山西省运城市景胜中学2020-2021学年高二上学期期中数学试题(理) 含答案

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以下为本文档部分文字说明:

1山西省运城市景胜中学2020-2021学年度第一学期高二期中数学试题(文)一、选择题(本题共计12小题,每题5分,共计60分,)1.在空间直角坐标系中,点�䛀ᆯꩨᆯ聄关于�轴的对称点的坐标是()A.�䛀ᆯꩨᆯ聄B.�䛀ᆯ�ꩨᆯ�聄C.䛀ᆯ�ꩨᆯ聄D.䛀ᆯꩨᆯ�聄2.若�‴

䛀ᆯ��ꩨ䁃为圆‴��ꩨ䁃䛀��䛀�䛀䁕的弦��的中点,则直线��的方程是‴䁃A.�������B.䛀�������C.����ꩨ��D.䛀����䁕��3.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为‴䁃A.�䛀�B.�䛀C.ꩨ��D.ꩨ�4.已知等腰直角三角形的斜边所在的

直线是,直角顶点是,则两条直角边,的方程是‴䁃A.,B.,C.,D.,5.圆�ꩨ��䛀��䛀��与圆�䛀��䛀��䛀�������ꩨ䛀��的公共弦的长为‴䁃A.䛀B.�C.䛀䛀D.�䛀6.在空间中,有如下四个命题:①若平面�垂直平面�,则平面�内

的任意一条直线垂直于平面�;②平行于同一个平面的两条直线是平行直线;③垂直于同一条直线的两个平面是平行平面;④过平面�的一条斜线有且只有一个平面与平面�垂直.2其中正确的两个命题是()A.①、③B.②、④C.③、④D.②、

③7.某三棱锥的三视图如图所示(网格纸上小正方形的边长为ꩨ),则该三棱锥中最长的棱长为‴䁃A.�B.䛀䛀C.ꩨ�D.䛀�8.三棱锥�����的高为��,若三个侧面两两垂直,则�为����的()A.内心B.外心C.垂心D.重心9.在四面体�����中,���平面���,���

��聄��,������䛀,���ꩨ,则该四面体的外接球的表面积为()A.䛀��B.���C.��D.䁕�10.已知方程�䛀��䛀����䛀�����,则�䛀��䛀的最大值是()A.ꩨ���䁕B.ꩨ�C.聄D.ꩨ���䁕11.圆�䛀��䛀�䛀�����ꩨ��关于直线���െ�����‴

�͵�ᆯ�െ͵�䁃对称,则ꩨ���െ的最小值是()A.䛀�B.䛀��C.ꩨ��D.�12.如图,已知正方体���ܥ��ꩨ�ꩨ�ꩨܥꩨ的棱长为䛀,点�在线段��ꩨ上,且�ꩨ��䛀��,平面�经过点�,�,�ꩨ,则

正方体���ܥ��ꩨ�ꩨ�ꩨܥꩨ被平面�截得的截面面积为()3A.��B.䛀�C.䁕D.䁕��二、填空题(本题共计4小题,每题5分,共计20分,)13.圆锥底面半径为䛀몀૵,高为䛀몀૵,其中有一个内接正方

体,则这个内接正方体的棱长为________몀૵.14.直线૵�ꩨ��૵��૵����被圆�䛀��䛀�䛀䁕所截的弦长的最小值为________.15.圆�䛀��䛀�����=�上恰有两点到直线�����=�的距离为䛀,则实数�的取值范围是________.16.若�为直线��

�����上一个动点,从点�引圆���䛀��䛀�����的两条切线��,��(切点为�,�),则����的最小值是________.三、解答题(本题共计6小题,共计70分,)17.(10分)已知圆�的方程为�䛀��䛀��.‴ꩨ䁃

求过点�䛀ᆯꩨ且与圆�相切的直线�的方程;‴䛀䁃直线�过点�䛀ᆯꩨ,且与圆�交于�、�两点,若�����䛀�,求直线�的方程.18.(12分)如图,四棱锥�����ܥ的底面���ܥ为正方形,平面��ܥ�平面���ܥ,且����ܥ�䛀,

�ܥ�䛀.4‴ꩨ䁃证明:���平面��ܥ;‴䛀䁃求点ܥ到平面���的距离.19.(12分)已知����的顶点�䁕,ꩨ,��边上的中线��所在直线方程为䛀����䁕��,��边上的高��所在直线方程为��䛀��䁕��.‴ꩨ䁃求��边所

在直线方程;‴䛀䁃求过顶点�且与��平行的直线.20.(12分)如图,已知��ꩨ�平面���,��ꩨ������ꩨ,�������,���䛀䁕,��ꩨ��,��ꩨ�䛀�,点�,�分别为��,�ꩨ�的中点.‴ꩨ䁃求证:�

�����平面�ꩨ�ꩨ��;‴䛀䁃求证:平面���ꩨ�平面���ꩨ;‴�䁃求直线�ꩨ�ꩨ与平面���ꩨ所成角的大小.21.(12分)如图,几何体���ܥ��中,����,�ܥ��均为边长为䛀的正三角形,且平面�����平面ܥ

��,四边形���ܥ为正方形.ꩨ䁃若平面���ܥ�平面���,求证:平面�ܥ�����平面���;‴䛀䁃若二面角ܥ�����为ꩨ䁕��,求直线�ܥ与平面�ܥ�所成角的正弦值.22.(12分)在平面直角坐标系

�몀�中,已知�‴�ᆯ��䁃,直线����䛀���.圆�的半径为ꩨ,圆心在直线�上.‴ꩨ䁃若圆心又在直线����ꩨ上,过点�作圆�的切线,求切线方程;‴䛀䁃若圆�上存在一点�满足���䛀�몀,求圆心�的横

坐标�的范围.5景胜中学高二期中考试数学抽考试题答案(理)一、选择题1.BAABC6CDCCD11CB二、填空题13.䛀䛀�14.��15.‴��ᆯ��䁃�‴�ᆯ��䁃16.���三、解答题(本题共计6小题,共计70分)17.解:‴ꩨ䁃当�斜率不存在时,直线�方程为��䛀,与圆�

相切,满足题意;当�斜率存在时,设直线方程为:��ꩨ����䛀,即�����䛀��ꩨ��,∵圆�圆心坐标为‴�ᆯ�䁃,半径��䛀,∴圆心到直线�的距离����䛀��ꩨ��䛀�ꩨ�䛀,解得:�����,∴直线�方程为�������䁕䛀��,即������ꩨ���.综

上所述:过点�䛀ᆯꩨ且与圆�相切的直线�的方程为:��䛀或������ꩨ���.‴䛀䁃由‴ꩨ䁃知,直线�斜率存在,可设其方程为�����䛀��ꩨ��,设圆心到直线�距离为�,∵�����䛀�䛀��䛀�䛀���䛀�䛀�,∴��ꩨ,即����䛀��ꩨ��䛀�ꩨ�ꩨ,解得

:���或����,∴直线�的方程为���ꩨ��或������䁕���,即��ꩨ或������䁕��.【解答】解:‴ꩨ䁃当�斜率不存在时,直线�方程为��䛀,与圆�相切,满足题意;当�斜率存在时,设直线方程为

:��ꩨ����䛀,即�����䛀��ꩨ��,∵圆�圆心坐标为‴�ᆯ�䁃,半径��䛀,∴圆心到直线�的距离����䛀��ꩨ��䛀�ꩨ�䛀,6解得:�����,∴直线�方程为�������䁕䛀��,即���

���ꩨ���.综上所述:过点�䛀ᆯꩨ且与圆�相切的直线�的方程为:��䛀或������ꩨ���.‴䛀䁃由‴ꩨ䁃知,直线�斜率存在,可设其方程为�����䛀��ꩨ��,设圆心到直线�距离为�,∵�����䛀�䛀��䛀�䛀���䛀�䛀�,∴��ꩨ,即����䛀��ꩨ��䛀�ꩨ�ꩨ,解得:���或�

���,∴直线�的方程为���ꩨ��或������䁕���,即��ꩨ或������䁕��.18.【答案】‴ꩨ䁃证明:∵平面��ܥ�平面���ܥ,平面��ܥ�平面���ܥ��ܥ,�ܥ��ܥ,�ܥ�平面���ܥ,∴�ܥ�平面��ܥ.又∵���平面�

�ܥ,∴�ܥ���.在���ܥ中,����ܥ�䛀,�ܥ�䛀,��䛀��ܥ䛀��ܥ䛀,∴����ܥ.∵�ܥ��ܥ�ܥ,�ܥ,�ܥ�平面��ܥ,∴���平面��ܥ.‴䛀䁃解:如图,设点ܥ到平面���的距离为�,取�ܥ的中点몀,连接�몀,몀�,�ܥ,作�����于�,则�몀��ܥ.∵平面�

�ܥ�平面���ܥ,平面��ܥ�平面���ܥ��ܥ,∴�몀�平面���ܥ.∵�몀�ꩨ䛀�ܥ�ꩨ,몀��䁕,∴在��몀�中,����,同理,����.∴����是等腰三角形.7由�ܥ����������ܥ得:ꩨ���

�������ꩨ������ܥ��몀,ꩨ䛀���������ꩨ䛀�����ܥ��몀,解得��䛀䁕䁕,∴点ܥ到平面���的距离为䛀䁕䁕.【解答】‴ꩨ䁃证明:∵平面��ܥ�平面���ܥ,平面��ܥ�平面���ܥ��ܥ,�ܥ��ܥ,�ܥ�平面���ܥ,∴�ܥ�

平面��ܥ.又∵���平面��ܥ,∴�ܥ���.在���ܥ中,����ܥ�䛀,�ܥ�䛀,��䛀��ܥ䛀��ܥ䛀,∴����ܥ.∵�ܥ��ܥ�ܥ,�ܥ,�ܥ�平面��ܥ,∴���平面��ܥ.‴䛀䁃解:如图,设点ܥ到平面���的距离为�,取�ܥ的中点몀,连接�몀,몀�

,�ܥ,作�����于�,则�몀��ܥ.∵平面��ܥ�平面���ܥ,平面��ܥ�平面���ܥ��ܥ,∴�몀�平面���ܥ.∵�몀�ꩨ䛀�ܥ�ꩨ,몀��䁕,∴在��몀�中,����,同理,����.∴��

��是等腰三角形.由�ܥ����������ܥ得:ꩨ����������ꩨ������ܥ��몀,ꩨ䛀���������ꩨ䛀�����ܥ��몀,解得��䛀䁕䁕,∴点ܥ到平面���的距离为䛀䁕䁕.19.8【答案】解:‴ꩨ䁃由��边上的高��所在直线方程

为��䛀��䁕��,可知�����䛀.又�䁕,ꩨ,故��边所在直线方程为��ꩨ��䛀��䁕,即��边所在直线方程为䛀����ꩨꩨ��.‴䛀䁃联立䛀����ꩨꩨ��ᆯ䛀����䁕��ᆯ解得���ᆯ���ᆯ所以顶点�的坐标为�,�.又因为��所在直线的斜

率为ꩨ䛀,故所求直线方程为����ꩨ䛀���,即��䛀��䛀��.【解答】解:‴ꩨ䁃由��边上的高��所在直线方程为��䛀��䁕��,可知�����䛀.又�䁕,ꩨ,故��边所在直线方程为��ꩨ��䛀��䁕,即��边所在直线方程为䛀����ꩨꩨ��.‴䛀䁃联立䛀����ꩨꩨ

��ᆯ䛀����䁕��ᆯ解得���ᆯ���ᆯ所以顶点�的坐标为�,�.又因为��所在直线的斜率为ꩨ䛀,故所求直线方程为����ꩨ䛀���,即��䛀��䛀��.20.【答案】‴ꩨ䁃证明:连接�ꩨ�,在��ꩨ��中,∵�和�分别是��和�ꩨ�的中点,9∴�������ꩨ�,又∵�ꩨ��平面�ꩨ�ꩨ�

�,���平面�ꩨ�ꩨ��,∴������平面�ꩨ�ꩨ��.䛀证明:∵�����,�为��的中点,∴�����.∵�ꩨ��平面���,��ꩨ������ꩨ,∴�ꩨ��平面���.∵���平面���,∴�ꩨ��

��.又∵�ꩨ��平面�ꩨ��,���平面�ꩨ��,�ꩨ������,∴���平面�ꩨ��.∵���平面���ꩨ,∴平面���ꩨ�平面���ꩨ.‴�䁃解:取��ꩨ中点�和�ꩨ�中点�,连接�ꩨ�,�ꩨ�,��,∵�和�分别为�ꩨ�和��的中点,∴��平行且等于ꩨ䛀�ꩨ�,∴��平行且等于�ꩨ�,

∴四边形�ꩨ���是平行四边形,∴�ꩨ�平行且等于��.又∵���平面���ꩨ,∴�ꩨ��平面���ꩨ,∴��ꩨ�ꩨ�即为直线�ꩨ�ꩨ与平面���ꩨ所成角.在����中,可得���䛀,∴�ꩨ�����䛀.∵��������ꩨ,�����ꩨ,∴

�ꩨ�������且�ꩨ����.又由�����ꩨ,∴�ꩨ����ꩨ.在����ꩨ��ꩨ中,�ꩨ�ꩨ��ꩨ�䛀��ꩨ�䛀��,在����ꩨ��ꩨ中,sin��ꩨ�ꩨ���ꩨ��ꩨ�ꩨ�ꩨ䛀,∴��ꩨ�ꩨ�����,即直线�ꩨ�ꩨ与平面��

�ꩨ所成角的大小为���.【解答】‴ꩨ䁃证明:连接�ꩨ�,10在��ꩨ��中,∵�和�分别是��和�ꩨ�的中点,∴�������ꩨ�,又∵�ꩨ��平面�ꩨ�ꩨ��,���平面�ꩨ�ꩨ��,∴�����

�平面�ꩨ�ꩨ��.䛀证明:∵�����,�为��的中点,∴�����.∵�ꩨ��平面���,��ꩨ������ꩨ,∴�ꩨ��平面���.∵���平面���,∴�ꩨ����.又∵�ꩨ��平面�ꩨ��,���平面�ꩨ��,�ꩨ������,∴���平

面�ꩨ��.∵���平面���ꩨ,∴平面���ꩨ�平面���ꩨ.‴�䁃解:取��ꩨ中点�和�ꩨ�中点�,连接�ꩨ�,�ꩨ�,��,∵�和�分别为�ꩨ�和��的中点,∴��平行且等于ꩨ䛀�ꩨ�,∴��平行且等于�ꩨ�,∴四边形�ꩨ���是平行四边形,∴�ꩨ

�平行且等于��.又∵���平面���ꩨ,∴�ꩨ��平面���ꩨ,∴��ꩨ�ꩨ�即为直线�ꩨ�ꩨ与平面���ꩨ所成角.在����中,可得���䛀,11∴�ꩨ�����䛀.∵��������ꩨ,�����ꩨ,∴�ꩨ�������且�ꩨ����.又由�����ꩨ,∴�ꩨ����ꩨ.在

����ꩨ��ꩨ中,�ꩨ�ꩨ��ꩨ�䛀��ꩨ�䛀��,在����ꩨ��ꩨ中,sin��ꩨ�ꩨ���ꩨ��ꩨ�ꩨ�ꩨ䛀,∴��ꩨ�ꩨ�����,即直线�ꩨ�ꩨ与平面���ꩨ所成角的大小为���.21.【答案】‴ꩨ䁃证明:如图,取��的中点몀,�ܥ的中点�,连接�몀,몀�,��,��,则�몀���,

又平面���ܥ�平面���,平面���ܥ�平面������,所以�몀�平面���ܥ,同理���平面���ܥ,所以�몀������,又�몀���,所以四边形�몀��为平行四边形,所以������몀�,����平面��

�,又ܥ�������,ܥ���平面���,又因为��和ܥ�交于点�,所以平面�ܥ�����平面���.‴䛀䁃解:连结�몀,则�몀���,又�몀���,所以��몀�为二面角ܥ�����的平面角,所以��몀��ꩨ䁕��.因为����몀,����몀,所以���平面�몀�,所以平面

�ܥ��平面�몀�,且交线为��,又因为몀����ܥ,所以몀�与平面�ܥ�所成的角即为所求.过몀在平面�몀�中作몀����于�,则몀��平面�ܥ�,所以�몀��即为所求的角.因为��䛀�䛀䛀�‴�䁃䛀�䛀�䛀��co

sꩨ䁕�������ꩨ�,即���ꩨ�.所以ꩨ䛀�ꩨ��몀��ꩨ䛀�䛀��sinꩨ䁕��,12所以몀���聄ꩨ�.所以sin�몀���몀�몀���聄䛀�.【解答】‴ꩨ䁃证明:如图,取��的中点몀,�ܥ的中点�,连接�몀,몀�,��,��,则�몀���,又平面���ܥ�平面���,平

面���ܥ�平面������,所以�몀�平面���ܥ,同理���平面���ܥ,所以�몀������,又�몀���,所以四边形�몀��为平行四边形,所以������몀�,����平面���,又ܥ�������,ܥ���平面���,又因为��和ܥ�交于点�,所以平面�ܥ�����平

面���.‴䛀䁃解:连结�몀,则�몀���,又�몀���,所以��몀�为二面角ܥ�����的平面角,所以��몀��ꩨ䁕��.因为����몀,����몀,所以���平面�몀�,所以平面�ܥ��平面�몀�,且交线为��,又因为몀����ܥ,所以몀�与平面�ܥ�所成的角即为

所求.过몀在平面�몀�中作몀����于�,则몀��平面�ܥ�,所以�몀��即为所求的角.因为��䛀�䛀䛀�‴�䁃䛀�䛀�䛀��cosꩨ䁕�������ꩨ�,即���ꩨ�.所以ꩨ䛀�ꩨ��몀��ꩨ䛀�䛀��sinꩨ䁕��,所以몀���聄ꩨ�.所以sin�몀�

��몀�몀���聄䛀�.1322.【答案】解:‴ꩨ䁃联立得:����ꩨ,��䛀����解得:���,��䛀�,∴圆心�‴�ᆯ�䛀䁃.若�不存在,不合题意;若�存在,设切线为:������,可得圆心到切线的距离���,即������䛀�ꩨ��䛀�ꩨ,解得:���或�����,则所求切线为���或�

�������.‴䛀䁃设点�‴�ᆯ��䁃,由���䛀�몀,知:�䛀�‴���䁃䛀�䛀�䛀��䛀,化简得:�䛀�‴��ꩨ䁃䛀��,∴点�的轨迹为以‴�ᆯ��ꩨ䁃为圆心,䛀为半径的圆,可记为圆ܥ,又∵点�在圆�上,�‴�ᆯ

�䛀���䁃,∴圆�与圆ܥ的关系为相交或相切,∴ꩨ���ܥ���,其中��ܥ���䛀�‴䛀���䁃䛀,∴ꩨ��䛀�‴䛀���䁃䛀��,解得:����ꩨ䛀䁕,∴圆心�的横坐标�的取值范围为�ᆯꩨ䛀䁕.【

解答】解:‴ꩨ䁃联立得:����ꩨ,��䛀����解得:���,��䛀�,∴圆心�‴�ᆯ�䛀䁃.若�不存在,不合题意;若�存在,设切线为:������,可得圆心到切线的距离���,即������䛀�ꩨ��䛀�ꩨ,解得:���或�����,则所求切线为���或�������

�.‴䛀䁃设点�‴�ᆯ��䁃,由���䛀�몀,知:�䛀�‴���䁃䛀�䛀�䛀��䛀,化简得:�䛀�‴��ꩨ䁃䛀��,∴点�的轨迹为以‴�ᆯ��ꩨ䁃为圆心,䛀为半径的圆,可记为圆ܥ,14又∵点�在圆�上,�‴�

ᆯ�䛀���䁃,∴圆�与圆ܥ的关系为相交或相切,∴ꩨ���ܥ���,其中��ܥ���䛀�‴䛀���䁃䛀,∴ꩨ��䛀�‴䛀���䁃䛀��,解得:����ꩨ䛀䁕,∴圆心�的横坐标�的取值范围为�ᆯꩨ䛀䁕.

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