l的距离为2可

得出PQF△的边长为4，然后算出答案即可.【详解】由215AB=可得圆心()0,0到l的距离为16151−=，即12p=，即2p=所以抛物线的方程为24yx=因为PQF△是等边三角形，焦点F到准线l的距离为2所以PQF△的边长

为4所以144sin60432PQF==△S故选：A【点睛】设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，弦长为AB，则有2222ABrd=+10.已知函数1,0,()ln,0.axxfxxx+=若函数()fx的图像上存在关于坐标原点对称的

点，则实数a的取值范围是（）A.(,0]−B.(,1]−C.1[,0]2−D.1(,1]2【答案】B【解析】【分析】存在两对称点(),Mxy,(),Nxy−−,(0)x则1lnyaxyx−=−+=,即ln1xax=−,故lnyx=与1yax=−有交点,

先求得1yax=−与lnyx=相切时的斜率,进而求解即可【详解】由题,设两对称点(),Mxy,(),Nxy−−,(0)x则1lnyaxyx−=−+=,所以ln1xax=−,即lnyx=与1yax=−有交点,设1yax=−与lnyx=的

切点为()00,lnxx,则切线斜率为001xxayx===,又有0001ln1xxx=−,所以01x=,即1a=,所以当lnyx=与1yax=−有交点时,1a,故选:B【点睛】本题考查导数的几何意义的应用,考查图像的对称点

问题,考查数形结合思想11.已知P为双曲线22:13xCy−=上位于右支上的动点，过P作两渐近线的垂线，垂足分别为A，B，则||AB的最小值为()A.8116B.278C.94D.32【答案】D【解析】【分析】由题意，,,,PAB

O四点共圆，求||AB的最小值，只需要求出圆的直径的最小值，从而求得结果.【详解】由题意，,,,PABO四点共圆，要使取||AB的最小值，只需圆的直径OP最小，即P为右顶点时满足条件，且3OP=，因为2213xy−=的渐近线为33yx=，

所以60AOB=，所以有3sin60AB=，解得32AB=，故选：D.【点睛】该题考查的是有关双曲线的问题，涉及到的知识点有双曲线的性质，四点共圆的条件，弦的最值，属于简单题目.12.已知函数()sin()fxx=+（0，

||2）满足44fxfx−=−+，()2fxfx−−=，且在0,8上是单调函数，则的值可能是（）A.3B.4C.5D.6【答案】C【解析】【分析】通过给出的等式，可以判断出函数的对称性，进而能求出周期，结合选项，作出判断．【详解】函数

()()sinfxx=+满足44fxfx−=−+，所以函数()fx关于(,0)4对称，同时又满足()2fxfx−−=，所以函数又关于4πx=−对称，设周期为T,21()()4442nT

nZ−=−−=,而221()TnnZ==−显然是奇数，当=3时，()sin(3)fxx=+，()fx关于(,0)4对称，33()44kkZk+==−而2，4=，()sin(3)4fxx=+5(0,)(3)

(,)8448xx+，显然不单调；当=5时，()sin(5)fxx=+，()fx关于(,0)4对称，55()44kkZk+==−，而2，4=−，()sin(5)4fxx=−，3(

0,)(5)(,)8448xx−−，显然单调，故本题选C．【点睛】本题考查了正弦函数的对称性、周期,熟记推到周期和对称轴的表达式是关键.第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（共4小题，将答案填在答

题纸上.）13.等差数列na中，10a=，公差0d，nS是其前n项和，若10kaS=，则k=________.【答案】46【解析】【分析】利用等差数列的基本量计算．【详解】由题意10110910452Sadd=+=，1(1)(1)kaakdkd=+−=−，所以(1)45kdd−=，

又0d，所以46k=．故答案为：46．【点睛】本题考查等差数列的基本量计算，用首项1a和公差d表示项与前n项和是解题的基本方法．14.已知实数x，y满足约束条件404xyxyx+−，则22(1)xy++的最小值为________.【答案】13【解析】【分析】画出可行域，

则22(1)xy++表示可行域内的点(),xy到定点()1,0P−的距离.数形结合可求距离的最小值.【详解】画出可行域，如图所示则22(1)xy++表示可行域内的点(),xy到定点()1,0P−的距离.解方程组40xyxy+=−=，得22xy==，设()

2,2M.由图可知，()2222min(1)(21)213xyMP++==++=.故答案为：13.【点睛】本题考查简单的线性规划，属于基础题.15.圆锥SD（其中S为顶点，D为底面圆心）的侧面积与底面积的比是2:1，若圆锥的底面半径为3，则圆锥SD的内切球的表面积为________.【答案】12

【解析】【分析】首先求出母线l，设内切球的半径为R，则利用轴截面，根据等面积可得R，即可求出该圆锥内切球的表面积．【详解】解：依题意，圆锥SD（其中S为顶点，D为底面圆心）的侧面积与底面积的比是2:1，所以()()2:2:1rlr=，因为3r=，所以6l=设内切球的半径为R，则

利用轴截面，根据等面积可得2211663(666)22R−=++，3R=，该圆锥内切球的表面积为()24312=，故答案为：12【点睛】本题考查该圆锥内切球的表面积，考查学生的计算能力，确定内切球的半径是关键，属于中档题．16.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数

学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，人们把函数yx=，xR称为高斯函数，其中x表示不超过x的最大整数.设xxx=−，则函数()21fxxxx=−−的所有零点之和为________.【答案】1−【解析】【分析】令()0fx=，显然0x，可得出

121xx=+，将问题转化为函数2yx=与函数11yx=+的图象交点的横坐标之和，可知两个函数的图象都关于点()0,1，数形结合可得出结果.【详解】()01f=−，令()0fx=，可得121xx=+，则函数()yfx=的零点，即为函数

2yx=与函数11yx=+的图象交点的横坐标，作出函数2yx=与函数11yx=+的图象如下图所示：由图象可知，两函数除以交点()1,0−之外，其余的交点关于点()0,1对称，所以，函数()yfx=的所

有零点之和为1−.故答案为：1−.【点睛】本题考查函数的零点之和，一般转化为两函数的交点问题，解题时要注意函数图象对称性的应用，考查数形结合思想的应用，属于中等题.三、解答题（本大题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17

.在①22coscos20BB+=，②cos31bAacosB+=+，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决相应问题.已知在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，ABC的面积为S，若2224Sbc

a=+−，6b=，求ABC的面积S的大小.【答案】332+【解析】【分析】先根据2224Sbca=+−，6b=，222cos2bcaAbc+−=求出4A=，若选择①，根据二倍角的余弦公式求出3B=，

根据正弦定理求出2a=，根据两角和的正弦公式求出sinB，再根据三角形的面积公式求出面积即可；若选择②,根据余弦定理角化边可得31c=+，再根据三角形的面积公式求出面积即可.【详解】因为2224Sbca=+−，222cos2bcaAbc+−=，1sin2SbcA=，所以2sin2c

osbcAbcA=.显然cos0A，所以tan1A=，又(0,)A，所以4A=.若选择①，由22coscos20BB+=得,21cos4B=又(0,)2B,3B=，由sinsinabAB=，得26sin22sin32bAaB===.又sinsin[()]sin()C

ABAB=−+=+212362sincoscossin22224ABAB+=+=+=，所以133sin22SabC+==.若选择②,cos31bcosAaB+=+，则222222222222coscos312222bcaacbbcaacbbAaBbacbcaccc

+−+−+−+−+=+=+==+所以11233sin6(31)2222SbcA+==+=.【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式，考查了两角和的正弦公式，属于中档题.18.一饮料店制作了一款新饮料，为了进行合理定价先进行试销售，其单价x（元）与销量y（杯）的

相关数据如下表：单价x（元）8.599.51010.5销量y（杯）120110907060（1）已知销量y与单价x具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；（2）若该款新饮料每杯的成本为8元，试销售结束后，请利用（1）所求的线性回归方程确定单价定为多少元时

，销售的利润最大？（结果四舍五入保留到整数）附：线性回归方程ˆˆybxa=+中斜率和截距最小二乗法估计计算公式：1221ˆniiiniixynxybxnx==−=−，ˆˆaybx=−，51=4195iiixy=，521=453.75iix=.【答案】（

1）ˆ32394yx=−+（2）单价应该定为10元【解析】【分析】（1）首先求出x、y，然后再求出ˆb、ˆa，即可求解.（2）设定价为x元，利润函数为()()323948yxx=−+−，利用二次函数的性质即可求解.【详解】解：（1）

由表中数据，()18.599.51010.59.55x=++++=()1201101590706090y++++==，则12221419559.590ˆ32453.7559.5niiiniixynxybx

nx==−−===−−−，ˆˆ90329.5394aybx=−=+=，所以y关于x的线性相关方程为ˆ32394yx=−+.（2）设定价为x元，则利润函数为()()323948yxx=−+−，其中8x，则23

26503152yxx=−+−，所以()65010232x=−−（元），为使得销售的利润最大，确定单价应该定为10元.【点睛】本题考查了线性回归方程、二次函数的性质，考查了计算求解能力，属于基础题.19.

如图，在四边形ABCD中，BCCD=，BCCD⊥，ADBD⊥，以BD为折痕把ABD△折起，使点A到达点P的位置，且PCBC⊥.（1）证明：PD⊥平面BCD；（2）若M为PB的中点，2PDCD=，三棱锥PBC

D−的表面积为62223++，求三棱锥PMCD−的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）223【解析】【分析】(1)先证明BC⊥平面PCD，再证明PD⊥平面BCD即可.(2)易得三棱锥PBCD−的各面均为直角三角形，再设CDBCx==，根据三棱锥PBCD−的表面积为62

223++列式可求得2x=，进而根据1122PMCDMPCDBPCDPBCDVVVV−−−−===求解体积即可.【详解】（1）证明：因为BCCD⊥，BCPC⊥，PCCDC=，所以BC⊥平面PCD，又因为PD平面PCD，所以BCPD⊥.又因为PDBD⊥，BDBCB=

所以PD⊥平面BCD.（2）∵BC⊥平面PCD，PD⊥平面BCD，∴三棱锥PBCD−的各面均为直角三角形，设CDBCx==，则2PDBDx==，3PCx=，∴三棱锥PBCD−的表面积为()22211113232236222322222xxxxxxx+++++=

=++，∴2x=∵M为PB的中点，∴11112222233PMCDMPCDBPCDPBCDBCDVVVVPDS−−−−=====△【点睛】本题主要考查了线面垂直的性质与判定、锥体体积的求解等，需要根据题意设合适的线段长度再列式求解.属于中档题.20.已知函数()()lnfxxaxaR=

+，()2exgxxx=+−.（1）求函数()fx的单调区间；（2）定义：对于函数()fx，若存在0x，使()00fxx=成立，则称0x为函数()fx的不动点.如果函数()()()Fxfxgx=−存在两个不同的不动点，求实数a的取值范围.【答案】（1）当0a时，()fx

的单调递增区间为(0,)+；当0a时，()fx的单调递增区间为1(0,)a−，单调递减区间为1(,)a−+；（2）1ae+.【解析】【分析】（1）先确定函数的定义域，再求导，讨论a的取值，得到函数

的单调区间；（2）依题意可得()()2ln0xFxxxaxxex=−++−，()Fx存在两个不动点，所以方程()0Fx=有两个实数根，即2lnexxxax−+=有两个解，令()()2n0elxxxhxxx+−=，利用导数研究函数的单调性、极值，即可求出参数的取值范围；【详解】

解：（1）()fx的定义域为()()()110,0axfxaxxx++=+=，，对于函数1yax=+，①当0a时，10yax=+在0x恒成立.()0fx在()0,+恒成立.()fx在()0,+为增函数；②当0a时，由()0fx，得10xa−；由()

0fx，得1xa−；()fx在1(0,)a−为增函数，在1(,)a−+减函数.综上，当0a时，()fx的单调递增区间为(0,)+当0a时，()fx的单调递增区间为1(0,)a−，单调递减区间为1(,)a−+（2）()()()()2ln0xFxfxgxxxaxxex=−=

−++−，()FxQ存在两个不动点，方程()0Fx=有两个实数根，即2lnexxxax−+=有两个解，令()()2n0elxxxhxxx+−=，()()()()()()2211ln1ln11eexxxxxxxxxhxxx++−+−+++−==，令()0hx=，得1x

=，当()0,1x时，()()0hxhx，单调递减；当()1,x+时，()()0hxhx，单调递增；()()1e1hxh=+，设()lnIxxx=−,则'1()1Ixx=−,max()(1)10IxI=−,即0x时,lnxx将lnxx两边取指数,则exx

当0x+→时,2211()1xexxxxhxxxxx+−+−=+−→+当x→+时,2()xxxhxxx+−=→+当1ae+时，()Fx有两个不同的不动点【点睛】本题考查了函数的单调性的求法，利用导数研究函数的零点，属于中档题．21.已知长度为4的线段的两个

端点,AB分别在x轴和y轴上运动，动点P满足3BPPA=，记动点P的轨迹为曲线C.（1）求曲线C的方程；（2）设曲线C与y轴的正半轴交于点D，过点D作互相垂直的两条直线，分别交曲线C于点M，N两点，连接MN，求DMN的面积的最大值.【答案】（1）2219

xy+=；（2）278.【解析】【分析】（1）设动点P和点A，B的坐标，利用向量数乘关系结合||4AB=容易求得方程；（2）联立直线与曲线方程，利用弦长公式可得2218|DM|119kkk=++，22181|DN|9kk+=+则221162()1||||12829()DMNk

kSDMDNkk+==++，设1ktk+=，则2t，再利用基本不等式计算可得；【详解】（1）解：设()()(),,,0,0,PxyAmBn.3BPPA=，()()(),,33,3xynmxymxy\-=--=--，即

333xmxyny=−−=−.434mxny==.又||4AB=，2216mn+=.从而221616169xy+=.曲线C的方程为2219xy+=.（2）由题意可知，直线DM的斜率存在且不为0.故可设直线DM的方程为1ykx=+，由对称性，不妨设0k，由221990

ykxxy=++−=，消去y得22(19)180kxkx++=，则2218|DM|119kkk=++，将式子中的0k换成1k−，得：22181|DN|9kk+=+.1|DM||DN|2DMNS==222211811812199kkkkk

++++342162()9829kkkk+=++221162()1829()kkkk+=++，设1ktk+=，则2t.故2162964DMNtSt==+1621622764829649tt=+，取等条件为649tt=即83t=，即183

kk+=，解得473k=时，DMNS取得最大值278.【点睛】本题考查了曲线方程的求法，直线与圆锥曲线的综合，基本不等式的应用，属于中档题．请考生在第22，23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第

一题计分.【选修4－4：坐标系与参数方程】22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为32cos,22sinxy=+=−+（为参数）.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线

L的极坐标方程为()704=.（1）求曲线C的极坐标方程与射线L的直角坐标方程；（2）若射线L与曲线C交于A，B两点，求22OAOBOBOA+.【答案】（1）26cos4sin90−++=，()0yxx=−；（2）452.【解析】【

分析】（1）消参即可容易求得曲线C的普通方程，结合公式即可由极坐标方程求得直角坐标方程；（2）联立74=与26cos4sin90−++=，即可求得12，12+，则问题得解.【详解】（1）由32cos,22sin,xy=+

=−+得()()22324xy−++=，即226490xyxy+−++=，故曲线C的极坐标方程为26cos4sin90−++=.射线L的直角坐标方程为()0yxx=−.（2）将74=代入26cos4sin90−++=，得2226490

22−−+=，即25290−+=，则1252+=，129=，所以()()221212452OAOBOBOAOAOBOAOB+=+=+=.【点睛】本题考查极坐标方程，参数方程和直角坐标方程之间的相互转化，的几何意义，根与系数的关系，属于

中档题.【选修4-5：不等式选讲】23.已知0a，函数()1fxax=−，()2gxax=+.（1）若()()fxgx，求x的取值范围；（2）若()()2107afxgx+−对xR恒成立，求a的最大值与最小值之和.【答案】（1）当0a时，不等式解集为1,2a−+

；当0a时，不等式解集为1,2a−−；（2）1.【解析】【分析】（1）两边平方求解绝对值不等式，对参数a进行分类讨论，则问题得解；（2）利用绝对值三角不等式，即可容易求得()()fxgx+的最小值，再求解绝对值不

等式，即可求得a的最大值和最小值，利用对数运算，求解即可.【详解】（1）因为()()fxgx，所以12axax−+，两边同时平方得22222144axaxaxax−+++，即63ax−，当0a时，

12xa−；当0a时，12xa−.故当0a时，不等式解集为1,2a−+；当0a时，不等式解集为1,2a−−（2）因为()()()()12123fxgxaxaxaxax+=−++−−+=，当且仅当()()120axax−+时取得等号.所以()()f

xgx+的最小值为3，所以21073a−，则321073a−−，解得lg2lg5a，故a的最大值与最小值之和为lg2lg5lg101+==.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，涉及绝对值三角不

等式，对数运算，属综合中档题.