【文档说明】四川省泸州市叙永第一中学校2025届高三上学期开学考试数学试题 Word版含解析.docx，共(18)页，979.706 KB，由小赞的店铺上传

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2024年秋期高2022级高三开学考试数学试题注意事项：1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答

案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.第I卷（选择题58分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设全集1,2,3,4,5U=，集合1,4,2,5

MN==，则UNM=ð（）A.2,3,5B.1,3,4C.1,2,4,5D.2,3,4,5【答案】A【解析】【分析】利用集合的交并补运算即可得解.【详解】因为全集{1,2,3,4,5}U=，集合{1,4}M=，所以2,3,5UM=ð，又{2,

5}N=，所以{2,3,5}UNM=ð，故选：A.2.使不等式1x成立的一个充分不必要条件是（）A.23xB.0xC.25x−D.1x【答案】A【解析】【分析】根据充分不必要条件的知识确

定正确答案.【详解】不等式1x成立的一个充分不必要条件是23x，0x是1x的必要不充分条件，25x−是1x的非充分非必要条件，1x是1x的充分必要条件.故选：A3.命题“有一个偶数是素数”的否定是（）A.

任意一个奇数是素数B.任意一个偶数都不是素数C.存在一个奇数不是素数D.存在一个偶数不是素数【答案】B【解析】【分析】根据存在量词命题:,()pxMpx，否定为:,()pxMpx，即可解得正确结果.【

详解】由于存在量词命题:,()pxMpx，否定为:,()pxMpx.所以命题“有一个偶数是素数”的否定是“任意一个偶数都不是素数”.故选：B4.若0,0223ababab++=，，则2+ab的最小值是（）A.22B.1C.2D.

322【答案】C【解析】【分析】根据给定等式，利用均值不等式变形，再解一元二次不等式作答.【详解】220,0322()(2)2ababababab+=++++,，当且仅当2ab=时取等号，因此2(2)4(2)120abab+++−，即(26)(22)0abab++

+−，解得22ab+，所以当21ab==时，2+ab取得最小值2.故选：C5.已知π4sincos65+−=，则πcos3+=（）A.35B.45C.35-D.45−【答案】D【解析】

【分析】根据三角恒等变换得到π4sin65−=，再利用诱导公式求出答案.【详解】因为π31314sincossincoscossincos622225+−=+−=−=，即π4sin65−=，所以ππππ4cosc

ossin36265+=−+=−−=−．故选：D6.如图所示，四边形ABCD是正方形，,MN分别BC，DC的中点，若,,ABAMAN=+R，则2−的值为（）A.43B.52C.23−D.103【答案】D【

解析】【分析】由平面向量的线性运算可得4233ABAMAN=−，即可求出,，进而求出2−的值.【详解】12ABAMMBAMCMAMDA=+=+=+()111222AMDNNAAMABAN=++=+−，所以3142ABA

MAN=−，所以4233ABAMAN=−，所以42,33==−，82102333−=+=.故选：D.7.已知数列na的前n项和为nS，且()*114,42nnaaann+=+=+N，则使得2023nS成立的n的最大值为（）A.3

2B.33C.44D.45【答案】C【解析】【分析】分奇偶项讨论，根据题意利用并项求和求nS，运算求解即可.【详解】当n为偶数时，()()()1212341nnnnSaaaaaaaaa−=+++=++++++()()64226144212nnnn

n+−=+++−==+，令()12023nSnn=+，且n为偶数，解得244n，故n的最大值为44；当n为奇数时，()()()12123451nnnnSaaaaaaaaaa−=+++=+++++++()2

1104224101842422nnnnn−+−=++++−=+=++，令222023nSnn=++，且n为奇数，解得143n，故n的最大值为43；综上所述：n的最大值为44.故选：C.【点睛】方法点睛：并项求和适用的条件和注意事项：1.适用条件：数列中出现()()1,si

n,2nnnknaafn+−+=π等形式时，常用利用并项求和求nS；2.注意分类讨论的应用，比如奇偶项，同时还需注意起止项的处理.8.已知函数()fx的定义域为R，且()()()(),(1)1fxyfxyfxfyf++−==，则221()kfk==（）A.3−B.2−C.

0D.1【答案】A【解析】【分析】法一：根据题意赋值即可知函数()fx的一个周期为6，求出函数一个周期中的()()()1,2,,6fff的值，即可解出．【详解】[方法一]：赋值加性质因为()()()()

fxyfxyfxfy++−=，令1,0xy==可得，()()()2110fff=，所以()02f=，令0x=可得，()()()2fyfyfy+−=，即()()fyfy=−，所以函数()fx为偶函数，令1y=得，()()()()()111f

xfxfxffx++−==，即有()()()21fxfxfx++=+，从而可知()()21fxfx+=−−，()()14fxfx−=−−，故()()24fxfx+=−，即()()6fxfx=+，所以函

数()fx的一个周期为6．因为()()()210121fff=−=−=−，()()()321112fff=−=−−=−，()()()4221fff=−==−，()()()5111fff=−==，()()602ff==，所以一个周期内的()()()1260fff+++=．由于22除以6余4，所以()

()()()()221123411213kfkffff==+++=−−−=−．故选：A．[方法二]：【最优解】构造特殊函数由()()()()fxyfxyfxfy++−=，联想到余弦函数和差化积公式()()coscos2coscosxyxyxy++−=，可设()cosfxax=，则由方法一中()

()02,11ff==知2,cos1aa==，解得1cos2=，取3=，所以()2cos3fxx=，则()()()()2cos2cos4coscos333333fxyfxyxyxyxyfxfy++

−=++−==，所以()2cos3fxx=符合条件，因此()fx的周期263T==，()()02,11ff==，且()()()()()21,32,41,51,62fffff=−=−=−

==，所以(1)(2)(3)(4)(5)(6)0ffffff+++++=，由于22除以6余4，所以()()()()()221123411213kfkffff==+++=−−−=−．故选：A．【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可

解出，是该题的通性通法；法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，简单明了，是该题的最优解.二、多项选择题（每小题6分，共3小题，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符

合题目要求.全对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.已知复数,zw均不为0，则（）A.22||zz=B.22||zzzz=C.zzww−=−D.zzww=【答案】BCD【解析】【分析】设出izab=+、iwcd=+，结合复数的运算、共轭复数定义及复数的模的性质逐个计算即可得.【详

解】设izab=+(),Rab、iwcd=+(),Rcd；对A：设izab=+(),Rab，则()222222i2i2izabaabbabab=+=+−=−+，()222222||zabab=+=+，故A错误；对B：2zzzzz=，又2zzz=，即有22||zzzz=

，故B正确；对C：()iiiabcdzacdwb=+−=+−−−−，则()iaczwbd−−−−=，izab=−，iwcd=−，则()iiizwabcdacbd=−−+=−−−−，即有zzww−=−，故C正确；对D：()()()()()

22iiiiiiizcwabcdacbdadbcabcdcdcdd+−+−−+===++−+()2222222222222222222acbdadbcacabcdbdadabcdbccdcdcd+−+++−+=+=+++()22222222222

2222222222acbdadbcacbdadbccdcd++++++==++，()()2222222222222222abcdzababcdwcdcdcd+++++===+++222222222

2acbcadbdcd+=+++，故zzww=，故D正确.故选：BCD.10.函数()()sin0,π2fxx=+的部分图象如图所示，则（）A.2=B.π6=C.()fx的图象关于点π,012对称D.()fx在区间5ππ,4

上单调递增【答案】ACD【解析】【分析】根据三角函数的图象，先求得，然后求得，根据三角函数的对称性、单调性确定正确答案.【详解】()()5ππ2ππ,π,2,sin22632TTfxx=−=====+，π2sinπ133f=+=

，由于πππ2π7π,22636−+，所以2πππ,326+==−，所以A选项正确，B选项错误.()ππππsin2,2π,,66122kfxxxkxk=−−==+Z，当0k=时，得π12x=，所以()fx关于π,

012对称，C选项正确，11111πππππ2π22π,ππ,26263kxkkxkk−+−+−++Z，当11k=时，得()fx在54π,π63上递增，则()fx在区间5ππ,4上单调递增，所以D选项正确.故选：A

CD11.在平面直角坐标系中，将函数()fx的图象绕坐标原点逆时针旋转(090)≤后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称()fx为“旋转函数”.那么（）A.存在90旋转函数B.80旋转函数一定是70旋转函数C.若1()gxaxx=+为45旋转函数，则1a=D.若()

exbxhx=为45旋转函数，则2e0b−≤≤【答案】ACD【解析】【分析】对A，举例说明即可；对B，举反例判断即可；根据函数的性质，结合“旋转函数”的定义逐个判断即可；对CD，将45旋转函数转化为函数与任意斜率为1的函数最多一个交点，再联立函数与直线的

方程，分析零点个数判断即可.【详解】对A，如yx=满足条件，故A正确；对B，如倾斜角为20的直线是80旋转函数，不是70旋转函数，故B错误；对C，若1()gxaxx=+为45旋转函数，则根据函数的性质可得，1()gxaxx=+逆时针

旋转45后，不存在与x轴垂直的直线，使得直线与函数有1个以上的交点.故不存在倾斜角为45的直线与1()gxaxx=+的函数图象有两个交点.即()Ryxbb=+与1()gxaxx=+至多1个交点.联立1yaxxyxb=+=+可得()2110axbx−−+=.当1

a=时，10bx−+=最多1个解，满足题意；当1a时，()2110axbx−−+=的判别式()2Δ41ba=−−，对任意的a，都存在b使得判别式大于0，不满足题意，故1a=.故C正确；对D，同C，()exb

xhx=与()Ryxaa=+的交点个数小于等于1，即对任意的a，exbxax=−至多1个解，故()exbxgxx=−为单调函数，即()()11exbxgx−=−为非正或非负函数.又()11g=−

，故()110exbx−−，即()e1xbx−−恒成立.即exy=图象在()1ybx=−−上方，故0b−，即0b.当exy=与()1ybx=−−相切时，可设切点()00,exx，对exy=求导有exy=，

故000ee1xxx=−，解得02x=，此时02eexb=−=−，故2e0b−≤≤.故D正确.故选：ACD第二卷非选择题（92分）三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案直接填在答题卡中的横

线上.）12.已知3tan2=−，则()()()πcossinπ2cosπsin3π++−−的值为_________．【答案】32##1.5【解析】【分析】根据三角函数的诱导公式，化简求值，即得答案.【详解】由题

意知3tan2=−，则()()()πcossinπsin(sin)sin32tancosπsin3πcossincos2++−−==−=−=−−−,故答案为：3213.若实数1ba，且10loglog3abba+

=，则3lnlnab−=______.【答案】0【解析】【分析】由10loglog3abba+=，可得33loglnlnabba==，据此可得答案.【详解】因1ba，则log1ab，0<log1ba，又由换底公式推论可得loglog1abba=，设logabx=，则log1b

ax=，故11033logaxxbx+===，由换底公式，则330lnloglnlnlnabbaba==−=.故答案为：014.已知函数()()e1,0e2,0xxxxfxkxkx−−=++（e为自然对数底数），若关于x的方程()()0fxf

x+−=有且仅有四个不同的解，则实数k的取值范围是______.【答案】()e,+【解析】【分析】设()()()Fxfxfx=+−，由题可得当0x时，()Fx有两个零点，进而可得e2xxkxk=−有两个正数解，利用数形结合即可求得k的取值范围.【详解】令()()()F

xfxfx=+−，可得()()FxFx−=，所以函数()Fx为偶函数，由题意可知当0x时，()Fx有两个零点，当0x时，0x−，()e2xkkxxf−=+−，即当0x时，()()e1e2e2xxxxkxkFxkxkx−=−+=−++，由()0Fx=，可得e2xxkxk=−，即方程

e2xxkxk=−在()0,+上有两个正数解，∵函数exyx=的导函数为()1e0xyx=+在()0,+上恒成立，的∴作出函数exyx=与直线2ykxk=−大致图象如下图∵方程e2xxkxk=−在()0,+上有两个正数解，2ykxk=−恒过点1,02，∴0k，由e2,xy

yxkxk==−相切，设切点为(),ettt，由exyx=可得()1exyx=+，故切线的斜率为()1ett+，所以切线的方程为()()e1ettxtytt−+=−，由切线过1,02，可得()1e1e2ttttt−=−

+，解得1t=或12t=−（舍去），故切线的斜率为22ek=，即e=k，所以当ek时，直线与曲线由两个交点，综上可得实数k的取值范围是()e,+.故答案为：()e,+.【点睛】方法点睛：已知

函数零点（方程根）的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：（1）直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画

出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数()(),ygxyhx==的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为(),yaygx==的交点个数的图象的交点个数问

题．四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知函数()()sin(0,0,)2fxAxA=+的部分图象如图.（1）求函数()fx的解析式;（2）将函数()fx的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平

移6个单位，得到函数()gx的图象，当,6x−时，求()gx值域.【答案】（1）()2sin23fxx=−；（2）[3,2]−.【解析】【分析】（1）根据图象由函数最值求得A，由函数周期求得，由特殊点求得，即可求得解析式；

（2）根据三角函数图象的变换求得()gx的解析式，再利用整体法求函数值域即可.【小问1详解】由图象可知，()fx的最大值为2，最小值为2−，又0A，故2A=，周期453123T=−−=，2||

=，0，则2=，从而()2sin(2)fxx=+，代入点5,212，得5sin16+=，则5262k+=+，Zk，即23k=−+，Zk，又||2，则3=−.()2sin23f

xx=−.【小问2详解】将函数()fx的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，故可得2sin3yx=−；再将所得图象向左平移6个单位，得到函数()gx的图象故可得()2sin()6gxx=−；

[,]6x−5[,]636x−−，3sin,162x−−，2sin3,26x−−，()[3,2]gx−的值域为.16.ABCV的内角,,ABC的对边分别为,,abc，已知22cosabcB+=．（1）求角C；（2）若角C的平分

线CD交AB于点,313,13DADDB==，求CD的长．【答案】（1）2π3C=（2）3CD=【解析】【分析】（1）利用正弦定理及两角和的正弦定理整理得到()2cos1sin0CB+=，再利用三角形的内角及正弦函数的性质即可求解；

（2）利用正弦定理得出3ba=，再由余弦定理求出4a=，12b=，再根据三角形的面积建立等式求解．【小问1详解】由22cosabcB+=，根据正弦定理可得2sinsin2sincosABCB+=，则()2sinsin2sincosBCBCB++=，所以2sincos2cossi

nsin2sincosBCBCBCB++=，整理得()2cos1sin0CB+=，因,BC均为三角形内角，所以(),0,π,sin0BCB，因此1cos2C=−，所以2π3C=．【小问2详解】因为CD是角C的平分线

，313,13ADDB==，所以在ACD和BCD△中，由正弦定理可得，,ππsinsinsinsin33ADCDBDCDAB==，因此sin3sinBADABD==，即sin3sinBA=，所以3ba=，又由余弦定理可得2222coscababC=+−，即2222(413)93aaa=++，解得

4a=，所以12b=．又ABCACDBCDSSS=+△△△，即111sinsinsin222abACBbCDACDaCDBCD=+，即4816CD=，所以3CD=．17.已知等差数列na的公差0d，且1236aaa++=，2a，4a，8a成等比数列，数列nb满足1

222nnbbnba+++=.（1）求数列na，nb的通项公式；（2）设nnnbcc=，求证12104321ncccn+++−+.【答案】（1）nan=，2nbn=；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）列关于首项与公差的方程组，求解首项与公差，可得数列{}na的通项公

式，再由1222nnbbnba+++=，可得当2n…时，1212(1)2(1)nnbbnba−−+++−=，联立求得数列{}nb的通项公式；（2）由（1）知22nnnbcan==，验证1n=时，11

0423211c==−+；当2n…时，利用为222222211111()()42222ncnnnnnn===−−−+−+可证结论．【详解】（1）数列{}na是等差数列，依题知：12111336(3)()(7)adadadad+=+=++，解得111ad==或120ad==（舍

)．1(1)naandn=+−=．1222nnbbnba+++=，①当2n…时，1212(1)2(1)nnbbnba−−+++−=，②①−②得22(1)2nnnnbaa−=−=，2nbn=．又当1n=时，112ba==满足上式，2nbn=；证明：（2）由（1

）知22nnnbcan==．当1n=时，110423211c==−+；当2n…时，222222211111()()42222ncnnnnnn===−−−+−+．1222222222111111222222222ncccnnn++++−++−

=+−−+−+−+104321n=−+．综上，12104321ncccn+++−+„．【点睛】本题考查数列递推式，考查由数列递推式求数列的通项公式以及裂项相消法求和，训练了利用放缩法证明数列不等式，是中档题．18.已知3()()eexxfxgxxx−+=+，2()()[e()e]x

xfxgxxmx−−=−+，()fx为偶函数.（1）求()fx的解析式；（2）求证：0x时，()()fxgx=有且只有一个根0x，且012x；（3）若()gxax恒成立，求a.【答案】（1）e(e)xxxfxx−=−（2）证明见解析（3）1【解析】【分析】

（1）两式相加可得1()ee2xxfxxmx−=−，即可根据偶函数求解，（2）构造函数()22=e2xhxx−−，求导判断函数单调性，即可结合零点存在性定理求解，（2）分离参数，构造()2=eexxpxx−−+，求导确定函数单调性，即可求解.【小问1详解】由3()()eexxfxgxxx−+=+，

2()()[e()e]xxfxgxxmx−−=−+可得32ee[e()e]1()ee22xxxxxxxxxmxfxxmx−−−++−+==−，由于()fx为偶函数，故()11()eeee22xxxxfxfxxmxxmx−−=−−

=−+，进而可得()1ee102xxxxm−+−=，由于eexxxx−+不恒为0，故1102m−=，解得2m=，故e(e)xxxfxx−=−【小问2详解】令2()()[e(2)e]0xxfxgxxx−−=−+=，当0x时，则22e2xx=+，令()22=e2xhxx−−，

则()2e2xhxx=−，令()()()2e2,0xmxhxxx=−=则()22e20xmx=−，故()mx在(0,+∞)单调递增，故()()()01mxhxh==，故ℎ(𝑥)在(0,+∞)单调递增，又

()11e20,01024hh=−−=−，故存在唯一的0x，且0102x，得证，【小问3详解】3()eexxgxxx−−=+由()gxax可得当0x时，2eexxax−−+，当0x时，2eexxa

x−−+，令()2=eexxpxx−−+，则()()()222=e2ee21e1e0xxxxxpxxxxxx−−−−−−+−=−−+=−−，故()px(),0−单调递减，在(0,+∞)单调递减，故0x时，()()01pxp=，此时()apx，故1a

，当0x时，()()01pxp=，此时()apx，故1a，要使对任意的Rx，都有()gxax成立，故11a，故1a=，【点睛】方法点睛：对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某

点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.19.对于一个四元整数集,,,Aabcd=，如果它能划分成两个不相交的二元子集,ab和,cd，满足1abcd−=

，则称这个四元整数集为“有趣的”．（1）写出集合1,2,3,4,5,6,7,8的一个“有趣的”四元子集：（2）证明：集合1,2,3,4,5,6,7,8不能划分成两个不相交的“有趣的”四元子集：（3）证明：对任意正整数()2nn，集合1,2,3,,4n不能

划分成n个两两不相交的“有趣的”四元子集．【答案】（1）1,2,3,5（符合要求即可）（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据四元整数集定义写出即可；（2）假设可以划分成两个不相交的“有趣的”四元子集，再根据每个子集中均有两个偶数证明不成立即可；（3）假设1,2,

,4n可以划分为n个两两不相交的“有趣的”四元子集12,,,nSSS，再根据每个子集中均有两个偶数证明不成立即可.【小问1详解】1,2,3,5（符合要求即可）：小问2详解】假设可以划分，在【1,abcdab−=和cd一定是一个奇数一个

偶数，,,,abcd中至多两个偶数.则对于1,2,3,4,5,6,7,8的一种符合要求的划分1111,,,abcd和2222,,,,abcd每个四元子集中均有两个偶数．若两个集合分别为112

,4,,cd和226,8,,,cd则2247cd=或49，不存在22,cd使得226,8,,cd符合要求：若两个集合分别为112,6,,cd和224,8,,,cd则1111cd=或13，不存在11,cd使得

112,6,,cd符合要求：若两个集合分别为112,8,,cd和224,6,,,cd则2223cd=或25，不存在22,cd使得224,6,,cd符合要求；综上所述，1,2,3,4,5,6,7,8不能划分为两个不相交的“有趣的”四

元子集，【小问3详解】假设1,2,,4n可以划分为n个两两不相交的“有趣的”四元子集12,,,nSSS．每个子集中至多两个偶数，又1,2,,4n中恰有2n个偶数，每个子集中均有两个偶数，对于1in，可设,,,,iiiiiSabcd=其中,iiab偶数，,iicd为

奇数，再由奇偶性，只能是1iiiiabcd−=．()()1111,iiiiiiiiabcdcdcd=+++且11221122,,,,,,2,4,4,,,,,,,1,3,,41nnnnabababncdcdcdn==−．()()()()(

)()11221122244111111244,nnnnnabababcdcdcdn=++++++=．矛盾．1,2,,4n不能划分为n个两两不相交的“有趣的”四元子集．是