【文档说明】湖北省鄂州市部分高中教科研协作体2023-2024学年高二上学期11月期中考试数学试题 含解析.docx，共(21)页，1.527 MB，由小赞的店铺上传

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2023年秋季鄂州市部分高中教科研协作体期中考试高二数学试卷考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选

出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色．墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4．本卷命题范围：人教A版必修第二

册第十章，选择性必修第一册第一章～第二章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知点()()1,4,2,7AB−在直线l上，则直线l的倾斜角的大小为（）A.5π6B.3π4C

.π4D.π6【答案】C【解析】【分析】利用倾斜角和斜率之间的关系计算即可求得倾斜角的大小为π4.【详解】直线l的斜率为()74121k−==−−，设直线l的倾斜角为，则tan1=，因为)0,π，所以π4=.故选：C.2.若()1,2,

1a=−−，()1,3,2b=−，则()()2abab+−=（）A.22B.22−C.29−D.29【答案】C【解析】【分析】利用向量数量积的坐标公式即可求值.详解】由()1,2,1a=−−，()1,3,2b=−，得()0,5

,3ab+=−，()23,4,3ab−=−−，【所以()()()()()203543329abab+−=−+−+−=−．故选：C．3.若圆224820xyxym+−++=的半径为2，则实数m的

值为（）A.-9B.-8C.9D.8【答案】D【解析】【分析】由圆的一般方程配方得出其标准方程，由半径为2得出答案.【详解】由224820xyxym+−++=，得22(2)(4)202xym−++=−，所以2022rm=−=，解得8m=.故选：D.4.如图所示，

在平行六面体1111ABCDABCD−中，N为11AC与11BD交点，M为1DD的中点，若ABa=，ADb=，1AAc=，则MN=（）A.111222abc++B.111222abc−+C.111222abc+−D.111222abc−−【答案】B【解析】【分析

】根据空间向量线性运算法则计算可得.【详解】因为N为11AC与i1BD的交点，所以11111111111222222DNDADCADABba=+=−+=−+，故111111111112222222MNDNDMDND

bacabcD=−=−=−+−−=−+.故选：B的.5.已知正方形的一组对边所在的直线方程分别为2320xy++=和2340xy++=，另一组对边所在的直线方程分别为1640xyc−+=和2640xyc−+=，则

12cc−=（）A.4B.41313C.2D.21313【答案】A【解析】【分析】根据平行线间距离公式求解即可.【详解】直线2320xy++=与直线2340xy++=之间的距离122242131323d−==+，直线1640xyc−

+=与直线2640xyc−+=之间的距离1221222132664ccdcc−==−+，又由正方形可知12dd=，即12213131326cc=−，解得124cc−=.故选：A.6.已知圆C经过点()()3,5,1,3MN−−，且圆心C在直线350xy++=上，若P为圆C上的动点，则线段(OPO为

坐标原点）长度的最大值为（）A.55+B.25C.10D.2510+【答案】A【解析】【分析】求出圆心和半径，根据maxOPOCr=+即可得答案.【详解】解：线段MN中点的坐标为()()351,1,2

13MNk−−−==−−−，所以线段MN的中垂线的斜率为12k=，所以线段MN的中垂线的方程为230xy−−=，又圆心在直线350xy++=上，由230350xyxy−−=++=，解得12xy=−=−，所以圆心为()221,2,(31)(52)5

,r−−=++−+=．所以max55OPOCr=+=+.故选：A．7.已知木盒中有围棋棋子15枚（形状大小完全相同，其中黑色10枚，白色5枚），小明有放回地从盒中取两次，每次取出1枚棋子，则这两枚棋子恰好不同色的概率是（）A.49B.59C.

29D.23【答案】A【解析】【分析】根据相互独立事件与互斥事件的概率公式计算可得.【详解】从盒中随机取出1枚棋子，“是黑棋子”记为事件A，“是白棋子”记为事件B，则()23PA=，()13PB=，两

枚棋子恰好不同色包含：第一次取出黑棋子，第二次取出白棋子；第一次取出白棋子，第二次取出黑棋子，这两个事件是互斥事件．第一次取出黑棋子，第二次取出白棋子相互独立，概率为()()()29PABPAPB==；第一次取出白棋子，第二次

取出黑棋子也相互独立，概率为()()()29PBAPBPA==．所以这两枚棋子恰好不同色的概率是()()49PABPBA+=．故选：A．8.已知圆()()2216749Cxy++−=和点()0,4A−，()0,2B，若点M在圆C上，且22AMBMm+=，则实数m的取值范目是（）

A.(18,36B.(18,27C.36,596D.27,307【答案】C【解析】【分析】利用两点距离公式结合圆的位置关系计算即可.【详解】设(),Mxy，由22AMBMm+=，得()()()222222184212mxyxymxy−++++−=++=，即点M在圆()()221811

82mxym−++=上，易知其圆心为()0,1N−，半径1182mr−=．又圆C的圆心为()6,7C−，半径27r=，而点M圆C上，故圆C与圆N有公共点，所以()()()221818767110722mm−−−−+−−=+，解之得

36596m，即m的取值范围是36,596．故选：C．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知ijk、、是空间中三个向量，则下列说法错误的是（）A.

对于空间中的任意一个向量m，总存在实数xyz，，，使得mxiyjzk=++B.若ijk、、是空间的一个基底，则2ijjkki−-3、+、也是空间的一个基底C.若ij⊥，kj⊥，则//ikD.若ijk、、所在直线两两共面

，则ijk、、共面【答案】ACD【解析】【分析】根据空间向量基本定理分别判断.【详解】由空间向量基本定理.可知只有当ijk、、不共面时.ijk、、才能作为基底，才能得到mxiyjzk=++，故A错误：若ijk、、是空间的一个基

底，则ijk、、不共面.2ijjkki−-3、+、也不共面，在所以2ijjkki−-3、+、也是空间的一个基底，故B正确；若ij⊥，kj⊥，则ik、不一定平行，故C错误；若ijk、、所在直线两两共面，则ijk、、不一定共面，故D错误.故选：ACD.10.从1，2，3，…9中任取两

个数，其中：①恰有一个偶数和两个都是奇数；②至少有一个偶数和两个都是偶数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事件中，是互斥事件的是（）A.①B.②C.③D.④【答案】AC【解析】【分析】根据题意，由互斥事件的定义

，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】根据题意，从1，2，3，…，9中任取两数，其中可能的情况有“两个奇数”“两个偶数”“一个奇数与一个偶数”三种情况．依次分析所给的4个事件可得，①恰有一个偶数和两个都是奇数,不能同时发生，是互斥事件；②至少有一个偶数包括

“两个偶数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，与两个都是偶数不是互斥事件；③至少有一个奇数包括“两个奇数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，和“两个都是偶数”不能同时发生，是互斥事件；④至少有一个奇数包括“两个奇数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，至少有一个偶数包括“两个偶数”与“一

个奇数与一个偶数”两种情况，不是互斥事件．故选:AC．11.已知直线l过点()1,3，若l与x，y轴的正半轴围成的三角形的面积为S，则S的值可以是（）A.3B.5C.7D.9【答案】CD【解析】【分析】利用直线的截距式，结合基本不等式可得解.【详解】

由题意知直线l在x，y轴上的截距存在且大于0，可设l的方程为1xyab+=（a，0b），由直线l过点()1,3，得131ab+=，所以13312abab=+，当且仅当13ab=，即2a=，6b=时，等号成立，即12ab，所以162Sab=，故选：CD.12.如图，在正四棱锥PABC

D−中，22PAAB==，M，N分别是PB，PD的中点，则下列说法正确的是（）A.MNAC⊥B.直线AM和CN所成角的余弦值是23C.点B到直线AN的距离是663D.点M到平面ACN的距离是2【答案】ABC【解析】【分析】连接BD，利用中位线

、正四棱锥的性质判断A；过C作//CGBD，交AB延长线于G，若F为CG中点，连接,MFAF，先证MNCF为平行四边形，由异面直线定义确定直线AM和CN所成角的平面角，再求其余弦值判断B；ABN中求各边长，余弦定理求cosBAN，进而求点B到直线AN的

距离判断C；证MN⊥面AEC，等体积法有MANCMAECNAECVVV−−−=+求点面距离判断D.【详解】A：连接BD，,MN分别为PB，PD的中点，即MN为中位线，则//MNBD，由PABCD−为正四棱锥，故

ABCD为正方形，则BDAC⊥，所以MNAC⊥，对；B：过C作//CGBD，交AB延长线于G，若F为CG中点，连接,MFAF，又//CDAB，即//CDBG，则BGCD为平行四边形，故1122CFCGBD==，//CFBD，而//MNBD且12

MNBD=，故//MNCF且MNCF=，即MNCF为平行四边形，所以//CNMF且CNMF=，故直线AM和CN所成角，即为AMF或其补角，22PAAB==及正四棱锥的性质知：侧面为等边三角形，底面为正方形，且棱长均为

22，所以6AMCNMF===，222212252AFACCFABCG=+=+=，2222cos23AMMFAFAMFAMMF+−==−，故直线AM和CN所成角的余弦值是23，对；C：ABN中6,22ANAB==，又22PDPBABBD===，则22

2PDPBBD+=，所以PDPB⊥，则2210BNPBPN=+=，所以86103cos62226BAN+−==，故33sin6BAN=，所以点B到直线AN的距离是66sin3ABBAN=，对；D：由上分析知：122MNBD==，若O为底面中心，则O为BD中点，PDPB=，连接P

O，交MN为E，则POBD⊥，则POMN⊥，又MNAC⊥，POACO=，,POAC面PAC，所以MN⊥面PAC，即MN⊥面AEC，易知：MANCMAECNAECVVV−−−=+，令M到平面ACN的距离

为h，则1133ANCAEChSMNS=，由6,4ANNCAC===，则ANC中AC上的高为2，故22ANCS=，由AEEC=，2211122OEPOPBOB==−=，则2AECS=，所以2h=，错

.故选：ABC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在用随机数（整数）模拟“有5个男生和5个女生，从中抽选4人，求选出2个男生2个女生的概率”时，可让计算机产生09的随机整数，并且04代表男生，用59代表女生．因为

是选出4个，所以每4个随机数作为一组．通过模拟试验产生了20组随机数：68303215705664317840452378342604534609526837981657344725657859249768605191386754由此估计“选出2个男生2个女生”

的概率为______．【答案】12##0.5【解析】【分析】根据题意，由古典概型的概率计算公式，代入计算，即可得到结果.【详解】在20组数中，6830，7840，7834，5346，0952，5734，4725，5924，6051，9138满足要求

，共10个，由此估计“选出2个男生2个女生”的概率为12．故答案为：1214.已知直线1l：410xay++=，2l：()26210axya++++=，当12ll∥时，a的值为__________.【答案】4−【解析】【分析】根据两条直线的平行关系求

a的值，再把a的值代入直线方程验证平行关系，进而得出a.【详解】因为12ll∥，所以()26240aa+−=，解得4a=−或1a=.当1a=时，1l：410xy++=，2l：8220xy++=，此时1l与2l重合，不符合题意；当4a=−时，1l：4410xy−

+=，2l：2230xy−+−=，此时12ll∥，符合题意.综上，a的值为4−.故答案为：4−.15.自动驾驶汽车又称无人驾驶汽车，依靠人工智能、视觉计算、雷达、监控装置和全球定位系统协同合作，让电脑可以在没有任何人类

主动的操作下，自动安全地操作机动车辆.某自动驾驶讯车在车前O点处安装了一个雷达，此雷达的探测范围是扇形区域OAB.如图所示，在平面直角坐标系中，()0,0O，直线OA，OB的方程分别是12yx=，12yx=−，现有一个圆形物体的圆心为C，半径为

1m，圆C与OA，OB分别相切于点M，N，则MN=______m【答案】455##455【解析】【分析】应用直线和圆相切求参，再结合图形特征求面积即可.【详解】连接MC，NC，由题意可设()(),00Caa，又圆C与OA相切，则121114adr===+

，解得5a=，由题意可得MCOM^，NCON^，在RtMOC中，222OMOCMC=−=，所以112MOCSOMMC==△，同理1NOCS=△，2MONCS=，又MNOC⊥，所以1522MONCSMNOCMN==，即455MN=.故答案为：455.16.在

棱长为4的正方体1111ABCDABCD−中，点E，F分别为棱DA，1BB的中点，M，N分别为线段11DA，11AB上的动点（不包括端点），且ENFM⊥，则线段MN的长度的最小值为__________.【答案】455【解析】【分析】建系，设()

,0,4Mx，()4,,4Ny，根据ENFM⊥可得2xy=，进而利用两点间距离公式结合二次函数分析求解.【详解】以D为坐标原点，DA，DC，1DD所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.因为点E，F

分别为棱DA，1BB的中点，所以()2,0,0E，()4,4,2F，设(),0,4Mx，()4,,4Ny，其中04x，04y，则()2,,4ENy=，()4,4,2FMx=−−.因为ENFM⊥，则()(

)2,,44,4,2240ENFMyxxy=−−=−=，解得2xy=，又因为04x，04y，则02y，可得()()()22222281644424555MNxyyyy=−++−=−+=−+，所以min455MN=，此时85y=，即线段MN的长度的最小值为45

5.故答案为：455.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知ABC的三个顶点分别为()2,3A，()0,5B，()6,1C−.（1）求边AB上的高CD所在直线的方程；（2）求边AB上的中线CE所在直线

的方程.【答案】（1）7yx=+（2）32577yx=+【解析】【分析】（1）先求得直线AB的斜率，利用点斜式求得边AB上的高CD所在直线的方程.（2）先求得E点坐标，再根据两点式求得边AB上的中线CE所在直线的方程.【小问1详解】53102ABk

−==−−，所以直线CD的斜率为1，所以直线CD的方程为()116,7yxyx−=+=+【小问2详解】线段AB的中点()1,4E，所以直线CE所在直线方程为()163325,16,4116777yxyxyx−+=−=+=+−+.18

.第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举办，为做好本次亚运会的服务工作，从某高校选拔志愿者，现对该校踊跃报名的100名学生进行综合素质考核，根据学生考核成绩分为,,,ABCD四个等级，最终的考核情况如下表：等级ABCD人数10404010（1）将频率视为概率，

从报名的100名学生中随机抽取1名，求其成绩等级为C或D的概率；（2）已知,AB等级视为成绩合格，从成绩合格的学生中，根据考核情况利用比例分配的分层随机抽样法抽取5名学生，再从这5名学生中选取2人进行座谈会，求这2人中有A等级的概率．【答案】（1）12（2）25【解析】【分析】（

1）根据等可能事件概率计算公式求解即可；（2）取的5名学生中成绩为,AB等级的人数分别为1，4，从这5名学生中选取2人，列举出所有结果，根据古典概型概率计算公式计算即可.【小问1详解】由题知，任意抽取1人，抽到学生成绩等级为C或D的概率为401011002+

=．【小问2详解】由题知，抽取的5名学生中成绩为,AB等级的人数分别为1，4，记这5人分别为1234,,,,ABBBB，从中抽取2人的样本空间为()()()()()()()()()()1234121314232434,,,

,,,,,,,,,,,,,,,,ABABABABBBBBBBBBBBBB，共10个样本点，其中有A等级的样本点有()()()()2341,,,,,,,ABABABAB，共4个，所以这2人中有A等级的概率为42105=．19.已知半径为4的圆C与直线1:3480lxy−+=相切，圆心C

在y轴的负半轴上.（1）求圆C的方程；（2）已知直线2:30lkxy−+=与圆C相交于,AB两点，且ABC的面积为8，求直线2l的方程.【答案】（1）22(3)16xy++=（2）14260xy−+=或14260xy+−=.【解析】【分析】（1）根据直线与圆相切,根据点到直线距离公式求出圆

心,再应用圆的标准方程即可;（2）根据几何法求弦长,再结合面积公式计算即可.【小问1详解】由已知可设圆心()()0,0Cbb，则2248434b−+=+，解得3b=−或7b=（舍），所以圆C的方程为22(3)16xy++=.的【小问2详解】设圆心

C到直线2l的距离为d，则221216,1682ABCABdSABddd=−==−=，即4216640dd−+=，解得22d=，又2331dk+=+，所以272k=，解得142k=，所以直线2l的方程为14260xy−+=或14260xy+−=.20.如

图，在直三棱柱111ABCABC−中，BABC⊥，12BABCBB===，D，E，F分别为1AA，11BC，AB的中点.（1）证明：//EF平面11ACCA；（2）求直线CE与平面DEF所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）5511【解析】【分析】

（1）取AC的中点G，连接FG，1GC，利用线线平行证明线面平行；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面夹角正弦值.【小问1详解】证明：取AC的中点G，连接FG，1GC，因为F，G分别为AB，AC的中点，所以//FGBC，12FGBC=，又E

为11BC的中点，11//BCBC，11BCBC=，所以1//FGEC，1FGEC=，所以四边形1EFGC是平行四边形，所以1//EFGC，又EF平面11ACCA，1GC平面11ACCA，所以//EF平面11ACCA.【小问2详解】

解：在直三棱柱111ABCABC-中，1BB⊥平面ABC，又BA平面ABC，BC平面ABC，所以1BBBA⊥，1BBBC⊥，又BABC⊥，故以B为原点，BA，BC，1BB所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，则()0,2,0

C，()2,0,1D，()0,1,2E，()1,0,0F，所以()1,1,2FE=−，()1,0,1FD=，()0,1,2CE=−，设平面DEF的法向量为(),,mxyz=，则200mFExyzmFDxz=−+

+==+=令1x=得3y=，1z=−，所以平面DEF的一个法向量为()1,3,1m=−，设直线CE与平面DEF所成的角为，则555sincos,11115mCEmCEmCE−====，即

直线CE与平面DEF所成的角的正弦值为5511.21.一题多解是由多种途径获得同一数学问题的最终结论，一题多解不但达到了解题的目标要求，而且让学生的思维得以拓展，不受固定思维模式的束缚．学生多角度、多方位地去思考解题的方案，让解题增添了新颖

性和趣味性，并在解题中解放了解题思维模式，使得枯燥的数学解题更加丰富而多彩．假设某题共存在4种常规解法，已知小红使用解法一、二、三、四答对的概率分别为11,,,42pp，且各种方法能否答对互不影响，小红使用四种解法全部答对的概率为172．（

1）求p的值；（2）求小红不能正确解答本题的概率；（3）求小红使用四种解法解题，其中有三种解法答对的概率．【答案】（1）13p=；（2）16；（3）19.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用相互独立事件的概率公式计算得解.（2）利用对立事件及相互独

立事件的概率公式计算得解.（3）利用互斥事件及相互独立事件的概率公式计算得解.【小问1详解】记小红使用解法一、二、三、四答对分别为事件,,,DEFG，则()()()()11,,42PDPEpPFPG====，因为各种解法能否答对互不影响，且全部答对的概率为172，于是()()()()()

211872PDEFGPDPEPFPGp===，解得13p=，所以13p=.【小问2详解】若小红不能正确解答本题，则说明小红任何方法都不会，所以小红不能正确解答本题的概率是11111111133426−−−−=．【小问3详解】记事件H为小红

使用四种解法解题，其中有三种解法答对，则()()()()()PHPDEFGPDEFGPDEFGPDEFG=+++11111111111111111111133423342334233429=−+−

+−+−=，所以小红使用四种解法解题，其中有三种解法答对的概率为19．22.图，在三棱台111ABCABC-中，ABC是等边三角形，11124,2ABABCC===，侧棱1CC⊥平面ABC，点D是棱AB的中点，点E是棱

1BB上的动点（不含端点B）.（1）证明:平面11AABB⊥平面1DCC；（2）求平面ABE与平面ACE的夹角的余弦值的最小值.【答案】（1）证明见解析（2）17【解析】【分析】（1）先分别证明1CCAB⊥、CDAB⊥，由此即可证明AB⊥平面1DC

C，从而由面面垂直的判定定理即可得证.（2）建立适当的空间直角坐标系，设(()10,1BEBB=，分别求出求平面ABE与平面ACE的法向量12,nn（含有参数），由公式即可表示出121212cos

cos,nnnnnn==（它可以看成是关于的函数），从而将问题转换为了求函数的最小值，从而即可求解.【小问1详解】因为ABC是等边三角形，点D是棱AB的中点，所以CDAB⊥，又1CC⊥平面AB

C，AB平面ABC，所以1CCAB⊥，又1=CCCDC，1,CCCD平面1DCC，所以AB⊥平面1DCC，又AB平面11AABB，所以平面11AABB⊥平面1DCC.【小问2详解】在平面ABC中，过点C作

//CFAB,由（1）可知1CCAB⊥，CDAB⊥，所以1CCCF⊥，CDCF⊥，又1CC⊥平面ABC，CD平面ABC，所以1CCCD⊥，以C为坐标原点，1,,CDCFCC所在直线分别为,,xyz轴建立空间直角坐标系如图所示：因为ABC是等边三角形，11124,

2ABABCC===，所以()23,2,0A−，()23,2,0B，()10,0,2C，因为1112CBCB=，所以()13,1,2.B设(()10,1BEBB=，所以()13,,2BEBB==−−，所以(

)233,2,2.E−−设平面ABE的法向量为()1111,,nxyz=，又()()0,4,0,3,4,2,ABAE==−−所以1100ABnAEn==，即()1111403420yxyz=−+−+=，令12x=，得110,3yz==，所以平面ABE的一

个法向量为()12,0,3,n=设平面ACE的法向量为()2222,,nxyz=，又()23,2,0,AC=−所以2200ACnAEn==，即()2222323203420xyxyz−+=−+−+=，令21x=，得()2323,,yz−==所以平面ACE的

一个法向量为()2321,3,n−=，设平面ABE与平面ACE的夹角为，所以()1212212322coscos,2743nnnnnn−+===−+，设()326

25t−=+=−，因为(0,1，所以(,1t−−，所以)11,0t−，所以()222211211cos777164111131638422ttttt===−+−−++，设)

11,0ut=−，则由复合函数单调性可知()22117131684fuu=−+在)1,0u−时单调递增，所以当11165ut=−==−时，即1=时，cos取到最小值()2111177813166

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