【文档说明】《精准解析》浙江省宁波市九校联考2022-2023学年高三上学期1月高考适应性考试数学试题（解析版）.docx，共(26)页，1.172 MB，由小赞的店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

2023年1月高三年级普通高等学校招生适应性考试数学注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B

铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案

，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.第I卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四

个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合Z2Axx=，3Z1Bxx=，则AB=（）A.1B.1,2C.1,2,3D.1,0,1−【答案】B【解析】【分析】由题知2,1,0,1,2A=−−，1,2B=，再求交集即可.【详解】解：Z2

Z222,1,0,1,2Axxxx==−=−−，()33Z1Z0Z301,2xBxxxxxxx−===−=，所以AB=1,2故选：B2.设()()2346izzzz++−=+，则z=（）A.12i−B.12i+C.1i+D.1i−【

答案】C【解析】【分析】设izab=+，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于a、b的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数z.【详解】设izab=+，则izab=−，则()()2346i46izzzzab++−=

+=+，所以，4466ab==，解得1ab==，因此，1iz=+.故选：C.3.已知ABC边BC所在直线上有一点D满足4BDCD=，则ADuuuv可以表示为（）A.1433ADABAC=−+B.1433ADABAC=−C.4155ADABAC=+D.1455ADABAC=+

【答案】A【解析】【分析】根据D在BC所在直线上且满足4BDCD=,可确定D的位置.由向量的线性运算和平面向量基本定理,即可用,ABAC作为基底表示出AD.【详解】因为D在BC所在直线上且满足4BDCD=所以可确定D的

位置如下图所示:根据向量的线性运算及平面向量基本定理可知ADABBD=+43ABBC=+()43ABACAB=+−的1433ABAC=−+uuuruuur故选:A【点睛】本题考查了平面向量基本定理的应用,向量的加法与减法的线性运算,属于基础题.4.在直角梯形ABCD中，//ABCD，ABBC⊥，

5AB=，4BC=，2CD=，则梯形ABCD绕着BC旋转而成的几何体的体积为（）A.52B.1163C.1103D.()284103+【答案】A【解析】【分析】易得梯形ABCD绕着BC旋转而成的几何体为圆台,

再根据圆台的体积公式求解即可.【详解】易得梯形ABCD绕着BC旋转而成的几何体为圆台,圆台的高4hBC==,上底面圆半径2rCD==,下底面圆半径5hAB==.故该圆台的体积()()222211455445233VhRRrr=++=++=故选：A

【点睛】本题主要考查了旋转体中圆台的体积公式,属于基础题.5.盒中有6个相同型号的螺丝钉，其中有3个是坏的，从盒中任取2个，则35等于（）A.恰有1个是坏螺丝钉的概率B.恰有2个是坏螺丝钉的概率C.2个全是好螺丝钉的概率D.至少1个是坏螺丝

钉的概率【答案】A【解析】【分析】分别求出个选项对应事件的概率，即可得出答案.【详解】解：恰有1个是坏螺丝钉的概率为113326333155CCC==，恰有2个是坏螺丝钉的概率为20332631155CCC==，2个全是好螺丝钉的

概率为232631155CC==，至少1个是坏螺丝钉的概率为134555+=,故选：A.6.若函数()()53sinsin2fxxx=−−+，且()2f=，()0f=，−的最小值

是2，则()fx的单调递增区间是A.()22,233kkkZ−+B.()52,266kkkZ−+C.()3,44kkkZ−+D.()2,33kkkZ−+【答案】A【解析】【分析】将解析式化为()2si

n()6fxx=−，然后根据题意得到函数的周期为2T=，从而得到1=，故()2sin()6fxx=−．最后根据正弦函数的单调区间可得所求的增区间．【详解】由题意得()()53sinsin2fxxx=−−+3sincosx

x=−2sin()6x=−．∵()()2,0ff==，且−的最小值是2，∴42T=，∴2T=，∴212==，∴()2sin()6fxx=−．由22,262πππkπxkπkZ−+−+，得222,33ππkπxkπkZ−++，∴函数()fx的单调

递增区间为()22,233kkkZ−+．故选A．【点睛】（1）解答本题的关键是正确理解“()()2,0ff==，且−的最小值是2”的含义，即该函数相邻的最值点与零点间的距离为2，也为四分之一周期．（2）解决函数()si

n()fxAx=+的问题时，可把x+看作一个整体，然后结合正弦函数的相应性质求解即可，解题时注意,A的符号对结果的影响．7.若2log3a=，344log2b=，122c−=，则a，b，c的大小关系为（）．A.

abcB.bacC.cabD.bca【答案】B【解析】【分析】利用对数运算的性质将344log2b=化简为32，从而和c比较大小，同理比较a,c的大小关系，再根据两个指数幂的大小结合对数的运算性质可比较a,b大小，

即可得答案.【详解】由题意：4233loglog423222b===，12222c−==，故bc．又32222223=，即223，所以244log2log3，即42log32，因为24log3log3a==，所以ca．因为8522562433==，故

28log335，即323，所以344log2log3，所以43log32，所以ba，所以bac，故选：B.8.已知22(2)()4xfxx+=+，则()fx在区间[2,2]−上的最大值最小值之和为（）A.2B.3C.4D.8【答案】A【解析】【分析

】求导数，确定函数的单调性，再求最值．【详解】22222(2)444()1444xxxxfxxxx+++===++++，，()fx=2222224(4)424(4)(4)(4)xxxxxx+−−=++，∵22x−

，∴()0fx，∴()fx在[2,2]−上是增函数，∴max()(2)2fxf==，min()(2)0fxf=−=，最大值和最小值的和为2.故选：A.【点睛】本题考查函数的最值．用导数确定函数单调性，再求最值是常用方法．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20

分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.在正方体1111ABCDABCD−中，点O是底面ABCD的中心，则（）A.1//AO平面11BDCB.1AO

与1CD成角为30ºC.111AOBD⊥D.1AO⊥平面1BDC【答案】ABC【解析】【分析】A.由1111//O,OOCCOCC=，得到11AOCO是平行四边形，从而11//AOCO，再利用线面平行的判定定理判断；

B.根据11//ABCD，得到1OAB为所成的角判断；C.由正方体的特征，得到BD⊥平面11AACC判断；D.由2221111AOCOAC+判断；【详解】如图所示：A.因为1111//O,OOCCOCC=，11AOCO是平行四边形，所以11//AOCO，因为1AO

平面11BDC，1CO平面11BDC，所以1//AO平面11BDC，故正确；B.因为11//ABCD，所以1OAB为所成的角，又BD⊥平面11AACC，则1BDAO⊥，设棱长为a，则1121,2,sin22BOaABaOAB===，因为10,2OAB，则130OAB

=，故正确；C.因为11111111111,,BDACBDAAACAAA⊥⊥=，所以BD⊥平面11AACC，则1BDAO⊥，故正确；D.因为11116,22AOCOaACa===，2221111AOCOAC+，所以11,AOCO不垂直，则1AO与平面1BDC不垂直，故错误

；故选：ABC10.已知函数()()ln,02,2xxefxfexexe=−，若函数()()Fxfxax=−有4个零点，则a的可能的值为（）A.1eB.12C.13D.14【答案】CD【解析】【分析】求得()fx解析式，令()0Fx=，将问题转化为()fx的图象与()gx

ax=的图象有四个不同的交点来求解出a的取值范围，由此确定正确选项.【详解】当2exe时，2exe−−−，所以02exe−，所以()()ln,0ln2,2xxefxexexe=−

.令()()0Fxfxax=−=，得()fxax=，依题意，()fx的图象与()gxax=的图象有四个不同的交点，画出()fx和()gxax=的图象如下图所示.当1xe时，()lnfxx=，则()1fxx=，所以()1fee=

，()1fe=，所以过(),1e的切线方程为()11yxee−=−，即1yxe=，故此时切线方程过原点.也即1yxe=与()fx只有3个公共点，不符合题意.所以由图可知，要使()fx的图象与()gxax=的图象有四个不同的交点，需()()0agefe，即0101aaaee

，故CD正确，AB错；故选：CD.【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分

离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.11.已知点11,2P，O为坐标原点，A，B为曲线C：21

2yx=上的两点，F为其焦点.下列说法正确的是（）A.点F的坐标为1,02B.PAF△周长的最小值为9658+C.若P为线段AB的中点，则直线AB的斜率为－2D.若直线AB过点F，且PO是AF与

BF等比中项，则10AB=【答案】BD【解析】【分析】由曲线方程可判断A，利用抛物线定义可判断B，利用点差法可判断C，利用焦点弦公式及韦达定理可判断D.【详解】由曲线C：212yx=，则焦点为1,08F，故A错误；由曲线C：212yx=，可知其准线为1:8lx=−，设A到准线的距离为

d，则dAF=，所以PAF△周长为PFPAd++，当PAl⊥时，PAd+取得最小值19188−−=，PAF△周长取得的最小值为229111+08829658+−−=+，故B正确；若P为线段AB的中点，设()(),,,AABBAxyBxy，则

2211,22AABByxyx==，1AByy+=，所以221122ABAByyxx−=−，所以()1122ABABABAByykxxyy−===−+，故C错误；若直线AB过点F，且PO是AF与BF等比中项，则AF22215124OFPB

=+==，设()()1122,,,AxyBxy，则118AFx=+，218BFx=+，∴()12121211115888644xxxxxx++=+++=，的设1:8ABykx=−

，代入212yx=，得2222104264kkkxx−++=，所以12164xx=，∴()121115648644xx+++=，即12394xx+=，∴12139110444ABxx=++=+=，故D正确.故选：BD.12.已知函数()fx及其导函数()fx的

定义域均为R，记()()gxfx=，若322fx−，(2)gx+均为偶函数，则（）A.(0)0f=B.102g−=C.(1)(4)ff−=D.(1)(2)gg−=【答案】BC【解析】【分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数

的性质逐项判断即可得解.【详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究对于()fx，因为322fx−为偶函数，所以332222fxfx−=+即3322fxfx−=+①，所以()()3fxfx−=，所以()fx关于32x=对称，则(1)

(4)ff−=，故C正确；对于()gx，因为(2)gx+为偶函数，(2)(2)gxgx+=−，(4)()gxgx−=，所以()gx关于2x=对称，由①求导，和()()gxfx=，得333333222222fxfxfxfxgxgx

−=+−−=+−−=+，所以()()30gxgx−+=，所以()gx关于3(,0)2对称，因为其定义域为R，所以302g=，结合()gx关于2x=对称，从而周期3

4222T=−=，所以13022gg−==，()()()112ggg−==−，故B正确，D错误；若函数()fx满足题设条件，则函数()fxC+（C为常数）也满足题设条件，

所以无法确定()fx的函数值，故A错误.故选：BC.[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.由方法一知()gx周期为2，关于2x=对称，故可设()()cosπgxx=，则()()1sinππfxxc=+，显然A，D错误，选BC.故选：BC.[方法三

]：因为322fx−，(2)gx+均为偶函数，所以332222fxfx−=+即3322fxfx−=+，(2)(2)gxgx+=−，所以()(

)3fxfx−=，(4)()gxgx−=，则(1)(4)ff−=，故C正确；函数()fx，()gx的图象分别关于直线3,22xx==对称，又()()gxfx=，且函数()fx可导，所以()()30,32ggxgx=−

=−，所以()(4)()3gxgxgx−==−−，所以()(2)(1)gxgxgx+=−+=，所以13022gg−==，()()()112ggg−==−，故B正确，D错误；若函数()fx满足题设条件，则函数()fxC+（C为常数）也满足题设

条件，所以无法确定()fx的函数值，故A错误.故选：BC.【整体点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法；方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．第II卷（非选择题）三、填

空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.设a为非零常数，已知2621axxxx+−的展开式中各项系数和为4，则展开式中常数项等于________.【答案】132−【解析】【分析】利

用已知条件可得出a的值，可写出二项展开式通项，令x的指数为0，求出参数的值，代入通项即可得解.【详解】0a，由于2621axxxx+−展开式中各项系数和为4，则()62214a−=，11a−=，解得0a=（舍去）或2a=，则266446626221222

12122axxxxxxxxxxxxxxxxxx+−−−−−=++=++，62xx−的展开式通项为()66216622mmmmmmmACxCxx−−+

=−=−，642xxx−的展开式通项为()()46210216622kkkkkkkBxCxCx−−+=−=−，62xxx−的展开式通项为()()627216622rrrrrrrTxCxC

x−−+=−=−，6212xxx−的展开式通项为()()62421662122nnnnnnnRCxCxx−−+=−=−.令1020720420krn−=−=−=，解得5722krNn===，因此，2621axxxx

+−展开式中的常数项为()()52526622132CC−+−=−.故答案为：132−.【点睛】方法点睛：两个二项式乘积的展开式中的特定项问题：（1）分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点；（2）找到

构成展开式中特定项的组成部分；（3）分别求解在相乘、求和即可.的14.已知圆1C：22()1xay−+=和2C：222240xybyb+−+−=恰好有三条公切线，则2268abab+−−的取值范围是__

_________.【答案】[21,39]−【解析】【分析】首先结合已知条件和圆与圆的位置关系求出a与b的关系式，从而得到(,)ab为229xy+=上一点，再利用2268abab+−−的几何意义以及定点到圆上一点的最值求法即可求解.【详解】由题意，2C：222240xybyb+

−+−=的方程可化为22()4xyb+−=，故2C是以圆心为(0,)b，半径为2的圆；因为圆1C和圆2C恰好有三条公切线，所以圆1C和圆2C相外切，又因为圆1C：22()1xay−+=，所以圆1C的圆心为(,

0)a，半径为1，从而22(0)(0)12ab−+−=+，化简得，229ab+=，即(,)ab为229xy+=上一点，不妨令222268(3)(4)25zababab=+−−=−+−−由两点间距离公式可知，22(3)(4)tab=−+−可表示为229xy+=上一点(,)ab到(3,4)的距离，因为

229xy+=是以圆心为(0,0)，半径为3的圆，所以圆心到(3,4)的距离为22(30)(40)5d=−+−=，故22(3)(4)tab=−+−的最大值为38d+=，最小值为32d−=，从而28t，因2

22(3)(4)2525zabt=−+−−=−，所以2139z−，即2268abab+−−的取值范围是[21,39]−.故答案为：[21,39]−.15.过点()1,0作曲线exy=的两条切线，则这两条切线的斜率之和为______.【答案】2e1−【解析】

为【分析】考虑0x与0x时，设出切点坐标，求出相应的切线方程，将()1,0代入，得到相应的斜率，相加得到答案.【详解】0x时，exy=，设切点()11,exx，则11e,exxyk==，切线()1111:eexxlyxx−=−过()1,0，()111ee1xxx−=−，21

12,exk==，0x时，exy−=，切点()22,exx−，22e,exxyk−−=−=−，切线()2222:eexxlyxx−−−=−−过()1,0，()222ee1xxx−−−=−−，220,1xk==−，故212e1kk+=−.故答案为：2e1−

.16.已知椭圆C：2214xy+=的左､右焦点分别是1F，2F，过点1F的直线交椭圆于A，B两点，则2ABF△的内切圆面积的最大值为___________.【答案】4【解析】【分析】设直线AB的方程为3xty=−，()11,Axy，()22,Bxy，直

线方程代入椭圆方程应用韦达定理得1212,yyyy+，由2121212ABFSFFyy=−△示面积，并变形后应用基本不等式得最大值，从而可得内切圆半径最大值，即得面积最大值．【详解】解：直线AB的斜率不能为0，但可不

存在.设直线AB的方程为3xty=−，()11,Axy，()22,Bxy，由22314xtyxy=−+=，得()2242310tyty+−−=，122234tyyt+=+，12214yyt=−+，则2121212ABFSFFyy=−()2121212342yyyy=+−222231

3444ttt−=−++()2221434tt+=+()22214313tt+=++()()22221431619ttt+=++++221439161tt=++++()2214392161tt+++2=

（当且仅当2t=时等号成立）.设2ABF△的内切圆半径为r，2248AFBFABa++==，则()22122AFBFABr++，12r，则2ABF△的内切圆面积的最大值为2124=

.故答案为：4．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.函数3()23xfxx=+，数列{}na满足111,(),nnaafanN++==.（1）求证：数列1{}na是等差数列；（2）令1112(2),3,nnnnnbaanbSbbb−=

==+++，若20032nmS−对一切Nn+成立，求最小正整数m．【答案】（1）详见解析（2）2012【解析】【分析】（1）通过两边取倒数进行变形构造，再利用定义法证明.（2）利用裂项相消法求和，再利用函数方法研究最值来处理恒成立问题.【

详解】（1）13()23nnnnaafaa+==+，Nn+，两边取倒数得：12312133nnnnaaaa++==+，Nn+所以11123nnaa+−=，Nn+所以数列1na为等差数列，公差为23，首项为111a=.（2）因为数列1na

为等差数列，公差为23，首项为111a=所以12(112113)3nnnaa−=+=+，所以321nan=+.所以13311·2121221219nnnbaannnn−===−+−−+，2n，又13b=，也满足上式.所以91122121nbnn=−−+

，Nn+所以12nnSbbb=+++91111111(1+)233523212121nnnn=−+−++−−−−−+…911221n=−+所以92nS，因为20032nmS−对一切Nn+成立，所以2003922m−，解得2012m.所以最小正整数m为2012.1

8.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3sincossin22aabABB=+．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若2,3ac==，求b和cosA的值．【答案】（Ⅰ）3B=；（Ⅱ）7b=，cos727=A.【解析】【分析】（1）由正弦定理，结合已

知可得3sincossin22aaaBBB=+得tanB，即可求角B；（2）由余弦定理求b，再结合已知求sinA，应用同角三角函数关系、三角形内角和性质求cosA即可.【详解】（Ⅰ）在ABC中，由正弦定sinsin

abAB=，可得sinsinbAaB=，又由3sincossin22aabABB=+，得3sincossin22aaaBBB=+，即tan3B=．又(0,)B，所以3B=．（Ⅱ）在ABC中，2,3,3===πacB，由余弦定理，有22

22cos7bacacB=+−=，则7b=．又3sincossin22aabABB=+，有137sin3322A=+=，得3sin7A=．由ab即03A，故227cos77A==.【点睛】本题考查了正余弦定理，应用正弦定理边角互化、同角三角函数关系、三角形内角和性质，属于基础题.19.

如图，直三棱柱111ABCABC-的底面是边长为2的正三角形，EF，分别是1,BCCC的中点（1）证明：平面AEF⊥平面11BBCC（2）若直线1AC与平面11AABB所成的角为45，求点C到面AEF的距离.【答案】（1）证明见解析（2）33【解析】【分析】（1）可通过证明⊥AE平面1

1BBCC得到要求证的面面垂直.（2）设AB的中点为D，连接CD，可得11222322ADACCD===，利用1RtAAD△可得12AA=，从而22CF=，利用等积法可求C到平面AEF的距离.【小问1详解

】如图，因为三棱柱111ABCABC-是直三棱柱，所以平1BB⊥面ABC，因为AE平面ABC，所以1AEBB⊥，又E是正三角形ABC的边BC的中点，所以AEBC⊥，1BCBBB=，1,BCBB平面11BBCC，因此⊥AE平面11BBCC，而AE平面AEF，所以平面AE

F⊥平面11BBCC.【小问2详解】设AB的中点为D，连接1,ADCD，因为ABC是正三角形，所以CDAB⊥，又三棱柱111ABCABC-是直三棱柱，1AA⊥面ABC，CD面ABC，所以1CDAA⊥，而1ABAAA=，1,ABAA平面11AAB

B，因此CD⊥平面11AABB，于是1CAD直线1AC与平面11AABB所成的角.由题设知145CAD=，所以1332ADCDAB===.在1RtAAD△中，2211312AAADAD=−=−=，所以11

222FCAA==.由（1）知AEF△为直角三角形，且22123231224AEFS=+=，故13234CAEFVd−=，又12113322CAEFFAECVV−−==，所以33d=.20.为了解某校学生参加社区服务的情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查．已

知该校共有学生960人，其中男生560人，从全校学生中抽取了容量为n的样本，得到一周参加社区服务的时间的统计数据如下表：超过1小时不超过1小时男208女12m（1）求m，n；（2）能否有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关？（3）以样本中学生参加社区服务时间超过1小

时的频率作为该事件发生的概率，现从该校学生中随机调查6名学生，试估计6名学生中一周参加社区服务时间超过1小时的人数．附：()2PKk0.0500.0100.001k3.8416.63510.828()()()()()22nadbcK

abcdacbd−=++++【答案】（1）8m=，48n=（2）没有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关（3）估计这6名学生中一周参加社区服务时间超过1小时的人数是4人【解析】【分析】（1）根据

分层抽样比例列方程求出n的值，再计算m的值；（2）根据题意完善2×2列联表，计算K2，对照临界值表得出结论；（3）计算参加社区服务时间超过1小时的频率，用频率估计概率，计算所求的频数即可．【详解】（1）根据分层抽样法，抽样比例为208960560n+=，∴n＝48；

∴m＝48﹣20﹣8﹣12＝8；（2）根据题意完善2×2列联表，如下；超过1小时不超过1小时合计男生20828女生12820合计321648计算K2()24820812832162028−=0.6857＜3.8

41，所以没有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关；（3）参加社区服务时间超过1小时的频率为322483=，用频率估计概率，从该校学生中随机调查6名学生，估计这6名学生中一周参加社区服务时间超过1小时的人数为623=4（人）．【点睛】本

题考查了列联表与独立性检验的应用问题及用频率估计概率的应用问题，考查了运算能力，属于中档题．21.已知抛物线21:4Cyx=和22:2(0)Cxpyp=的焦点分别为1F,2F,1C,2C,交于O,A两点(O为坐标原点),且12FFOA⊥.（1）

求抛物线2C的方程;（2）过点O的直线交1C,下半部分于点M,交2C的左半部分于点N,点P的坐标为()1,1−−,求PMN面积的最小值.【答案】（1）24xy=（2）8【解析】【详解】试题分析：（1）由已知

条件推导出121,2pFF=−，由12FF0OA=，解得112pyx=，结合点在抛物线上得到P=2.（2）设过O的直线方程为y=kx，联立24ykxyx==，得M（244,kk），联

立24ykxxy==，得N（4k，4k2），由此利用点到直线的距离公式能求出△PMN面积表达式，再换元法求得函数的最值．（1）设()111,(0)Axyx，有21121142yxxpy==①，由题意知，()11,0F

，20,2pF，∴121,2pFF=−∵12FFOA⊥，∴12FF0OA=，有1102pxy−+=，解得112pyx=，将其代入①式解得114,4xy==，从而求得2p=，所以2C的方程为24xy=.（2）联立24y

kxyx==得244,Mkk，联立24ykxxy==得()24,4(0)Nkkk，从而2222441414MNkkkkkk=+−=+−，点()1,1P−−到直线MN距离211kdk−=+，进而2221141421PMNkSkkkk−=+−

+的()()()()2322211211112221kkkkkkkkkkk−−−++===+−++令()12tktk=+−，有()()221PMNStt=−+，当2t=−，即1k=−时，即当过原点直线为yx=−时，△P

MN面积取得最小值8.点睛：本题考查抛物线方程的求法，考查三角形面积的最小的求法，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．在求三角形面积时常用的方法有，先看三角形中是否有定长，底或者高是否为定长；能否进行面积分割

，等能使得计算简单一些．22.已知函数()nfxnxx=−，xR．其中nN．2n…．（1）讨论()fx的单调性；（2）设曲线()yfx=与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为()ygx=，

求证：对于任意的正实数x，都有()()fxgx„；（3）设5n=，若关于x的方程()(fxaa=为实数）有两个正实根1x，2x，求证：21||24axx−−．【答案】（1）当n为奇数时，()fx在(,1)−−

，(1,)+上单调递减，在(1,1)−单调递增；当n为偶数时，()fx在(,1)−单调递增，在(1,)+上单调递减；（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求导后，分n为奇数和n为偶数两种情况下求单调区间；（2）求出P点坐标，得到()ygx=

，构造函数()()()Fxfxgx=−，求导后研究其单调性和极值，证明出结论；（3）利用第一问和第二问的结论进行证明，用二项式定理进行适当放缩，证明出结论.【小问1详解】由()nfxnxx=−，可得11()(1)nnfxn

nxnx−−=−=−，其中nN，且2n…．下面分两种情况讨论：①当n为奇数时，令()0fx=，解得1x=，或=1x−，当x变化时，()fx，()fx的变化情况如下表：x(,1)−−(1,1)−(1,)+()fx−+−

()fx递减递增递减所以，()fx在(,1)−−，(1,)+上单调递减，在(1,1)−单调递增；②当n为偶数时，当()0fx，即1x时，函数()fx单调递增；当()0fx，即1x时，函数()fx单调递减；所以

，()fx在(,1)−单调递增，在(1,)+上单调递减；【小问2详解】证明：设点P的坐标为0(x，0)，则110nxn−=，20()fxnn=−，曲线()yfx=在点P处的切线方程为00()()yfxxx=−，即00

()()()gxfxxx=−，令()()()Fxfxgx=−，即00()()()()Fxfxfxxx=−−，则0()()()Fxfxfx=−．由于1()nfxnxn−=−+在(0,)+上单调递减，故()Fx在(0,)+

上单调递减，又因为00()Fx=，所以当0(0,)xx时，()0Fx，当()0,xx+时，()0Fx，所以()Fx在0(0,)x内单调递增，在()0,x+上单调递减，所以对应任意的正实数x，都有0()()0FxFx=„，即

对于任意的正实数x，都有()()fxgx„．【小问3详解】证明：不妨设12xx„，由（2）知20()()()gxnnxx=−−，设方程()gxa=的根为3x，可得032axxnn=+−，由（2）知223()()()gxfxagx==…，可得32xx„．类似地，设曲线()yfx=在原点处的切

线方程为()yhx=，可得()hxnx=，当,()0x+，()()0nfxhxx−=−，即对于任意的,()0x+，()()fxhx，设方程()hxa=的根为4x，可得4axn=，因为()hxnx=

在(,)−+上单调递增，且141()()()hxafxhx==，因此41xx，由此可得：420311axxxxxn−−=+−，因为2n…，所以11112(11)111nnnCnn−−−=++=+−=…，故：1102nnx−=…．则21||

21axxn−+−，所以当5n=时，即有21||24axx−−．【点睛】导函数研究函数单调性，结合极值，最值等求参数取值范围，证明不等式等，是有力的工具，往往需要构造出新函数，或者借助切线方程进行切线放缩达到目的，本题中就用到了此类只是，本题第三问难点在于要用到二项式定理进行适当放缩

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