【文档说明】浙江省台州市八所重点中学2021-2022学年高二下学期期末联考数学试题 含解析.docx，共(25)页，2.201 MB，由小赞的店铺上传

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2021学年第二学期台州市8所重点中学期末联考高二年级数学试题一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{4},31MxxNxx==∣∣，则MN=（）A.{02}xx∣B.123

xx∣C.{34}xx∣D.143xx∣【答案】D【解析】【分析】求出集合N，再根据交集的定义即可得解.【详解】解：1313Nxxxx==∣，所以MN=

143xx∣.故选：D.2.已知,abR，则“33ab”是“1ab+”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件D.充要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合不

等式的求解判断即可【详解】当1,0ab==时，满足33ab，不满足1ab+，所以33ab时，1ab+不一定成立，当1ab+时ab，故33ab.故“33ab”是“1ab+”的必要不充分条件故选：B3.已知复数1034iz=+，则z=（）A.2B

.3C.22D.32【答案】A【解析】【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数z，再根据复数模的公式计算可得.【详解】解：()()()1034i1068i34i34i34i55z−===−++−，所以2

268255z=+−=.故选：A4.如图，在平面四边形ABCD中，22,2ABBCCD===，且90ADCABC==，则ABAD等于（）A.623−B.63−C.63+D.236−【答案】A【解析】【分析】由已知条件可求出,BACDAC的值，从而可求出BA

D，进而利用数量积公式可求出ABAD【详解】在ABC中，90ABC=，22ABBC==，所以45BAC=，()()2222224AC=+=，在ADC△中，90ADC=，2CD=，所以21sin42CDDACAC===，2216423ADACCD=−=−=，因为D

AC为锐角，所以30DAC=，所以453075BADBACDAC=+=+=，所以()coscos4530BAD=+cos45cos30sin45sin30=−23216222

224−=−=，所以62cos22236234ABADABADBAD−===−，故选：A5.为了得到函数2sin3yx=的图象，只要把函数2cos33yx=+图象上所有的点（）A.向右平移9个单位长度B.向

左平移718个单位长度C.向左平移9个单位长度D.向右平移518个单位长度【答案】D【解析】【分析】根据平移变换的原则即可得出答案.【详解】解：552cos32sin32sin33618yxxx=+=+=+，则将函数函数

2cos33yx=+图象上所有的点向右平移518个单位长度，即可得到函数2sin3yx=的图象.故选：D.6.狄里克雷(1805~1859）是德国数学家，对数论､数学分析和数学物理有突出贡献，是解析数论的创始人之一.1837

年他提出函数是x与y之间的一种对应关系的现代观点.用其名字命名函数()1,0,xDxx=是有理数是无理数，下列叙述中错误的是（）A.()Dx是偶函数B.()()2DxDx+=C.()()1DDx=D.()Dx是周期函数

【答案】B【解析】【分析】根据题设中的狄里克雷函数的解析式，分x为有理数和无理数，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，函数()1,0,xDxx=是有理数是无理数，对于A中，当x为有理数，则x−也为有理数，满足()()1DxDx−==；当x为无

理数，则x−也为无理数，满足()()0DxDx−==，所以函数()fx为偶函数，所以A正确；对于B中，例如：当1x=时，则12+也为无理数，满足()()11,120DD=+=；可得()()112DD+，所以B不正确；对于C中，当x为有理数，可得()1Dx=，则()()1DDx=，当x为无理数，可

得()0Dx=，则()()1DDx=，所以()()1DDx=，所以C正确.对于D中，当x为有理数，则1x+也为有理数，满足()()11DxDx=+=；当x为无理数，则1x+也为无理数，满足()()10DxDx=+

=，所以()()1DxDx+=成立，所以D正确；故选：B7.已知()fx是定义在)0,+的增函数，设7891e,ln,88afbfcf−===，则,,abc的大小关系为（）A.cbaB.acbC.b<c<aD.c<a<

b【答案】C【解析】【分析】构造函数()ln1hxxx=−+和()()e1,0,1xgxxx=−−，利用导数求得函数的单调性，得到78191eln088−，再结合函数()fx的单调性，即可求解.

【详解】令()ln1,(0,1)hxxxx=−+，可得()111xhxxx−=−=，.当(0,1)x时，()0hx，()hx单调递增，又由()10h=，所以()0hx，即ln1xx−，所以991ln1888−=；

令()()e1,0,1xgxxx=−−，可得()e1xgx=−，当(0,1)x时，()0gx，()gx单调递增，又由()00g=，所以()0gx，即e1xx+，所以7871e188−−+=，所以78191eln088−，因为()

fx是定义在)0,+的增函数，所以7819eln88fff−，即b<c<a.故选：C.8.在ABC中，已知3,4,ABACP==为ABC中内一点，满足PABPACPBCPCA===，则BC的长为（）A.2

B.72C.23D.32【答案】C【解析】【分析】如图，作//EFAC，然后利用EAPPAC∽，FPCPBC∽，构造出AB，AC，BC将的等量关系，即可求出BC．【详解】解：如图，过点P作//EFAC，分别交AB，BC于点E，F，显

然=AECFABBC，即AEABFCBC=，设PABPACPBCPCA====，则EPAFPC==，易知APPC=，显然EAPPAC∽，故AEAPAPAC=，又PCFBCP=，FPCPBC=，故FPCPBC∽，所

以FCPCPCBC=，结合APPC=得：22APPCAEACFCBC===，所以AEBCABFCACBC==，故212BCABAC==，故23BC=．故选：C．二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分

，有选错的0分.9.在对树人中学高一某班学生身高的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，抽取男生3人，其方差为10，抽取女生6人，其方差为15，则总样本的方差可以为（）A.9B.14C.15D.20【答案】BCD【解析】【分析】依题意设()1,2,3ixi

=和()1,2,3,4,5,6iyi=分别表示3名男生和6名女生的身高，再根据方差、平均数公式得到总样本的方差()2221209yxs−+=，即可取出2s的取值范围，从而得解.【详解】解：设()1,2,3ixi=和()1,2,3,4,5,6iyi=分别表示3名男生和6名女生的身高，男、女生

的平均身高分别为x、y，则总样本的平均数为369xy+，由题知3221103iixx==−，6221156iiyy==−，所以3221330iixx=−=，6221690iiyy=−=，所以3622221

1633090120iiiixyyx==+−−=+=，所以总样本的方差36222222211366312029993iiiixyxyyxxys==+++++=−=−222212049yxx

y++−=()221204093yx−+=，故选：BCD10.在ABC中，内角,,ABC的对边分别为,,abc，下面判断正确的是（）A.若3,5,7abc===，则ABC中最大的角为120B.若ABC为锐角三角形，则sincosABC.若,233Aa==，则ABC的外

接圆面积为4D.若222sinsinsinACB+，则ABC为钝角三角形【答案】ACD【解析】【分析】利用余弦定理判断A，由锐角三角形可得2AB−，再由正弦函数的性质判断B，由正弦定理求出外接圆的半径，即可判断C，利用正弦定理将角化边，再由余弦定理判断即可.【详解】解：对于A：由余弦定

理222925491cos2302abcCab+−+−===−，因为0180C，所以120C=，故A正确；对于B：因为ABC为锐角三角形，所以2AB+，即2AB−，又sinyx=在0,2上单调递增，所

以sinsincos2ABB−=，故B错误；对于C：设ABC的外接圆的半径为R，则2324sin32aRA===，所以2R=，所以ABC的外接圆的面积为4，故C正确；对于D：由222s

insinsinACB+，所以222acb+，即2220acb+−，所以222cos02acbBac+−=，所以B为钝角，所以ABC为钝角三角形，故D正确.故选：ACD11.设双曲线2222:1xyCab−=的左右焦点分别为12,FF，以C

的实轴为直径的圆记为D，过1F作圆D的切线与C交于M､N两点，且124cos5FNF=，则C的离心率可以为（）A52B.53C.343D.133【答案】BD【解析】【分析】当直线与双曲线交于两支时，设过1F的切线与圆222

:Dxya+=相切于点P，从而可求得1PF，过点2F作2FQMN⊥于点Q，由中位线的性质求得12,FQQF，在2RtQNF中，可求得2,NFNQ，利用双曲线的定义可得,ab的关系，再由离心率公式求解即可，当直线与双曲线交于同一支时，同理可求得离心率

【详解】当直线与双曲线交于两支时，设过1F的切线与圆222:Dxya+=相切于点P，则1,OPaOPPF=⊥，因1OFc=，所以222211PFOFOPcab=−=−=，过点2F作2FQMN⊥于点Q，所以

OP∥2FQ，因为O为12FF的中点，所以1122FQPFb==，222QFOPa==，因为124cos5FNF=，12FNF为锐角，所以1212231cossin5FNFFNF=−=，所以22122103sin35QFaaNFFNF===，.

为所以2121048cos353aaNQNFFNF===，所以11823aNFNQFQb=+=+，因为122NFNFa−=，所以8102233aaba+−=，化简得34ba=，所以43ba=，所以离心率为22451133cbeaa==+=+=，当

直线与双曲线交于一支时，记切点为A，连接OA，则1,OAaFAb==，过2F作2FBMN⊥于B，则22FBa=，所以2211222BFFFBFb=−=，因为124cos5FNF=，所以12FNF为锐角，所以1212231cossin5FNFFNF

=−=，所以22122103sin35BFaaNFFNF===，2121048cos353aaNBNFFNF===，所以11823aNFNBFBb=−=−,所以211082233aaNFNFba−=−−

=，化简得32ba=，所以23ba=，所以离心率为222131133cbeaa==+=+=，综上，双曲线的离心率为53或133，故选：BD12.设函数()exfxxa=+−(e为自然对数的底数).若存在0,1b

使()()ffbb=成立，则实数a的取值可以是（）A.0B.1C.2D.3【答案】BC【解析】【分析】由()()ffbb=得到()fbb=，构造函数2e,0,1()xgxxxx+−=，求导确定值域，即可求得数a的取值范围.【详解】易知()fx在定义域内单调递增，若()fbb，则()(

)()ffbfbb，若()fbb，则()()()ffbfbb.故存在0,1b使()()ffbb=成立，则()fbb=，即()fxx=在0,1上有解.故2ee,0,1xxxxaaxxx+−=+=−，设2e,0,1()xgxxxx+−=，则e1(2)x

gxx=−+，令2e1,2e()()xxhxhxx=+−−=，在)0,ln2上()0,()hxhx单减，在(ln2,1上()0,()hxhx单增，故()(ln2)32ln20hxh=−即()0gx，()gx在

0,1上单增，又(0)1,(1)egg==，故1ea.故选：BC.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知直线1l:10xay++=与2l:10xy−+=垂直，则=a____．【答案】1【解析】【详解】直线1l:10xay++=与直线2

l:10xy−+=，，直线2:1=+lyx，，21,k=直线1l:10xay++=的斜率存在，0a，，且11,ka=−直线1l:10xay++=与直线2l:10xy−+=垂直，12111kka=−=−，解得1a=，故答

案为1.【方法点睛】本题主要考查直线的方程，两条直线垂直与斜率的关系，属于简单题.对直线位置关系的考查是热点命题方向之一，这类问题以简单题为主，主要考查两直线垂直与两直线平行两种特殊关系：在斜率存在的前提下，（1）1212||llkk=；（2）12121llkk⊥=−，这类问题尽管

简单却容易出错，特别是容易遗忘斜率不存在的情况，这一点一定不能掉以轻心.14.34(1)(1)xx−+的展开式中5x的系数为___________.【答案】3−【解析】【分析】分析展开式中5x取得的情况，计算可得答案．【详解】解：展开式中5x，可以由3(1)x−的一次项与

4(1)x+的四次项相乘，3(1)x−的二次项与4(1)x+的三次项相乘，3(1)x−三次项与4(1)x+的二次项相乘得到，所以34(1)(1)xx−+的展开式中，5x的系数为22011002343434C(1)CC(1)CC(1)C3−+−+−=−．故答案为：3−．的

15.某学校为贯彻“科学防疫”理念，实行“佩戴口罩，不邻而坐”制度（每两个同学不能相邻）.若该学校的教室一排有8个座位，安排3名同学就坐，则不同的安排方法共有___________种.（用数字作答）【答案】120【解析】【分析】由题意可得5个空位可产生6个空，然后利用插空法求解即可【详解】由题意

可得5个空位可产生6个空，则这3名同学可插空就坐，所以共有36A654120==种不同的安排方法，故答案为：12016.已知正三棱锥−PABC侧棱长为l，且23l，底面边长为2，则−PABC外接球表面积的最小值为___________.【答案】163

【解析】【分析】设P在面ABC上的射影为H，则H为正ABC的中心，求出AH，外接球球心O落在PH或它的延长线上，设外接球的半径为R，利用勾股定理得到22423lRl=−，再利用基本不等式求出R的最小值，最后根据球的表面积公式计算可得.【详解】解：设P在面ABC

上的射影为H，D为BC的中点，则H为正ABC的中心，所以3AD=，22333AHAD==，考虑PAH，则外接球球心O落在PH或它的延长线上，如图所示：设外接球的半径为R，无论哪种情形，均有22222232333lRR

−−+=，即22222222441421422333223233444422333333llRllllll−+===−+−=−−−−，当且仅当2214223433ll−=−即263l=时等号成立，所以外接

球表面积最小值为22316433=故答案为：163四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知函数()sin2cos263fxxx=++

−.（1）求()fx的单调递增区间；（2）若方程()fxm=在0,2x上有解，求实数m的取值范围.【答案】（1）[,],36kkkZ−++（2）[]1,2mÎ-【解析】【分析】（1）利用诱导公式将函数解析式化简

，利用正弦函数的增区间求得函数的单调增区间；（2）将问题转化为()yfx=的图像与直线ym=在区间0,2上有交点，结合图像求得结果.【小问1详解】由诱导公式，()sin2cos2sin2cos263

662fxxxxx=++−=+++−sin2sin22sin2666xxx=+++=+，令222,262kxkkZ−+++，解得,36kxkkZ−+

+，所以函数()fx单调递增区间[,],36kkkZ−++.【小问2详解】由题意，函数()0fxm−=在0,2x上有解，即函数()yfxym==与在0,2x有交点，因为0,2x

，可得72[,]666x+，所以()2sin21,26yfxx==+−要使得函数()yfxym==与在0,2x有交点，如图所示，则[]1,2mÎ-.18.已知数列na满足11

1,32nnaaa+==+.（1）证明1na+为等比数列，并求na的通项公式；（2）记数列11na+的前n项和为nS，证明34nS.【答案】（1）证明见解析，1231nna−=

−（2）见解析【解析】【分析】（1）根据题意证明111nnaa+++为一个定值即可，再根据等比数列得通项公式求出数列1na+的通项，即可得解；（2）易得数列11na+为等比数列，再根据等比数列前n项和公式即可得出结论.【小

问1详解】证明：因为132nnaa+=+，所以()1131nnaa++=+，又112a+=，所以数列1na+是以2为首项，3为公比的等比数列，则1123nna−+=，所以1231nna−=−；【

小问2详解】证明：由（1）得111123nna−=+，因为11111123113123nnnnaa+−+==+，11112a=+，所以数列11na+是以12为首项，13为公比的等比数列，则1113123114313nnnS

−==−−，因为1113n−，所以34nS.19.在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图.（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）根据样本数

据，估计65百分位数；（3）已知该地区这种疾病患者的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间)40,70的人口占该地区总人口的30%，从该地区任选一人，若此人的年龄位于区间)40,70，求此人患这种疾病的概率.（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患

者的年龄位于该区间的概率）【答案】（1）47.9；（2）55；（3）0.002.【解析】【分析】（1）根据平均数的定义，结合题意进行求解即可；（2）根据百分位数的定义进行求解即可；（3）根据条件概率公式进行求解即可.【小问1详解】该地区这种疾病患者的平均年龄估计为：(5

0.001150.002250.012350.017450.023550.02650.017750.006850.002)1047.9;++++++++=【小问2详解】10065%65=，小组[0,10)中的年龄个数

为：0.001101001=，小组[10,20)中的年龄的个数为：0.002101002=，小组[20,30)中的年龄的个数为：0.0121010012=，小组中[30,40)中的年龄的个数为：0.0171010017=，小组中[40,50)中的年龄的个数

为：0.0231010023=，小组中[50,60)中的年龄的个数为：0.021010020=，因为121217232075%65%100+++++=，1212172355%65%100++++=，所以65百分位数估计值为65%55%50105575%55%−+=−；【小

问3详解】年龄位于区间)40,70的概率为：(0.0230.020.017)100.6++=，此人患这种疾病的概率为：0.1%0.60.00230%=.20.如图所示，四棱锥PABCD−中，底面是以O为中心的菱形，4,60ABBAD==，PO⊥底面

,ABCDM为BC上一点，且1,BMMPAP=⊥.（1）求PO的长；（2）求二面角APMB−−的余弦值.【答案】（1）3（2）155【解析】【分析】（1）连接AC，BD，设ACBDO=，连接PO，依题意可得ACBD⊥，以O为原点，OA，OB，OP所

成直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出PO．（2）求出平面APM法向量和平面PMB的法向量，利用向量法能求出二面角APMB−−的余弦值．【小问1详解】解：如图，连接AC，BD，ACBDO=，连接PO，ABCD是菱形，所以ACBD⊥，又PO⊥底面ABCD，

所以以O为原点，OA，OB，OP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，3BAD=，cos236OAAB==，sin26OBAB==，的()0,0,0O，()23,0,0A，()0,2,0B，()23,0,0C−，()0,2,0OB=，()23,2,0BC

=−−，由1BM=，4BC=，得131,,0422BMBC==−−，33,,022OMOBBM=+=−，即33,,022M−，设()0,0,Pa，0a，则()23,0,APa=−，33,,22MPa=−，MPAP

⊥，0MPAP=，即230a−+=，解得3a=，3a=−（舍去），3PO=．【小问2详解】解：由（1）知()23,0,3AP=−，33,,322MP=−，()0,2,3BP=−，设平面APM的法向量为(),,nxyz=r，则23303330

22nAPxznMPxyz=−+==−+=，取1x=，得531,,23n=，设平面PMB的法向量为(),,mabc=，则333022230mMPabcmBPbc=−+==−+=，

取1a=，得()1,3,2m=−−，设二面角APMB−−的平面角为，由图得为锐角，则||815cos||||54083nmnm===，二面角APMB−−的余弦值为155．21.已知椭圆22:1(0)93xyCab+=，已知点()1,0D−，椭圆上有两点

,AB，且D在线段AB上，（1）求DA的最小值；（2）若B是B点关于x轴的对称点，连结AB并延长交直线x轴于C点，求ABC面积的取值范围.【答案】（1）102（2）1660,3【解析】【分析】（1）设()11,Axy，

13,3x−，利用两点间得距离公式结合二次函数的性质即可得出答案；（2）设()()1122,,,AxyBxy，设AB的方程为1xmy=−，联立221193xmyxy=−+=，利用韦达定

理求出1212,yyyy+，再求出直线AB的方程，令0y=，求得点C的坐标，再根据1212ABCSCDyy=−从而可得出答案.【小问1详解】解：设()11,Axy，13,3x−，则2211193xy+=，所以()()222211111133xDAxyx=++=++−21122

43xx=++，所以当132x=−时，DA取得最小值102，所以DA的最小值为102；【小问2详解】解：设()()1122,,,AxyBxy，则()22,Bxy−，设AB的方程为()1,0xmym=−，联立221193xmyxy=−+=

，消x得()223280mymy+−−=，()222432336960mmm=++=+，则有12122228,33myyyymm−+==++，直线AB的方程为()`111`2yyyyxxxx+−=−−，令0y=，得()()()1211221122111212121

1yxxmyymyyxyxyxxyyyyyy−−+−+=+==+++()221212122822233923mmmyyyymmmyym−−−+++===−++，所以C为定点()9,0−，则()21212121442ABCSCDy

yyyyy=−=+−()22222282443234333mmmmm+=+=+++，令283tm=+，83t，则2283mt=−，则224241133ABCtSttt==++，因为函数13ytt=+在8,3+

上递增，所以13634tt+，所以140,1363tt+，所以1660,3ABCS，即ABC面积的取值范围为1660,3.【点睛】本题考查了椭圆中的最值问题，及椭圆中三角形的面积问题，运算量很大，考查了直线过顶点问题及面积的最值问题，有一

定的难度.22.已知函数()1lnexxfxax−=+.（1）当1a=时，求曲线()yfx=在点()()1,1f处的切线方程；（2）证明：当0a时，()fx有且只有一个零点；（3）若()fx在区间()()0,1,1,+各恰有一个零点，求a的取值范围.【答案】（1）1111eeyx−

+−=（2）证明见解析（3）10ea−【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；（2）分析()1lnexxfxax−=+在()0,1x和1x=，()1,x+时的正负判断即可；（3）根据（2）可得a

<0，又()2e2exxaxxfxx−=+，设()2e2xgxaxx+=−，根据()1e10ga=+=时为临界条件，分1ae−与10ea−两种情况，分别求导分析()2e2xgxaxx+=−的单调性，进而得到()2e2xgxaxx+=−的正负区间，进而得到()fx的单调区间，同时结

合零点存在定理求解即可【小问1详解】由题意，()1lnexxfxx−=+，()12exxfxx−=+，故()111ef=+，又()10f=，故曲线()yfx=在点()()1,1f处的切线方程为()11e1yx=

−+，即1111eeyx−+−=【小问2详解】由题意，因为0a，故当1x时，()1ln0exxfxax−=+，当()0,1x时，()1ln0exxfxax−=+，当1x=时，()10f=，故当0a时，()fx有且只有一个零点1x=【小问3详解】由（2

）可得a<0，()1lnexxfxax−=+，故()22e2eexxxaxaxxfxxx−−=+=+设()2e2xgxaxx+=−，则①若1ae−，则()()2211e2e1xxxgxaxx−=−−−−++，在()1,x+上为减函数，故()()12111e10gx−−−+−

=，故()fx在()1,x+上为减函数，()()10fxf=不满足题意；②若10ea−，()e22xgxax=+−i）当()1,x+时，()0gx，()gx单调递减，且()1e10ga=+，()22e0ga=，故存在()01,2x使得()0gx=，故()fx在(

)01,x上单调递增，在()0,x+上单调递减.又()()010fxf=，1e1eea−，且111111111eeeee1e1ee1elne1eeeaaaaaaaaafa−−−−−−−−−−−−=+=−−+=，设()()e0xxxx−=，易得()e10x

x=−，故()x在()0,+单调递增，故()()0e000x−=，故11eeeaa−−，故1e0af−.故()fx在11,ea−上有一个零点，综上有()fx在区间()1,+上有一个

零点ii）当()0,1x时，()e22xgxax=+−，设()()e22xhxgxax=+=−，则()e20xhxa=−，故()gx为减函数，因为()020ga+=，()1e0ga=，故存在()10,1x使得()0gx

=成立，故()2e2xgxaxx+=−在()10,x单调递增，在()1,1x单调递减.又()00ga=，()1e10ga=+，故存在()20,1x使得()20gx=成立，故在()20,x上()0gx，(

)fx单调递减，在()2,1x上()0gx，()fx单调递增.又()10f=，故()()210fxf=，且1-eee1a，111111eee1e1elne1eeaaaaaafa−−=+=+111

11e0eeee1ee10eeaaaaa−−=++，故1e0af，故存在13,1eax使得()0fx=，综上有()fx在区间()0,1上有一个零点.综上所述，当10ea−时，()fx在区间()(

)0,1,1,+各恰有一个零点【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，同时考查了利用导数分析函数的单调性与最值，同时结合零点存在定理判断函数零点的问题，需要根据题意确定临界条件分类讨论，再分析导函数的单调性，进而得到导函数的正负区间，从而得到原函数的单调性，并根据零点存在性

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