【文档说明】四川省宜宾市兴文第二中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题 含解析.docx，共(20)页，1.250 MB，由小赞的店铺上传

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兴文二中高2022级高二上期期中考试数学试题本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.第I卷选择题（60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数13zi=

−，则(1)zi−=（）A.24i−−B.42i−C.24i−+D.42i+【答案】D【解析】【分析】根据题意，由共轭复数的定义得出13iz=+，再根据复数的乘法运算即可求解.【详解】解：由题可知13iz=+，()()(1)13i1i42izi−=+−=+.故

选：D.2.已知直线1l：1mxy−=与直线2l：10xmy−−=相互垂直，则实数m的值是（）A.0B.1C.-1D.1【答案】A【解析】【分析】根据直线1l：1mxy−=与直线2l：10xmy−−=相互垂直，列出方程，从而可得答案

.【详解】解：因为直线1l：1mxy−=与直线2l：10xmy−−=相互垂直，所以0mm+=，解得0m=.故答案为：A.3.已知直线l经过点()0,1，且与直线210xy−+=的倾斜角互补，则直线l的方程为（）A.220xy+−=B.210xy+−=C.210xy+−=D.210xy++=【答案】

A【解析】【分析】根据题意求出直线l的斜率，然后利用斜截式即可写出直线的方程，进而转化为一般式方程即可.【详解】因为与直线210xy−+=的倾斜角互补，而直线210xy−+=的斜率为12，所以直线l的斜率为12−，则直线l的方程为112yx=−+

，即220xy+−=．故选：A4.在四面体OABC中，,,OAaOBbOCc===，且21,32OPOABQBC==，则QP=（）A.211322abc−−+B.211322abc+−C.211322abc−−D.211322abc−++【

答案】C【解析】【分析】根据空间向量的线性运算即可求出结果.【详解】1211223223QPQBBOOPCBOBOAOBOCOBOA=++=−+=−−+211321132222OAOBOCabc=−−−

−=，故选：C.5.“幸福感指数”是指人们主观地评价自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间[0,10]内的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高．现随机抽取10位某小区居民，他们的幸福感指数分别为3，4，5，5，6，6，7，8，9，

10，则这组数据的第75百分位数是（）A.7.5B.8C.8.5D.9【答案】B【解析】【分析】根据百分位数的计算公式即可得出结果.【详解】该组数据从小到大的排序是:3，4，5，5，6，6，7，8，9，10且1075%7.5=，故第75百

分位数为从小到大排列的第8项数据为8.故选:B.6.若过椭圆()2222:10xyCabab+=的上顶点与左顶点的直线方程为220xy-+=，则椭圆C的标准方程为（）A.221164xy+=B.221204xy+=C.2214xy+=D.2214yx+=【答案】C【解析】【分析】求出

a、b的值，进而可得出椭圆C的标准方程.【详解】在直线方程220xy-+=中，令0x=，得1y=，得到椭圆C的上顶点坐标为()0,1，所以1b=，令0y=，得2x=−，得到椭圆C的左顶点坐标为()2,0−，所以2a=，所以椭圆C的标准方程为2214xy+=，故选：C.7.已知圆()()221:

321Cxy−++=与圆()()222:7116Cxy−+−=，则两圆位置关系是（）A.外切B.内切C.相交D.相离【答案】A【解析】【分析】求得两圆的圆心和半径，再根据圆心距与半径之和半径之差的关系，即可判断位置关系.【详解】对圆()()221:321C

xy−++=，其圆心()13,2C−，半径11r=；对圆()()222:7116Cxy−+−=，其圆心()27,1C，半径24r=；又()()22121237215CCrr=−+−−==+，故两圆外切.故选：A.8.若直线

2xy−=被圆()224xay−+=所截得的弦长为22,则实数a的值为（）A.0或4B.1或3C.2−或6D.1−或3【答案】A【解析】【分析】利用垂径定理，结合点到线的距离公式求解.的【详解】由圆()224xay−+=可知，圆心(),0a，半径为：2

，若直线2xy−=被圆()224xay−+=所截得的弦长为22，则由垂径定理可知圆心到直线的距离：2d=，故222ad−==，解得4a=或0a=.故选：A.【点睛】本题考查直线与圆相交时弦长的求解，考查点到线距离公式的应用，属于基础题.二

．选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法中，正确的有（）A.直线32yx=−在y轴上的截距是2B.直线250xy−+=经过第一、二、三象限C.过点()5,0，且倾斜角

为90°的直线方程为50x−=D.过点()1,2P且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为30xy+−=【答案】BC【解析】【分析】根据直线相关概念一一对答案进行核对即可。【详解】对于A:令0x=时，=2y−，故在y轴上的截距是2，A错.对于B:直线的斜率为2

，在xy、轴上的截距分别为552−、，故直线经过第一、二、三象限，B对.对于C:过点()5,0，倾斜角为90°的直线方程为50x−=，故C对.对于D:当直线的截距不为0时，设直线的方程为：1xyaa+

=，把点()1,2P代人直线得3a=，所以直线方程为：30xy+−=，当截距为0时，设直线方程为：ykx=，把点()1,2P代人直线得2k=，直线方程为：2yx=，故D错.故选：BC10.抛掷两枚质地均匀的骰子，有如下随机事件：A=“至少一枚

点数为1”，B=“两枚骰子点数一奇一偶”，C=“两枚骰子点数之和为8”，D=“两枚骰子点数之和为偶数”判断下列结论，正确的有（）A.CDB.B，D为对立事件C.A，C为互斥事件D.A，D相互独立【答案】ABC【解析】【分析】根据

题意，写出各事件包含的基本事件，再根据对立事件，互斥事件，相互独立事件的概念讨论求解即可.【详解】根据题意，用数对(),,1,2,3,4,5,6iixyi=表示抛掷两枚质地均匀的骰子的结果，共包含36个基本事件.事件A包

含的基本事件有()()()()()()()()()()()1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,6,1,5,1,4,1,3,1,2,1，事件B包含的基本事件有()()()()()()1,2,1,4,1,6,2,1,2,3,2,5，()()()(

)()()3,2,3,4,3,6,4,1,4,3,4,5，()()()()()()5,2,5,4,5,6,6,1,6,3,6,5，事件C包含的基本事件有()()()()()2,6,6,2,3,5,5,3,4,4，事件D包含的基本

事件有()()()()()()1,1,1,3,1,5,2,2,2,4,2,6，()()()()()()3,1,3,3,3,5,4,2,4,4,4,6，()()()()()()5,1,5,3,5,5,6,2,6,4,6,6，由于事件C中的元素均在事件D中，则CD，故A正确；事件B与事件D互斥，且

并集为必然事件，故B，D为对立事件，故B正确；事件A与事件C是不可能同时发生，故A，C为互斥事件，故C正确；由题知()1136PA=，()12PD=，事件AD包含的基本事件有()()()()()1,1,1,3,1,5,5,1,3,1，()536

PAD=，显然()()()PADPAPD，故D错误.故选：ABC.11.已知椭圆22:198xyC+=的左､右两个焦点分别为12,,FFP为椭圆上一动点，()1,1M则下列说法正确的是（）A.12PFF△的周长为6B.12PFF△

的最大面积为22C.存在点P使得120PFPF=D.1PMPF+的最大值为7【答案】BD【解析】【分析】对于A，利用椭圆的定义可得12PFF△的周长为8，由此判断即可；对于B，根据椭圆的几何性质，当P为椭圆短轴顶点时，可得12PFF△的面积最大，从而得以判断；对于C，由120PFPF=可

得点P的轨迹，结合椭圆的几何性质即可判断得点P的轨迹与椭圆C没有交点，由此得以判断；对于D，利用椭圆的定义，结合三角形边长的不等式可得17PMPF+，从而得以判断.【详解】对于A，因为椭圆22:198xy

C+=，所以229,8ab==，则23,22,1,1abcc====，所以12PFF△的周长为1212228PFPFFFac++=+=，故A错误；对于B，当P为椭圆C短轴顶点时，点P到12FF的距离最大，则12PFF△的面积最大，所以121122222222PFFScb=

==，故B正确；对于C，假设存在点P使得120PFPF=，则12PFPF⊥，所以点P的轨迹是以原点O为圆心，12FF为直径的圆O，则12112rFF==，因为椭圆C上的任一点到原点O的最小距离是短轴顶点与原点O的距离，即22b=，由rb可知，圆O与椭圆

C没有交点，所以假设不成立，即不存在点P使得120PFPF=，故C错误；对于D，由选项A易得()21,0F，又()1,1M，所以()()22211011MF=−+−=，所以12222667PMPFPMaPFPMPFMF+=+−=+−+=

，故D正确.故选：BD..12.如图，已知正方体1111ABCDABCD−的棱长为1，E，F，G分别为AB，AD，1BB的中点，点P在11AC上，//AP平面EFG，则以下说法正确的是（）A.点P为11AC的中点B.三棱锥PEFG−的体

积为148C.直线1BB与平面EFG所成的角的正弦值为33D.过点E、F、G作正方体的截面，所得截面的面积是33【答案】ABC【解析】【分析】A选项，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面EFG的法向量n，由APn⊥

列出方程，求出11,,122P，得到点P为11AC的中点；B选项，求出P点到平面EFG的距离，利用余弦定理及三角形面积公式得到38EFGS=，得到三棱锥的体积；C选项，利用空间向量求解线面角的大小；D选

项，作出辅助线得到过点E、F、G作正方体的截面为正六边形，得到其面积即可.【详解】以D为坐标原点，DA，DC，1DD所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则()()()()()1111111,,0,,0,0,1,1,,1,0,0,1

,0,1,0,1,1,1,1,0,1,1,1222EFGAACBB，设平面EFG的法向量为(),,nxyz=，则()()1111,,0,,0222211110,,,,02222EFnxyzxyEGnxyzyz=−−=−−=

==+=，令1y=，则1,1xz=−=−，故()1,1,1n=−−，A选项，设(),1,1Pmm−，则()1,1,1APmm=−−，因为//AP平面EFG，所以APn⊥，即()()1,1,11,1,11110mmmm−

−−−=−+−−=，解得：12m=，故11,,122P，故()11111,,11,0,1,,02222AP=−=−，()111110,1,1,,1,,02222PC=−=−，所以11APPC=，则点P为11AC的中点，A正确；设P点

到平面EFG的距离为d，则()1,0,11,1,1236111PEndn−−−===++，又1120442EF=++=，1120442EG=++=，1161442FG=++=，即26,22EFEGF

G===，由余弦定理得：2221131222cos2222222EFEGFGFEGEFEG+−+−===−，故π,π2FEG，则23sin1cos2FEGFEG=−=，由三角形面积公式可得：112233sin222228EFGSEFEG

FEG===，故三棱锥PEFG−的体积为11331338648EFGVSd===，B正确；()10,0,1BB=，设直线1BB与平面EFG所成的角为，则()()1110,0,11,1,13sincos,31

11BBnBBnBBn−−====++，故直线1BB与平面EFG所成角的正弦值为33，C正确；取11BC的中点Q，11DC的中点H，1DD的中点K，连接,,,GQQHHKKF，则过点E、F、G作正方体的截面，截面为正六边形EFKHQG，边长为22，正六边形EFKHQG的面积为3

364EFGS=则截面面积为334，D错误.故选：ABC第II卷非选择题（90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.空间直角坐标系中，点()1,2,1A−关于xOy平面的对称点的坐标为______．【答案】()1,2,1【解析

】【分析】根据点关于坐标平面对称的特征求解作答.【详解】点()1,2,1A−关于xOy平面的对称点的坐标为()1,2,1.故答案为：()1,2,114.若方程222450xyxykxyk++++++=表示圆，则k的取值范围为________.【答案】4k

或1k【解析】【分析】由圆的一般方程写出标准方程，从而求得参数取值范围.【详解】由圆的一般方程写出标准方程，222()(2)450xkykxyk+++−−+++=，即222()(2)4(5)xkykxyk+

++=+−−+由204(5)0kk=+−+，可得4k或1k.故答案为：4k或1k15.若方程22131xytt−=−−所表示的曲线为椭圆，则实数t的取值范围是______.【答案】()()1,22,3【解析】【分析】根据方程表

示椭圆列不等式组，由此求得t的取值范围.【详解】2222113131xyxytttt−=+=−−−−表示椭圆，所以()()30101,22,331ttttt−−−−.故答案为：()()1,22,316.已知点()()2,0,2,

0AB−，若圆()223()4axy−+−=上存在点,P使得90APB=，则实数a的取值范围是____．【答案】7,7−【解析】【分析】先把圆()223()4axy−+−=上存在点,P使得90APB=，转化为圆224xy+=与圆()223()4axy−+−=相交，利用RrdRr−

+，解不等式即可.【详解】因为直径所对的圆周角为90°，而90APB=，所以以AB为直径的圆224xy+=与圆()223()4axy−+−=存在公共点，故两圆相交或相切，所以22034a+解得77a−.故答案为：7,

7−【点睛】圆C1和圆C2的半径分别为R和r，圆心距为d，圆与圆的位置关系由5种：（1）相离dRr+；（2）相外切=dRr+；（3）相交||RrdRr−+；（4）相内切||dRr=−；（5）相内含||dRr−；四、解答题

：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.分别根据下列条件求椭圆标准方程：（1）一个焦点为()3,02Fac=，（2）与椭圆2212xy+=有相同的焦点，且经过点3(1,

)2P【答案】（1）221129xy+=（2）22143xy+=【解析】【分析】（1）根据已知可得a，c，然后由222abc=+求出b，即可得椭圆方程；（2）根据已知椭圆方程可得焦点坐标，然后设所求椭圆方程为22221xyab

+=，代入已知点坐标，结合222abc=+即可求解.【小问1详解】由题知，3c=，椭圆焦点在x轴上，又223ac==，所以()()2222339b=−=，所以，椭圆方程为221129xy+=.【小问2详解】椭圆2212xy+=的焦点为()1,0，设所求椭圆方程为22221

xyab+=，则有222219141abab+=−=，解得224,3ab==，所以所求椭圆方程为22143xy+=.18.浙江某校为了了解学生的体育锻炼时间，采用简单随机抽样法抽取了100名学生，对其平均每日参加体育锻炼的时

间（单位：分钟）进行调查，按平均每日体育锻炼时间分组统计如下表：分组)0,30)30,60)60,90)90,120)120,150150,180男生人数216181863女生人数3209221若将平均每日参加体育锻炼的时

间不低于120分钟的学生称为“锻炼达人”.（1）若将频率视为概率，估计该校3500名学生中“锻炼达人”有多少？（2）从这100名学生的“锻炼达人”中按性别分层抽取8人参加某项体育活动.①求男生和女生各抽取了多少人；②若从这8人中随机抽取2人作为组长候选人，求抽取的2人中男生和女生各1人的概率.【答

案】（1）420（人）（2）①男生抽取6人，女生抽取2人；②37【解析】【分析】（1）求出100名学生中的“锻炼达人”人数，可得3500名学生中“锻炼达人”的人数；（2）①因为100名学生“锻炼达人”按性别中的男女之比为3:1，可得男生和女生各抽取的人数；②求出从8人中

随机抽取2人的基本事件，根据古典概型求解即可.【小问1详解】由表可知，100名学生中“锻炼达人”的人数为12人，若将频率视为概率，该校3500名学生中“锻炼达人”的人数为123500420100=（人）；【小问2详解】①由（1）知100名学生中的“锻炼达人”有12人，其中男生9人，女生3

人.从12人中按性别分层抽取8人参加体育活动，则男生抽取6人，女生抽取2人.②抽取的8人中有6名男生和2名女生，6名男生依次编号为126,,,AAA，2名女生依次编号为12,BB，则8人中随机抽取2人的所有结果为121314

151611122324(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)AAAAAAAAAAABABAAAA,2526(,),(,)AAAA,2122(,),(,)ABAB，343536(,),(,),(,)AAAAA

A，3132(,),(,)ABAB，4546(,),(,)AAAA，4142(,),(,)ABAB，()()()515256,,,,,ABABAA，6162(,),(,)ABAB,12(,)BB,有28种结果，且每种结果发生的可能性相等.记“抽取的2人中男生和女

生各1人”为事件A，则事件A包含的结果有12个，故()122378PA==.19.在ABC中，BC边上的高所在的直线的方程为210xy−+=，角A的平分线所在直线的方程为0y=，若点B的坐标为(1,2)

.（1）求点A的坐标;（2）求直线BC的方程;（3）求点C的坐标.【答案】（1）(10)−,（2）240xy+−=的（3）(5,6)−.【解析】【分析】（1）利用两直线的交点坐标求法直接求解；（2）根据两直线的垂直关系

与斜率的关系结合点斜式求解；（3）利用直线的斜率公式求解即可.【小问1详解】直线210xy−+=和直线0y=交点是(10)−,，即点A的坐标为(10)−,.【小问2详解】因为直线210xy−+=为BC边上的高，由垂直关系得2BCk=−，所以直线BC的方程为

22(1)yx−=−−，即240xy+−=.【小问3详解】因为角A的平分线所在直线的方程为0y=，),,,(10)(12AB−，所以1ACABkk=−=−，设点C的坐标为(,)ab，则11ba=−+，221ba−=−−，解得,56ab==−，即点C的坐

标为(5,6)−.20.在平面直角坐标系中，ABC的顶点分别为()()()12,14,32ABC−，，，.（1）求ABC外接圆M的方程；（2）若直线l经过点(0,4)，且与圆M相交所得的弦长为23，求直线l的方程.【答案】（1）22(1)(2)4

xy−+−=；（2）0x=或34160xy+−=【解析】【分析】（1）先设圆M的方程为220xyDxEyF++++=，根据圆M过()12A−，，()14B，，()32C，三点，列出方程组，即可求出结果；（2）分直线l的斜率不存在与存在两种情况，分别用代数法

联立直线与圆的方程，结合弦长公式求解，即可得出结果.【详解】（1）设圆M的方程为220xyDxEyF++++=，的因为圆M过()()()12,14,32ABC−，，，三点，所以有14201164094320DEFDEFDEF+

−++=++++=++++=，解得24DE=−=−，，1F=，∴ABC外接圆M的方程为222410xyxy+−−+=，即22(1)(2)4xy−+−=.（2）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为0x=，联立2202410xxyxy=+−−+=，得023xy

==−或023xy==+，此时弦长为23，满足题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为4ykx−=，即40kxy−+=，由于圆心(1,2)到该直线的距离为2223212−=

，故2|24|11kk−+=+，解得34k=−，∴直线l的方程为3404xy−−+=，即34160xy+−=.综上可得，直线l的方程为0x=或34160xy+−=.【点睛】本题主要考查求圆的方程，以及已知弦

长求直线方程的问题，通常需要联立直线与圆的方程，结合弦长公式求解，属于常考题型.21.如图，PA⊥矩形ABCD所在平面，PAAD=，M、N分别是AB、PC的中点.（1）求证：平面ANB⊥平面PCD；（2）

若直线PB与平面PCD所成角的正弦值为1010，求二面角NMDC−−的正弦值.【答案】（1）见解析（2）63【解析】【分析】（1）通过证明MN⊥面PCD，可证得面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，设2ABt=，由向量的夹角公式先求解线面角得t，再利用面的法向量求解二面角即可.【详解】如图

，取PD中点E，连接EN，AE.（1）证明：∵M，N，E为中点，∴//ENAM，12ENAMAB==，∴AMNE是平行四边形，//MNAE，又∵CDAD⊥，CDPA⊥，∴CD⊥面PAD，∴面PCD⊥面PAD.∵PAAD=，E为中点，,AEPD⊥⊥AE面PCD，∴MN

⊥面PCD，∵MN面ANB，∴平面ANB⊥平面PCD.（2）建立如图所示坐标系，()0,0,0A，()2,0,0Bt，()2,2,0Ct，()0,2,0D，()002P,,，(),0,0Mt，(),1,1Nt.由

（1）知MN⊥面PCD，∴()2,0,2PBt=−，()0,1,1MN=.∵直线PB与平面PCD所成角的正弦值为1010，∴由1010PBMNPBMN=得2t=.设(),,mxyz=为面NMD的法向量，则()2,2,0DM=−，()0,1,1MN=.由00DMmMNm

==得()1,1,1m=−，3m=，∵AP⊥面CMD，()0,0,2AP=，设二面角NMDC−−为，为锐角，则3cos3APmAPm==，∴6sin3=.【点睛】本题主要考查了线面和面面垂直的判断及性质，利用空间直线坐标系，通过空间向量求解线面角及二面角，属于中档题.22.已知

12AAB，，是椭圆()222210xyabab+=的顶点（如图），直线l与椭圆交于异于顶点的PQ，两点，且2//lAB，若椭圆的离心率是32，且25AB=，（1）求此椭圆的方程；（2）设直线1AP和直线BQ的斜率分别为12kk，，证明12kk+为定值.【答案】（1）2214xy+=

；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由椭圆的离心率及abc，，的关系求解即可；（2）求出直线l方程与椭圆方程联立起来，利用韦达定理得到两根之和，两根之积，然后证明即可.【小问1详解】由已知可得椭圆的离心率22312cbeaa==−=

，2225ABab=+=，的∴2,1ab==，∴椭圆方程为2214xy+=；【小问2详解】如图，由（1）可知：()12,0A−，()22,0A，()0,1B，且2//lAB，所以直线l的斜率212ABk=−，设直线l的方程为12yxm=−+，设()()1122,,,PxyQxy，联立221412x

yyxm+==−+得：222220xmxm−+−=，()2224422840mmm=−−=−，∴22m−，则212122,22xxmxxm+==−，又1112ykx=+，2221ykx−=，1112yxm=−+，221

2yxm=−+，∴()()()21121212121221122xyxyyykkxxxx++−−+=+=++，()21122112111222221xxmxxmxmxxx−++−++−+−−=+()()()1112121222mxxxxmxx−+−+−

=+()()()21212222202mmmmxx−−−+−==+，为定值.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com