【文档说明】重庆市长寿中学校2022-2023学年高二上学期期中数学试题 含解析.docx，共(20)页，1.612 MB，由小赞的店铺上传

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重庆市长寿中学校高2022-2023学年高二上期半期考试数学试题本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名，准考证号等填写在答题卷规定的位置上

．2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑．3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卷规定的位置上．4．考试结束后，将答题卷交回．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题

给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求．1.圆心为()1,2-，半径3r=的圆的标准方程为（）A.()()22129xy−++=B.()()22129xy++−=C.()()22123xy−++=D.()()22123xy++−=【答案】B【解析】【分析】根据圆的标准方程的形式，由题中条件，可

直接得出结果.【详解】根据题意，圆心为()1,2-，半径3r=圆的标准方程为()()22129xy++−=；故选：B．2.若方程22153xykk+=−−表示椭圆，则k的取值范围为（）A.()3,4B.()4,5C

.()3,5D.()()3,44,5【答案】D【解析】【分析】由题意可得503053kkkk−−−−，解方程即可得出答案.【详解】因为方程22153xykk+=−−表示椭圆，所以505303534kkkk

kkk−−−−，解得：35k且4k.故k的取值范围为：()()3,44,5.故选：D.3.已知两点()()1,3,2,3MN−−−，直线l过点()11P，且与线段MN相交，则直线

的斜率k的取值范围是（）A.4k−或2kB.42k−C.2kD.4k−【答案】A【解析】【分析】根据点的坐标得到斜率，再结合倾斜角和斜率的变化关系得到k的范围.【详解】直线l与线段MN相交，所以临界情况为恰好经过点M或经过点N时，13211MPk+=

=+，13412NPk+==−−，由图可知，2k或4k−.故选：A.4.若异面直线1l，2l的方向向量分别是()0,2,1a=−−，()2,4,0b=，则异面直线1l与2l的夹角的余弦值等于（）A.25−B.25C.45−D.45【答

案】D【解析】【分析】由空间向量夹角的坐标运算求异面直线1l与2l的夹角的余弦值，注意夹角范围.【详解】设1l，2l所成的角为，则0804coscos,5525ababab−+====.故选：D5.已知实数x，y满足250xy++=

，那么22xy+的最小值为（）A.5B.10C.25D.210【答案】A【解析】【分析】22xy+可以看作是()xy，与原点的距离的平方，接着利用点到直线的距离公式即可求出答案【详解】解：()()2222

00xyxy+=−+−可以看作直线250xy++=上的动点()xy，与原点的距离的平方，又原点与该直线上的点的最短距离为原点到该直线的距离，则22xy+的最小值为222552+1=，故选：A6.在平行六面体1111ABCDABCD−中，3AB=，12ADAA==，90BAD=

，160BAA=，11cos4DAA=−，则1BD的长为（）A.3B.13C.21D.5【答案】A【解析】【分析】将1BD用1,,ABADAA表示，再结合数量积的运算律即可得出答案.【详解】解：111BAADDDABADAABD=++=

−++，则()211BDABADAA=−++222111222ABADAAABADABAAAAAD=++−−+11944023222224=++−−−3=，所以1BD的长为3.故选：A.7.已知点R在直线10xy−+=上，()1,3M，()3,1N−，则RMRN−的最大值为（

）A.5B.7C.10D.25【答案】C【解析】【分析】求出点()1,3M关于直线10xy−+=的对称点为(),Mxy，然后利用对称性可得RMRNRMRN−=−，从而即可求解.【详解】解：设点()1,3M

关于直线10xy−+=的对称点为(),Mxy，则311131022yxxy−=−−++−+=，解得22xy==，∴()2,2M，又()3,1N−，∴10RMRNRMRNMN−=−=.故选：C.8.已知椭圆()222210xyabab+=上一点A，它关

于原点的对称点为B，点F为椭圆右焦点，且满足AFBF⊥，设ABF=，且,123，则该椭圆的离心率e的取值范围是（）A.2,312−B.26,23C.631

,3−D.66,32【答案】B【解析】【分析】设椭圆得左焦点为F，连接,AFBF，则四边形AFBF为矩形，从而有2ABFFc==，由ABF=，可得sin,cosAFABBFAB==，再根据椭圆的定义计算

即可得解.【详解】解：如图所示，设椭圆得左焦点为F，连接,AFBF，则四边形AFBF为矩形，则2,ABFFcAFBF===，所以2BFBFBFAFa+=+=，在RtABF中，由ABF=，得sin2sin,cos2cosAFABcBFABc====，所以2si

n2cos2cca+=，所以11πsincos2sin4ca==++，因为,123，所以ππ7π,4312+，所以π62sin,242+，所以26,23cea=.故选：B.二、多选题：本大题共4

小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目的要求，部分选对的得2分，有选错的不得分．9.如图，直线1l，2l，3l的斜率分别为1k，2k，3k，则（）A.12kkB.32kkC.31kkD.13kk【答案】ABC【

解析】【分析】直接由斜率的定义判断即可.【详解】由斜率的定义可知，213kkk.故选：ABC.10.下列说法正确的有（）A.每一条直线都有且仅有一个倾斜角与之对应B.倾斜角为135的直线的斜率为1C.一条直线的倾斜角为，则其斜率为tank=D.直线斜率

的取值范围是(,)−+【答案】AD【解析】【分析】由倾斜角与斜率的关系即可判断.【详解】对A，每一条直线都有且仅有一个倾斜角与之对应，A正确；对B，tan1351k==−，B错误；对C，倾斜角为π2时，斜率不存在，C错误；对D，直线斜率ππtan,0,,π2

2k=，直线斜率的取值范围是(,)−+，D正确.故选：AD.11.(多选)下列说法中正确的是（）A.abab−=+是,ab共线的充要条件B.若AB，CD共线，则AB∥CDC.A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若311488OP

OAOBOC=++，则P，A，B，C四点共面D.若P，A，B，C为空间四点，且有PAPBPC=+(PB，PC不共线)，则λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件【答案】CD【解析】【分析】根据共线向量的定义、共面和共线的性质进行逐一

判断即可.【详解】由abab−=+，可得向量,ab的方向相反，此时向量,ab共线，反之，当向量,ab同向时，不能得到abab−=+，所以A不正确；若AB，CD共线，则AB∥CD或A，B，C，D四点共线，所以B不正确；由A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若311488OPOAOBOC=++

，因为3111488++=，可得P，A，B，C四点共面，所以C正确；若P，A，B，C为空间四点，且有PAPBPC=+(PB，PC不共线)，当λ＋μ＝1时，即μ＝1－λ，可得()PAPCPBCP−=+，即CACB=，所以A，B，C三点共线，反之也成立，即λ＋μ＝

1是A，B，C三点共线的充要条件，所以D正确.故选：CD12.设曲线C的方程为22xyxy+=+，下列选项中正确的有（）A.由曲线C围成的封闭图形的面积为2π+B.满足曲线C的方程的整点（横纵坐标均为整数的点）有5个C.若M，N是曲线上的任意两点，则

M，N两点间的距离最大值为22D.若P是曲线C上的任意一点，直线l：()()110mxny−+−=，则点P到直线l的距离最大值为22【答案】ACD【解析】【分析】根据题意，作出曲线C的图象，再数形结合依次讨论各选项

求解即可．【详解】对于曲线C，当0x，0y时，曲线C表示22xyxy+=+，即22111()()222xy−+−=，表示以11,22为圆心，半径为22的圆在第一象限的部分；当0x，0y时，曲线C

表示22xyxy+=−，即22111()()222xy−++=，表示以11,22−为圆心，半径为22的圆在第四象限的部分；当0x，0y时，曲线C表示22xyxy+=−+，即22111()()222xy++−=，表示以

11,22−为圆心，半径为22的圆在第二象限的部分；当0x，0y时，曲线C表示22xyxy+=−−，即22111()()222xy+++=，表示以11,22−−为圆心，半径为22的圆在第三象限

的部分；当0xy==时，曲线(0,0)C表示坐标原点；即其图象如图所示，由图可知，对于A，曲线C围成的图形的面积为4个半圆与1个正方形的面积之和，其面积为21214π222π222+=+，故A正确；对于B，曲线C恰好经过(0,0)，(1,0)，(1,0)−，

(0,1)，(0,1)−，(1,1)，(1,1)−−，(1,1)−，(1,1)−共9个整点，故B不正确；对于C，曲线上两点之间最大距离为22AB=，故C正确；对于D，由直线:(1)(1)0lmxny−+−=恒过定点(1,1)，由C知曲线上两

点之间最大距离为22AB=，故D正确．故选：ACD．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应位置上．13.椭圆2224xy+=的焦点坐标为______．【答案】

()2,0或()2,0−【解析】【分析】首先椭圆方程化简为标准方程，再求焦点坐标.【详解】椭圆方程为22142xy+=，焦点在x轴，24a=，22b=，所以2222cab=−=，所以椭圆的焦点坐标为()2,0.故答案为：()2,0或()2,0−14.若直

线1:(1)10laxy−+−=和直线2:620lxay++=平行，则=a___________．【答案】3【解析】【分析】根据两条直线平行的充要条件即可求解.【详解】解：因为直线1:(1)10laxy−+

−=和直线2:620lxay++=平行，所以()()()1611261aaa−=−−，解得3a=，故答案为：3.15.已知圆22:4Oxy+=与圆22:330Cxyxy+−+−=相交于A，B两点，

则sinAOB=______.【答案】158【解析】【分析】由题知直线AB的方程为310xy−−=，进而根据几何法得弦15AB=，再在AOB中，利用余弦定理并结合同角三角函数关系求解即可.【详解】解：因为圆22:4Oxy+=与圆22:330Cxyxy+−+−=相

交于A，B两点，所以直线AB的方程为：()()22223340xyxyxy−+−+−−+=，即310xy−−=，所以圆心()0,0O到弦AB的距离为12d=，所以弦222215ABd=−=，所以在AOB中，2OAOB==，由余弦定理得44157cos2228AOB+−==−，所以

sinAOB=249151cos1648AOB−=−=故答案为：15816.已知直线1l：210mxym+−−=，2l：20xmym−+−=，点P是圆224210xyxy+−−+=上的动点，记点P到直线1l和2l

的距离分别为1d，2d，则12dd的最大值为______．【答案】2【解析】【分析】判断直线12,ll过定点以及互相垂直，结合圆的方程作出示意图，结合基本不等式即可求得答案.【详解】当0m=时，1l为10y−=，2l为20x−=，两直线垂直；当0m时，直线1l：210

mxym+−−=即(2)10mxy−+−=，则直线1l过定点(2,1)，斜率为-m，2l：20xmym−+−=即2(1)0xmy−−−=，则直线2l过定点(2,1)，斜率为1m，故12ll⊥；圆224210xyxy+−−+=即22(2)(1)4xy−+−=，圆心设为(2,1)

A，半径为2，即直线12,ll过圆心(2,1)，过点P作12,PMlPNl⊥⊥，垂足为,MN，则12||,||MdPdPN==,而||2PA=，因为12ll⊥，四边形PMAN为矩形，则222221212122||42,ddddPAdd+==+

?\，当且仅当122dd==时等号成立，即12dd的最大值为2，故答案为：2四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．17.根据下列条件，求直线的一般方程．（1）过点()

3,1A，且与直线320xy++=平行；（2）与直线210xy−+=垂直，且与x，y轴的正半轴围成的三角形的面积等于4．【答案】（1）360xy+−=（2）240xy+−=【解析】【分析】（1）根据两条平行线的关系设出直线方程，然后代入点求

解即可；（2）根据两条线垂直的关系设出直线方程，再求出与坐标轴的交点列出等式解出来即可.【小问1详解】与直线320xy++=平行的直线，可设为30xyb++=，将()3,1A代入得330b++=，解得6b=−，所

以直线为：360xy+−=.【小问2详解】与直线210xy−+=垂直的直线可设为20xym++=，当0x=时2my=−，当0y=时，xm=−，因为与x，y轴的正半轴围成的三角形的面积等于4，所以()()14022

mmm−−=，解得4m=−，所以直线为：240xy+−=.18.已知圆C经过(0A，3)，()12B，两点，且圆心在直线1x=上．（1）求圆C的方程；（2）求过点()02P，且与圆C相切的直线方程．【答案】（1）x2+y2﹣2x﹣3＝0；（2）y＝2或4x﹣3y+6＝0

．【解析】【分析】（1）由圆心在直线1x=上，设圆心为（1，t），再由C经过(0A，3)，()12B，两点可得1+（t﹣3）2＝0+（t﹣2）2，求得圆心和半径即可得解；（2）根据题意切线的斜率存在可设直线方程为y＝kx+2，再利用直线和圆相切可得d＝221kk++＝2，求得k即可得解.【小问1详

解】根据题意，设圆心C的坐标为（1，t），则有1+（t﹣3）2＝0+（t﹣2）2，解可得t＝0，即圆心的坐标为（1，0），圆的半径r＝13+＝2，则圆的方程为（x﹣1）2+y2＝4，即x2+y2﹣2x﹣3＝0；【小问2详解】根据题意，圆的方程为（x﹣1）2+y2＝4，过点P（0，2

）作圆的切线，斜率必定存在，设切线的斜率为k，则切线的方程为y＝kx+2，即kx﹣y+2＝0；则有d＝221kk++＝2，解可得k＝0或43；故切线的方程为y＝2或4x﹣3y+6＝0．19.设12,FF分别是椭圆()2222:10xyCabab+=的左右焦点，C的离心率为

2,2点()0,1是C上一点.（1）求椭圆C的标准方程；（2）倾斜角为45o且过点1F的直线与椭圆C交于,AB两点，求2ABF△的面积.【答案】（1）2212xy+=；（2）43.【解析】【分析】（1）由椭圆离心率、过定点，结合222abc=+

求2a、2b，写出椭圆方程.（2）由题意知直线AB为1yx=+，联立椭圆方程得12124,03xxxx+=−=，结合点线距、弦长公式求线段长，进而求2ABF△的面积.【详解】（1）由题意知：221,2cba==，又由222abc=+知：22a=，∴椭圆22:12xCy+=；（2）由题意知：12

(1,0),(1,0)FF−，则直线AB为1yx=+，∴2F到直线AB的距离为|11|22d+==，联立方程221022xyxy−+=+=，整理得2340xx+=，即有12124,03xxxx+=−=，而2212121242||1||2()43ABkxxxxxx=+−=+−=，∴2ABF△

的面积为14||23SdAB==.【点睛】关键点点睛：由离心率、过定点并结合椭圆参数关系求椭圆标准方程；应用点线距离公式、弦长公式求得三角形对应的底和高，由面积公式求三角形面积.20.如图，在棱长为a的正方体1111ABCDABCD−中，点P为线段1BC上的一

个动点，连接1,,APDPAP．（1）求证：AP∥面11ACD；（2）求直线1AC与平面11ACD所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）13【解析】【分析】（1）由P为线段1BC上的一个动点，可知AP平面1ABC，那么要证AP∥平面11ACD只要证平面1ABC∥平面11ACD即可：

（2）以1D为原点，11111,,DADCDD所在的直线分别为,,xyz轴建立空间直角坐标系，计算直线AC的方向向量与平面11ACD的法向量，在计算向量的余弦值即可求出直线AC与平面11ACD所成角的正弦值.【小问1详

解】证明：连接1,ACAB，可得11ACAC∥，11BCAD∥，因1,ACBC平面1ABC，111,ACAD平面1ABC，所以11AC∥平面1ABC，1AD∥平面1ABC，为因为1111ACADA=，1

11,ACAD平面11ACD，所以平面1ABC∥平面11ACD，因为AP平面1ABC，所以AP∥平面11ACD【小问2详解】以1D为原点，11111,,DADCDD所在的直线分别为,,xyz轴建立空间直角坐标系则()

1,0,0Aa，()0,0,Da，()10,,0Ca，()0,,Caa，所以()1,0,ADaa=−，()11,,0ACaa=−，()1,,ACaaa=−，设平面11ADC的一个法向量分别为：()2222,,nxyz=

，则：2122212200nACaxaynADaxaz=−+==−+=，令21x=，则2(1,1,1)n=，设直线1AC与平面11ADC所成的角的大小为，则：12122121sincos,

333ACnaACnACna====，∴直线1AC与平面11ADC所成的角的正弦值为13．21.如图甲，在矩形ABCD中，222ABAD==，E为线段DC的中点，ADEV沿直线AE折起，使得6DC=，O点为AE的中点，连接DO、OC，如图乙．（1）求证：DOOC⊥；（2）线段AB上

是否存在一点H，使得平面ADE与平面DHC所成的角为π4？若不存在，说明理由；若存在，求出H点的位置．【答案】（1）证明见解析（2）存在，点H是线段AB的中点【解析】【分析】（1）取线段AE的中点O可得DOA

E⊥，由余弦定理求出5=OC，根据勾股定理可得答案；（2）以E为原点，,,EAEBl分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面ADE的法向量，设H的坐标为(),2,0tt−，02t，，可求出平面DHC的法向量，利用二面角的向

量求法可得t．【小问1详解】取线段AE的中点O，连接,DOOC，在RtADEV中，2DADE==，,1DOAEDO⊥=，OEC△中，131,2,π24OEAEECOEC====，由余弦定理可得：2

21221252OC=++=，5OC=，在DOC△中，2226==+DCDOOC，DOOC⊥；小问2详解】因为DOAE⊥，DOOC⊥，=AEOCO，、DOAE平面ABCE，90AEB=，在【所以DO⊥平面ABCE，

过E作DO平行线l，以E为原点，,,EAEBl分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，()()()()1,0,1,1,1,0,2,0,0,0,2,0DCAB−，平面ADE的法向量()10,1,0n=，在平面直角坐标系xOy中，直线AB的方程为

2xy+=，设H的坐标为(),2,0tt−，02t，，则()()1,1,02,1,1，=−−−=−−HCttDC，设平面DHC的法向量为()2,,nxyz=uur，2200，==nHCnDC，所以()()11020，−−+−=

−+−=txtyxyz，令1yt=+，则()2131,1,3，，=−=−=−+−xtztnttt，由已知1222212π21cos421(1)(1)(3)nntnnttt+===−+++−，解之得：1t=或9（舍去

），所以点H是线段AB的中点．22.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，动点G到()13,0F−，()23,0F的两点的距离之和为4．（1）试判断动点G的轨迹是什么曲线，并求其轨迹方程C．（2）已知直线()

()30ykxk=−与圆()2221:34Fxy−+=交于M、N两点，与曲线C交于P、Q两点，其中M、P在第一象限，d为原点O到直线l的距离，是否存在实数k，使得()22TNQMPd=−取得最大值，若存在，求出k和最大值；若不存在，说明理由．的【答案】（1）动点G的

轨迹是以1F，2F为焦点的椭圆，2214xy+=（2）22k=时2(||||)2TNQMPd=−取得最大值2【解析】【分析】（1）由题意知，12423GFGF+=，根据椭圆的定义可得动点G的轨迹是椭圆，进而由椭圆的定义可知，c，a，b，进而可得答案．（2）设11(,)Pxy，2

2(,)Qxy，联立直线l与椭圆的方程，结合韦达定理得12+xx，12xx，再由弦长公式可得||PQ，2F的直径||1MN=，根据题意可得2341NQMPk−=+，再计算点O到直线l的距离231kdk=+，最后计算2(

)2TNQMPd=−，由基本不等式，即可得出答案．小问1详解】解：由题意知，12423GFGF+=，所以动点G的轨迹是以1F，2F为焦点的椭圆，且3c=，=2a，又因为222acb−=，所以21b=，所以G的轨迹方程为2214xy

+=．【小问2详解】解：当3x=时()22314y+=，解得12y=，又圆()2221:34Fxy−+=的半径12r=，所以M在椭圆外，N在椭圆内，点P在2F内，Q在2F外，在直线l上的四点满足：|

|||||MPMNNP=−，||||||NQPQNP=−，由22+=14=(3)xyykx−，消去y整理得2222(14)831240kxkxk+−+−=，【因为直线l经过椭圆C内的右焦点2F，所以该方程的判别式0恒成立，设11(,)Pxy，22(,)Qxy，所以212

28314kxxk+=+，212212414kxxk−=+，2221212244||(1)[()4]41kPQkxxxxk+=++−=+，又因为2F的直径||1MN=，所以23()141NQMPPQNPMN

NPPQMNPQk−=−−−=−=−=+，(3)ykx=−化为30kxyk−−=，因为d为点O到直线l的距离231kdk=+，2222242222218181818=()2====21(4+1)(+1)4+5+114++524+5kkTNQMPdkkkkkkkk−，当且仅当221

4kk=，即22k=时等号成立，获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com