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【文档说明】备战2024年高考数学易错题（新高考专用）专题09 立体几何 Word版含解析.docx，共(86)页，5.342 MB，由小赞的店铺上传
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专题09立体几何易错点一：对斜二测法规则掌握不牢（斜二测求算面积及周长）水平放置的平面图形的直观图的画法用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤空间几何体直观图的画法立体图形直观图的画法步骤(1)画轴：与平面图形的直观图画法相
比多了一个z轴，直观图中与之对应的是z′轴.(2)画底面：平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面，按照平面图形的画法，画底面的直观图.(3)画侧棱：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其
直观图中平行性和长度都不变.(4)成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线.易错提醒：①建立坐标系；②“位置规则”——与坐标轴的平行的线段平行关系不变；③“长度规则”——图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度减为
原来的一半.例．如图矩形O'A'B'C'是水平放置的一个平面四边形OABC的直观图，其中O'A'=3，O'C'=1，(1)判断平面四边形OABC的形状并求周长；(2)若该四边形OABC以OA为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积
及表面积.【解析】（1）将直观图还原得OABC，如下图，所以223,1(22)3OAOC==+=，所以平面四边形OABC为菱形，其周长为3412=.（2）四边形OABC以OA为旋转轴，旋转一周，得到一个圆柱和两个一样的圆锥，22(
22)324Vrh===221(22)3l=+=22362Srl===圆锥侧，22223122Srh===圆柱侧，所以2242SSS=+=表圆柱侧圆锥侧.变形1．如图，梯形1111DCBA是一水平放置的平面图形ABCD在斜二测画
法下的直观图.若11AD平行于y轴，11111111112,2,13ABCDABCDAD===∥，求梯形ABCD的面积.【解析】如图，根据直观图画法的规则，直观图中11AD平行于y轴，111AD=，⇒原图中//ADOy，从而得出AD⊥DC，且1122ADAD==，直观图中1111//ABCD，
1111223ABCD==，⇒原图中//ABCD，223ABCD==，即四边形ABCD上底和下底边长分别为2，3，高为2，如图．故其面积()123252S=+=.变形2．如图所示，正方形OABC是一个水平放置的
平面图形OABC的直观图，其中2OA=．(1)求原图形的面积；(2)将原图形以OA所在的直线为轴，旋转一周得到一个几何体，求该几何体的表面积与体积．（注：图形OABC与正方形OABC的各点分别一对应，如OB对应
直观图中的OB）【解析】（1）原图形OABC是个平行四边形，如下图所示底为OA＝2，高为222242OBOB===，∴82OABCSOAOB==；（2）得到的几何体是一个组合体，其形状是圆柱一侧挖去一个圆锥，另一侧有多出一个相同的圆锥，∴
几何体体积()242264V==∴几何体表面积222422242(42)2642S=++=变形3．（1）如图，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其恢复成原图形；（2）在(1)中若2AC＝，//B
Dy轴且1.5BD＝，求原平面图形△ABC的面积．【解析】（1）画法：①画直角坐标系xOy，在x轴上取OAOA＝，即CACA＝.②在题图中，过B作//BDy轴，交x′轴于D，在x轴上取ODOD＝
，过D作//DBy轴，并使2DBDB＝.③连接AB，BC，则△ABC即为△A′B′C′原来的图形，如图．（2）∵//BDy，∴BD⊥AC.又1.5BD＝且2AC＝，∴32BDAC＝，＝.∴132ABCSBDAC==
.1．如图，ABC是水平放置的平面图形的斜二测直观图，(1)画出它的原图形，(2)若2,ACABC=的面积是32，求原图形中AC边上的高和原图形的面积.【解析】（1）画出平面直角坐标系xOy，在x轴上取OAOA=，即C
ACA=，在图①中，过B作//BDy轴，交x轴于D¢，在x轴上取ODOD=，过点D作//DBy轴，并使2DBDB=,连接AB，BC，则ABC即为ABC原来的图形，如图②所示：（2）由（1）知，原图形中，BDAC⊥于点D，则BD为原图形中AC边上的高，且2BDBD
=，在直观图中作BEAC⊥于点E，则ABC的面积1322ABCSACBEBE===，在直角三角形BED中，622BDBE==，所以26BDBD==，所以1S62ABC
ACBD==.故原图形中AC边上的高为6，原图形的面积为6.2．画出图中水平放置的四边形ABCD的直观图ABCD，并求出直观图中三角形BCDⅱ?的面积.【解析】根据题意，结合斜二测画法的规则，可得水平放置的四边形ABCD的直观图ABCD，如图所示，则BCDV的面积为1123
262224BCDS==.3．用斜二测画法画一个水平放管的平面图，其直观图如图所示，已知3AB=，1BC=，3AD=，且ADBC∥．(1)求原平面图形ABCD的面积；(2)将原平面图形ABCD绕BC旋转一周，求所形成的几何体的表面积和体积．【解
析】（1）还原平面图形ABCD，如图，因为3AB=，1BC=，3AD=，且ADBC∥，所以3AB=，2BC=，6AD=，且ADBC∥，ABAD⊥，原平面图形ABCD为直角梯形，故(26)3122ABCDS+==；（2）将原平面图形ABCD绕BC旋
转一周，所得几何体是一个圆柱挖去一个圆锥，如图，其中圆柱的底面半径为3，高为6，圆锥的底面半径为3，高为4，母线长为5，所以几何体的表面积为S=2π352π36π360π++=，几何体的体积为221π36π3442π.3V=−=4．如图所示，正方形OABC是一
个水平放置的平面图形OABC的直观图，其中1OA=.(1)求原图形的面积；(2)将原图形以OA所在的直线为轴，旋转一周得到一个几何体，求该几何体的表面积与体积.（注：图形OABC与正方形OABC的各点分别对应，如OB对应直观图中的
OB）【解析】（1）原图形OABC是个平行四边形，如下图所示，底为1OA=，高为222OBOB==.12222OABCSOAOB===.（2）得到的几何体是一个组合体，其形状是圆柱一侧挖去一个
圆锥，另一侧有多出一个相同的圆锥.几何体表面积22π2212π22(22)1162πS=++=.几何体体积2π(22)18πV==.5．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示，已知5AB=
，92,2BCAD==且ADBC∥.(1)求原平面图形ABCD的面积；(2)将原平面图形ABCD绕AD旋转一周，求所形成的几何体的体积.【解析】（1）将直观图复原为原图，如图，作ECAD⊥，则90D
ABABC==，49,5,AADBBC===，则5DEEC==，4AE=，即原图形ABCD为直角梯形，故原平面图形ABCD的面积为4965522S+==.（2）将原平面图形ABCD绕AD旋转一周，所形成的几何体是一个以EC为底面
半径的圆锥和一个以AB为底面半径的圆柱组成的组合体，其体积为221425ππ55π5433VVV=+=+=圆锥圆柱.6．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示．已知1524ABBCAD===,,，且AD∥BC．(1)在平面直角坐标系中作出原平面图形
ABCD并求面积；(2)将原平面图形ABCD绕BC旋转一周，求所形成的几何体的表面积和体积．【解析】（1）如图所示：梯形ABCD为还原的平面图形，作CEAD⊥交AD于点，因为542ADABBC===,,，所以345DEECDC===,,，所以
()254142ABCDS+==．（2）将原平面图形ABCD绕BC旋转一周，所得几何体是一个以AB为底面半径的圆柱挖去一个以EC为底面半径的圆锥，4520πS==圆锥侧，24540πS==圆柱侧，16πS=圆柱下底，所以所形成的几何体的表面积为SSSS=++圆锥
侧圆柱侧圆柱下底20π40π16π76π=++=，2π4580πV==圆柱，21π4316π3V==圆锥，所形成的几何体的体积为80π16π64πVVV=−=−=圆柱圆锥．7．如图，梯形OABC是水平放置的四边形OABC的斜二测画法的直观图，已知OABC∥，2OA
=，3OBBC==．(1)在下面给定的表格中画出四边形OABC（不需写作图过程）；(2)若四边形OABC以OA所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，说出该几何体的结构特征，并求该几何体的体积．【解析】（1）因为
OA与x轴重合，则OA与x轴重合，且2OAOA==；BC与x轴平行，则BC与x轴平行，且3BCBC==；OB与y轴重合，则OB与y轴重合，且26OBOB==；连接,ABOC，即可得四边形OABC.（2）如图所示，所得几何体的上半部分为圆锥，下半部分为圆柱截
取一个圆锥，故体积为1136π236π336π396π33V=+−=.8．如图，一个水平放置的平面图形的直观图ABCD是边长为2的菱形，且2OD=，求原平面图形的周长．【解析】由题可知，2ODAD==，45AOD
=，∴22OA=．还原直观图可得原平面图形，如图所示：则24ODOD==，22OAOA==，2ABDC==，∴2222(22)426ADOAOD=+=+=，∴原平面图形的周长为464+．9．如图所示，OABC为四边形OABC的斜二测直观图，其中3OA=，1OC
=，1BC=．(1)画出四边形OABC的平面图并标出边长，并求平面四边形OABC的面积；(2)若该四边形OABC以OA为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积．【解析】（1）解：在直观图中3OA=，1OC=，1BC=．所以在平面图形中3OA=，
22OCOC==，1BCBC==，所以222222AB=+=，所以平面四边形OABC的平面图形如下图所示：由上图可知，平面四边形OABC为直角梯形，所以面积为()13242+=．（2）旋转而成的几何
体可以看成圆柱加上一个同底的圆锥，由（1）可知几何体底面圆半径为2r=，圆柱母线长和高都为1，即111hl==；圆锥的高为22h=，母线长为222l=所以体积221218204333VVVrhrh
=+=+=+=柱锥；所以表面积()21224442842Srrlrl=++=++=+．10．如图，矩形OABC是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形OABC的直观图，其中3OA=，1OC=.(1)画出平面四边形OABC的平面图，
并计算其面积；(2)若该四边形OABC以OA为轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积和表面积.【解析】（1）如图1，设Oy与BC交点为D¢，因为1OC=，45COy=，所以2OD=，1CD=.OABC的平面图如图2所示：则222ODOD==，32262OAB
CSOAOD===.（2）由（1）可得，在RtODC△中，有()222222219OCODCD=+=+=，所以，3OC=，所以3AB=.如图3，分别过点,BC作OA及其延长线的垂线，垂足为,EF.矩形FECB绕OA及其
延长线，旋转一周得到一个底面半径22rOD==，母线13lBC==的圆柱；RtBEA绕OA，旋转一周得到一个底面半径22rOD==，母线23lAB==，高11hAE==的圆锥；RtCFO△绕OA及其延长线，旋转一周得到一个底面半径22rOD==，母线33lOC==，高21hOFCD=
==的圆锥.所以，旋转形成的几何体为圆柱挖去一个同底的圆锥，与一个同底的圆锥构成的组合体.则旋转形成的几何体的体积即等于圆柱的体积，减去挖去的圆锥体积，加上组合的圆锥的体积，所以，旋转形成的几何体的体积22212311πππ33Vrlrlrl=−+22211π(22)3π(22)1π
(22)124π33=−+=.旋转形成的几何体的表面积即等于圆柱的侧面积，加上两个圆锥的侧面积之和，所以1222πππSrlrlrl=++2π223π223π223=++242π=.11．在ABC中，角ABC，，所对边分别为,,abc，若22223sin
abcabC++=.(1)证明：ABC为等边三角形；(2)若（1）中的等边ABC边长为2，试用斜二测法画出其直观图，并求直观图面积.注：只需画出直观图并求面积，不用写出详细的作图步骤.【解析】（1）由题及余弦定理知，()22222
23sin23sin2cosababCcabCababC+=−=−+−即()22π3sincos2sin26ababCCabCab+=+=+≤又因为222abab+，所以222abab+=，即ab=，π3C=
.因此，ABC为等边三角形.（2）画法：①如图(1)，在等边ABC中，取BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴，两轴相交于点O；在图(2)中，画相应的x轴与y轴，两轴相交于点O，使45xOy=；②在图(2)中，以O为中点，在x轴上取BC
BC=，在y轴上取12OAOA=；③连接ABAC，，擦去辅助线x轴和y轴，得等边ABC的直观图ABC(图(3)).因为ABC是边长为2的正三角形，所以2ABBC==，BC边上的高为3h=，在AOC中，45AOC=，所以13222BCBCAO
AO====，，BC边上的高326sin224hAOAOC===，故116622244ABCSBCh===△，故直观图ABC面积64.易错点二：空间点
、线、面位置关系不清（点、线、面之间的关系）结论：①要证线∥面，条件为3个，其中必有《线面》②要证线⊥面，条件为2个，其中必有《线∥线或面∥面》③要证线∥线（面∥面），条件为2或3个，其中必有《两个线⊥面》④要证线⊥线（面⊥面），条件为2个，其中必有《⊥、∥（）》⑤
要证线⊥线（面⊥面），条件为3个，其中必有《⊥⊥⊥⊥∥∥面、线、、》易错提醒：空间点、线、面位置关系的组合判断是考查学生对空间点、线、面位置关系判断和性质掌握程度的重要题型。解决这类问题的基本思路有两
条：一是逐个寻找反例作出否定的判断，逐个进行逻辑证明作出肯定的判断；二是结合长方体模型或实际空间位置（如教室、课桌、灯管）作出判断。例．已知,ab为两条不同的直线，,为两个不同的平面，且a⊥，b⊥，则下列命题中的假命题是A．若
//ab，则//B．若⊥，则ab⊥rrC．若,ab相交，则,相交D．若,相交，则,ab相交【解析】解：由a、b为两条不同的直线，、为两个不同的平面，且a⊥，b⊥，若//ab，我们可得
a⊥且a⊥，由垂直于同一直线的两个平面平行，可得//，故A正确；若⊥，则//a或a，此时ab⊥rr，故B正确；若a、b相交，则表示a，b不平行，则，也不平行，则、相交，故C正确；若、相交，则a、b既可以是相交直线，也可以是异面直线．故D错误故选：D．变式1．在空间中
，已知l，m，n为不同的直线，，，为不同的平面，则下列判断正确．．的是（）A．若m，//mn，则//nB．若m⊥且//m，则⊥C．若lm⊥，ln⊥，m，n，则l⊥D．若⊥，⊥，则//【解析】若m，//m
n，则//n或n，故A错误；若m⊥且//m，则⊥，故B正确；若lm⊥，ln⊥，m，n，则l与相交或l，故C错误；若⊥，⊥，则,不一定平行，故D错误.故选：B变式2．已知,ab为两条不同的直线，,
为两个不同的平面，则（）①若a⊥，b⊥，且∥，则a∥b；②若a⊥，b∥，且∥，则ab⊥rr；③若a∥，b⊥，且⊥，则a∥b；④若a⊥，b⊥，且⊥，则ab⊥rr.其中真命题的个数是（）A．4B．3C．2D．1【解析】由b⊥且∥，可得b⊥，而垂直同一个平面
的两条直线相互平行，故①正确；由于∥，a⊥，所以a⊥，则ab⊥，故②正确；若a与平面,的交线平行，则ab⊥，故不一定有ab∥，故③错误；设l=，在平面内作直线cl⊥，⊥，则c⊥，又a⊥，所以acP，,bc⊥，所以bc⊥，从而有ba⊥，故④正确.因此，真命题的个数是3
.故选：B变式3．若l，m为两条不同的直线，为平面，且//l，则“m⊥”是“ml⊥”（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】由//l且m⊥，能推出ml
⊥，充分性成立；若//l且ml⊥，则m或//m或m与相交，必要性不成立，∴“m⊥”是“ml⊥”的充分不必要条件.故选：A．1．已知不同直线a，b，不同平面α，β，γ，下列说法正确的是（）A．若,,,abab∥∥，则∥B．若,,abab∥∥，则b
PC．若,,a⊥⊥=，则a⊥D．若,,aabb=⊥，则⊥【答案】BC【解析】对于A，若,,,abab∥∥，此时,可能相交，如下图所示：当,,lab=都与l平行时，,相交，故A错
误；对于B，由aP，利用线面平行的性质可知存在直线c满足acP，且c，又ab，所以bcP，又b，所以可得bP，即B正确；对于C，若,,a⊥⊥=，不妨设,mn==，如下图所示：假设a⊥不成立，过直线a上一点
A作ABn⊥于点B，作ACm⊥于点C；由,,,mn⊥⊥==可知，,ABAC⊥⊥，这与“过平面外一点有且仅有一条直线与该平面垂直”矛盾，所以,ABAC应重合为交线a，所以a⊥，可得C正确；对于D
，如图所示：若a=，ab⊥，b，此时,可能斜交，不一定垂直，所以D错误；故选：BC2．已知,为两个不同的平面，,,mnl为三条不同的直线，则下列结论中不一定成立的是（）A．若,//l⊥，则l//B．若,ll
⊥⊥，则//C．若,lmln⊥⊥，且,,lmn，则⊥D．若//,//lmln，且,mn，则//【答案】ACD【解析】对于选项A：若,//l⊥，则l//或,l相交，例如在正方体1111ABCDABCD−中，平面ABCD⊥平
面11ADDA，且,BCBD平面ABCD，可知//BC平面11ADDA，BD平面11ADDAD=，故A不一定成立；对于选项B：若,ll⊥⊥，由线面垂直的性质可知∥，故B成立；对于选项C：若,lmln⊥⊥，且,,lmn，则,不一定垂直，例
如在正方体1111ABCDABCD−中，平面ABCD∥平面1111DCBA，且,BCAD平面ABCD，11AB平面1111DCBA，1111,⊥⊥ABBCABAD，故C不一定成立；对于选项D：若//,//lmln，且,
mn，则//不一定成立，例如在正方体1111ABCDABCD−中，平面ABCD平面11ADDAAD=，且BC平面ABCD，11AD平面11ADDA，可知11//,//BCADADAD，故D不一定成立；故选：ACD.3．设,mn是两条不同的直线，,
是两个不同的平面，且,mn，则下列命题正确的为（）A．若,mn∥∥，则∥；B．若m⊥，则⊥；C．若∥，则,mn∥∥；D．若⊥，则,mn⊥⊥.【答案】BC【解析】对A，
,mn∥∥，但,位置关系不能确定，故A错误；对B，由面面垂直的判定可得，因为m⊥，m，则⊥，故B正确；对C，由面面平行的性质可得若∥，m，则m，同理n∥，故C正确；对D，若⊥，且交于l，但,mn不一定垂
直于l，则,mn⊥⊥不成立，故D错误.故选：BC4．已知l，m，n为三条不同的直线，，，为三个不同的平面，则下列说法中正确的有（）A．若l⊥，ml⊥，则//mB．若⊥，⊥，l=，则l
⊥C．若//，l，m分别与，所成的角相等，则//lmD．若l=，m=，n=I，且lmP=，则l，m，n交于点P【答案】BD【解析】对于A，当l⊥，ml⊥时，//m或m，所以A错误，对于B，如图，设,a
b==，在平面内作ma⊥，在平面内作nb⊥，且,ab与l不重合，因为⊥，a=，ma⊥，m，所以m⊥，同理可得n⊥，所以m∥n，因为m，n，所以n∥，因为n，l=，所以n∥l，因为n⊥，所以l⊥，所
以B正确，对于C，当//，l，m分别与，所成的角相等时，则l，m与所成的角相等，所以可将l，m看成正三棱锥−PABC的两条侧棱所在的直线，平面为该正三棱锥的底面ABC所在的平面，则l，m与所成的角相等，但直线l，m相交，所以C错
误，对于D，因为l=，m=，lmP=，所以,PP，因为n=I，所以由公理3可得Pn，所以D正确，故选：BD5．设l是直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若//l，//l，则//B．若⊥，//l，则l⊥C．若l⊥，l⊥，则//D．
若//，l⊥，则l⊥【答案】CD【解析】l是直线，，是两个不同的平面，知：在A中，若//l，//l，则与相交或平行，故A错误，在B中，若⊥，//l，则l或//l或l与相交，相交也不一定垂直，故B错误，在C中，若l⊥，l⊥，由直线与平面垂直的性质，可得/
/，故C正确，在D中，//，l⊥，由直线与平面垂直的性质，可得l⊥，故D正确，故选：CD6．已知e为直线l的方向向量，12,nn分别为平面,的法向量（,不重合），那么下列说法中正确的有（）A．
1//enl⊥B．12nn⊥⊥C．12////nnD．1enl⊥⊥【答案】BC【解析】因为e为直线l的方向向量，12,nn分别为平面,的法向量（,不重合），1//enl⊥或l，故A、D错误；12
nn⊥⊥，B正确；1//n2//n，C正确；故选：BC7．已知平面平面m=，则下列结论一定正确的是（）A．存在直线a平面，使得直线a⊥平面B．存在直线a平面，使得直线//a平面C．存在直线a平面，直线
b平面，使得直线a⊥直线bD．存在直线a平面，直线b平面，使得直线//a直线b【答案】BCD【解析】A.若存在直线a平面，使得直线a⊥平面，则⊥，故错误；B.当//am时，又,am，所以//a，故正确；C.当,,//ambbm⊥时，ab⊥rr，故
正确；D.当//,,//ambbm时，//ab，故正确；故选：BCD8．设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法中正确的有（）A．若⊥，m=，nm⊥，则n⊥B．若//m，//mn，n，则//C．若//mn，n⊥
，m，则⊥D．若m⊥，n，//，则mn⊥【答案】CD【解析】A.缺少n这个条件，故A错误；B.若//m，//mn，n，则//或相交，故B错误；C.若//mn，n⊥，则m⊥，又m，则⊥，故C正确；D.若m⊥，//，则m⊥，又n，
则mn⊥，故D正确.故选：CD9．若m，n为空间中两条不同的直线，，，为空间三个不同的平面，则下列结论正确的是（）A．若⊥，⊥，则//B．若m⊥，//m，则⊥C．若//m，n⊥，则mn⊥D．若//，//m，n，则//mn【答案】BC【解析】
对于A，若⊥，⊥，则可能⊥，故A错误；对于B，因为//m，则能在内找一条直线b，使得b//m，因为m⊥，则b⊥，因为b，由面面垂直的判定定理可得⊥，故B正确；对于C，若//m，则能在内找一条直线c，使得/
/cm，n⊥，c，则⊥mc，又因为//cm，所以mn⊥，故C正确；对于D，若//，//m，n，则,mn可能异面，故D错误.故选：BC.10．m、n是两条不同的直线，、是两个不重合的平面，下列说法
正确的是（）A．m、n是异面直线，若//m，//m，//n，//n，则//B．若//，//m，则//mC．若mn⊥，m，n，则⊥D．若m⊥，//mn，//n，则⊥【答案】AD
【解析】对于A选项，在直线m上取一点O，过点O作直线n，使得//nn，过直线n作平面，使得a=，如下图所示：因为//n，n，a=，则//an，又因为//nn，则//an，因为n，a，则//n，设直线m、n确定平面，因为
//m，mnO=，m、n，所以，//，同理可证//，故//，A对；对于B选项，若//，//m，则//m或m，B错；对于C选项，若mn⊥，m，n，则、相交（不一定垂直）或平行，C错；对于D选项
，因为m⊥，//mn，则n⊥，过直线n作平面，使得b=，如下图所示：因为//n，n，b=，则//bn，因为n⊥，则b⊥，又因为b，所以，⊥，D对.故选：AD.11．已知,mn为两条不同的直线，,为两个不同的平面，则下列说法中正确的是（）A．若/
/,mn，则//mnB．若,//mn⊥，则mn⊥C．若,,//mαnβαβ⊥⊥，则//mnD．若,,mnn⊥⊥⊥，则m⊥【答案】BC【解析】对于A，若//,mn，则//mn，或m与n异面，故A错误；对于B，若,//
mn⊥，则mn⊥，故B正确；对于C，若,,//mαnβαβ⊥⊥，则//mn，故C正确；对于D，如下图，在长方体中，,,mnn⊥⊥⊥，则m⊥，m，//m或m与相交，故D错误.故选：BC.易错点三：忽略异面直线的夹角与向量的夹角范围不同（异面
直线成角问题）常规方法：第一步：将所求直线中的一条用刻度尺进行平移然后与另一条直线衔接出现三角形第二步：将三角形画到草稿纸上并利用空间图求出各边的长第三步：利用余弦定理求出待求角第四步：检查若求出的角为锐角或直角则即为所求，若求出的角为钝角则补角即
为所求秒杀：四面体的任何一组对棱都是异面直线，因此以四面体为载体，把异面直线放在四面体对棱所在的位置，利用四面体对棱夹角公式处理异面直线角度问题结论：在四面体BCDA−中，若AC与BD所成的角为四面体对棱夹角公式：()()DBACDABCCDAB+−+=22222cos证明如下：DBAC
DBACDBACDBACDBAC==22,cos因为()()CDBCCAABDAACDBCABDACBDAC+++=+=2DACACDCABCACABACCDCABCCAABACDAAC−+−=++
+=()()()()()()DACDDACDBCABBCABDACDCABCABAC−++−+=−+−=+−+=−+−=22222222DABCCDABDACDBCAB所以()()DBACDABCC
DABDBACDABCCDABDBAC+−+=+−+=2222222222,cos易错提醒：两异面直线所成角的范围是(0,]2。两向量的夹角的范围是[0,]，需要注意两者的区别与联系.例．已知正四面体ABCD，
M为AB中点，则直线CM与直线BD所成角的余弦值为（）A．23B．36C．2121D．42121【解析】如图，设正四面体ABCD的棱长为2，取AD的中点F，连接MF、CF，因为M、F分别为AB、AD的中点，则//MFBD且112MFBD==，因此CMF或其补角为直
线CM与直线BD所成的角，因为ABC为等边三角形，M为AB的中点，则CMAB⊥，且sin603CMAC==，同理3CF=，在等腰CMF中，11322cos63MFCMFMC===，所以直线CM与直线BD所成角的余弦值为36.故选：B变式1．
如图，正方形,ABCDABEF的边长均为2，动点N在线段AB上移动，,MO分别为线段,EFAC中点，且MO⊥平面ABCD，则当MNO取最大值时，异面直线MN与FC所成角的余弦值为（）A．24B．22C．32D．33【解析】因为MO⊥平面ABCD，ON
平面ABCD，所以MOON⊥，所以MNO为直角三角形，所以当NO最短时，MNO取最大值，可知NOAB⊥，即N为AB的中点时，MNO取最大值，因为,MO分别固定在线段,EFAC的中点处，所以1,2ONMN==，所以1cos2ONMNOMN==，因为MNO为锐角，所
以60MNO=，所以3OM=，取AD的中点G，连接,,OGGCGF，因为,MN分别为线段,EFAB的中点，则AN∥FM，且AN=FM，且MN∥AF，可知异面直线MN与FC所成角为AFC（或其补角）且,OG分别为线段,
ACAD的中点，则OG∥CD，且OG=CD，且AB∥CD，且AB=CD，可得OG∥FM，且OG=FM，可知OMFG为平行四边形，则GF∥OM，且GF=OM，又因为MO⊥平面ABCD，则GF⊥平面ABCD，由GC平面A
BCD，可得GFGC⊥，可得2222,5,22===+=ACGCCFGCGF，在AFC△中，由余弦定理可得2224882cos242222+−+−===AFFCACAFCAFFC，所以异面直线MN与FC所成角的余弦值为24.故选：A变式2．已知三棱锥−PABC中，PA⊥平面ABC，
2AB=，2AC=，22BC=，3PA=，D为PB的中点，则异面直线AD与PC所成角的余弦值为（）A．21515B．5312C．514D．913【解析】如图所示，取BC的中点E，连接AE，DE，则//DEPC
，ADE或其补角即为异面直线AD与PC所成的角．由2AB=，2AC=，22BC=，则有222ABACBC+=，所以ABAC⊥，E为BC的中点，则2AE=，PA⊥平面ABC，RtPAC△中，229413PCPAAC=+=+=，∴11322DEPC=
=RtPAB中，229413PBPAAB=+=+=，∴132DA=，在ADEV中，根据余弦定理可得22213132944cos1321324ADDEAEADEADDE+−+−===．所以异面直线AD与PC所成角的余弦值为913.故选：D变式3．在四棱锥PABCD−中，PD⊥平面ABCD，四边
形ABCD为菱形，PDAB=，60DAB=，点E为PD的中点，则异面直线CE与PB所成角的余弦值为（）A．255B．105C．105−D．255−【解析】解：如图所示：连接,ACBD交于点O，连接EO，因为//EOPB,所以CEO（补角）是异面直线CE与PB所成角．因为PD⊥
平面ABCD，AC平面ABCD，所以PDAC⊥，又因为四边形ABCD为菱形，所以BDAC⊥，又BDPDD=，所以AC⊥平面PBD，又EO平面PBD，所以ACEO⊥，则EOC△为直角三角形，设2PD
ABa==，在EOC△中，2,3EOaOCa==，5ECa=所以10cos5EOCEOEC==，故选：B．1．在正方体1111ABCDABCD−中，若点N是棱1BB上的动点，点M是线段11AC（不含线
段的端点）上的动点，则下列说法正确的是（）A．存在直线MN，使1//MNBCB．异面直线CM与AB所成的角可能为π3C．直线CM与平面BND所成的角为π3D．平面//BMC平面1CNA【答案】B【解析】对于A，1BC平面11BCCB
，MN平面11BCCBN=，当N与1B重合时，MN与1BC相交；当N与1B不重合时，MN与1BC异面；即不存在直线MN与直线1BC平行，A错误；对于B，过点M作11//MHAB，交11BC于点H，连接CH，11////ABABMH，CMH或其补角即
为异面直线,CMAB所成角；AB⊥Q平面11BCCB，MH⊥平面11BCCB，又CH平面11BCCB，MHCH⊥；设正方体的棱长为1，()01MHxx=，则11111MHCHBCMHxAB===，21HCx=+，，21tanCHxCMH
MHx+==，若π3CMH=，则213xx+=，解得：20,12x=，异面直线,CMAB所成的角可以为π3，B正确；对于C，连接AC，交BD于点O，连接MO，1BB⊥平面ABCD，AC平面ABCD，1BBAC
⊥，四边形ABCD为正方形，ACBD⊥，又1BDBBB=，1,BDBB平面BND，AC⊥平面BND，CMO即为直线CM与平面BND所成角，设正方体棱长为1，()102CMaa=，则22CO=，21CMa=+，22sin21COCMOCMa==+，若π3CMO=，则2232
21a=+，方程无解，直线CM与平面BND所成的角不能为π3，C错误；对于D，作11//MGBC，交11AB于点G，连接BG，11////MGBCBC，,,,MGBC四点共面，,BGAN平面11ABBA，BG与AN不平行，BG与AN相交，即平面BMC
与平面1CNA总是相交，D错误.故选：B.2．棱长为1的正方体ABCDABCD−₁₁₁₁中，若点P为线段AB₁上的动点(不含端点)，则下列结论错误的是（）A．平面ADP⊥₁₁平面AAP₁B．四面体DBCP
−₁₁的体积是定值C．1APD△可能是钝角三角形D．直线DP₁与AB所成的角可能为π6【答案】D【解析】在正方体1111ABCDABCD−中，P为线段1AB上的动点（不含端点），1111DAAB⊥，111DAAA⊥，11
11ABAAA=，11AB，1AA平面1AAP，11DA⊥平面1AAP，11DA平面11ADP，平面11ADP⊥平面1AAP，故A正确；连接11111,,,,BDBPBCPCCD，因为1//BPCD，BP平面11BDC，1CD平面11BDC，所以//BP平面11BDC
，因此四面体11PBDC−的底面是确定的，高也是定值，其体积为定值，所以四面体DBCP−₁₁的体积是定值，故B正确；因为正方体的棱长为1，所以112ADAB==，若P是1AB上靠近1A的一个四等分点，则
111244APAB==，所以2222111129148DPADAP=+=+=，此时22222111122252cos451214428APAAAPAAAP=+−=+−=，因为22211DPAPAD+，此时1DP
A为钝角，1APD△是钝角三角形，故C正确；过P点作//PQAB，交1AA于Q，正方体中AB⊥平面11ADDA，则PQ⊥平面11ADDA，1DQ平面11ADDA，1PQDQ⊥，直线DP₁与AB所成的角为1DPQ，设PQx=，则01x，有1AQx=，2
11DQx=+，1RtDPQ中，211211tan12DQxDPQPQxx+===+，而π3tan263=，故D错误.故选：D.3．如图在长方体1111ABCDABCD−中，12ABAA==，4=AD，
H是下底面矩形1111DCBA的中心，设异面直线AH与1DC所成的角为，则=（）A．π4B．π6C．π3D．3π4【答案】A【解析】连接11111,,ACBDAB，则H是11AC与11BD的交点，也是11AC和11BD的中点，长方体1111ABCDABC
D−中，11ADBC=，11//ADBC，四边形11ABCD为平行四边形，有11//ABDC，异面直线AH与1DC所成的角即AH与1AB所成的角，12ABAA==，4=AD，21121122AAAABB=+=，111122111125DADACBAB==+=，1111152AHBAHC===
，22113AHAAAH=+=，1ABH中，由余弦定理得，22211112cos22ABAHBHBAHABAH+−==，则1π4BAH=，即π4=.故选：A4．在正四面体−PABC中，棱长为2，且E是棱AB中点，则异面直线PE与BC夹角的余弦值
为（）A．36−B．36C．33D．33−【答案】B【解析】取AC的中点G，连接,EGPG,易得//EGBC,故PEG或其补角为异面直线PE与BC夹角，又正四面体棱长为2，故3,1PEPGEG===,22213cos2623PEEGPGPEGPEEG+−===,故异面直线PE与BC夹角
的余弦值为36.故选：B.5．已知正方体1111ABCDABCD−的棱长为1，P是空间中任意一点，则下列说法中错误的是（）A．该正方体外接球的体积为3π2B．若M是棱11CD中点，则异面直线AM与1CC夹角的余弦值为23C．若点P在
线段1AD上运动，则始终有11CPCB⊥D．若点P在线段1AD上运动，则三棱锥1DBPC−体积为定值112【答案】D【解析】对于A：正方体外接球的直径为体对角线，即23R=，所以32R=，所以343ππ32VR==，A正确；对于B：如图所示，异面直线AM和1CC所
成角即为1AAM，所以1122212cos31112AAAAMAM===++，所以B正确；对于C：如图所示，连接1BC，则11BCBC⊥，又AB⊥平面11BBCC，而1BC平面11BBCC，所以1ABBC⊥，因为1A
BBCB=I，且AB平面11ABCD，1BC平面11ABCD，所以1BC⊥平面11ABCD，而1CP平面11ABCD，所以11BCCP⊥，C正确；对于D：因为11//ADBC，1AD平面1BCD，所以1//AD平面1BCD，所以
直线1AD上的点到平面1BCD距离相等，所以1111111111326DBPCPBCDABCDCABDVVVV−−−−=====，所以D错误，故选：D6．在直三棱柱111ABCABC-中，1190,,BCADF=分别是1111,ABAC的
中点，1BCCACC==，则1BD与1AF所成角的余弦值是（）A．3010B．12C．3015D．1510【答案】A【解析】以点C为原点，以1,,CBCACC为,,xyz轴的正方向建立空间直角坐标系，设12BCCACC===，则()0,2,0A，()10,2,2A，()2,0
,0B，()12,0,2B，()11,1,2D，()10,0,2C，()10,1,2F，所以()11,1,2BD=−，()10,1,2AF=−，所以1111111122330cos,106530AFBDAFBDA
FBD−+====，故选：A.7．把边长为2的正方形ABCD对角线BD折起，使得平面ABD与平面CBD所成二面角的大小为120，则异面直线AD与BC所成角的余弦值为（）A．14B．14−C．34−D．34【答案】D【解析】取BD中点O，连接AO，CO，以OC，O
B分别为x，y轴，垂直面BOC的直线为z轴，建立空间直角坐标系oxyz−，如图所示，因为ABCD是边长为2的正方形，所以1OAOBOC===,则(0,1,0)B，(1,0,0)C，(0,1,0)D−，又易知，OABD⊥,O
CBD⊥，所以AOC为二面角ABDC−−的平面角，由题知，120AOC=，所以030AZ=，则13,0,22A−所以，13(,1,)22AD=−−，(1,1,0)BC=−，故131
322cos,24131244ADBCADBCADBC+====++，所以，异面直线AD与BC所成角的余弦值为34．故选：D.8．如图，在棱长为1的正方体中，下列结论不正确．．．的是（）A．异面直线AC与1BC所成的角为60°B．直线1AB与平面11ABCD所成角为45°C
．二面角1ABCB−−的正切值为2D．四面体11DABC−的外接球的体积为3π2【答案】B【解析】选项A，由正方体性质易得11//ACAC，因此异面直线AC与1BC所成的角为11ACB或其补角，11ACB△是等边
三角形，1160ACB=，A正确；选项B，由AB⊥平面11BCCB，1BC平面11BCCB，得1ABBC⊥，又11BCBC⊥，1ABBCB=I，1,ABBC平面11ABCD，所以1BC⊥平面11ABCD，设11BCBCM=，则1BAM是直线1AB与平面11
ABCD所成角，由1BC⊥平面11ABCD，AM平面11ABCD，可得1BCAM⊥，在直角1ABM中，1111sin2BMBAMAB==，130BAM=，B错；选项C，由上分析得AMB是二面角1ABCB−−的平面角，由1ABBC⊥得tan2ABAMBBM==，C正确；
选项D，四面体11DABC−的外接球即为正方体1111ABCDABCD−的外接球，由正方体性质知其外接球半径为32，因此体积为3433π()π322=，D正确；故选：B．9．如图，在四棱锥PABCD−中，PA⊥底面ABC
D，2PA=，底面ABCD为边长为2的正方形，E为PD的中点，则异面直线BD与AE所成的角的余弦值为（）A．13B．12C．23D．33【答案】B【解析】如图所示：取BP中点为F，连接EF，AF，在PBD△中，,EF分别为,PBPD中点，故EFBD∥，FEA即为异面直
线BD与AE所成的角（或补角），在AEF△中，122AFBP==，122AEPD==，122EFBD==，即AEF△为等边三角形，60FEA=，1cos2FEA=.故选：B.10．如图，在正三棱柱111ABCABC-中，若12,2ABBB==,则1AC与1BC所成角的大小为（）A．13
5B．105C．90D．60【答案】C【解析】如图所示，分别取111,,CCBCAC的中点,,DEF，连接,,DEDFEF，可得1//DEBC且1//DFAC，所以异面直线1AC与1BC所成的角，即为直线
DE与DF所成的角，设EDF=，因为三棱柱111ABCABC-为正三棱柱，因为12,2ABBB==，在直角CDF中，可得222226122DFCDCF=+=+=，在直角1CDE△中，可得22221126122DECDCE=+=+=，
再取BC的中点M，连接,EMFM，可得1//EMBB，因为1BB⊥底面ABC，所以EM⊥底面ABC，在直角RtEFM△中，可得22221(2)3EFFMEM=+=+=，所以22233322cos0266222DEDFEFDEDF+−+−===，所以90=，所以异面直线1AC与1BC所成
的角为90.故选：C.11．棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，P是1BC中点，则异面直线PD与1AB所成角的余弦值是（）A．36B．26C．33D．23【答案】A【解析】解法一：连接11AC，取11AC的中点O，连接,PODO，如图所示，,OP分别是111,ACBC的中点，
1//POAB，则DPO是异面直线PD与1AB所成角或其补角.正方体棱长为2，面对角线长为22，由正方体的结构可知，RtDCP△中，2DC=，2PC=，则226DPDCPC=+=，同理6DO=，在DPO中，6DODP==，1122OPAB=
=，由余弦定理可知2226263cos26262DPOPDODPODPOP+−+−===.所以异面直线PD与1AB所成角的余弦值是36.解法二：以D为原点，1,,DADCDD的方向为x轴，y轴，z轴正
方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()12,2,0,0,0,0,2,0,2,1,2,1BDAP，有()()10,2,2,1,2,1ABDP=−=，11123cos,6226DPABDPABDPAB===，所以异面直线PD与1AB所成角的余弦值是3
6.故选：A.易错点四：线面角与向量夹角转化不清等问题（求线面角）线与面的夹角①定义：平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的锐角即为斜线与平面的线面角．②范围：[0]2，③求法：常规法：过平面外一点B做⊥BB平面，交平面于点'B；连接AB，则BAB即为直线AB与平面的夹角．
接下来在△RtABB中解三角形．即sin斜线长==BBhBABAB（其中h即点B到面的距离，可以采用等体积法求h，斜线长即为线段AB的长度）；向量法：线面角==20sincos，nABnAB提示：是线AB与平
面法向量的夹角，是线AB与平面的夹角易错提醒：若直线与平面所成的角为，直线的方向向量为，平面的法向量为，则sin=|cos<,>|。anan容易出错的是①误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角就是线面角；②误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦就是线面角的正弦，而忘了加绝对值.
例．如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，,EF分别是,PCAD的中点.(1)求证：//DE平面PFB；(2)若PB与平面PCD所成角为30，2PB=，求二面角FPBC−−的正弦值.【解析】（1）取PB的中点G，连接GE，FG，又E是PC的
中点，所以//GEBC，且12GEBC=，又F是AD的中点，底面ABCD是正方形，所以1122FDADBC==，且//FDBC所以FDGE=，//FDGE，故四边形FDEG为平行四边形，则//DEFG，又DE平面PFB，FG平面PFB，所以//DE平面PFB.（2）因为
PD⊥底面ABCD，所以PDBC⊥，又CDBC⊥，CDPDD=，CD平面PCD，且PD平面PCD，所以BC⊥平面PCD，则PC即PB在平面PCD内的射影，所以BPC是PB与平面PCD所成角，即30BPC=，且
在RtPBC中，2PB=，则1,3BCPC==，又底面ABCD为正方形，在RtPDC中，3PC=，1CD=，则2PD=.以D为原点，DA，DC，DP的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.则()1(0,0,0),(1,1,0),
(0,1,20),,0,0,20,0,DBCPF，()1,1,2PB=−，1,1,02FB=，()1,0,0CB=，()0,1,2CP=−，令(),,nxyz=r为平面PFB的法向量，则20102nPBxyznFBxy=+−=
=+=，令4x=，得()4,2,2n=−，令(),,mabc=为平面PBC的法向量，则0,20,mCBamCPbc===−+=令2c=，得()0,2,2m=，所以233cos,33622mnnmmn−===−，设二面角FPBC−−的大小为θ，则233466
sin13333=−−=，所以二面角FPBC−−的正弦值为46633.变式1．如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD为直角梯形，//ADBC，ADDC⊥，PAPDPB==，122BCDCAD===，E为AD的中点，且4PE=．记PE的中点为N，若M在线段BC上（异于B
、C两点）．(1)若点M是BC中点，证明：//MN平面PCD；(2)若直线MN与平面PAB所成角的正弦值为39，求线段BM的长．【解析】（1）证明：取线段PD的中点G，连接NG、CG，因为//ADBC，12BCAD=，因为E为AD的中点，则//B
CDE且BCDE=，因为M为BC的中点，则//CMDE且12CMDE=，因为N、G分别为PE、PD的中点，所以，//NGDE且12NGDE=，所以，//CMNG且CMNG=，所以，四边形CGNM为平行四边形，则//MNC
G，因为MN平面PCD，CG平面PCD，所以，//MN平面PCD.（2）连接BE，因为//ADBC，12BCAD=，E为AD的中点，则//BCDE且BCDEAE==，所以，四边形BCDE为平行四边形，所以，//B
ECD，且BECD=，因为12CDADAE==，则AEBE=，又因为ADCD⊥，则BEAD⊥，因为PAPD=，E为AD的中点，则PEAD⊥，因为PAPB=，EAEB=，PEPE=，所以，PAEPBE△≌△，所以，90PEBPEA==，则PEBE⊥
，又因为ADBEE=，AD、BE平面ABCD，所以，PE⊥平面ABCD，以点E为坐标原点，EA、EB、EP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则()2,0,0A、()0,2,0B、()0,0,4P、()0,0,2N，设()02BMaa=，则(),2,0Ma−，()2,2,0A
B=−，()2,0,4AP=−，设平面PAB的法向量为(),,mxyz=，则220240mABxymAPxz=−+==−+=，取2x=，可得()2,2,1m=，(),2,2MNa=−，若直线MN与平面PAB所成角的正弦值为39，则2223cos,
983MNnaMNnMNna−===+，整理可得2112440aa−+=，因为02a，解得211a=，故211BM=.变式2．如图，三棱柱111ABCABC-中，14AA=，1AC⊥底面ABC，90ACB=，1ACAC=．(1)求点1A到
平面11BCCB的距离；(2)若直线1AA与1BB距离为4，求AB与平面11BCCB所成角的正弦值．【解析】（1）因为1AC⊥底面ABC，BC平面ABC，所以1ACBC⊥，又BCAC⊥，1AC、AC平面11ACCA，1ACACC=，所以BC⊥平面11AC
CA，又BC平面11BCCB，所以平面11ACCA⊥平面11BCCB，过1A作11AOCC⊥交1CC于O，又平面11ACCA平面111BCCBCC=，1AO平面11ACCA，所以1AO⊥平面11BCCB，则1AO的长为点1A到平面11B
CCB的距离．在11RtACC△中，111ACAC=，114AACC==，则12AO=．所以点1A到平面11BCCB的距离为2．（2）连结1AB，因为1ACAC=，1BCAC⊥，BCAC⊥，所以1RtRtACBACB≌△△，所以1BABA=，过B作1BDAA⊥，交1AA于D，则D为1AA中
点，由直线1AA与1BB距离为4，所以4BD=，因为12AD=，所以25AB=，又点A到平面11BCCB距离也为2，设AB与平面11BCCB所成角为，则215sin5255===．变式3．如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD为矩形，AD⊥平面ABP，224ADAB
BP===，E为BC的中点.(1)证明：平面PED⊥平面PAD.(2)若点A到平面PED的距离为455，求直线PA与平面PCD所成角的正弦值.【解析】（1）如图，取PD的中点F，PA的中点G，连接EF，FG，BG.∵AD⊥平面ABP，BG平面
ABP，∴ADBG⊥.∵ABBP=，∴BGAP⊥.∵AP，AD平面PAD，APADA=，∴BG⊥平面PAD∵//FGAD，12FGAD=，//BEAD，12BEAD=，∴FG//BE，FGBE=，∴四边形BEFG是平行四边形，∴//EF
BG，∴EF⊥平面PAD，又EF平面PED，∴平面PED⊥平面PAD.（2）取AB的中点H，连接PH，AC.∵BC⊥平面ABP，BP平面ABP，∴BCBP⊥，∴222222PEPBBEDECDCE=+==+=，∴EFDP⊥
，易得224PDAP=+.∵114511432532APEDEPADVPDEFVAPEF−−===，∴2AP=.∵AD⊥平面ABP，AD平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面ABP.又PAPB=
，∴PHAB⊥，∴PH⊥平面ABCD易得3PH=，2CD=，25PD=，25PC=，∴12201192PCDS=−=△.设点A到平面PCD的距离为h，∵11124319323PACDAPCDVVh−−=
==，得45719h=，∴直线PA与平面PCD所成角的正弦值为25719hPA=.1．已知三棱锥−PABC中，,ABACPA⊥⊥平面,3,4,ABCPAABACM===为BC中点，过点M分别作平行于平面PAB的直线交ACPC、于
点EF、.(1)求直线PM与平面ABC所成的角的正切值；(2)证明：平面//MEF平面PAB，并求直线ME到平面PAB的距离.【解析】（1）因为PA⊥平面ABC，连接AM，则PMA即为直线PM与平面ABC所成的角
，又3PAAB==，4AC=，ABAC⊥，M为BC中点，可得5BC=，52AM=，所以6tan5PAPMAAM==，即直线PM与平面ABC所成的角的正切值为65.（2）由题知，//ME平面PAB，//MF平面PAB，MEMFM=，,MEMF平面MEF，所以平面//MEF平面PA
B.因为PA⊥平面ABC，AC平面ABC，所以PAAC⊥，又ACAB⊥，,ABPA平面PAB，ABPAA=，所以AC⊥平面PAB，又//ME平面PAB，所以AE就是直线ME到平面PAB的距离，又M为BC中点，则122AEAC==，即直线ME到平面PAB的距离为
2.2．如图，在体积为23的四棱柱1111ABCDABCD−中，底面ABCD是正方形，1AAC△是边长为2的正三角形．(1)求证：平面11ACCA⊥平面11BDDB．(2)求1AC与平面11BDDB所成角的正弦值．【解析】（1）设四棱柱1111ABCDABCD−的高为h．因
为四棱柱1111ABCDABCD−的底面ABCD是正方形，且2AC=，所以正方形ABCD的面积为2．因为四棱柱1111ABCDABCD−的体积为23，所以223h=，得3h=，即点1A到平面ABCD的距离为3．连
接1AO．因为1AAC△是边长为2的正三角形，所以13AO=，即1AO为点1A到平面ABCD的距离，所以1AO⊥平面ABCD．因为BC平面ABCD，所以1AOBD⊥．在正方形ABCD中，BDAC⊥．因
为1AOACO=，所以BD⊥平面11ACCA．因为BD平面11BDDB，所以平面11BDDB⊥平面11ACCA．（2）方法一由（1）知，OA，OB，1OA两两垂直，如图（1），以点O为坐标原点，分别以OA，OB，1OA所在直线为x轴
、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Oxyz−，则()0,0,0O，()1,0,0A，()0,1,0B，()1,0,0C−，()10,0,3A，所以()11,0,3AC=−−，()0,1,0OB=，()111,0,3BBAA==−uuuruuur．设平面11BDDB的
法向量为(),,nxyz=，则10,0,nOBnBB==所以0,30.yxz=−+=令1z=，则()3,0,1n=．图（1）设1AC与平面11BDDB所成角为，则11sinACnACn=()()()()()222222130031
32103301−++−==−++−++，所以1AC与平面11BDDB所成角的正弦值为32．方法二如图（2），设11AC与11BD交于点1O，连接1OO，则直线1OO就是平面11BDDB与平面11ACCA的交线．因为
平面11BDDB⊥平面11ACCA，所以点1A在平面11BDDB上的射影必在直线1OO上．又因为1AC平面11ACCA，所以直线1AC与直线1OO的夹角OEC就是直线1AC与平面11BDDB所成的角．图（2）设
1AC与1OO交于点E，则1OECAAC=．因为1AAC△是边长为2的正三角形，所以160AAC=，所以直线1AC与平面11BDDB所成角的正弦值为3sin602=．3．如图，已知四棱锥PABCD−中，PA⊥平面ABCD，ABAD⊥，
//ADBC，22PAABADBC====，E为PD中点.(1)求证：//CE平面PAB；(2)求直线CE与平面PAC所成角的正弦值.【解析】（1）取PA中点F，连接,EFBF，因为,FE分别为,PAPD的中点，所以EFAD∥，12EFAD=
，因为ADBC∥，2ADBC=，所以FEBC∥，EFBC=，所以四边形EFBC为平行四边形，BFCE，因为BF平面PAB，CE平面PAB，所以CE∥平面PAB.（2）过点B作BHAC⊥于点H，连接FH，因
为BFCE，所以直线CE与平面PAC所成角和直线BF与平面PAC所成角相等，因为PA⊥平面ABCD，BH平面ABCD，所以BHPA⊥，因为PAACA=，,PAAC平面PAC，所以BH⊥平面PAC，所以BFH为直线BF与平面PAC所成角，22215BF=+=，2
215AC=+=，122555BH==，所以2525sin55BHBFHBF===，所以直线CE与平面PAC所成角的正弦值为25.4．如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD为正方形，PEAB⊥，
PAPD⊥，PAPD=，E为AD的中点.(1)求证：PE⊥平面ABCD；(2)求直线PE和平面PBC所成角的正弦值.【解析】（1）在四棱锥PABCD−中，由PAPD=，E为AD的中点，得PEAD⊥，而PEAB⊥，,,ADABAADAB=平面ABCD，所以PE⊥平面ABCD.（2）取BC中点
F，连接,EFPF，由ABCD是正方形，E为AD的中点，得//EFAB，而ABBC⊥，则EFBC⊥，由（1）知PE⊥平面ABCD，BC平面ABCD，则PEBC⊥，而,,PEEFEPEEF=平面PEF，于是BC⊥平面PE
F，又BC平面PBC，则平面PEF⊥平面PBC，因此PE在平面PBC上的射影为平面PEF与平面PBC的交线PF，则EPF为直线PE和平面PBC所成的角，由PAPD⊥，PAPD=，E为AD的中点，得1122PEADEF==，由PE⊥平面ABC
D，EF平面ABCD，得PEEF⊥，2252PFPEEFEF=+=，所以直线PE和平面PBC所成的角的正弦值为25sin5EFEPFPF==.5．如图，在四棱柱1111ABCDABCD−中，3ABBCCA===，1ADCD==，平面11AAC
C⊥平面ABCD，1AAAB⊥.(1)求证：1AA⊥平面ABCD；(2)若E为线段BC的中点，直线1AE与平面ABCD所成角为45°，求平面1AAE与平面11AEC的夹角的余弦值.【解析】（1）连接BD，设ACBDF=，由BABC=，
DADC=，得BD是线段AC的垂直平分线，即有BDAC⊥，平面11AACC⊥平面ABCD，平面11AACC平面ABCDAC=，BD平面ABCD，于是BD⊥平面11AACC，而1AA平面11AACC，则1AABD⊥，又1AAAB⊥，,ABBD平面ABCD，ABBDB=，所以1AA⊥平
面ABCD.（2）由3ABBCCA===，得60BAC=，又1ADCD==，3AC=，1322AFAC==，则30DAC=，于是90DAB=，又1AAAB⊥，1AAAD⊥，则以1,,ABADAA为正交基底，建立空间直角坐标系Axyz−，在ABC中，E为BC中点，即有3
322AEAB==，由1AA⊥平面ABCD，得1AEA为1AE与平面ABCD所成角，即145AEA=，有132AAAE==，则130,0,2A，333(,,0)44E，1333(,,)222C，(3,0,0)B，33(,,0)22C，
由1AA⊥平面ABCD，BC平面ABCD，得1BCAA⊥，又BCAE⊥，1,AEAA平面1AAE，1AEAAA=，则BC⊥平面1AAE，于是平面1AAE的一个法向量为33(,,0)22mBC==−，设
平面11AEC的一个法向量为(),,nxyz=r，13333(,,)442AE=−，1133(,,0)22AC=，则1113333044233022nAExyznACxy=+−==+=，取1y=−，得(3,1,1)n=−，设平面1AAE与平面11AEC的夹角为，则222223
3|3(1)|||1522cos5||||33()()(3)(1)122mnmn−+−===−++−+，所以平面1AAE与平面11AEC的夹角余弦值为155.6．如图，已知SA垂直于梯形ABCD所在的平面，矩形SADE的对角线交于点,FG为SB的中点，1,122ABCBA
DSAABBCAD======.(1)求证：BD//平面AEG；(2)在线段EG上是否存在一点H，使得BH与平面SCD所成角的大小为6？若存在，求出GH的长；若不存在，说明理由.【解析】（1）以A为原点建立如图所示的坐标系，(1,0,0)B，(0,2,0)D，(0,2,1)E，11(
,0,)22G，(1,2,0)BD=−，(0,2,1)AE=，11(,0,)22AG=，设面AEG的法向量为(,,)mxyz=，2011022yzxz+=+=，令1x=，则1(1,,1)2m=−，0BDm=，B
D平面AEG，0BDm=，//BD平面AEG；（2）假设存在点H，设11(,2,)22GHGE==−，则1111(,2,)2222BHBGGE=+=−−+，设面SCD法向量(,,)nabc=，(1,1,1)SC=−，(1,1,0)CD=
−，00abcab+−=−+=，令1a=，则(1,1,2)n=，22|1(1)211|21122sin|cos,|6264nBH−−++++==+=，20(1)−=，即1
=，11(,2,)22GH=−，故存在满足题意的点H，此时32||||2GHGH==.7．如图，P是矩形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD．已知2,1PAABBC===．(1)求二面角PBCD−−的大小；(2)求直线PB与平面PAC所成角的大小．【解析】（1）因
为底面ABCD为矩形，所以BCAB⊥,又因为PA⊥平面ABCD，ABBC、平面ABCD，所以,PABCPAAB⊥⊥，,PAABAPAAB=、平面PAB，所以BC⊥平面PAB，又PB平面PAB，所以PBBC⊥，易知二面
角PBCD−−即二面角PBCA−−，因为PBBC⊥，BCAB⊥，所以PBA即其平面角，由题意易知πtan14PAPBAPBAAB===，故二面角PBCD−−的大小为π4；（2）如图所示，过B作BOAC⊥交AC于点O，连接P
O，根据已知PA⊥平面ABCD，BO平面ABCD，所以PABO⊥，因为,PAACAPAAC、=?平面PAC，所以BO⊥平面APC，由直线与平面的夹角的定义可知直线PB与平面PAC所成角为BPO，矩形ABCD中，易知
25BOACABBCBO==，又易知222PBAB==，所以2110sin10522BOBPOBP===，所以直线PB与平面PAC所成角大小为10arcsin10.8．如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD为平行四边形，45,1ADCADAC===，
O为AC中点，PO⊥平面ABCD，2PO=，M为PD中点.(1)证明：PB//平面ACM；(2)证明：AD⊥平面PAC；(3)求直线AM与平面ABCD所成角的余弦值.【解析】（1）连接BD，OM，因为底面ABCD为平行四边形
，O为AC中点，故BD与AC相交于O，因为M为PD的中点，则//OMPB，因为OM平面ACM，PB平面ACM，所以PB//平面ACM；（2）因为45,1ADCADAC===，由余弦定理得222cos2ADCDACADCADCD+−
=，即211cos452CDCD+−=，解得2CD=，因为222ADACCD+=，所以AD⊥AC，因为PO⊥平面ABCD，AD平面ABCD，所以PO⊥AD，因为,ACPO平面PAC，ACPOO=，所以AD⊥平面PAC；（3）取OD的中点N，连接,MNAN，则MN//OP，因为PO⊥平面
ABCD，所以MN⊥平面ABCD，则MAN为直线AM与平面ABCD所成角，其中2PO=，故112MNOP==，因为AD⊥AC，1122AOAC==，由勾股定理得2215142ODADAO=+=+=，故1524ANOD==，由勾股定理
得22214AMANMN=+=，所以51054cos21214ANMANAM===.9．如图，在四棱锥PABCD−中，PA⊥平面ABCD，12ADCDABCDPAADCDAB⊥====，∥，，，点M是PB的中点．(1)证明：2PBCM=；(2)求直线DM与平面ACM所成的角的正弦值．【解析】（1
）取AB中点F，连接CF，如图所示，，则1AFCD==，又因为ABCDAFCD∥∥，所以四边形AFCD是平行四边形，又ADCDADCD⊥=，，所以平行四边形AFCD为正方形，所以ABCF⊥，即ABC是等腰三角形，则2ACBC==，所以2224ACBCAB+==，即ACBC⊥，因为PA⊥平面
ABCD，BC平面ABCD，所以PABC⊥，又因为,PAAC平面PAC，PAACA=，所以BC⊥平面PAC，因为PC平面PAC，所以BCPC⊥，又因为点M是PB的中点，所以由直角三角形性质易得2PBCM=.（2）因为PA⊥
平面ABCD，,ADAB平面ABCD，所以,PAADPAAB⊥⊥，又因为四边形AFCD是正方形，所以ADAB⊥，如图，以,,ADABAP为正交基底建立空间直角坐标系Axyz−，则()()()10,0,0,1,1,0,1,0,0,0,1,2ACDM
，所以()111,1,,1,1,0,0,1,22DMACAM=−==，设平面ACM的一个法向量为(),,nxyz=，则001002xynACnACyznAMnAM+=⊥=+=⊥=，令11,2xyz==−=，即()1,1,2
n=−，设直线DM与平面ACM所成的角为π20，所以16sincos,9964nDMnDMnDM====，所以直线DM与平面ACM所成的角的正弦值为69.10．如图，在正三棱柱111ABCABC-中，13AA=，此三棱柱的
体积为63，P为侧棱1AA上点，且1AP=，H、G分别为AB、11AC的中点.(1)求此三棱柱的表面积；(2)求异面直线GH与1PC所成角的大小；(3)求1PC与平面11AABB所成角的大小.【解析】（1）解：设底面正三角形的边长为a，则其面积为
234ABCSa=△，因为三棱柱111ABCABC-的体积为63，可得233634a=，解得22a=，所以三棱柱的侧面积为1133223182SaAA===，所以三棱柱的表面积为1318282182434ABCSSS=+=+=+.
（2）解：取1AP的中点F，连接,HFFG，可得1//HFPC，所以异面直线GH与1PC所成角，即为直线GH与HF所成角，因为1AP=，在直角1AHF△中，可得22113HFAHAF=+=，在直角AFG中，可得226FGAGAF=+=，取AC的中点M，连接,GMHM，在直角
GHM△中，可得2211GHGMHM=+=，在HFG中，由余弦定理得3116433cos332311GHF+−==，所以异面直线GH与1PC所成角的大小为433arccos33.（3）解：取11AB的中点E，可得111CEAB⊥，在正三棱柱111ABCABC-中，可得平面111ABC⊥平面11
ABBA，且平面111ABCÇ平面1111ABBAAB=，可得1CE⊥平面11ABBA，所以1PCE为直线1PC与平面11ABBA所成的角，在直角1APE!中，22116PEAPAE=+=，且16CE=，在直角1△PCE中，可得11tan1CEPCEPE==，所以145PCE
=.（了解一下）11．如图，在长方体1111ABCDABCD−中，已知2ABBC==，13AA=.(1)若点P是棱1DD上的中点，求证：AC与BP垂直；(2)求直线1AB与平面11ACCA的夹角大小.【解析】（1）如图
1，连接1111,,,,ACBDBPBDAC，且1111BDACO=I，因为2ABBC==，由已知可得，ABCD为正方形，所以，ACBD⊥.同理可得，1111ACBD⊥.根据长方体的性质可得，1DD⊥平面ABCD，又AC平面ABCD，所以，1DDAC⊥.因为1,
DDBD平面11DBBD，1DDBDD=I，所以，AC⊥平面11DBBD.因为BP平面11DBBD，所以，ACBP⊥.（2）如图2，连接11,,ABADAO.由（1）知，1111ACBD⊥.因为1AA
⊥平面1111DCBA，11BD平面1111DCBA，所以，111AABD⊥.因为111,AAAC平面11ACCA，所以，11BD⊥平面11ACCA.所以，1BAO即为直线1AB与平面11ACCA的夹角.因为2ABBC==，13AA=，所以1122BD=，1113ABAD==.因为O
是11BD的中点，所以12OB=，在1RtBOA中，有111226sin1313OBBAOAB===，所以，直线1AB与平面11ACCA的夹角大小为26arcsin13.易错点五：忽略二面角范围有重新的规定（求二面角）二面角的求法法一：定义法在棱上
取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角，如图在二面角l−−的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面和内作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成
的角称为二面角的平面角（当然两条垂线的垂足点可以不相同，那求二面角就相当于求两条异面直线的夹角即可）．法二：三垂线法在面或面内找一合适的点A，作AO⊥于O，过A作ABc⊥于B，则BO为斜线AB在面内的射影，ABO为
二面角c−−的平面角．如图1，具体步骤：①找点做面的垂线；即过点A，作AO⊥于O；②过点（与①中是同一个点）做交线的垂线；即过A作ABc⊥于B，连接BO；③计算：ABO为二面角c−−的平面角，在RtABO△中解三角形．图1图2图3法三：射影面积法凡二面角的图形
中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（'''cos=ABCABCSSSS=射斜，如图2）求出二面角的大小；baAOBbABCB'C'A'法四：向量法二面角的平面角()()，0cos2121=nn
nn提示：是二面角的夹角，具体cos取正取负完全用眼神法观察，二面角不存在钝角之说.易错提醒：若两个平面的法向量分别为，，若两个平面所成的锐二面角为，则coscos,ab=；规定两个平面所成二面角范围0900,，则coscos,ab=−。例．如图（1），
六边形ABCDEF是由等腰梯形ADEF和直角梯形ABCD拼接而成，且90BADADC==，2,4ABAFEFEDADCD======，沿AD进行翻折，得到的图形如图（2）所示，且90AEC=.(1)求证
：CD⊥平面ADEF.(2)求二面角CAED−−的余弦值；【解析】（1）在等腰梯形ADEF中，作EMAD⊥于M，则1,3,32ADEFDMAMEM−====，可得3923AE=+=，连接AC，则42AC
=，因为90AEC=，可得25EC=，由222EDDCEC+=，可得CDED⊥，且,⊥=ICDADADEDD，,ADED平面ADEF，所以CD⊥平面ADEF.（2）由（1）可知CD⊥平面ADEF，且AE平面ADEF，可得CDAE⊥，
且CEAE⊥，CECDC=，,CECD平面CDE，可得⊥AE平面CDE，且DE平面CDE，可得AEDE⊥，ab又AECE⊥，可知CED就是二面角CAED−−的平面角，在RtCDE△，可得25cos525DECDECE===，所以二面角CAED−−的余
弦值为55.变式1．如图，在三棱锥−PABC中，PA⊥平面ABC，2PABC==，ABPC=5=.(1)求点B到平面PAC的距离；(2)设点E为线段PB的中点，求二面角ACEB−−的正弦值.【解析】（1）因为PA⊥平面ABC，又AB平面ABC，BC平面ABC，所以,PAAB
PABC⊥⊥，又2,5PAAB==，由勾股定理得222(5)3PB=+=，又25,3BCPCPB===,，所以222BCPCPB+=，故BCPC⊥，因为,BCPCBCPA⊥⊥，,,PCPAPPCPA=平面P
CA，所以BC⊥平面PCA，则BC为点B到平面PAC的距离，故点B到平面PAC的距离为2.（2）在平面ABC内过点A作BC的平行线AF，则,PAACPAAFACAF⊥⊥⊥,，以A为坐标原点，以AC所在直线为x轴，A
F所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，由勾股定理得：22541ACPCPA=−=−=，则1(100),(120),(0,0,,2),,1,12CBPE,,,,，111(100)(020)2CEACCB=−==,,,,,,,,，
设平面ACE的法向量为111(,,)mxyz=，则·0·0CEmACm==，即11111020xyzx−++==，取11y=，则11(011)zm=−=−,,,，设平面BCE的法向量为2
22(,,)nxyz=，则·0·0CEnBCn==，，即22221020xyzy−++==，取22x=，则21(201)zn==,,,，所以·110cos,10·25mnmnmn−===−，记二面角
ACEB−−的大小为，则1310sin11010=−=，故二面角ACEB−−的正弦值为31010.变式2．在正方体1111ABCDABCD−中，设M，N分别为棱11CD，11AD的中点.(1)证明：//CM平面BND；(2)求二面角ABDN−−的余弦值.【解析】（1）连接AC交BD于O，连接O
N，MN，11AC.在正方体1AC中，11//AACC，11AACC=，四边形11ACCA是平行四边形，所以11//ACAC，11ACAC=.正方形ABCD中，ACBDO=，故O是AC的中点，所以11//OCAC，且1112
OCAC=，在111DAC中，M，N分别是11CD，11AD的中点，所以11//MNAC，且1112MNAC=，所以//MNOC，且MNOC=，故四边形MNOC是平行四边形，故//CMON，又ON平面BND，CM平面BND
，所以//CM平面BND.（2）法一：以D为坐标原点，DA，DC，1DD所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz−.不妨设正方体1AC的棱长为2，故()0,0,0D，()2,0,0A，()2,2,0B，()12,0
,2A，()1,0,2N.在正方体1AC中，1AA⊥平面ABCD，故()10,0,2AA=是平面ABD的一个法向量.设(),,mxyz=是平面BDN的法向量，()2,2,0DB=，()1,0,2DN=，故,,mDBmDN⊥⊥即220,20,xyxz+=+=取2
x=，则2,1,yz=−=−所以()2,2,1m=−−是平面BDN的一个法向量.故()()()()1122222210202211cos,3002221AAmAAmAAm+−+−===−+++−+−
，设二面角ABDN−−的大小为，据图可知，11coscos,3AAm=−=，所以二面角ABDN−−的余弦值为13.法二：取AD的中点E，OD的中点H，连接NE，EH，NH.在正方体1AC中，11//ADAD，11ADAD=，又N，E分别是11AD，AD的中点，故1//NDE
D，1NDED=，四边形1NEDD是平行四边形，所以1//NEDD，又1DDAD⊥，1DDCD⊥，故NEAD⊥，NECD⊥，因为ADCDD=，,ADCD平面ABCD，所以NE⊥平面ABCD，又BD平面ABCD，故NEBD⊥.在正方形ABCD中
，AOBD⊥，在DAO中，E，H分别是AD，OD的中点，故//EHAO，所以EHBD⊥，又NEEHE=，,NEEH平面NEH，所以BD⊥平面NEH，因为NH平面，所以BDNH⊥.所以NHE是二面角ABDN−
−的平面角.不妨设正方体1AC的棱长为2，在RtNEH△中，12NEAA==，112242EHAOAC===，故22322NHNEEH=+=，所以212cos3322EHNHENH===，所以二面角ABDN−−的余弦值为13
.变式3．如图1，ABC为等边三角形，边长为4，,ED分别为,BCAC的中点，以DE为折痕，将DCE△折起，使点C到1C的位置，且123BC=，如图2.(1)设平面1ADC与平面1BEC的交线为l，证明：l⊥平面1ABC；(2)求二面角1CDEA−
−的余弦值.【解析】（1）延长,ADBE交于点C，连接1CC，如图，依题意，,DE分别为,ACBC的中点，则11,CDCDDACECEEB====，因此11,ACCBCC分别是以,ACBC为斜边的直角三角形，即1111CCACCCBC⊥⊥，，又111AC
BCC=，1AC平面11,ABCBC平面1ABC，于是1CC⊥平面1ABC，而平面1ADC平面1BECl=，显然直线l与1CC重合，所以l⊥平面1ABC.（2）取AB的中点N，连接CN交DE于点M
，则M为DE中点，连接11,CMCN，由ABC为等边三角形，得1,CMDEMNDE⊥⊥，则1CMN为二面角1CDEA−−的平面角，13CMMN==，在1RtCBC中，14,23BCBC==，则12CC=，由1CC⊥平面1ABC，1CN平面1ABC，
得11CCCN⊥，又23CN=，于是122CN=，在1CMN中，由余弦定理得22211111cos23CMMNCNCMNCMMN+−==−，所以二面角1CDEA−−的余弦值为13−.1．如图所示，在三棱柱111ABCABC-中，侧棱
1AA⊥底面,,ABCABBCD⊥为AC的中点.14,6AAABBC===.(1)证明：1AB平面1BCD；(2)求二面角1CBDC−−的余弦值.【解析】（1）连接1BC交1BC于E，连接DE,在1ABCV中，E为1BC中点，D为AC中点,所以1DEAB∥，又因为
1AB平面1BCD，DE平面1BCD所以1AB平面1BCD.（2）由题意侧棱1AA⊥底面ABC，所以1BB⊥底面ABC，即11,BBABBBBC⊥⊥，又ABBC⊥，所以11BBABABBCABBBBCB⊥⊥⊥=平面11BBCC,所以可建立
空间直角坐标系如图：以B为原点，以1BB，BC，BA分别为x轴，y轴，z轴，则(0,0,0)B，(0,0,4)A，1(4,0,4)A，1(4,6,0)C，(0,6,0)C，(0,3,2)D，所以(0,3,2
)BD=，1(4,6,0)BC=，1(4,0,0)AA=设平面1CBD的法向量为(,,)nxyz=，则103204600BDnyzxyBCn=+=+==，取=2y−则3,3xz==所以平
面1CBD的一个法向量为(3,2,3)n=−，因为1AA⊥底面ABC，所以平面BDC的一个法向量为1(4,0,0)AA=,设二面角1CBDC−−大小为，则113322cos2222AAnAAn===，所以二面
角1CBDC−−的余弦值为32222.2．如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是矩形.已知3AB=，2AD=，2PA=，22PD=，60PAB=.(1)证明AD⊥平面PAB；(2)求异面直线PC与AD所成的角
的正切值；(3)求二面角PBDA−−的正切值.【解析】（1）证明：在PAD中，由题设2PA=，22PD=可得222PAADPD+=.于是ADPA⊥.在矩形ABCD中，ADAB⊥.又PAABA=，,PAAB
平面PAB，所以AD⊥平面PAB.（2）证明：由题设，BCAD∥，所以PCB∠（或其补角）是异面直线PC与AD所成的角.在PAB中，由余弦定理得222cos7PBPAABPAABPAB=+−=由（1）知AD⊥平面PAB，PB平面
PAB，所以ADPB⊥，因而BCPB⊥，于是PBC是直角三角形，故7tan2PBPCBBC==.所以异面直线PC与AD所成的角的正切值为7tan2PBPCBBC==.解法二：由（1）可知，AD⊥平面PAB,AD平面
ABCD，所以平面PAB⊥平面ABCD，作PMAB⊥于M，MNAB⊥交CD于N点，因为平面PAB平面ABCDAB=，PM平面PAB，所以PM⊥平面ABCD，又MN平面ABCD，所以PMMN⊥，以M为原点，分别以,,MBMNMP为,,xyz轴
建立空间直角坐标系，则()0,0,3P，()1,0,0A−，()2,0,0B，()2,2,0C，()1,2,0D−，所以()2,2,3PC=−，()0,2,0AD=，设异面直线PC与AD所成的角为，2coscos,11PCAD==，则7
sin11=.所以异面直线PC与AD所成的角的正切值为72（3）过点M做MEBD⊥于E，连接PE.因为PM⊥平面ABCD，BD平面ABCD，所以BDPM⊥.又PMMEM=，因而BD⊥平面PME，又PE平面PME，所以BDPE⊥从而PEM是二面角PBDA−−的平面角.由题设可得，si
n603PMPA==，cos601AMPA==，2BMABAM=−=，2213BDABAD=+=，413ADMEBMBD==，于是在RtPME△中，39tan4PMPEMME==.所以二面角PBDA−−的正切值为394.解法二：由（2）
知()2,0,3PB=−，()1,2,3PD=−−.设平面PBD的一个法向量为(),,mxyz=，则00PBmPDm==，即230230xzxyz−=−+−=，令23x=，则33,4yz==，所以(),4,
2333m=，又平面ABD的一个法向量可以是()0,0,1n=.由图知二面角PBDA−−的大小为锐角，所以4cos,55mn=，则39sin,55mn=所以二面角PBDA−−的正切值为394.3．如图，三棱柱11
1ABCABC-的底面是等边三角形，16ABAA==，160ABB=，D，E，F分别为1BB，1CC，BC的中点.(1)在线段1AA上找一点G，使//FG平面1ADE，并说明理由；(2)若平面11AABB⊥平
面ABC，求平面1ADE与平面ABC所成二面角的正弦值.【解析】（1）如图所示：当点G为1AA的中点时，//FG平面1ADE，证明如下：设H为DE中点，连接1,?FHAH.因为在三棱柱111ABCABC-中，111////BBCCAA，,?,?,?DEFG分别为1
11,?,?,?BBCCBCAA的中点，所以1////FHECAG，且1==FHECAG，所以四边形1AGFH为平行四边形.所以1//FGAH，又因为1AH平面1ADE，FG平面1ADE，所以//FG平面1ADE.（2）如图所示：取AB中点O，
连接11,?,?OBABOC.因为11ABAABB==，160ABB=，所以1ABB为正三角形，所以1BOAB⊥.又因为平面11AABB⊥平面ABC，平面11AABBÇ平面ABCAB=，1BO平面11AABB，所以1BO⊥平
面ABC，又,COAO平面ABC，所以11,BOCOBOAO⊥⊥，因为ABC为等边三角形，所以OCAB⊥.以O为原点，分别以1,?,?OCOAOB所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，依题意得11333(0,3,0),?(0,
3,0),?(33,0,0),?(0,6,33),?(0,0,33),0,,22ABCABD−−，所以115330,,22DA=，(33,3,0)DEBC==.设平面1ADE的法向量(,,)nxyz=，则由100nDAnDE==，得1533
0223330yzxy+=+=，令1x=，得()1,3,5n=−.取平面ABC的法向量(0,0,1)m=，设平面1ADE与平面ABC所成二面角的大小为，则5529coscos,29129mnmnmn
====.所以2229sin1cos29=−=，所以平面1ADE与平面ABC所成二面角的正弦值为22929.4．如图，在四棱锥-PABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为菱形，60ADC=，4PAAD==，E为AD的中点．(1)求证：平面PCE⊥平面PAD；(2)求二面角APD
C−−的平面角的正弦值．【解析】（1）由题意，因为四边形ABCD为菱形，所以DADC＝.连接AC.因为60ADC＝，所以ADC△为等边三角形，从而CACD＝.在ADC△中，E是AD的中点，所以CEAD⊥.因为PA⊥平面ABCD，CE平面ABCD，所以CEPA⊥.∵PAADA＝
，PA面PAD，AD平面PAD，CE面PAD，∴EC⊥平面PAD.又CE平面PCE，∴平面PCE⊥平面PAD（2）由题意及（1）得，在平面PAD中，过点E作EMPD⊥，垂足为M，连接CM.因为EC⊥平面PAD,PD平面PAD，所以E
CPD⊥.又EMCEE＝,EM平面EMC,CE平面EMC，所以PD⊥平面EMC.又CM平面EMC，所以PDCM⊥，从而EMC∠是二面角--APDC的平面角．在RtEMD中，2ED＝,45ADP＝，所以2EMMD==.在RtCMD△中，2MD=，4CD=，所以2214CMC
DMD=−=.在RtCME△中,234223,sin714CECEEMCCM====,所以二面角--APDC的平面角的正弦值为427.5．如图，在圆锥PO中，AB是底面的直径，且3PO＝，4AB＝，30BAC=，M是BC的中点．(
1)求证：平面PBC⊥平面POM；(2)求二面角OPBC--的余弦值．【解析】（1）如图，由题意，AB是底面的直径，ACBC⊥，O为AB的中点，M为BC的中点，则//OMAC，则OMBC⊥，而PO⊥平面,ABCBC平面ABC，则POBC⊥，又POOMO=，PO平面P
OM，OM平面POMBC⊥平面POM，又BC平面,PBC平面PBC⊥平面POM；（2）在平面ABC中，过M作MEAB⊥，垂足为E，在平面PAB中，过E作EFPB⊥，垂足为F，连接MF，∵PO⊥平面,ABCME平面ABC
，POME⊥，又ABPOO=，AB平面PAB，PO平面PAB，ME⊥平面PAB，PB平面PAB，MEPB⊥，EFMEE=，ME平面EFM，EF平面EFM则PB⊥平面EFM，可得MFE为二面角OPBC−−的平面角．由已知可得，23,2,,1ACBCBM=
==，2213PBPOOB=+=，RtRBEMtBCA，BEMEBMBCACAB==，13,,242223BEMEBMBEME====，又RtPOBRt,PBPOEFBEBFE=，得133213213POEBFEPB===．在RtMEF中，221213EMEFME=+=，∴3
3213cos41213EFMFEMF===．即二面角OPBC−−的余弦值为34．6．如图所示，在四棱锥PABCD−中，四边形ABCD为梯形，//,,CDABABBCPAPD⊥⊥，1,2BCCDPAPDAB=====，平面PAD⊥平面PBC．(1)若PB的中点为N，求证：//CN平面PAD
；(2)求二面角PADB−−的正弦值．【解析】（1）设T是PA中点，连接,TNTD，如下图所示：在ABP中，TN为为中位线，所以：1,2TNABTNAB=，又因为：1,2CDABCDAB=，所以：,TNCDTNCD=，所以：四边
形CDON为平行四边形，得：,TDCNTDCN=，又因为：CN平面,PADDT平面PAD，所以：//CN平面PAD.（2）如图，延长AD和BC交于点Q，连接PQ.过点B作BMPQ⊥，垂足为点M，连接DM.因为：平面PA
D⊥平面PBC，平面PAD平面PBCPQ=，所以：BM⊥平面BDM，因为：,,ADBDADBMBDBMB⊥⊥=，且,BMBD平面BDM，所以：AD⊥平面BDM，所以：BDM为所求二面角的平面角，在PDQ中，222cos5PQPDDQPDDQPDQ=+−=，得：2225213cos22
5210PQDQPQPQDPQDQ+−+−===，所以：24tan,33DMDQPQDMB===，所以：22sin3BMBDMBD==.7．如图，在梯形ABCD中，//ADBC，π2ABC=，ABB
Ca==，25arccos5ADC=，PA⊥平面ABCD且PAa=.(1)求直线AD到平面PBC的距离；(2)求二面角PCDA−−的大小；(3)在线段AD上是否存在一点F，使点A到平面PCF的距离为63a?【解析】（1）∵//A
DBC，AD平面PBC，BC平面PBC，∴AD//平面PBC，故点A到平面PBC的距离，即为直线AD到平面PBC的距离，作AHPB⊥于H，∵PA⊥平面ABCD，BC平面ABCD，PABC⊥，BCAB⊥，又,,PAABAPAA
B=平面PAB，BC⊥平面PAB，又AH平面PAB，BCAH⊥，又,,PBBCBPBBC=平面PBC，AH⊥平面PBC，即AH的长为点A到平面PBC的距离，也即直线AD到平面PBC的距离，在等腰RtPAB中，22AHa=，所以直线AD到平面PBC的
距离为22a；（2）过点A作AQCD⊥，交CD于点Q，连接PQ，因为PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，所以PACD⊥，又,,AQPAAAQPA=平面PAQ，所以CD⊥平面PAQ，又PQ平面PAQ，所以PQCD⊥，所以PQA即为二面角PCDA−−的平面角，过C作CMAD⊥于M，则四边形
ABCM为矩形，故CMABa==，在RtCMD中，,CMa=25cos5ADC=，可得5CDa=，2DMa=，所以3ADa=，又5sin5ADC=，所以355AQa=，则5tan3PAPQAAQ==，所以二面角PCDA−−的大小为5arctan3；（3）假设存在点F，使点A
到平面PCF的距离为63a，如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，设()0,3AFtta=，则()()()()0,0,0,,,0,0,,0,0,0,ACaaFtPa，故()()()0,0,,0,,,,,0APaFPtaFCaat==−=−，设平面PCF的法向
量为(),,nxyz=，则有()00nFPtyaznFCaxaty=−+==+−=，令xat=−，则,yazt=−=−，所以(),,natat=−−−，故点A到平面PCF的距离为()222
nAPatnatat−=−++，所以()22263ataatat−=−++，解得2ta=，所以存在点F，使点A到平面PCF的距离为63a.8．如图，已知AB是圆柱下底面圆的直径，点C是下底面圆周上异于,AB的动点，CD，BE是圆柱的两条母线．(1)求证：ACD⊥
平面BCDE；(2)若6AB=，3BC=，圆柱的母线长为23，求平面ADE与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．【解析】（1）因为AB是底面的一条直径，C是下底面圆周上异于,AB的动点，所以ACBC⊥，又
因为CD是圆柱的一条母线，所以CD⊥底面ACB，而AC底面ACB，所以CDAC⊥，因为CD平面BCDE，BC平面BCDE，且CDBCC=，所以AC⊥平面BCDE，又因为ACACD，所以平面ACD⊥平面BCDE；（2）如图所示
，过A作圆柱的母线AM，连接DM，EM因为底面ABC//上底面DME，所以即求平面ADE与平面DME所成锐二面角的大小，因为,ME在底面的射影为,AB，且AB为下底面的直径，所以EM为上底面的直径，因为AM是圆柱的母线，所以AM⊥平面DME，又因为EM为
上底面的直径，所以MDDE⊥，而平面ADEDMEDE=，所以MDA为平面ADE与平面DME所成的二面角的平面角，又因为D在底面射影为C，所以3DEBC==，6MEAB==，所以226333DM=−=，又因为母线长为23，所以23AM=，又因为
AM⊥平面DME，DM平面DME，所以AMMD⊥，所以()()22233339AD=+=,所以333cos131339MDMDAAD===，即平面ADE与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为31313.9．如图，正方体1111ABCDABCD−中.(1)求证：1BD和1AD为异面直线；
(2)求二面角1BADA−−的大小.【解析】（1）证明：假设1BD和1AD共面，则1A、D、1D、B四点共面事实上，B平面11ADD，这与假设矛盾，故1BD和1AD为异面直线.（2）解：连接1AD交1AD于点O，连接BO，则O为1AD的中点，设正方体1111ABCDABCD−的棱长为2，因为
四边形11AADD为正方形，则11ADAD⊥，因为AB⊥平面11AADD，1AD平面11AADD，所以，1ABAD⊥，因为1ADABA=，1AD、AB平面ABO，所以，1AD⊥平面ABO，因为BO平面ABO，所以，1BOAD⊥，所以，二面角1BADA−−的平面角为AOB，且1112222
2AOAD===，因为AB⊥平面11AADD，1AD平面11AADD，则1ABAD⊥，所以，2tan22ABAOBAO===，因此，二面角1BADA−−的大小为arctan2.10．如图，正方形ABCD
所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，ABE是等腰直角三角形，ABAE=，FAFE=，45AEF=．(1)求证：EF⊥平面BCE；(2)求二面角FBDA−−的正切值．【解析】（1）因为平面ABEF⊥平面ABCD，BC平面ABCD，平面ABEF平面,ABCDABBCA
B=⊥，所以BC⊥平面ABEF，EF平面ABEF，所以BCEF⊥．因为ABE为等腰直角三角形，ABAE=，所以45AEB=，又因为45AEF=，所以454590FEB=+=，即EFBE⊥，又BCBEB=，BC平面BCE，BE平面B
CE，所以EF⊥平面BCE．（2）由EAAB⊥，平面ABEF⊥平面ABCD，平面ABEF平面ABCDAB=，EA⊥平面ABCD，作FGAB⊥，交BA的延长线于G，则FGEA∥．从而，FG⊥平面ABCD，BD平面ABCD，BD
FG⊥，作GHBD⊥于H，GHFGG=，GHÌ平面FGH，FG平面FGH，BD⊥平面FGH，连结FH，FH平面FGH，所以BDFH⊥，因此，FHG为二面角FBDA−−的平面角，因为FAFE=，45AEF=，所以90AFE=，45FAG=，设1AB=，则1AE=，22AF=
，1sin2FGAFFAG==，在RtBGH中，45GBH=，13122BGABAG=+=+=，3232sin224GHBGGBH===在RtFGH中，2tan3FGFHGGH==故二面角FBDA−−的正切值为23.11．如图，在三棱柱
111ABCABC-中，1BB⊥平面,ABCABC△为正三角形，侧面11ABBA是边长为2的正方形，D为BC的中点.(1)求证：平面1ADC⊥平面11BCCB；(2)取AB的中点E，连接1,CECE，求二
面角1CCAB−−的余弦值.【解析】（1）证明：ABC为正三角形，D为BC的中点，ADBC⊥，1BB⊥平面,ABCAD平面1,ABCBBAD⊥，1,BBBCBAD=⊥平面11BCCB，又AD平面1,ADC平面1ADC⊥平面11BCCB.（2
）ABC为正三角形，CEAB⊥，1BB⊥平面111,,ABCBBCCCC⊥∥平面ABC，11,CCACCCCB⊥⊥，故1111,ACCBCCACBC=≌△△，又E为AB的中点，1CEAB⊥，1CEC为二面角1CCAB−−的平面角，侧面11ABBA是边长为2的正方形，12CC=
，ABC为边长为2的正三角形，3CE\=，在直角三角形1CCB中，22117CECCCE=+=，1121cos7CECECCE==，二面角1CCAB−−的余弦值为217.
