【文档说明】《初中数学讲义》衔接教材06 根与系数的关系（韦达定理）（原卷版）.docx，共(5)页，202.353 KB，由管理员店铺上传

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12021-2022新高一初高中衔接辅导课程（原卷版）衔接教材06根与系数的关系（韦达定理）知识点讲解1.一元二次方程的根我们知道，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），用配方法可以将其变形为2224()24bbacxaa−+=①因为a≠0

，所以，4a2＞0．于是（1）当b2－4ac＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根x1，2＝242bbaca−−；（2）当b2－4ac＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根x1＝x2＝－2ba；（3）当b2－4ac

＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边2()2bxa+一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．由此可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况可以由b2－4ac来判定，我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示

．综上所述，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），有（1）当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x1，2＝242bbaca−−；（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝－2ba；（3）当Δ＜0时，方程没有实数根．2.一元二次方程的根与系数的关系若一元二次方程

ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根2142bbacxa−+−=，2242bbacxa−−−=，则有2212442222bbacbbacbbxxaaaa−+−−−−−+=+==−；2222122244(4)42244bbacbbacbbacaccxxaaaaa−+−−−−−−====．所以

，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别是x1，x2，那么x1＋x2＝ba−，x1·x2＝ca．这一关系也被称为韦达定理．特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2

＋px＋q＝0，若x1，x2是其两根，由韦达定理可知x1＋x2＝－p，x1·x2＝q，即p＝－(x1＋x2)，q＝x1·x2，所以，方程x2＋px＋q＝0可化为x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0，由于x1，

x2是一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．因此有以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．23.一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到

求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：设x1和x2分别是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），则2142bbacxa−+−=，2242bbacxa−−−=，∴|x1－x2|＝2224424222bbacbbacbac

aaa−+−−−−−−=24||||bacaa−==．于是有下面的结论：若x1和x2分别是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），则|x1－x2|＝||a（其中Δ＝b2－4ac）．今后，在求一元二次方程的两根

之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论．经典例题解析例1判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．（1）x2－3x＋3＝0；（2）x2－ax－1＝0；（3）x2－ax＋(a－1)＝0；（4）x2－2x＋a＝0．解：（1）∵Δ＝32－4×

1×3＝－3＜0，∴方程没有实数根．（2）该方程的根的判别式Δ＝a2－4×1×(－1)＝a2＋4＞0，所以方程一定有两个不等的实数根2142aax++=，2242aax−+=．（3）由于该方程的根的判别式为Δ＝a2－4×1×(a－1)＝a2－4a＋4＝(a－2)2，所以，①当a＝2时，Δ

＝0，所以方程有两个相等的实数根x1＝x2＝1；②当a≠2时，Δ＞0，所以方程有两个不相等的实数根x1＝1，x2＝a－1．（3）由于该方程的根的判别式为Δ＝22－4×1×a＝4－4a＝4(1－a)，所以①当Δ＞0，即4(1－a)＞0，即a＜1时，方程有两个不相等的实数根111xa=+−，2

11xa=−−；②当Δ＝0，即a＝1时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝1；③当Δ＜0，即a＞1时，方程没有实数根．说明：在第3，4小题中，方程的根的判别式的符号随着a的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨

论．分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题．例2已知方程2560xkx+−=的一个根是2，求它的另一个根及k的值．分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求

出k的值，再由方程解出另一个根．但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k的值．解法一：∵2是方程的一个根，∴5×22＋k×2－6

＝0，∴k＝－7．所以，方程就为5x2－7x－6＝0，解得x1＝2，x2＝－35．所以，方程的另一个根为－35，k的值为－7．解法二：设方程的另一个根为x1，则2x1＝－65，∴x1＝－35．3由（－35）＋2＝－5k，得k＝－7．所以，方程

的另一个根为－35，k的值为－7．例3已知关于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值．分析：本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m的方程，从而解得m

的值．但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零．解：设x1，x2是方程的两根，由韦达定理，得x1＋x2＝－2(m－2)，x1·x2＝m2＋4．∵x12＋x22－x1·x2＝21，∴(x1＋x2)2－3x

1·x2＝21，即[－2(m－2)]2－3(m2＋4)＝21，化简，得m2－16m－17＝0，解得m＝－1，或m＝17．当m＝－1时，方程为x2＋6x＋5＝0，Δ＞0，满足题意；当m＝17时，方程为x2＋30x＋

293＝0，Δ＝302－4×1×293＜0，不合题意，舍去．综上，m＝17．说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m的值，取满足条件的m的值即

可。（2）在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式Δ是否大于或大于零．因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根。例4已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．分析：我们可以设出这两个数分别为x，y，利

用二元方程求解出这两个数．也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解．解法一：设这两个数分别是x，y，则x＋y＝4，①xy＝－12．②由①，得y＝4－x，代入②，得x(4－x)＝－12，即x2－4x－12＝0，∴x1＝－2，x2＝6．∴11

2,6,xy=−=或226,2.xy==−因此，这两个数是－2和6．解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程x2－4x－12＝0的两个根．解这个方程，得x1＝－2，x2＝6．所以，这两个数是－2和6

．说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷．例5若x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根．（1）求|x1－x2|的值；（2）求221211xx+的值；（3）x13＋x23．解：∵x1和x

2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根，∴1252xx+=−，1232xx=−．（1）∵|x1－x2|2＝x12+x22－2x1x2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝253()4()22−−−＝254＋6＝494，∴|x1－x2|＝72

．（2）22221212122222221212125325()2()3()2113722439()9()24xxxxxxxxxxxx−−−+++−+=====−．（3）x13＋x23＝(x1＋x2)(x12－x1x2＋x22)＝(x1＋

x2)[(x1＋x2)2－3x1x2]＝(－52)×[(－52)2－3×(32−)]＝－2158．例6若关于x的一元二次方程x2－x＋a－4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a的取值范围．解：设x1，x2是方程的两根，则x1x2＝a－4＜0，①且Δ＝(－1)2－4(a－4)＞0．②

4由①得a＜4，由②得a＜174．∴a的取值范围是a＜4．实时训练一、单选题1．一元二次方程02=+−kkxx一根大于0，一根小于0，则实数k的取值范围为（）A．()0,4B．(,0)(4,)−+UC．(,0)−D．(4,)+2．一元二次方程

24260xmxm−++=有两个负根，则实数m的范围为A．30m−B．31m−−C．32mD．312m−二、填空题3．一元二次方程()200abxca++=的两个根分别为1x，2x，则方程可写成()()12axxxx0−−=，即()2121

20axaxxaxx−++=，容易发现根与系数的关系：12bxxa+=−，12cxxa=，设一元三次方程()3200axbxcxda+++=的三个非零实数根分别为1x，2x，3x，以下命题：①123bxxxa++=−；②122313cxxxxxxa++=；③213111cxxxd++=

；④123dxxxa=−.正确命题的序号是________.4．关于x的一元二次方程2210xmxm+++=一个根大于1，一个根小于1，则实数m的取值范围是__________.5．关于x的一元二次方程222

(32)0kxxk−−+=的两个实数根1x、2x满足121xx<<，则实数k的取值范围是_______________.6．关于的一元二次方程没有实数根，则实数的取值范围是______________．7．已知关于x的一元二次方程2640xxm−++=有两个实数根1

x，2x，若1x，2x满足1232xx=+，则实数m的值为_______.三、解答题8．已知一元二次方程2410xx−=+的两根分别是12,xx，利用根与系数的关系求下列式子的值：（1）()212xx−；5（2）221211xx+.9．已知一元二次方程2310xx+−=的两根分别是12,xx，

利用根与系数的关系求下列式子的值：（1）12xx−；（2）221211xx+（3）3312xx+．10．已知方程20xpxq++=的两个根是1x，2x，那么12xxp+=−，12xxq=，反过来，如果12xxp+=−，12xxq=，那么以1x，2

x为两根的一元二次方程是20xpxq++=.请根据以上结论，解决下列问题：（1）已知关于x的方程()200xmxnn++=，求一个一元二次方程，使它的两根分别是已知方程两根的倒数；（2）已知a、b满足21550aa−−=，21550bb−−=，求abba+的值；（3）

已知a、b、c均为实数，且0abc++=，16abc=，求正数c的最小值11．已知关于x的一元二次方程2||210mxx−+=有两个不相等的实数根,求实数m的取值范围.12．设12xx，是方程22630xx−+=的两个根，利用根与系数的关系，

求下列各式的值．(1)221212xxxx+；(2)212()xx−；(3)122111xxxx++；(4)221211xx+.