【文档说明】《【补习教材+寒假作业】九年级数学（苏科版）》练习13 二次函数与一元二次方程（解析版）.docx，共(17)页，180.300 KB，由管理员店铺上传

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1练习13二次函数与一元二次方程1．如图，二次函数y＝（x+2）2+m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称．已知一次函数y＝kx+b的图象经过二次函数图象上的点A（﹣1，0）及点B．（1）求二次函数的解析式．（2）根据图象，写出满足（

x+2）2+m≥kx+b的x取值范围．【分析】（1）先利用待定系数法先求出m，即可求得二次函数的解析式；（2）求出点B坐标，根据图象即可写出自变量x的取值范围．【解答】解：（1）∵抛物线y＝（x+2）2+m经过点A（﹣1，0），∴0＝1+m，∴m＝

﹣1，∴抛物线解析式为y＝（x+2）2﹣1；（2）把x＝0代入y＝（x+2）2﹣1得y＝3，∴点C坐标（0，3），∵对称轴x＝﹣2，B、C关于对称轴对称，∴点B坐标（﹣4，3），由图象可知，写出满足（x+2）2+m≥kx

+b的x的取值范围为x≤﹣4或x≥﹣1．【点评】本题考查二次函数与不等式、待定系数法等知识，解题的关键是熟练运用待定系数法求解析式，学会利用图象根据条件确定自变量取值范围．2．（1）若关于x的方程（a﹣1）x2﹣2x+1＝0有实数根，求a的取值范围．2（2）

若x1，x2是关于x的方程kx2+（k+2）x+𝑘4=0的两实数根，且k|𝑥2𝑥1|＝kx1﹣12x2+2，求k的值．（3）若x1，x2，x3，是关于x的方程x（x﹣2）2＝t的三个实数根，且x1＜x2＜x3；则x3﹣x1的最大

值为4√33．【分析】（1）分a﹣1＝0和a﹣1≠0两种情况考虑，当a﹣1＝0时，可求出一元一次方程的根；当a﹣1≠0时，根据△≥0即可找出a的取值范围．综上即可得出结论；（2）由根与系数关系以及一元二次方程的解的定义得出x1+x2=−𝑘+2𝑘，x1x2=14＞0，kx12＝﹣（k+

2）x1−𝑘4，那么|𝑥2𝑥1|=𝑥2𝑥1，kx12＝﹣（k+2）x1−𝑘4．将它们代入k|𝑥2𝑥1|＝kx1﹣12x2+2，整理得出kx2＝﹣（k+2）x1−𝑘4−12x1x2+2x1，解方程即可求出k的值；（3）由题

意得：x（x﹣2）2﹣t＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x﹣x3），将等式两边分别整理，再比较对应项的系数可得x1+x3＝4﹣x2，x3x1＝4﹣（x1+x3）x2，x3x1=𝑡𝑥2，然后由（x3﹣x1）2＝（x3+x1）2﹣4x3x1及配方法得出（x3﹣x1）2的最大值，再开

平方，求其算术平方根即可．【解答】（1）①a＝1，方程为一元一次方程，必有一根；②a≠1，方程为一元二次方程，△＝（﹣2）2﹣4×（a﹣1）＝4﹣4a+4＝8﹣4a≥0，解得a≤2，即a≤2且a≠1，综上，a≤2．（2）∵x1，x2是关于x的方程kx2+（k+2）x+

𝑘4=0的两实数根，∴x1+x2=−𝑘+2𝑘，x1x2=𝑘4𝑘=14＞0，kx12+（k+2）x1+𝑘4=0，∴x1，x2同号，kx12＝﹣（k+2）x1−𝑘4．∵k|𝑥2𝑥1|＝kx1﹣12x2+2，∴kx2＝kx12

﹣12x1x2+2x1，∴kx2＝﹣（k+2）x1−𝑘4−12x1x2+2x1，∴k（x1+x2）+𝑘4+12x1x2＝0，∴﹣（k+2）+𝑘4+3＝0，解得k=43．△＝（k+2）2﹣4k×𝑘4≥0，解得k≥﹣1．∵二次项系数不为零k≠

0，3∴k≥﹣1且k≠0．∴k=43．（3）由题意得，x（x﹣2）2﹣t＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x﹣x3），∴x3﹣4x2+4x﹣t＝x3﹣（x1+x2+x3）x2+（x1x2+x2x3+x3x1）x﹣x1x2x3，∴x1+x2+x

3＝4，x1x2+x2x3+x3x1＝4，x1x2x3＝t，∴x1x2+x2x3+x3x1的值为4，∵x1+x2+x3＝4，∴x1+x3＝4﹣x2，∵x1x2+x2x3+x3x1＝4，∴x3x1＝4﹣（x1+x3）x2，∵x1x2x3＝t，∴x3x1=�

�𝑥2，∵（x3﹣x1）2＝（x3+x1）2﹣4x3x1∴（x3﹣x1）2＝（4﹣x2）2﹣4[4﹣（x1+x3）x2]＝﹣3x22+8x2＝﹣3（x2−43）2+163≤163，∴当x2=43时，x3﹣x1的最大值为：√163=4√

33．∴x3﹣x1的最大值为4√33，故答案4√33．【点评】本题考查了根与系数的关系在整式求值中的应用，明确根与系数的关系并熟练运用完全平方公式及配方法是解题的关键．3．如图，已知二次函数y＝﹣x2+（a+1）x﹣a与x轴交于A，B两

点（点A位于点B的左侧），点A的坐标为（﹣3，0），与y轴交于点C．（1）求a的值与△ABC的面积；（2）在抛物线上是否存在一点P，使S△ABP＝S△ABC．若存在请求出P坐标，若不存在请说明理由．4【分

析】（1）由y＝﹣x2+（a+1）x﹣a，令y＝0，即﹣x2+（a+1）x﹣a＝0，可求出A、B坐标，结合点A的坐标为（﹣3，0），解出a＝﹣3，进而求出△ABC的面积；（2）根据题意得点P的纵坐标为±3，分别代

入解析式即可求得横坐标，从而求得P的坐标．【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+（a+1）x﹣a，令x＝0，则y＝﹣a，∴C（0，﹣a），令y＝0，即﹣x2+（a+1）x﹣a＝0解得x1＝a，x2＝1，由图象知：a＜0，∴A（a，0），B（1，0），∵点A的坐标为（﹣3

，0），∴a＝﹣3，AB＝4，∴OC＝3，∴S△ABC=12AB•OC=12×4×3=6；（2）∵a＝﹣3，∴C（0，3），∵S△ABP＝S△ABC．∴P点的纵坐标为±3，把y＝3代入y＝﹣x2﹣2x+3得﹣x2﹣2x+3＝3，解得x＝﹣2或x＝0（与点C重合，舍去）；把y＝﹣3代入y＝﹣x

2﹣2x+3得﹣x2﹣2x+3＝﹣3，解得x＝﹣1+√7或x＝﹣1−√7，∴P点的坐标为（﹣2，3）或（﹣1+√7，﹣3）或（﹣1−√7，﹣3）．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，求得交点坐标是解题的关键．4

．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与坐标轴交于A，B，C三点，其中A（﹣1，0），C（0，3）．5（1）求该抛物线的表达式；（2）根据图象，写出y＞0时，x的取值范围；（3）平移该抛物线，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移方式及

平移后的函数表达式．【分析】（1）把A点和B点坐标分别代入y＝﹣x2+bx+c得到关于b、c的方程组，然后解方程组即可；（2）先解方程﹣x2+2x+3＝0得B点坐标，然后写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围即可；（3）先利用配方法得到抛

物线的顶点坐标，然后把抛物线的平移问题转化为点的平移问题．【解答】解：（1）把A（﹣1，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c得{−1−𝑏+𝑐=0𝑐=3，解得{𝑏=2𝑐=3，抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+

3；（2）当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴B点坐标为（3，0），当﹣1＜x＜3时，y＞0；（3）∵y＝﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线的顶点坐标为（1，4），∴把抛物线先向左平移1个单位，再向下平移4个单位，抛物线的顶点恰

好落在原点，此时抛物线解析式为y＝﹣x2．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次

函数的性质和二次函数图象的几何变换．5．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，图象交x轴于A（3，0）、B（﹣1，0）两点，交y轴于点C（0，3），根据图象解答下列问题：（1）

直接写出方程ax2+bx+c＝0的两个根；（2）直接写出不等式ax2+bx+c＞0的解集；（3）直接写出不等式ax2+bx+c＜3的解集．6【分析】（1）根据图象与x轴的交点坐标，即可求解；（2）根据图象即可求得；（3）点C（0，3），则点C关于对称轴的对称点为：（2，3），即

可求解．【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于A（3，0）、B（﹣1，0）两点，∴ax2+bx+c＝0的两个根为x1＝3、x2＝﹣1；（2）由图象可知，不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣1＜x＜3；（3）∵点C（0，3）

，∴点C关于对称轴的对称点为：（2，3），∴不等式ax2+bx+c＜3的解集为x＜0或x＞2．【点评】本题考查的是二次函数与不等式（组），主要要求学生通过观察函数图象的方式来求解不等式．6．已知二次函数y＝（ab﹣2b）x

2+2（b﹣a）x+2a﹣ab．（1）求自变量x＝1时的函数值；（2）若a＝7，b＝1，求该二次函数的图象与x轴公共点的坐标；（3）若该二次函数的图象与x轴有且只有一个公共点，求1𝑎+1𝑏的值．【分析】（1）把x＝1代入抛物线的解析式求值即可解决问题；（2）求

出抛物线的解析式，令y＝0，解方程即可解决问题；（3）根据顶点在x轴上，推出△＝0，由此即可解决问题．【解答】解：（1）x＝1时，y＝ab﹣2b+2b﹣2a+2a﹣ab＝0；（2）当a＝7，b＝1时，抛物线的解析式时y＝5x2﹣12x+7，令y＝0，得到5x2﹣12x+7＝0，解得x＝1

或75，∴该二次函数的图象与x轴公共点的坐标为（1，0），（75，0）；（3）∵顶点在x轴上，∴△＝0，7∴4（b﹣a）2﹣4（ab﹣2b）（2a﹣ab）＝0，整理得：（a+b）2﹣2ab（a+b）+（ab）2＝0，∴（a+b﹣ab）2＝0，∴a+b＝ab，∴1�

�+1𝑏=𝑎+𝑏𝑎𝑏=1．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，第三个问题的因式分解是难点．7．如图，抛物线y

＝x2﹣2x+k+1与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C（0，﹣3）．P为抛物线上一点且在y轴的右侧，横坐标为m．（1）求此抛物线的解析式；（2）当点P在第四象限时，求△BAP面积的最大值；（3）设此抛物线在点C与点P之

间部分（含点C和点P）最高点与最低点的纵坐标之差为h．求h关于m的函数解析式，并写出自变量m的取值范围．【分析】（1）根据点C（0，﹣3）在抛物线y＝x2﹣2x+k+1上，可以求得该抛物线的解析式；（2）根据点P在第四象限和（1）中的函数解析式，即可求得△BAP面积的最大值；（3）根据题意，利

用分类讨论的方法，可以写出h关于m的函数解析式，并写出自变量m的取值范围．【解答】解：（1）∵点C（0，﹣3）在抛物线y＝x2﹣2x+k+1上，∴k+1＝﹣3，解得k＝﹣4，∴此抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）令y＝0，则

0＝x2﹣2x﹣3，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），∴AB＝4，∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线顶点为（1，﹣4），8∴当P位于抛物线顶点时，△ABP的面积有最大值，此时S=12×4×4＝8，即△BAP面积的最大值是8；（3）∵P为抛物线上一点且在

y轴的右侧，横坐标为m．∴m＞0，∴当0＜m≤1时，h＝﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+2m；当1＜m≤2时，h＝（22﹣2×2﹣3）﹣（﹣4）＝1；当m＞2时，h＝m2﹣2m﹣3﹣（﹣4）＝m2﹣2m+1．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、待定系数法求二次

函数的解析式，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．8．如图，抛物线y＝ax2+bx+8（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（8，0），与y轴交于点C，顶点为D，连接AC，BC．BC与抛物线的对称轴l

交于点E．（1）求抛物线的表达式；（2）点P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC．当S△PBC=35S△ABC时，求点P的坐标．【分析】（1）直接将A（﹣2，0）和点B（8，0）代入y＝ax2+bx+8（a≠0），解出a，b

的值即可得出答案；（2）先求出点C的坐标及直线BC的解析式，再根据图及题意得出三角形PBC的面积；过点P作PG⊥x轴，交x轴于点G，交BC于点F，设设P（t，−12t2+3t+8），根据三角形PBC的面积列关于t的方程，解出t的值，即可得出点P的坐标．【解答】解：（1）

∵抛物线y＝ax2+bx+8（a≠0）过点A（﹣2，0）和点B（8，0），∴{4𝑎−2𝑏+8=064𝑎+8𝑏+8=0，解得{𝑎=−12𝑏=3，9∴抛物线解析式为：y=−12x2+3x+8；（2）当x＝0时，y＝8，∴C（0，8），∴直线BC解析式为

：y＝﹣x+8，∵S△ABC=12AB•OC=12×10×8=40，∴S△PBC=35S△ABC＝24，过点P作PG⊥x轴，交x轴于点G，交BC于点F，设P（t，−12t2+3t+8），∴F（t，﹣t+8），∴PF=−12t2+4t2，∴S△PBC=12PF•OB＝24，即12×（−

12t2+4t2）×8＝24，∴t1＝2，t2＝6，∴P1（2，12），P2（6，8）．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，三角形的面积等，解题的关键是添加合适的辅助线．9．如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点（3，12）和（﹣2，﹣

3），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l，顶点为D．10（1）求该抛物线的表达式和顶点D的坐标；（2）直线AC交抛物线的对称轴l于点E，在抛物线上是否存在点F，使得△BCF与△BCE的面积相等，如果

存在，请求出点F的坐标；如果不存在，请说明理由．【分析】（1）由待定系数法即可求解；（2）连接BC，过点E作直线n∥BC，在BC的右侧等间隔作直线m，同底等高的两个三角形面积相等，故直线m、n与抛物线的交点即为点F，进而求解．【解答】

解：（1）将（3，12）和（﹣2，﹣3）代入抛物线表达式得{12=9+3𝑏+𝑐−3=4−2𝑏+𝑐，解得{𝑏=2𝑐=−3，故抛物线的表达式为y＝x2+2x﹣3①；（2）存在，理由：连接BC，过点E作直线n∥BC，在BC的右

侧等间隔作直线m，∵同底等高的两个三角形面积相等，故直线m、n与抛物线的交点即为点F，对于y＝x2+2x﹣3，令y＝x2+2x﹣3＝0，解得x＝﹣3或1，令x＝0，则y＝3，故点A、B、C的坐标分别为（﹣3，

0）、（1，0）、（0，﹣3），由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为y＝3x﹣3，11同理可得，直线AC的表达式为y＝﹣x﹣3，由抛物线的表达式知，抛物线的对称轴为x＝﹣1，当x＝﹣1时，y＝﹣x﹣

3＝﹣2，故点E（﹣1，﹣2），∵n∥BC，则设直线n的表达式为y＝3x+t，将点E的坐标代入上式得：﹣2＝﹣3+t，解得t＝1，故直线n的表达式为y＝3x+1②，联立①②并解得：{𝑥=1±√172𝑦=5±3√172；故点F的坐标

为（1+√172，5+3√172）或（1−√172，5−3√172）；同理可得：直线m的表达式为y＝3x﹣7③，联立①③并整理得：x2﹣x+4＝0，∵△＜0，故该方程无解；故点F的坐标为（1+√172，5+3√172）或（1−√172，5−3√172）．【点评】本题考查的是抛物

线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．10．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y＝x+k（k≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程ax2+bx+c＝0

的两个根；（2）写出不等式ax2+bx+c﹣x﹣k＜0的解集；（3）写出二次函数值y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；（4）若方程ax2+bx+c＝m有两个不等的实数根，求m的取值范围；【分析】观察函数图象即可求解．【解答】解：（1

）从图象看，方程ax2+bx+c＝0的两个根为x＝﹣3或﹣1；（2）从图象看，﹣3＜x＜﹣0.5时，ax2+bx+c＜x+k，即ax2+bx+c﹣x﹣k＜0；12（3）从图象看x＜﹣2时，y随x的增大而减小；（4）设y＝m，当m＞﹣2时，y＝m与y＝ax2

+bx+c有两个交点，故m＞﹣2．【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．11．如图，抛物线y＝

ax2﹣3ax+4（a＜0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线y＝m，交抛物线于D、E两点．（1）当a=−25时，求A，B两点的坐标；（2）当m＝2，DE＝4时，求抛物线的解析式；（3）当a＝﹣1时，方程ax2﹣3ax+4＝m在﹣6≤x＜4的范围内有实数解，请直接写出

m的取值范围：﹣50≤m≤254．【分析】（1）当a=−25时，令y=−25x2﹣3×（−25）x+4＝0，即可求解；（2）函数的对称轴为x=32，而DE＝4，m＝2，故点D（72，2），将点D的坐标代入y＝ax2﹣3ax+4，即可求解；（3）当﹣6≤x＜4时，﹣

50≤y≤254，即可求解．13【解答】解：（1）当a=−25时，令y=−25x2﹣3×（−25）x+4＝0，解得：x＝5或﹣2，故点A、B的坐标分别为（5，0）、（﹣2，0）；（2）函数的对称轴为x=32，∵DE＝4，m＝2，故点D（72，2），将点D的坐标代入y

＝ax2﹣3ax+4并解得：a=−87，故抛物线的表达式为：y=−87x2+247x+4；（3）当a＝﹣1时，y＝﹣x2+3x+4，令y＝0，则x＝﹣1或4，当x＝﹣6时，y＝﹣x2+3x+4＝﹣50，函数的对称轴为x=32，则顶点坐标为（32，254），当﹣6≤x＜4时，﹣50≤y≤25

4，故m的取值范围为：﹣50≤m≤254，故答案为：﹣50≤m≤254．【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．12．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（

﹣1，0），且对一切实数x，都有x≤ax2+bx+c≤14x2+12x+14成立．（1）当x＝1时，求y的值；（2）求此二次函数的表达式；（3）当x＝t+m时，二次函数y＝ax2+bx+c的值为y1，

当x＝2t时，二次函数y＝ax2+bx+c的值为y2，若对于t＝±1，有y1＜y2，求实数m的取值范围．【分析】（1）取特殊值x＝1代入不等式x≤ax2+bx+c≤14x2+12x+14即可求得答案；（2）将（﹣1

，0）代入二次函数y＝ax2+bx+c，可得a﹣b+c＝0①，当x＝1时，y＝1，即a+b+c＝1②，由①②可解得b的值及a与c的关系，再由二次函数的值与判别式的关系可得a和c的值；14（3））由t＝±1，都有y1＜y2，将x＝t+m代入并整理，然后取特殊值t＝1或t＝﹣1，解得m的值即可．【解

答】解：（1）∵不等式x≤ax2+bx+c≤14x2+12x+14对一切实数都成立，∴当x＝1时也成立，即1≤a+b+c≤1，∴当x＝1时，y＝1；（2）∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0①，又当x＝1时，y＝1，即a+

b+c＝1②，由①②可得b=12，a+c=12，∴y＝ax2+12x+12−a，∴x≤ax2+12x+12−a≤14x2+12x+14，即ax2−12x+12−a≥0及（a−14）x2+14−a≤0恒成立，∴a

＞0且△=14−4a（12−a）≤0及△′＝0﹣4（a−14）（14−a）≤0，解得：a=14，∴c=14，∴二次函数的表达式为y=14x2+12x+14；（3）∵﹣1≤t≤1，都有y1＜y2，∴y1﹣y2＜0，即[1

4（t+m）2+12（t+m）+14]﹣[14（2t）2+12×2t+14]＜0，整理得：−34t2+（12m−12）t+14m2+12m＜0，∵t＝±1，都有y1＜y2，∴−34+12m−12+14m

2+12m＜0及−34−12m+12+14m2+12m＜0，解得﹣5＜m＜1及﹣1＜m＜1，∴实数m的取值范围是：﹣1＜m＜1．【点评】本题考查了二次函数与不等式的关系，明确二次函数与不等式的关系及采用特殊值法是解题的关键．13．已知抛物线y1＝ax2+bx﹣3（a≠0）经过

点（﹣2，﹣3）．（1）若点A（1，m），B（3，n）为抛物线上的两点，比较m，n的大小．15（2）当x≥﹣2时，y1≤﹣2，求抛物线的解析式．（3）无论a取何值，若一次函数y2＝a2x+m总经过y1的顶点，求证：m≥−134．【分析】（1）抛物线y1＝a

x2+2ax﹣3，将点A、B坐标分别代入上式得：m＝3a﹣3，n＝9a+6a﹣3＝12a﹣3，即可求解；（2）当x≥﹣2时，y1≤﹣2，则a＜0，抛物线的顶点坐标为：（﹣1，﹣3﹣a），即﹣3﹣a＝﹣2，解得：a＝﹣

1，即可求解；（3）y1的顶点坐标代入y2＝a2x+m得：m＝a2﹣a﹣3，∵1＞0，故m有最大值，此时，a=12，最小值为−134，即可求解．【解答】解：（1）将点（﹣2，﹣3）坐标代入抛物线y1的表达式得：﹣3＝4a﹣2b﹣3，解得：b＝2a，故抛物线y1＝ax2+2ax﹣3，将

点A、B坐标分别代入上式得：m＝3a﹣3，n＝9a+6a﹣3＝12a﹣3，故当a＞0时，m＜n，当a＜0时，m＞n；（2）当x≥﹣2时，y1≤﹣2，则a＜0，抛物线的顶点坐标为：（﹣1，﹣3﹣a），即﹣3﹣a＝﹣2，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为

：y1＝﹣x2﹣2x﹣3；（3）y1的顶点坐标代入y2＝a2x+m得：m＝a2﹣a﹣3，∵1＞0，故m有最小值，此时，a=12时，最小值为−134，故m≥−134．【点评】本题考查的是二次函数与不等式（组），要求学生对二次函数基本性质、不等式的求解非常熟悉，其中（3），用函数最值的

方式求解m的取值范围，比较新颖．14．已知：关于x的方程mx2﹣3（m﹣1）x+2m﹣3＝0．（1）求证：m取任何实数量，方程总有实数根；（2）若二次函数y1＝mx2﹣3（m﹣1）x+2m﹣3的图象关于y轴对称；①求二次函数y1的解析式；②

已知一次函数y2＝2x﹣2，证明：在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值y116≥y2均成立；（3）在（2）条件下，若二次函数y3＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣5，0），且在实数范围内，对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值y1≥

y3≥y2均成立，求二次函数y3＝ax2+bx+c的解析式．【分析】（1）首先此题的方程并没有明确是一次方程还是二次方程，所以要分类讨论：①m＝0，此时方程为一元一次方程，经计算可知一定有实数根；②m≠0，此时方程

为一元二次方程，可表示出方程的根的判别式，然后结合非负数的性质进行证明．（2）①由于抛物线的图象关于y轴对称，那么抛物线的一次项系数必为0，可据此求出m的值，从而确定函数的解析式；②此题可用作差法求解，令y1﹣y2，然后综合运用完全平方式和非负数的性质进行证明．（3）根据②的结论，易知y1、y

2的交点为（1，0），由于y1≥y3≥y2成立，即三个函数都交于（1，0），结合点（﹣5，0）的坐标，可用a表示出y3的函数解析式；已知y3≥y2，可用作差法求解，令y＝y3﹣y2，可得到y的表达式，由于y3≥y2，所以y≥0，可据此求出a的值，即可得到抛物线的解析式．【解答】

解：（1）分两种情况：当m＝0时，原方程可化为3x﹣3＝0，即x＝1；∴m＝0时，原方程有实数根；当m≠0时，原方程为关于x的一元二次方程，∵△＝[﹣3（m﹣1）]2﹣4m（2m﹣3）＝m2﹣6m+9＝（m﹣3）2≥0，∴方程有两个实数根；综

上可知：m取任何实数时，方程总有实数根．（2）①∵关于x的二次函数y1＝mx2﹣3（m﹣1）x+2m﹣3的图象关于y轴对称；∴3（m﹣1）＝0，即m＝1；∴抛物线的解析式为：y1＝x2﹣1．②∵y1﹣y2＝x2﹣1﹣（2x﹣2）＝（x﹣1）2≥0，∴y1≥y2（当且仅当x＝1时，等号成立）

．（3）由②知，当x＝1时，y1＝y2＝0，即y1、y2的图象都经过（1，0）；∵对应x的同一个值，y1≥y3≥y2成立，∴y3＝ax2+bx+c的图象必经过（1，0），又∵y3＝ax2+bx+c经过（﹣5，0），17∴y3＝a（x﹣1）（x+5

）＝ax2+4ax﹣5a；设y＝y3﹣y2＝ax2+4ax﹣5a﹣（2x﹣2）＝ax2+（4a﹣2）x+（2﹣5a）；对于x的同一个值，这三个函数对应的函数值y1≥y3≥y2成立，∴y3﹣y2≥0，∴y＝ax2+（4a﹣

2）x+（2﹣5a）≥0；根据y1、y2的图象知：a＞0，∴（4a﹣2）2﹣4a（2﹣5a）≤0，即（3a﹣1）2≤0，而（3a﹣1）2≥0，故a=13∴抛物线的解析式为：y=13x2+43x−53．【点评】此题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系、根的判

别式、完全平方公式、非负数的性质以及用待定系数法确定函数解析式的方法，难度较大．