【文档说明】湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024届高三下学期5月考前测试数学试卷 Word版含解析.docx，共(17)页，1.159 MB，由小赞的店铺上传

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2024届高三年级高考考前素养卷数学试题总分：150分，考试时间：120分钟命审题：数学核心素养小组一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.设复数23i

i1iz−+=−−，则z的虚部是（）A.1B.-1C.iD.i−2.设双曲线C：22221xyab−=（0a，0b）的右焦点为F，过F作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为H，若2FHFOa=（O为坐

标原点），则双曲线C的离心率为（）A.3B.3C.2D.23.若命题“1,3a，()2220axax+−−”是假命题，则x不能等于（）A.1−B.0C.1D.234.若函数()()sin2fxx=+（0π）向左正移个单位后在区间π0,2

上单调递增，则=（）A.π3B.π2C.π6D.2π35.已知数列na的前n项和为nS，若nSn是等差数列，且100S=，63218SS=+，则1a=（）A.1B.9−C.10D.10−6.如图，在ABC△中，90ACB=，1AC

BC==，D是CB边的中点，过点C作CEAD⊥于点E，延长CE交AB于点F，则BF=（）A.34B.32C.23D.537.01229292929291223343031CCCC++++=（）A.30231930−B.31232930−C

.30231870−D.31232870−8.如图所示是一个以AB为直径，点S为圆心的半圆，其半径为4，F为线段AS的中点，其中C，D，E是半圆圆周上的三个点，且把半圆的圆周分成了弧长相等的四段，若将该半圆围成一个以S为顶点的圆锥的侧面，则在该

圆锥中下列结果正确的是（）A.CEF△为正三角形B.SA⊥平面CEFC.//SD平面CEFD.点D到平面CEF的距离为23二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分.9.设函数()321222fxxxx

=−+，则下列结论正确的是（）A.存在实数0x使得()()00fxfx=B.方程()3fx=有唯一正实数解C.方程()1fx=−有唯一负实数解D.()1fx=有负实数解10.已知随机事件A，B满足()()14PABPAB==，()1PAB+=，则下

列结论正确的是（）A.()()PAPB=B.()34PA=C.()()PBAPB=D.()13PAB=11.设点()11,Axy（10x）是抛物线24yx=上任意一点，过点A作抛物线24xy=的两条切线，分别交抛物

线24yx=于点()22,Bxy和点()33,Cxy，则下列结论正确的是（）A.()12128yyyy+=−B.1230yyy++=C.12316yyy=D.直线BC与抛物线24xy=相切三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知曲线()2lnxxafx=+在点()()

1,1f处的切线的倾斜角为π3，则a的值为______.13.已知0xa，0ya，若有且只有一组数对();xy满足不等式()()()()2222222222xyxayxyaxaya++−+++−+−+−，则实数a的取值集合为______.14.

在三棱锥中PABC−，22ABBC==，且ABBC⊥.记直线PA，PC与平面ABC所成角分别为，，已知260==，当三棱锥PABC−的体积最小时，则三棱锥PABC−外接球的表面积为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步

骤.15.（13分）在等差数列na（*nN）中，1211aa+=，310a=.（1）求na的通项公式；（2）若121nnnnbaaa++=，数列的nb前n项和为nT，证明1168nT.16.（15分）如图1，在矩形AB

CD中，2AB=，23BC=，将ABD△沿矩形的对角线BD进行翻折，得到如图2所示的三棱锥ABCD−，且ABCD⊥.图1图2（1）求翻折后线段AC的长；（2）点M满足2AMMD=，求CM与平面ABD所成角的正弦值.17.（15分）已知函数

()2eexfxax=+−，aR.（注：e2.71828=是自然对数的底数）（1）若()fx无极值点，求实数a的取值范围；（2）当0x时，()31e12fxxx+−+恒成立，求实数a的取值范围.18.（17分）已知椭圆C：2222

1xyab+=（0ab）的半长轴的长度与焦距相等，且过焦点且与x轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为3.（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线0l：220xy+−=与椭圆C交于A，B两点，过点()2,3P的直线交椭圆C于E，F两点（E在靠近P的一侧）（ⅰ）求PEPF的取值范围；（ⅱ）

在直线0l上是否存在一定点M，使EMAFMA=恒成立？若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由.19.（17分）泊松分布是一种重要的离散型分布，用于描述稀有事件的发生情况.如果随机变量X的所有可能取值为0，1，2…，且()!kPXkek−==，0,1,2,k=

其中0，则称X服从泊松分布，记作()XP.（1）设()XP，且()()12PXPX===，求()2PX=；（2）已知当20n，00.05p时，可以用泊松分布()Pnp近似二项分布(),Bnp，即对于(),XBnp，()YPnp，当k不太大时

，有()()PXkPYk==.（ⅰ）已知甲地区共有100000户居民，每户居民每天有0.00010的概率需要一名水电工.试估计某天需要至少2名水电工的概率；（ⅱ）在（ⅰ）的基础上，已知乙地区共有200000户居民，每户居民每天有0.00004的概率需要一名水电工.试估计某天两个地

区一起至少需要3名水电工的概率.2024届高三年级高考考前素养卷数学试题参考答案总分：150分考试时间：120分钟命审题数学核心素小组一、单选题，本题共8小题，每小题5分、共40分：在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求

的.1.【答案】A【解析】()()()()1i1i1ii1i1i1iz+++==−=−−+−+，则iz=，虚部是1，选A.2.【答案】D【解析】∵22cos,,oscFHFOFHFOFHFObcFHFOba====，∴222ca=，∴离心率2e=3

.【答案】C【解析】淘汰法或写出真命题，然后根据王元思想求出x的取值范围.4.【答案】B【解析】函数()()sin2fxx=+向左平移个单位后为()()sin23fxx+=+，当π0,2x时，233,π3x++，∵()()

sin23fxx+=+单调递增，且0π，∴3π32=，∴π2=.5.【答案】B【解析】设数列nSn的公差为d，首项为1a，∵63218SS=+，两边同除以6得：63363SS=+，∴33d=，解得1d=，又100S=，

即1019010Sad=+=，解得19a=−，故选：B.6.【答案】C【解析】（方法一）设AFAB=，∵ADCF⊥，∴0ADCF=，∴()02ACABAFAC+−=，∴()()0ACABABAC+−=

，∴()2210ABACABAC−+−=，∵1ACBC==，∴21AC=，22AB=，1ABAC=，代入解得23=，∴23AFAB=，∴1233BFAB==，故选C.（方法二）因为90ACB=，ACBC=，所以ABC△为等腰直角三角形，又因为1AC=，

AD为中线，所以1BC=，12CDBD==，所以222215122ADACCD=+=+=.因为CEAD⊥，所以90CED=，所以ADCEACCD=，即1152552ACCDCEAD==

=，所以22221552510DECDCE=−==−.过点F作FHCB⊥交CB于点H，所以90FHB=，因为tanDEFHFCBCECH==，设FHHBx==，则1CHx=−，所

以510155xx=−，解得13x=，∴23BF=.选C.7.【答案】B【解析】∵()()()()()2929!112!29!12kCkkkkkk=++−++()()()()23129!31!12!29!2!29!31303130kCkkkk+===+−+−.其中0,1,2

29k=，∴01229292929291223343031CCCC++++()310131233131313131312123230313031930CCCCC−−−=++==，选B.8.【答案】C【解析

】选项A，该半圆围成的圆锥，如图所示，设圆锥底面半径为r，则2π4πr=，∴2r=，∴4CE=，∵F为AS的中点，O为AS的中点，∴//FOSD，且122SOCE==，∴90CFE=，CEF△为等腰直角三

角形，选项A错误；选项B，若SA⊥平面CEF，则90AFO=，直角CEF△中，2AOOFAF===，∴60AFO=，选项B错误；选项C，∵//FOSD，∴//SD平面SAD，选项C正确；选项D，∵CEAD⊥，CESO⊥，∴CE⊥平面SAD，∴平面CEF⊥平面SAD，∴D到直线FO的

距离即为D到平面CEF的距离，又∵//FOSD，∴D到直线FO的距离等于O到直线SD的距离，为3，选项D错误；故正确选项为C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分.9.【答案】AB

C【解析】由题意可知，函数()()()232211122442222fxxxxxxxxx=−+=−+=−，而()()()12322fxxx=−−，结合图像易得.故正确选项为ABC.10.【答案】ABD【解析】∵()()()PAPABP

AB=+，∴()()()PABPAPAB=−，∵()()()PBPABPAB=+，∴()()()PABPBPAB=−，∵()()PABPAB=，∴()()()()PAPABPBPAB−=−，∴()()PAPB=，故A正确；∵()()()()1PABPAPBPAB+=+−=，∴()()21PABP

A=−，又∵()()()14PABPAPAB=−=解得()34PA=，()12PAB=，故B正确；()()()()132243PABPBAPBPA===，故C不正确；()()()141433PABPABPB===，故D正确；综上，选ABD11.【答案】BCD【解析】∵直线AB的斜率为1212

22121212444yyyykyyxxyy−−===−+−，∴直线AB的方程为()11124yyxxyy−=−+，即()212112144yyyyyyxx+−−=−，∵2114yx=，∴直线AB的方程为()12124yyyyyx−=

+，联立24xy=，消y得：()212121640yyxxyy+−−=，∵直线AB与抛物线24xy=相切，∴()21212Δ16160yyyy=++=，∴()121216yyyy+=，∴选项A错误；同理可得()131316yyyy+=

−，∴()()12121313yyyyyyyy+=+，∵10y，∴()()122133yyyyyy+=+整理得()()231230yyyyy−++=，∵23yy，∴1230yyy++=，∴选项B正确；由1230yy++=可得123

yyy+=−，代入()121216yyyy+=−得12316yyy=，∴选项C正确；将直线BC的方程与抛物线24xy=联立，同理可得()222323123Δ161616160yyyyyyy=++=−=，∴直线BC与抛物线24xy=相切，∴选项D正确：综上所述，正确选项为BCD.三

、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.【答案】31a=+【解析】：函数()2lnxfxxa=+的导数()12xfxxa=+，∵函数()fx在1x=处的倾斜角为π3，∴()2113fa=+=，

∴231a=−，∴31a=+13.【答案】1【解析】如图所示，0xa，0ya，(),0Aa，(),Baa，()0,Ca，(),Pxy，()()()()22222222xyxayxyaxaya++−+++−+−+−22POP

APCPBPOPBPAPCOBACa=+++=++++=∵有且只有一组数对(),xy满足不等式，∴1a=，a的取值集合为114.【答案】16π【解析】设点P在平面ABC内的投影为P，因为直线PA，

PC与平面ABC所成角分别为，，且260==，则30=，根据线面夹角关系可知3PPPC=，33PPPA=，所以3PCPA=，由阿波罗尼斯圆可知，投影P在圆上运动，以AC为x轴，过AC的中点O作

垂线，建立如图所示直角坐标系.令(),Pxy，由题可知()2,0A−，()0,2B，()2,0C.则()()2222322xyxy−+=++，化简得225924xy−+=，可知P在以5,02为圆心，半径为32的圆上，当PC最小时，PP最小，即三棱锥

PABC−的体积最小，此时()1,0P，min352122PC=−−=，min3P=，5PB=，∴P点在底面ABC上的射影P在AC上，且90APC=，又90ABC=∴此时三棱锥

PABC−的外接球的球心为AC的中点，外接球的半径122RAC==，224π4π216πSR===球表面积四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.【解析】（1）设等差数列n

a的公差为d，因为1231110aaa+==即11211210adad+=+=解得143ad==，所以()()1143131naandnn=+−=+−=+.所以数列na的通项公式为31nan=

+（2）∵31nan=+，∴()()()1211313437nnnnbaaannn++==+++（方法一）()()()1211313437nnnnbaaannn++==+++11111631343437nnnn=−++++∴11111111

831343437knknnTkkkk===−−−++++化简得：1111118434737nTnn=−−−++∴()()111168634

37168nTnn=−++（方法二）()()()()()121111313437343137nnnnbaaannnnnn++===++++++1111111116343137631343437nnnnnnn

=−=−+++++++∴111111111647710710101331343437nTnnnn=−+−+−++++111111111628343716863437168nnnn

=−=−++++16.【解析】（1）由ABCD⊥，BCCD⊥，ABBCB=，AB，BC平面ABC，可得CD⊥平面ABC，又AC平面ABC，则ACCD⊥，在RtACD△中，根

据勾股定理，()222223222ACADCD=−=−=（2）如图，过A点作AEBC⊥于点E，由（1）可知，平面BCD⊥平面ABC，交于BC，∴AE⊥平面BCD，∵22AC=，又2AB=，23BC=，∴ABC△为直角三角形，∴223ABACAEBC==如图，以CD为x轴，C

B为y轴，过C作AE的平行线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系则4220,,33A，()0,23,0B，()2,0,0D，有4222,,33AD=−−，()2,23,0BD=−，12842,,333333CM

CAAMCAAD=+=+=设平面ABD的法向量(),,mxyz=，则42220332230mADxyzmBDxy=−−==−=，令3x=，解得其中一个法向量13,1,2m=；于是，2814236333233cos,314643231292727mCMmCM

mCM++===++++，故CM与平面ABD所成角的正弦值为63.17.【解析】（1）（方法一）易知()e2xfxax=+，由()fx无极值点可知，()fx无变号零点，令e20xax+=（*），显然0a=时，（*

）无零点，此时()fx无极值点，满足题意；故（*）可变形得1e2xxa=−，令()exxgx=，原问题等价于()gx的图像与12ya=−无相交交点，又()()1exxgx−=，则(),1x−，()0gx

，()gx单调递增；()1,x+，()0gx，()gx单调递减；又x→−，()fx→−；x→+，()0fx→；()11ef=；故112ea−，解得e02a−，综上，e02a−（方法二）构建()()gxfx=，则()e2xgxa

=+①当0a时，()0gx当xR时恒成立，()gx在R上单调递增，因为121e102aga−−=−，()010g=，所以()gx有一个零点，即为()fx的一个极值点；②当0a=时，()0gx当xR时恒成立，即()fx无极值点；③当0a时，当()ln2xa−，(

)0gx；当()ln2xa−，()0gx，所以()gx在()(),ln2a−−单调递减，在()()ln2,a−+上单调递增，故()()()()minln222ln2gxgaaaa=−=−+−，若()min0gx，则()1ln20a−+−即e2a−.当0x时，()0gx

，当0x时，()()()()22ln242ln222ln2gaaaaaaa−=+−=−−−−，设()lnsttt=−，e2t，故()10tstt−=，故()st在e,2+上为增函数，故()eeeelnlln202222sts=−=−+，故()2

2ln20aaa−−−−，故当()()ln20ga−时，()gx有两个零点，此时()fx有两个极值点.当()()ln20ga−时，()0gx当xR时恒成立，即()fx无极值点；综上所述：e02a−（2）（方法一）由()31

e12fxxx+−+可知，321e12xxaxx−++，即3211e12xxaxx−−++，令()321e112xxxaxx−=−++−，易知()00=，则()()()()()211

e2342e22122xxxxxaxaxxxa−−=−−+++=−−−−，若210a+，即12a−时，则()0,2x，()0x，()x单调递增，()()00x=，不符合题意；若0212a+，即1122

a−时，则()0,21xa+，()0x，()x单调递减，()21,2xa+，()0x，()x单调递增，()2,x+，()0x，()x单调递减，又()00=，故令()2232217e42e22211

02eaa−−−=−++−=，解得27e4a−，即27e142a−，若212a+，即12a时，则()0,2x，()0x，()x单调递减，()2,21xa+，()0x，()x单调递增，()2

1,xa++，()0x，()x单调递减故令()()()()3221121212121112aaeaaaa−++=+−++++−()()2132112aeaa−+=++−记()()(

)2132112ahaeaa−+=++−，则()()()221e210ahaa−+=−−恒成立，故当12a时，()214102ehah=−，即()210a+，即对于任意12a，()0

x恒成立，综上所述，27e4a−（方法二）①当0x=时，不等式恒成立，可得aR；②当0x时，可得3211e2xxxax++−恒成立，设()3211e2xxxhxx++−=，则()()()()332233112e22e222xxxxxxxxxxhxxx−+

−−−+−+−−==()()()()()2233112e12e22122xxxxxxxxxxxx−−−−−+−+−+==.可设()21e12xmxxx=−−−，可得()e1xmxx=−−，设()e1xkxx=−−，()e1xkx=−，由0x，可得()0

kx恒成立，可得()kx在()0,+递增，()mx在()0,+递增，所以()()00mxm=，即()0mx恒成立，即()mx在()0,+递增，所以()()00mxm=，再令()0hx=，可得2x=，当02x时，()0hx

，()hx在()0,2递增；2x时，()0hx，()hx在()2,+递减，所以()()2max7e24hxh−==，所以27e4a−，综上可得a的取值范围是27e,4−+.18.【解析】（1）2222223231acababbca==

−====，则C：22143xy+=.（2）设直线EF：23xmym=+−，()11,Exy，()22,Fxy联立22143xy+=，得()21222221221812343412273634mmyymmyty

mmyym−+=+++=−=+，122212216243424481634mxxmmmxxm−+=+−+=+且()()22144482319228820mmmm=−−+=−−，则()0,2mⅰ）则()()()2121212122

112121862333393yyyyyyPEPFyyPFPEyyyyyy−+++−−−+=+=−−−++222222222222181218122736186234343421632273618123334933434mmmmmmmmmmmmmmmmm−−−−+

−++++==−+−−++−+++设()322,8mt+=，则()22211016162,163332124PEPFtPFPEttt+=−+=−+−++−.则1,13PEPF.ⅱ）设()00,Mxy，则0022xy=−.设直线EM，F

M：()100ykxxy=−+，()200ykxxy=−+，由EMAFMA=，则A到直线EM，FM的距离相等，即()()10020022122211kxykxykk−+−+=++.代入000122MAykx−==−−

，化简得()12124340kkkk−+−=.则01020102010201024340yyyyyxyyxyxxxxxx−−−−−+−=−−−−，通分并整理得()()()()20012120001201243223yyyyyyxyyxxmxyy−++−−++−−+

()212001212240myyxxxxxx+−−++=.代入得()()2220000002221812273616244322223343434mmmmmyyyyyymmmm−−−−+−−−+−+++

()()2222002222181227361624244816242222034343434mmmmmmmmyymmmm−−−−++−−−−+=++++.化简得()()02530mmy−−=.故035y=.则43,55M

.（注：其他解法对照给分）19.【解析】：（1）由()()13PXPX===得3ee6−−=，解得6=.故()()26662e3e2!PX−−===.（2）（ⅰ）设1X为甲地区某天需要的水电工数目，则10,1,2,X=，且()1100000,0.0001

0XB.因为110000020n=，100.000100.05p=，111000000.0001010np==，所以()()111110110ee!!kknpnpPXkkk−−==.那么，某天至少需要2名水电工的概率约为()()()

10101011121011e10e111ePXPXPX−−−=−=−=−−=−（ⅱ）设2X为乙地区某天需要的水电工数目，则20,1,2,X=，且()2200000,0.00004XB.因为220000020n=，200.000040.05p=，222000000.00004

8np==，所以()()2222828ee!!kknpnpPXkkk−−==.于是()()()()12121200,kkiiPXXkPXiXkiPXiPXki==+====−===−()()()11810800!!108eee108!!!

!!ikkkikiiikkiikikiki−−−−−==−=−−()1818180ee18108108e!!!kkkiikikiCkkk−−−−===+=.那么，某天两个地区一起至少需要3名水电工的概率约为()()()()1212121231012

PXXPXXPXXPXX+=−+=−+=−+=181818181e18e162e1181e−−−−−−−=−.