【文档说明】湖北省荆州市沙市中学2020届高三下学期5月第三次模拟数学（文）试题【精准解析】.docx，共(25)页，1.971 MB，由小赞的店铺上传

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湖北省荆州市沙市中学2019-2020学年高三第三次模拟考试文科数学试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合1,2,3,4,5A=，集合|2Bxx=，则AB=()A.(2,5B.3,4,5C.2,

3,4,5D.)1,+【答案】B【解析】【分析】由集合A，集合B求AB即可.【详解】解:由集合1,2,3,4,5A=，集合|2Bxx=，则AB=3,4,5,故选:B.【点睛】本题考查了集合交集的运算，属基础题.2.已知复数z满足31i

zi−=+（其中i为虚数单位），则z的虚部为（）A.2i−B.-2C.2iD.2【答案】B【解析】【分析】根据复数除法的四则运算，分子分母同时乘以分母的共轭复数，整理出复数代数形式的标准形式，得到答案.【详解】3(3)(1)2

4121(1)(1)2iiiiziiii−−−−====−++−.故选：B．【点睛】本题考查复数的基本概念和复数的四则运算，属于基础题.3.中国有四大国粹：京剧、武术、中医和书法.某大学开设这四门课供学生选修，男生甲选其中三门课进行学习，已知他选修了京

剧，则他选修书法的概率为()A.13B.12C.23D.34【答案】C【解析】【分析】先求出4门课程里选3门课程（京剧已选）的基本事件的个数，再求出从4门课程里选3门课程他选修了京剧，且选修书法的基本事件的个数，然后结合古典概型的概率公式求解即

可.【详解】解：因为4门课程里选3门课程（京剧已选），再从剩下的3门课程中选2门即可，共有{京剧，武术，中医}，{京剧，武术，书法}，{京剧，中医，书法}3种不同的选择，又从4门课程里选3门课程他选修了京剧，且选修书法共有{京剧，武

术，书法}，{京剧，中医，书法}2种不同的选择，所以选书法的概率为23，故选：D.【点睛】本题考查了古典概型的概率公式，属基础题.4.已知3sincos3−=，则sin2的值为()A.13B.23−C.23D.13−【答案】C【解析】【分析】将两边同时平方，再结合同角三角函数的关系及二倍角

公式求解即可.【详解】解：因为3sincos3−=，两边同时平方得221sin2sincoscos3−+=，所以11sin23−=，所以2sin23=，故选：C.【点睛】本题考查了二倍角公式，重点考查了同角三角函数的关系，属基础题.5.设等差数列na前

n项和为nS，若23a=，535S=，则6a=（）A.13B.15C.17D.19【答案】D【解析】【分析】因为23a=，535S=，可得21513455352aadSad=+==+=，从

而求出4d=，根据等差数列的性质可计算6a的值.【详解】因为23a=，535S=，所以21513455352aadSad=+==+=，即11327adad+=+=，解得4d=，所以62419aad=+=.故选：D．【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，考查等差数列

的通项公式，属于基础题.6.公元5世纪，我国古代著名数学家祖冲之给出了圆周率的两个近似分数值：227（称之为“约率”）和355113（称之为“密率”）．一几何体的三视图如图所示（每个小方格的边长为1），如果取圆周率为“约率”，则该几何体的体积为（）A.727B.1167C.1447D.

2167【答案】A【解析】【分析】该图为三棱锥和半圆锥组成，按棱锥和圆锥的体积公式计算，体积公式中的代值计算时用227计算即可.【详解】如图，组合体有半个圆锥与一个三棱锥放在一起形成，所以1172(424)342327VVV=

+=+==+半圆锥三棱锥．故选：A.【点睛】本题考查由三视图还原几何体并求体积，考查棱锥和圆锥体积公式，考查新概念的理解，属于基础题.7.函数()()2lnxxxfxee−=+的图象可能是()A.B.C.D.【答案】A【解析】【

分析】先判断函数的奇偶性，再结合特殊变量对应的函数值的符号判断即可得解.【详解】解：由函数()()2lnxxxfxee−=+，则()()fxfx−=，所以()yfx=为偶函数，又偶函数图像关于y轴对称，所以B，D不正确，又因为()10f=，11221ln1402f

ee−=+，即C不正确，故选：A.【点睛】本题考查了偶函数图像的性质，重点考查了函数图像的对称性，属基础题.8.菱形ABCD中，2AC=，23BD=，E点为线段CD的中点，则AEBC为()A.3B.3

C.32D.32【答案】B【解析】【分析】先建系，再结合向量数量积的坐标运算求解即可.【详解】解：建立如图所示坐标系，()0,1A，()3,0B-，()0,1C−，()3,0D，所以31,22E骣琪-琪桫，则33,22AE骣琪=-琪桫，()3,1BC=−，所以333()(1)3

22AEBC=+−−=，故选：B.【点睛】本题考查了向量数量积的坐标运算，重点考查了运算能力，属基础题.9.数列na的前n项和为nS，满足11a=，23a=，()231nnnnaaa+=+−，则2nS=()A.422nn+−B.44233nn−+−C.422nn++D.42nn+【答案】

A【解析】【分析】先由数列的递推关系可得当n为奇数时，22nnaa+=，所以奇数项为以1为首项，2为公比的等比数列；当n为偶数时，24nnaa+=，所以偶数项为以3为首项，4为公比的等比数列，再结合等比数列前n项和的求和公式求解即可.【详解】解：由11a=，23a=，

()231nnnnaaa+=+−，当n为奇数时，22nnaa+=，所以奇数项为以1为首项，2为公比的等比数列；当n为偶数时，24nnaa+=，所以偶数项为以3为首项，4为公比的等比数列，所以()2314124221214nnn

nnSSS−−+=+−==−+−奇偶，故选：A.【点睛】本题考查了等比数列前n项和的求和公式，重点考查了等比数列的判断，属基础题.10.点()cos,sinP在直线2ykx=+上，则实数k的取值范围是()A.

3,3−B.(),33,−−+C.2,2−D.(),22,−−+【答案】B【解析】【分析】先判断出点()cos,sinP的轨迹，然后结合直线与圆的位置关系求解即可

.【详解】解：因为22sincos1+=，所以()cos,sinP的轨迹是半径为1的圆，直线2ykx=+恒过()0,2与圆有公共点，如图，临界为相切时刻，所以(),33,k−−+，故选：B.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，重点考查了数形结合的数学思想方

法，属基础题.11.已知双曲线C：()22221,0xyabab−=的左右焦点分别为1F，2F，过1F且斜率为13的直线与双曲线C的渐近线在第一象限交于点P，若12PFPF⊥，则双曲线C的离心率为（）A.10B.22C.2D.54【答案】D【解析】【分析】因为12PFPF⊥

，所以点P在以12FF为直径的圆上，且圆心为O，所以2122POFPFF=，已知121n3taPFF=−，2tanPOFba=，所以根据正切函数的二倍角公式可计算ba的值，进而求得双曲线的离心率.【详解】

∵12PFPF⊥，所以点P在以12FF为直径的圆上，且圆心为O，∴1212FPFcO==，∴2122POFPFF=，又已知121n3taPFF=−，2tanPOFba=，1221222tan3311tan419PFFbaPFF===−

−，∴22514bea=+=.故选：D．【点睛】本题考查求双曲线的离心率，考查正切函数的二倍角公式，考查数形结合的数学思想，属于中档题.12.设函数(),1ln,1xxfxxx=，若()yfxk=−有两个零点()1212,xxxx，则212x

x−的取值范围是()A.1,2e−B.)1,2e−C.)22ln2,2e−−D.22ln2,1−【答案】D【解析】【分析】先将212xx−表示为关于1x的函数，再利用导数求函数的值域即可得解.【详解】解：由()()12fxfxk==可知，1201xxe

，∴12lnxxk==，∴()1121122xtxxxex=−=−，)10,1x，又()11'2xtxe=−，令()1'0tx=，则1ln2x=，则函数()1tx在)0，ln2为减函数，在)ln2,1为增函数，又()ln222ln2t=−，()12te=−，

()01t=，∴()122ln2,1tx−，故选：D.【点睛】本题考查了导数的综合应用，重点考查了利用导数求函数的值域，属中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.曲线sinyxx=在2x=处的切线方程为______.【答案】yx=【解析】【分析】先求出函数siny

xx=的导函数，然后结合导数的几何意义求解即可.【详解】解：由sinyxx=，得'sincosyxxx=+，则2'|1xy==，即当2x=时，2y=，所以切线方程为：yx=，故答案为：yx=.【点睛

】本题考查了曲线在某点处的切线方程的求法，属基础题.14.设x，y满足约束条件220xyxyx+−，则2zxy=+的最小值是______．【答案】2【解析】【分析】根据条件画出约束条件所表示的可行域，

再利用几何意义求最值，2zxy=+的几何意义是y轴上纵截距的2倍，所以只需求出2zxy=+在y轴上纵截距的最小值，则可得出结果.【详解】如图，不等式组220xyxyx+−所表示的平面区域，令20xy+=，移动此直线，当目标函数2zxy=+过()2,0取得最小，且min2z=．故答

案为：2.【点睛】本题考查线性规划求最值问题，考查线性目标函数的几何意义，属于基础题.15.设抛物线C：24yx=焦点为F，斜率为正数的直线l过焦点F，交抛物线C于A，B两点，交准线于点Q，若ABBQ=，则直线l的斜率为______

.【答案】22【解析】【分析】先分别过A，B作准线l的垂线，垂足分别为'A，'B，由抛物线的定义有'AFAA=，'BFBB=，然后再求解即可.【详解】解：分别过A，B作准线l的垂线，垂足分别为'A，'B，∴'AFA

A=，'BFBB=，∵ABBQ=，则B为AQ中点，在'AQA△中，1''2BBAA=，∴12BFAF=，设BFa=，则'BBa=，3ABBQa==，∴'22QBa=，∴''22tan'22QBakQBBaBB====，故答案为：22.【点

睛】本题考查了抛物线的定义，重点考查了直线与抛物线的位置关系，属中档题.16.如图，边长为4的正方形ABCD，E为AD中点，F为DC边上一动点，现将DEF，ABE△分别沿EF，EB折起，使得A，D重合为点P，形成四

棱锥PEFCB−，过点P作PH⊥平面EBF于H.①平面BPE⊥平面PBF；②当F为CD中点时，三棱锥PEBF−的体积为83；③H为BEF的垂心；④PF长的取值范围为()1,4.则以上判断正确的有______（填正确命题的序号）.【答案】①②

④【解析】【分析】对于①，由面面垂直的判断定理即可判断；对于②，利用等体积法求三棱锥的体积即可；对于③，假设H为垂心，则FHBE⊥，BE⊥平面FHP，可得2DF=，又DF不恒为2，对于④，沿BE将ABE△折到四边形EBCD内，即'A位置，此时D沿EF翻折，由EDFBAE△△可得112DFED=

=.【详解】解：对于①，如图所示，∵90BAECDE==，所以折起后不变，BPPE⊥，PFPE⊥，PBPFP=，,PBPF平面PBF，∴PE⊥平面PBF，∵PE平面BPE，∴平面BPE⊥平面PBF，即

①正确；对于②，当F为CD中点时，PBPF⊥，∴11184223323PEBFEBPFBPFVVSPE−−====△，即②正确；对于③，当F运动时，若H为垂心，则FHBE⊥，BE⊥平面FHP

，∴BEPF⊥，又PFPE⊥，∴PF⊥平面PBE，∴PFPB⊥，∴222BFPBPF=+，∴2222()BCCFPBDCCF+=+−，∴2PF=，即2DF=，又DF不恒为2，即③不正确；对于④，如图（3）沿BE将ABE△折到四边形EBCD内，即'A位置，此时D沿EF翻折，如图，∴

EDFBAE△△，∴112DFED==，即④正确，故答案为：①②④.【点睛】本题考查了线与面的位置关系，重点考查了空间几何体的体积的运算，属中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第（22）、（23）题为选考题，考生根据

要求作答.（一）必考题：共60分.17.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足()3sin3coscaBB=+.（1）求角A；（2）若27a=，ABC的面积为33，求ABC的周长.【答案】（1）3；（2）827+.【解析】【分析】（1

）由正弦定理可得3cossinAA=，结合()0,A运算即可；（2）由余弦定理结合三角形的面积公式可得解.【详解】解：（1）由正弦定理可得32sin2sin(sin3cos)RCRABB=+，∴3sinsinsin3sincosCABAB=+，∴3sin()sinsin3

sincosABABAB+=+，∴3cossinsinsinABAB=，∵sin0B，∴3cossinAA=，∴tan3A=，∵()0,A，则3A=；（2）由余弦定理可得2222cosabcbcA=+−，得222(27)2cos3bcbc=+−，化简得2228bcbc

+−=，又1sin332ABCSbcA==，则12bc=，解得6b=，2c=或2b=，6c=，所以三角形周长为827+.【点睛】本题考查了正弦定理及余弦定理，重点考查了三角形的面积公式，属基础题.18.如图，四棱锥PABCD−，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为梯形，//A

BDC，CDDA⊥，44CDAB==，3ADPD==，F为PB中点.（1）证明：直线FDBC⊥；（2）若平面CDF与棱PA交于E，求四棱锥PCDEF−的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）98.【解析】【分析】（1）先证明BC⊥平

面PBD，再证明FDBC⊥即可；（2）先证明PE为四棱锥PCDEF−的高，再结合棱锥的体积公式求解即可.【详解】证明：（1）证明：如图，连结DB，在ABD△中，2BD=，易得23BC=，在DBC△中22

2DBBCDC+=，∴DBBC⊥，又∵PD⊥平面ABCD，∴PDBC⊥，又∵PDDBD=，∴BC⊥平面PBD，又∵FD平面PBD，∴FDBC⊥；（2）取PA中点E，连结DE，EF，在PAB△中，E，F分别为PA，PB的中点，∴//EFAB，又∵//ABCD，∴//EFCD，∴E，F，C，D

四点共面，∴E即为平面CDF与棱PA的交点；∵PD⊥平面ABCD，∴PDCD⊥，又ADCD⊥，∴CD⊥平面PAD，∵PA平面PAD，∴CDPA⊥，∵PDAD=，E为PA中点，∴DEPA⊥，又∵CDDED=，,CDDE

平面CDEF，∴PA⊥平面CDEF，∴PE即为四棱锥PCDEF−的高.111166943322228PCDEFCDEFVSPE−==+=.【点睛】本题考查了线面垂直的判定及线线垂直的证

明，重点考查了棱锥的体积的求法，属中档题.19.2019年春节前后，中国爆发新型冠状病毒（SARS-Cov-2）如图所示为1月24日至2月16日中国内地（除湖北以外的）感染新型冠状病毒新增人数的折线图，为了预测分析数据的变化规律，建立了y与时间变量t的不同时间段的两个线性回归模型.根据1月24

日至2月3日的数据（时间变量t的值依次为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11）建立模型①：ybta=+；根据2月4日至2月16日的数据（时间变量t的值依次为12，13，14，15，16，17，18，19，20，21，22，23，24）建立模型②：yctd=+.1月24日1

月25日1月26日1月27日1月28日1月29日1月30日1月31日2月1日2月2日2月3日12345678910113321742983374485936907377206489262月4日2月5日2月

6日2月7日2月8日2月9日2月10日2月11日2月12日2月13日2月14日2月15日2月16日12131415161718192021222324830741693683559464431377377299

259211160（1）求出两个回归直线方程；（计算结果取整数）（2）中国政府为了人民的生命安全，听取专家意见，了解了病毒信息，并迅速做出一系列的隔离防护措施，但新冠状病毒在世界范围内爆发时，某些欧美国家采取放任的态度，不治疗、不隔离、不检测，甚至不公布，请你用以

上数据说明采取一系列措施的必要性，不采取措施的后果.参考数据：()()1117174iiixxyy=−−，11(1)1153711iiyy==，()()241210009iiixxyy=−−=−，24(2)12146813iiyy===参考公式：()()()112

ˆˆˆiiiniinxxyybxxaybx==−−=−=−.【答案】（1）65147yt=+，551458yt=−+；（2）见解析.【解析】【分析】（1）结合题设的参考数据及参考公式求回归方程即可；（2）利用回归方程，结合题设对应图像分析即可得解.【

详解】解：（1）当111t时，()1111(111)6116t+==，()()11222222(1)1543212110iitt=−=++++=，∴717465110b=，∴537656147a=−=，所以模型①：65147yt=+；当1224t

时，(2)113(1224)18132t+==，()()242222222(2)126543212182iitt=−=+++++=，1000955182c−=−，468(55)181458d=−−=，所以模型②：551458yt=−+；（2）由图可观察出除湖北外

由于我国的隔离防护等一系列措施的实施，从2月3日以后新冠状病毒新增确诊病例出现了拐点，逐渐减少，呈下降的趋势，效果显著；假如不采取措施，任由其发展，按模型①的规律发展下去，在2月16日，即24t=时，新增确诊病例预测为65241471707y=+=，是采取措施后的十几倍，

所以任何国家和政府都应把人民生命财产安全放在首位.【点睛】本题考查了线性回归直线方程的求法，重点考查了阅读能力及对数据的处理能力，属基础题.20.函数()()1ln1fxxxaxa=+−+−，aR.（1）设()'

yfx=是函数()yfx=的导函数，求()'yfx=的单调区间；（2）证明：当2a时，()yfx=在区间1,1ae上有极大值点0x，且()01fx−.【答案】（1）()'yfx=在()0,1上单调递减，在

()1,+上单调递增；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）先求出()'fx，再求出()''fx，然后解不等式()''0fx，()''0fx求解即可；（2）先利用零点定理证明0x为函数()yfx=的极大值点，再构造函数()

000012ln1hxxxx=+−−，利用导数证明()01fx−即可.【详解】解：（1）定义域为()0,+，则()1'ln1fxxax=++−，()22111''xfxxxx−=−=，令()''001fx==，由()''01

fxx，()''01fxx，∴()'yfx=在()0,1上单调递减，在()1,+上单调递增；（2）由（1）可知()'yfx=在()0,1上单调递减，∵2a，∴()'120fa=−，由101ae，1'21aafeae=−+，设()21agaea=−+，∵2

a，()'20agae=−，∴()()20gag，∴1'0afe，∴01,1axe，使得()0'0fx=，即01,axxe时，()0'0fx，()0,1xx

时，()0'0fx，所以0x为函数()yfx=的极大值点.∵()0'0fx=，即001ln10xax++−=①，()()00001ln1fxxxaxa=+−+−②，将①代入②整理得：()000012ln1fxxxx=+−−，设()000012ln1hxxxx=+−−，则()()

200201'0xhxx−−=，∴()0hx在()0,1上单调递减，∴()0(1)1hxh=−，所以当2a时，()01fx−恒成立.【点睛】本题考查了导数的综合应用，重点考查了利用导数证明不等式恒成立，属中档题.21.已知椭圆C：

()222210xyabab+=的离心率为32，左右顶点分别为A，B，右焦点为2F，P为椭圆上异于A，B的动点，且2APF面积的最大值为312+.（1）求椭圆C的方程；（2）设直线AP与y轴交于M点，过点A作BP的平行线交y

轴与点N，试探究是否存在定点Q，使得以MN为直径的圆恒过定点Q.【答案】（1）2214xy+=；（2）存在.【解析】【分析】（1）由当P在y轴时，2APF面积最大，得13()122acb+=+，然后结合32cea==求解即可；（2）先设()00,Px

y，求出点M，N的坐标，然后求出以MN为直径的圆的方程，再结合()00,Pxy在椭圆上，代入方程整理得圆的方程为220010xxyyy++−=，然后令0y=，求解即可.【详解】解：（1）由题意知，当P在y轴时，2APF面积最大，所以13()122acb+=+①，又32cea==②

，联立①②，得2a=，1b=，3c=，所以椭圆C的方程为2214xy+=.（2）设()00,Pxy，其中00y，则002APykx=+，002BPykx=−，所以直线AP的方程为00(2)2yyxx=++，令0x=，得0022yyx=+，即

0020,2yMx+，又//ANBP，所以直线AN的方程为00(2)2yyxx=+−，令0x=，得0022yyx=−，即0020,2yNx−，所以，以MN为直径的圆的方程为：2000022022yyxyyx

x+−−=+−，又222200000220000224402244yyxyyxyyxyyxxxx+−−=+−+=+−−−，且()00,Pxy在椭圆上，所以2200

14xy+=，代入方程整理得圆的方程为220010xxyyy++−=，令0y=，则1x=，所以存在点()1,0Q，使得以MN为直径的圆恒过点Q.【点睛】本题考查了椭圆方程的求法，主要考查了圆的方程，重点考查了运算能力，属中档题.（二）选考题：共10分.请考生在（22）、（23）题中任选一题作

答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为22cos2sinxy=+=（为参数），以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）写出曲线C的直角坐标方程和极坐标方程；（2）若将曲线C绕点O逆时针旋转3得到曲线D，曲线D与曲线

C交于O，A，与y轴分别交于O，B，求三角形OAB的面积．【答案】（1）()2224xy−+=；4cos=（2）33【解析】【分析】（1）直接利用公式，把参数方程，极坐标方程和直角坐标方程互换.（2）由题意写出曲线D的直角坐标方程，联立曲线C求得A点坐标，再求出B点坐

标，由三角形面积公式求解.【详解】解：（1）曲线C的参数方程为22cos2sinxy=+=（为参数），化为直角坐标方程为：()2224xy−+=，化为极坐标方程为：24cos=，化简得：4cos=.（

2）曲线C绕点O逆时针旋转3得到曲线D，方程为()()22134xy−+−=，联立()()()222213424xyxy−+−=−+=，解得：()3,3A.在()()22134xy−+−=中，令0x=得：()0,23B.所以三角形的面积为：1233332S=

=.【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标的互化，考查圆与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题.23.已知()2fxxaxa=−+−．（1）当2a=时，解不等式()fxa；（2）若关于x的不

等式()3fxa−有解，求实数a的取值范围．【答案】（1）2,23（2）22−,【解析】【分析】（1）由题意可知：2222xx−+−，由零点分段法，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集.（2）原不等式等价于()min3fxa−，运用零点分段法

讨论()fx的最小值，再由不等式的解法可得所有范围.【详解】解：（1）当2a=时，即求解：2222xx−+−.等价于12222xxx−+−或122222xxx−+−或22222x

xx−+−，解得：213x或12x或2x=.所以原不等式解集为：2,23.（2）()3fxa−有解等价于：23xaxaa−+−−有解.当0a时，()32,(),()223,()2xaxaafxxxaaaxx−=−

，()fx为先减后增函数，且在2ax=时有最小值2a.所以32aa−，即02a；当0a时，()32,()2,()223,()axaxafxxaxaxxa−=−−，()fx为先减后增函数，且在2ax=时有最小值2a−，所

以32aa−+，即20a−.所以a的值范围是22−,.【点睛】本题考查零点分段法解绝对值不等式，考查不等式有解问题，考查学生分类讨论的思想，考查学生的计算能力，属于中档题.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com