【文档说明】《初中数学讲义》衔接教材06 根与系数的关系（韦达定理）（解析版）.docx，共(12)页，451.269 KB，由管理员店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-7e2dd53d0bfc28d680c61bbec87223b6.html

以下为本文档部分文字说明：

12021-2022新高一初高中衔接辅导课程（解析版）衔接教材06根与系数的关系（韦达定理）知识点讲解1.一元二次方程的根我们知道，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），用配方法可以将其变形为2224()24bbacxaa−+=①因为a≠0，所以，4a

2＞0．于是（1）当b2－4ac＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根x1，2＝242bbaca−−；（2）当b2－4ac＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根x1＝x2＝－2ba；（3）当b2－4ac＜0时，方程①的

右端是一个负数，而方程①的左边2()2bxa+一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．由此可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况可以由b2－4ac来判定，我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别

式，通常用符号“Δ”来表示．综上所述，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），有（1）当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x1，2＝242bbaca−−；（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝

－2ba；（3）当Δ＜0时，方程没有实数根．2.一元二次方程的根与系数的关系若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根2142bbacxa−+−=，2242bbacxa−−−=，则有2212442222bbacbbacbbxxaaaa−+

−−−−−+=+==−；2222122244(4)42244bbacbbacbbacaccxxaaaaa−+−−−−−−====．所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果ax2＋bx＋c＝0（

a≠0）的两根分别是x1，x2，那么x1＋x2＝ba−，x1·x2＝ca．这一关系也被称为韦达定理．特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2＋px＋q＝0，若x1，x2是其两根，由韦达定理可知x1＋x2＝－p，x1·x2＝q，即p＝－(x1＋x2)，q＝x1·x2，所以，

方程x2＋px＋q＝0可化为x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0，由于x1，x2是一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．因此有以两个数x1，x2为

根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．23.一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：设x1和x2分别是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），则2142bbacxa−+

−=，2242bbacxa−−−=，∴|x1－x2|＝2224424222bbacbbacbacaaa−+−−−−−−=24||||bacaa−==．于是有下面的结论：若x1和x2分别是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），则

|x1－x2|＝||a（其中Δ＝b2－4ac）．今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论．经典例题解析例1判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方

程的实数根．（1）x2－3x＋3＝0；（2）x2－ax－1＝0；（3）x2－ax＋(a－1)＝0；（4）x2－2x＋a＝0．解：（1）∵Δ＝32－4×1×3＝－3＜0，∴方程没有实数根．（2）该方程的根的判别式Δ＝

a2－4×1×(－1)＝a2＋4＞0，所以方程一定有两个不等的实数根2142aax++=，2242aax−+=．（3）由于该方程的根的判别式为Δ＝a2－4×1×(a－1)＝a2－4a＋4＝(a－2)2，所以，①当a＝2时，Δ＝0，所以方程有两个相等的实数根x1＝x2＝1；②当a≠2时

，Δ＞0，所以方程有两个不相等的实数根x1＝1，x2＝a－1．（3）由于该方程的根的判别式为Δ＝22－4×1×a＝4－4a＝4(1－a)，所以①当Δ＞0，即4(1－a)＞0，即a＜1时，方程有两个不相等的实数根111xa=+−，211xa=−−；②当Δ＝0，即a＝1时，方程

有两个相等的实数根x1＝x2＝1；③当Δ＜0，即a＞1时，方程没有实数根．说明：在第3，4小题中，方程的根的判别式的符号随着a的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论．分类讨论这一思想方法是高中数学中一

个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题．例2已知方程2560xkx+−=的一个根是2，求它的另一个根及k的值．分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k的值，再由方程解出另一个根．但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题

，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k的值．解法一：∵2是方程的一个根，∴5×22＋k×2－6＝0，∴k＝－7．所以，方程就为5x2－7x－6＝0

，解得x1＝2，x2＝－35．所以，方程的另一个根为－35，k的值为－7．解法二：设方程的另一个根为x1，则2x1＝－65，∴x1＝－35．3由（－35）＋2＝－5k，得k＝－7．所以，方程的另一个根为

－35，k的值为－7．例3已知关于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值．分析：本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m的方程，从而解得m的值．但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根

，因此，其根的判别式应大于零．解：设x1，x2是方程的两根，由韦达定理，得x1＋x2＝－2(m－2)，x1·x2＝m2＋4．∵x12＋x22－x1·x2＝21，∴(x1＋x2)2－3x1·x2＝21，即

[－2(m－2)]2－3(m2＋4)＝21，化简，得m2－16m－17＝0，解得m＝－1，或m＝17．当m＝－1时，方程为x2＋6x＋5＝0，Δ＞0，满足题意；当m＝17时，方程为x2＋30x＋293＝0，Δ＝302－4×1×293＜0，不合题意，

舍去．综上，m＝17．说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m的值，取满足条件的m的值即可。（2）在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式Δ是否大于或大于零．因为，韦达定理

成立的前提是一元二次方程有实数根。例4已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．分析：我们可以设出这两个数分别为x，y，利用二元方程求解出这两个数．也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解．解法一：设这两个数分别是x，y，则x

＋y＝4，①xy＝－12．②由①，得y＝4－x，代入②，得x(4－x)＝－12，即x2－4x－12＝0，∴x1＝－2，x2＝6．∴112,6,xy=−=或226,2.xy==−因此，这两个数是－2和6．解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程x2－4x－12＝0的两个根．解这

个方程，得x1＝－2，x2＝6．所以，这两个数是－2和6．说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷．例5若x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根．（1）求|x1－x2|的值；（2）求221211xx

+的值；（3）x13＋x23．解：∵x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根，∴1252xx+=−，1232xx=−．（1）∵|x1－x2|2＝x12+x22－2x1x2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝253()4()22−−−＝254＋6＝

494，∴|x1－x2|＝72．（2）22221212122222221212125325()2()3()2113722439()9()24xxxxxxxxxxxx−−−+++−+=====−．（3）x13＋x23＝(x1＋x2)(x12－x1x2＋x22

)＝(x1＋x2)[(x1＋x2)2－3x1x2]＝(－52)×[(－52)2－3×(32−)]＝－2158．例6若关于x的一元二次方程x2－x＋a－4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a的取值范围．解：设x1，x2是方程的两根，则x1x2＝

a－4＜0，①且Δ＝(－1)2－4(a－4)＞0．②4由①得a＜4，由②得a＜174．∴a的取值范围是a＜4．实时训练一、单选题1．一元二次方程02=+−kkxx一根大于0，一根小于0，则实数k的取值范围为（）A．()0,4B．(,0)(4,)−

+UC．(,0)−D．(4,)+【答案】C【分析】利用函数与方程的关系，结合二次函数的性质，列出不等式求解即可．【详解】解：方程02=+−kkxx一根大于0，一根小于0，即函数()2fxxkxk=−+与x轴有两个交点，且位于0的两侧，所以只需()

00f可得0k．故选：C．【点睛】本题考查函数的零点与方程根的关系，属于基础题．2．一元二次方程24260xmxm−++=有两个负根，则实数m的范围为A．30m−B．31m−−C．32mD．312m−【答案】B【

分析】两个负根可相等或不相等，可得0；利用两根之和小于零，两根之积大于零，可构造不等式组，解不等式组求得结果.【详解】设24260xmxm−++=的两个负根为12,xx则()2121216426040260mmxxmxxm=−++=

=+，解得：31m−−本题正确选项：B5【点睛】本题考查根据一元二次方程根的分布求解参数范围问题，关键是能够根据根的分布得到判别式、两根之和与两根之积的不等式，属于常考题型.二、填空题3．一元二次方程()200abxca++=的两个根分

别为1x，2x，则方程可写成()()12axxxx0−−=，即()212120axaxxaxx−++=，容易发现根与系数的关系：12bxxa+=−，12cxxa=，设一元三次方程()3200axbxcxda+++=的三个非零实数根分别为1x，2x

，3x，以下命题：①123bxxxa++=−；②122313cxxxxxxa++=；③213111cxxxd++=；④123dxxxa=−.正确命题的序号是________.【答案】①②④【分析】设(

)()()32123axbxcxdaxxxxxx+++=−−−，再展开利用待定系数法求解.【详解】()()()32123axbxcxdaxxxxxx+++=−−−，()()()212123axxxxxx

xx=−++−，()()32121213231233axaxxxaxxxxxxxxxxax+++−=−++所以()()121213231233,,baxxcaxxxxxxxxaxxd+++=−=−+=所以123bxxxa++=−，122313cxxxxxxa++=，1

23dxxxa=−正确；223131213123111xxxxxxcxxxxxxd+++==−+错误.故答案为：①②④【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系的迁移问题，还考查了运算求解的能力，属于中

档题.4．关于x的一元二次方程2210xmxm+++=一个根大于1，一个根小于1，则实数m的取值范围是__________.6【答案】2|3mm−【分析】设2()21fxxmxm=+++，由题意可得：函数()fx与x轴的交点一个在1x=的左侧，一个在右侧，所以()10f即

可，解得23m−．【详解】解：设2()21fxxmxm=+++，由题意可得：函数()fx与x轴的交点一个在1x=的左侧，一个在1x=的右侧，所以()10f即可，2(1)11210fmm=+++解得23m−，故答案为：2|3mm−

．【点睛】解决此类问题的关键是熟练掌握实根分布问题解决的方法，属于基础题．5．关于x的一元二次方程222(32)0kxxk−−+=的两个实数根1x、2x满足121xx<<，则实数k的取值范围是___

____________.【答案】0k或4k−.【分析】根据一元二次方程与二次函数之间的关系，分别讨论k的正负得到满足已知的等价条件，从而求得k的取值范围.【详解】由题意知：0k，当0k时，要使得关于x的一元二次方程222(32)0kxxk−

−+=的两个实数根1x、2x满足121xx<<，只需要22121(32)0kk−−+，解得：4k−，所以0k，当0k时，要使得关于x的一元二次方程222(32)0kxxk−−+=的两个实数根1x

、2x满足121xx<<，只需要22121(32)0kk−−+，解得：4k−，所以4k−，7综上所述：0k或4k−.故答案为：0k或4k−.【点睛】思路点睛：首先二次方程知0k，分别结合对应二次

函数根的分布得出等价条件，注意讨论k的符号.6．关于的一元二次方程没有实数根，则实数的取值范围是______________．【答案】m＞13或m＜-1【解析】试题分析：因为关于的一元二次方程没有实数根,所以，解得.考点：一元二次方程根的个

数.7．已知关于x的一元二次方程2640xxm−++=有两个实数根1x，2x，若1x，2x满足1232xx=+，则实数m的值为_______.【答案】4【分析】由根与系数的关系可得126xx+=，124xxm=+，讨论

2x的符号，进而可得实数m的值.【详解】由根与系数的关系可得126xx+=，124xxm=+，①当20x时，1232xx=+，121232,6,xxxx=++=解得122,4,xx==244m=+，4m=；②当20x时，1232xx=−，

1212326,xxxx=−+=解得1228xx=−=不合题意，舍去.4m=.8故答案为：4【点睛】本题考查根与系数的关系，考查计算能力与分类讨论思想，属于基础题.三、解答题8．已知一元二次方程2410xx−=+的两根分别是12

,xx，利用根与系数的关系求下列式子的值：（1）()212xx−；（2）221211xx+.【答案】（1）20；（2）18.【分析】（1）利用韦达定理得到121241xxxx+=−=−，变换()()221212124xxxxxx−=

+−，计算得答案.（2）变换()()212122221212211xxxxxxxx+−+=，代入数据计算得到答案.【详解】（1）一元二次方程2410xx−=+的两根分别是12,xx，则1640=+，121241xx

xx+=−=−，()()22121212416420xxxxxx−=+−=+=；（2）()()2222121212222222121212211(4)2(1)18(1)xxxxxxxxxxxx+−+−−−+====−.【点睛】本题考查了根与系数的关系，意在考查

学生的计算能力和转化能力.9．已知一元二次方程2310xx+−=的两根分别是12,xx，利用根与系数的关系求下列式子的值：（1）12xx−；（2）221211xx+（3）3312xx+．【答案】（1）13；（2）11；（3）-36【分析】9利用韦达定理写出两根之和与两根之积

.（1）应用()21212124xxxxxx−=+−，代值计算即可；（2）将目标式221211xx+转化为()()212122122xxxxxx+−，代值计算即可；（3）利用公式，将目标式3312xx+转化为()()

21212123xxxxxx++−，代值计算即可.【详解】根据一元二次方程根与系数的关系，得12123,1xxxx+=−=−．（1）∵2221212122xxxxxx−=+−()2212124(3)4(1)13xxxx=+−=−−−

=∴1213xx−=．（2）()()2222121212222222121212211(3)2(1)11(1)xxxxxxxxxxxx+−+−−−+====−．（3）()()()()23322121122121212123xxxxxxx

xxxxxxx=+−+=++−+2(3)(3)3(1)36=−−−−=−．【点睛】本题考查利用韦达定理，求解12,xx的混合式的值，需要注意第三问中的转化，需要牢记三次方公式.10．已知方程20xpxq

++=的两个根是1x，2x，那么12xxp+=−，12xxq=，反过来，如果12xxp+=−，12xxq=，那么以1x，2x为两根的一元二次方程是20xpxq++=.请根据以上结论，解决下列问题：（1）已知关于x的方程()200xmxnn++=，求一个一元二次方程，

使它的两根分别是已知方程两根的倒数；（2）已知a、b满足21550aa−−=，21550bb−−=，求abba+的值；（3）已知a、b、c均为实数，且0abc++=，16abc=，求正数c的最小值【答案】（1）210nymy++=（2）47−或2（3）正数c的最小值是4【

分析】一元二次方程根与系数的关系和根的判别式,代1数式化简.10（1）设方程()200xmxnn++=的两根为1x,2x,得出121211111,mxxnxxn−+==,再根据这个一元二次方程的两个根分别是已知方程

两根的倒数,即可求出答案.（2）分情况讨论,根据a、b满足21550aa−−=,21550bb−−=,,得出a、b是一元二次方程21550xx−−=的两个根,由15,5abab+==−即可求出abba+的值.（3）根据0abc++=,16

abc=,得出16,abcabc+=−=,a、b是一元二次方程2160xcxc++=的两根,再根据0V,即可求出c的最小值.【详解】解:（1）设方程()200xmxnn++=,的两个根分别是1x,2x,则12xxm+=−,

12xxn=,12121211xxmxxxxn++==−,12121111xxxxn==若一个一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数,则这个一元二次方程是210myynn++=,整理得210nymy++=.（2）分两种情况讨论:①当ab¹时,aQ、b满足21

550aa−−=,21550bb−−=,a、b是21550xx−−=的两个根,15ab+=,5ab=−,()()222221525475ababababbaabab+−−−++====−−.②当ab=时,2abba+=.（3）0abc++=Q,16abc=,abc+=−,16abc=,a

、b是方程2160xcxc++=的两个根,21640cc=−,即3240cc−.cQ是正数,3340c−,334c,4c,正数c的最小值是4.11故答案为:4【点睛】本题考查

一元二次方程根与系数的关系.1212bxxacxxa+=−=,使用根与系数的关系式时要考虑V的取值.11．已知关于x的一元二次方程2||210mxx−+=有两个不相等的实数根,求实数m的取值范围.【答案】(1,0)(0,1)−U【分析】关于x的一元二次方程2||210mxx−+

=有两个不相等的实数根,即||0,0m即可得解.【详解】由题：关于x的一元二次方程2||210mxx−+=有两个不相等的实数根,所以()2||0240mm=−−，||01mm，解得：(1,0)(0,1)m−

U，所以实数m的取值范围是(1,0)(0,1)−U.【点睛】此题考查根据方程的根的个数求参数的范围，易错点在于漏掉考虑||0m导致出错.12．设12xx，是方程22630xx−+=的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值．(1)221212xxxx+；(2)212()

xx−；(3)122111xxxx++；(4)221211xx+.【答案】（1）92（2）3（3）256（4）83【分析】12由一元二次方程根与系数的关系得到韦达定理，然后将各小问所求代数式化简处理，代入韦达定理即

可.【详解】解：∵12xx，是方程22630xx−+=的两个根，∴1212332xxxx+==(1)原式()121239322xxxx=+==；(2)原式()21212349432xxxx=+−=−=

；(3)原式12121322522236xxxx=++=++=；(4)原式()()212122122938934xxxxxx+−−===.【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，韦达定理得应用，代数式的化简求值，属于基础题.