【文档说明】北京市海淀区北京交大附中2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题 Word版含解析.docx，共(17)页，1.000 MB，由小赞的店铺上传

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北京交大附中2023-2024学年第一学期12月练习高一数学2023.12说明：本试卷共4页，共120分.考试时长90分钟.一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.）1.已知命题:0px，25410xx−+，则命题p的否定为（

）A.0x，25410xx−+B.0x，25410xx−+C.0x，25410xx−+D.0x，25410xx−+【答案】C【解析】【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题易求.【详解】根据全称量词命题的否定为存在量词命题知：命题:0px，25410xx−+

的否定为：0x，25410xx−+.故选：C2.设集合33xAx=，230Bxxx=−，则AB=（）A.()1,3B.)1,3C.()0,3D.)0,3【答案】A【解析】【分析】先化简集合A，B，再根据集合的运算得解.【详解】由33x，即133x

，因为3xy=是R上的单调递增函数，所以1x，1Axx=；又230xx−，解得03x，03Bxx=；()1,3AB=故选：A.3.以下函数既是偶函数又在(0,)+上单调递减的是（）.A.4()fxx=B.()fxx=C.

1()2xfx=D.12()logfxx=【答案】D【解析】【分析】利用奇偶性的定义和指数函数、对数函数、幂函数的性质，对选项逐一判断即可.【详解】选项A中，4()fxx=，满足()44()()fx

xxfx−=−==，()fx是偶函数，但由幂函数性质知4()fxx=在(0,)+上单调递增，故不符合题意；选项B中，由幂函数性质知，()fxx=在定义域)0,+内单调递增，0x无意义，故不具有奇偶性，不符合题意；选项C中，由指数函数性质可知，1()2xfx=

在R上单调递减，但1()()22xxfxfx−−==，故不是偶函数，不符合题意；选项D中，12()logfxx=定义域()(),00,−+，满足1122()loglog()fxxxfx−=−==，故()fx是偶函数，当0x时，12()log

fxx=，由对数函数性质可知，12()logfxx=在(0,)+上单调递减，故12()logfxx=符合题意.故选：D.4.已知xy，则下列不等式一定成立的是（）A.33xyB.11xyC.22x

y−−D.()()22lg1lg1xy++【答案】A【解析】【分析】根据不等式的性质，幂函数，指数函数和对数函数的性质判断．【详解】对A，根据幂函数3yx=在R上单调递增得xy时，33xy，故A正确；对B，当0xy时，11xy，B错；对C，xy，则

xy−−，根据指数函数2xy=在R上单调递增得22xy−−，故C错误；对D，xy时，例如，2,1xy=−=，则2211xy++，根据对数函数lgyx=在()0,+上单调递增，则()()22lg1>lg1xy++，

因此D错；故选：A．5.函数()lg1yx=−的图象是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】将函数lgyx=的图象进行变换可得出函数()lg1yx=−的图象，由此可得出合适的选项.【详解】将函数lgyx=的

图象先向右平移1个单位长度，可得到函数()lg1yx=−的图象，再将所得函数图象位于x轴下方的图象关于x轴翻折，位于x轴上方图象不变，可得到函数()lg1yx=−的图象.故合乎条件的图象为选项C中的图象.故选：C.【点睛】结论点睛：两种常见的图象翻折变换：()()xxxfxfx⎯⎯⎯⎯⎯⎯

⎯⎯⎯⎯⎯⎯→保留轴上方，将轴下方的图象沿轴对称，()()yyyfxfx⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→保留轴右方图像，将轴右方图象沿着轴对称.6.已知()fx是定义域为R的奇函数，当0x时，()fx单调递增，且()40f=，则满足不等式()

10xfx−的x的取值范围是（）A.()3,1−B.()1,5C.()()3,01,5−D.()(),31,5−−【答案】C【解析】【分析】由奇函数的定义和单调性的性质，即可求解不等式．【详解】因为()fx

是定义在R上的奇函数，0x时，()fx单调递增，且()40f=，所以当()(),40,4x−−时，()0fx，当()()4,04,x−+时，()0fx，不等式()10xfx−，则当0x时，有(

)10fx−，即410x−−或14x−，解得31x−或5x，又0x，30x−；当0x时，有()10fx−，即14x−−或014x−，又0x，解得15x；综上，不等式()10xfx−的解集为()()3,01,5−.故选：C.7.已知函数2,

1(),1xaxfxxax−=−+，则“函数()fx有两个零点”成立的充分不必要条件是aA.(0,2]B.(1,2]C.(1,2)D.(0,1]【答案】C【解析】【分析】根据()fx单调性，结合已知条件，求得()fx有两个零点的

充要条件，再结合选项进行选择即可.【详解】2,1(),1xaxfxxax−=−+()fx在,1（-）上单调递增，在1+（，）上单调递减．故“函数()fx有两个零点”(1)20,0,(1)

10faafa=−−−+，解得12a，“函数()fx有两个零点”成立的充分不必要条件必须为(1,2]的子集，只有C符合，故选：C．【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，涉及由函数零点个数求参数范围问题，属综合基础题.8.在一个不透明的袋子里装有

四个小球，球上分别标有6，7，8，9四个数字，这些小球除数字外都相同.甲、乙两人玩“猜数字”游戏，甲先从袋中任意摸出一个小球，将小球上的数字记为m，再由乙猜这个小球上的数字，记为n.如果m，n满足1mn−，那么就称甲、乙两人“心领

神会”，则两人“心领神会”的概率是（）A.14B.38C.12D.58【答案】D【解析】【分析】根据古典概型的计算公式，结合绝对值不等式进行求解即可.【详解】根据题意，m，n的情况如下：()()()()

()()()()6,6,6,7,6,8,6,9,7,6,7,7,7,8,7,9,()()()()()()()()8,6,8,7,8,8,8,9,9,6,9,7,9,8,9,9,共16种情况，其中m，n满足1mn−

的情况如下：()()()()()()()()()()6,6,6,7,7,6,7,7,7,8,8,7,8,8,8,9,9,8,9,9,共10种情况，所以两人“心领神会”的概率是105168=，故选：D9.函数

()213log3yxax=−+在[1,2]上恒为正数，则实数a的取值范围是（）A.2223aB.7222aC.732aD.323a【答案】D【解析】【分析】根据底数是13，213()log(3)yfxxax==−+在[1

,2]上恒为正数，故2031xax−+在[1,2]上恒成立，进而解不等式就可以了．【详解】解：由于底数是13，从而213()log(3)yfxxax==−+在[1,2]上恒为正数，故2031xax−+在[1,2]上恒成

立，即23xaxxx++由于[1,2]x，33223xxxx+=当且仅当3xx=即3x=时取等号；由对勾函数的性质可知，函数()2gxxx=+在1,2上单调递减，在2,2上单调递增，且()()123gg==所以323a．故

选：D．【点睛】本题主要考查对数型函数，一元二次函数值域问题，属于中档题．10.形如221n+(n是非负整数)的数称为费马数，记为.nF数学家费马根据0123,,,,FFFF4F都是质数提出了猜想:费马数都是质数.多年之后，数学家欧拉计算出5F不是质数，那

5F的位数是（）(参考数据:lg2≈0.3010)A.9B.10C.11D.12【答案】B【解析】【分析】32521F=+,设322m=,两边取常用对数估算m的位数即可.【详解】32521F=+,设322

m=，则两边取常用对数得32lglg232lg2320.30109.632m===?.9.63291010m=?，故5F的位数是10，故选：B．【点睛】解决对数运算问题的常用方法：(1)将真数化为底数

的指数幂的形式进行化简．(2)将同底对数的和、差、倍合并．(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．(4)利用常用对数中的lg2lg51+=简化计算.二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上

）11.函数()2lg54yxx=−+的定义域为__________.【答案】()()4,,1+−【解析】【分析】利用对数函数真数大于零，解不等式即可求得结果.【详解】由对数函数定义可得2540xx−+，解得>4x

或1x，所以函数定义域为()()4,,1+−.故答案为：()()4,,1+−12.某高中学校进行问卷调查，用比例分配的分层随机抽样方法从该校三个年级中抽取36人进行问卷调查，其中高一年级抽取了1

5人，高二年级抽取了12人，且高三年级共有学生900人，则该高中的学生总数为__________人.【答案】3600【解析】【分析】根据分层抽样的抽样比即可求解.【详解】由题意可知：高三年级抽取了36151

29−−=人，由于高三共有900人，所以抽样比为1100，所以高中学生总数为361003600=，故答案为：360013.令0.76a=，60.7b=，0.7log6c=，则三个数a，b，c的大小顺序是______.（用“<”连接）【答案】cba【解析】【分析】根据指数函数和对数函数单调

性，结合临界值0,1即可确定大小关系.【详解】0.7000.60.70.76610.70.70log1log6===，cba.故答案为：cba.14.为了解本书居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进

行了“家庭每月日常消费额”的调查.他们将调查所得的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为1s，2s，3s，则它们的大小关系为______.（用“<”连接）【答案】231sss【解析】【分析】

根据平均数公式及方差公式分别计算21s、22s、23s，即可判断；【详解】由图甲：平均值为()150012500.000617500.000422500.000227500.000232500.0006x=++++2200=，

22221(12502200)(175021200)(22502200)0.30.20.s=−++−−22)0.10.3(27502200)(32502200+−−+672500=，212500.117500.222500.427500.232500.1x=++++225

0=，22222(12502250)(175024250)(22502250)0.10.20.s=−++−−22)0.20.1(27502250)(32502250+−−+300000=，3

12500.217500.222500.327500.232500.1x=++++2150=，22223(12502150)(175023150)(22502150)0.20.20.s=−++−−22)0.20.1(27502150)(32502

150+−−+390000=，则标准差231sss，故答案为：231sss.15.如图，在等边三角形ABC中，AB=6.动点P从点A出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到A点，记P运动的路程为x，点P到此三角形中心O距离的平方为f(x)，给出下列三

个结论：①函数f(x)的最大值为12；②函数f(x)的图象的对称轴方程为x=9；③关于x的方程()3fxkx=+最多有5个实数根.其中，所有正确结论的序号是____.【答案】①②【解析】【分析】写出P分别

在,,ABBCCA上运动时的函数解析式2()fxOP=，利用分段函数图象可解.详解】P分别在AB上运动时的函数解析式22()3(3),(06)fxOPxx==+−，P分别在BC上运动时的函数解析式22()3(9),(612)fxOPxx==+−

，P分别在CA上运动时的函数解析式22()3(15),(1218)fxOPxx==+−，【22223(3),(06)()||3(9),(612)3(15),(1218)xxfxOPxxxx+

−==+−+−，由图象可得，方程()3fxkx=+最多有6个实数根故正确的是①②.故答案为：①②【点睛】利用函数图象可以解决很多与函数有关的问题，如利用函数的图象解决函数性质问题，函数的零点、方程根的问题，有关不等

式的问题等.解决上述问题的关键是根据题意画出相应函数的图象，利用数形结合思想求解.三、解答题（本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.已知集合213Axx=−

，221,Bxmxmm=−+R.（1）当6m=时，求集合AB；（2）若ABB=，求实数m的取值范围.【答案】（1）{313}ABxx=∣（2）(),3−−【解析】【分析】（1）直接代入计算，再根据并集含

义计算即可；（2）分集合B是否为空集讨论即可.【小问1详解】由()()222311005303333xxxxxxx−−−−−−−−−解得{35}Axx=∣.当6m=时，413Bxx=∣，则{313}ABxx=∣【小问2详

解】由ABB=，得BA.当B=时，有221mm−+，解得3m−.当B时，有323215mmm−−+，无解.综上，(),3m−−.17.已知函数()22fxx=+.（1）求函数()fx的定义域和值域；（2）求函数()fx在区间(),1ttt+R上的最小值.【

答案】17.定义域为R，值域为)2,+18.答案见解析【解析】【分析】（1）根据二次函数的性质可得答案；（2）讨论对称轴与区间的关系，结合二次函数性质可得答案.【小问1详解】由题意定义域为R，因为20x，所以222x≥+，即值域为)

2,+.【小问2详解】()fx图象的对称轴为0x=，当10t+时，即1t−时，()fx在区间,1tt+上单调递减，则()fx在区间,1tt+上的最小值为()2(1)12ftt+=++；当01tt+时，即10t−时，()fx在),0t上单调递减，在

(0,1t+上单调递增，则()fx在区间,1tt+上的最小值为(0)2f=；当0t时，()fx在区间,1tt+上单调递增，()fx在区间,1tt+上的最小值为2()2ftt=+；综上可得1t−时，最小值为()212t++；10t−时，最

小值为2；0t时，最小值为22t+.18.在新高考背景下，北京高中学生需从思想政治､历史､地理､物理､化学､生物这6个科目中选择3个科目学习并参加相应的等级性考试.为提前了解学生的选科意愿，某校在期中考试之后，组织该校高一学生进行了模拟选科.为了解物理和其他科目组合的人

数分布情况，某教师整理了该校高一（1）班和高一（2）班的相关数据，如下表：物理+化学物理+生物物理+思想政治物理+历史物理+地理高一（1）班106217高一（2）班.159316其中高一（1）班共有40名学生，高一（2）班共有38名学生.

假设所有学生的选择互不影响.（1）从该校高一（1）班和高一（2）班所有学生中随机选取1人，求此人在模拟选科中选择了“物理+化学”的概率；（2）从表中选择“物理+思想政治”的学生中随机选取2人参加座谈会，求这2人均来自高一（2）班的概率；（3）该校在本学期期末考试之后组织

高一学生进行了第二次选科，现从高一（1）班和高一（2）班各随机选取1人进行访谈，发现他们在第二次选科中都选择了“物理+历史”.根据这一结果，能否认为在第二次选科中选择“物理+历史”的人数发生了变化？说明理由.【答案】（1）2578（2）310（3）答案见解析【解析】【分析】（1）（2）根据古典

概型的概率公式即可求解，（3）根据小概率事件即可求解.【小问1详解】依题意得高一（1）班和高一（2）班学生共有403878+=人，即该随机试验的样本空间有78个样本点.设事件A=“此人在模拟选科中选择了“物理+化学”，则事件A包

含101525+=个样本点，所以()2578PA=.【小问2详解】依题意得高一（1）班选择“物理+思想政治”的学生有2人，分别记为12,AA；高一（2）班选择“物理+思想政治”的学生有3人，分别记为123,,BBB.该随机试验的样本空间可以表示为：Ω={121112132

12223121323,,,,,,,,,AAABABABABABABBBBBBB}即()Ω10n=.设事件B=“这2人均来自高一（2）班”，则121323,,BBBBBBB=，所以()3nB=，故()()()3Ω10nBPBn==.【小问3详解】设事

件C=“从高一（1）随机选取1人，此人第二次选科中选择了“物理+历史”，事件D=“从高一（2）班随机选取1人，此人在第二次选科中选择了“物理+历史”，事件E=“这两人在第二次选科中都选择了“物理+历史”.假设第二次选科中选择“物理+历史”的人数没有发生变化，则由模拟选科数据可知，()()1

1,4038PCPD==.所以()()()()11140381520PEPCDPCPD====.答案示例1：可以认为第二次选科中选择“物理+历史”的人数发生变化.理由如下：()PE比较小，概率比较小的事件一般不

容易发生.一旦发生，就有理由认为第二次选科中选择“物理+历史”的人数发生了变化.答案示例2：无法确定第二次选科中选择“物理+历史”的人数是否发生变化.理由如下：事件E是随机事件，()PE虽然比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生，所以无法确定第二次选科在中选择“物理+历史”的人数是否有变化.

19.已知函数()2log2axfxx−=+（0a且1a）．（1）求()fx的定义域；（2）若当2a=时，函数()()gxfxb=−在()2,+有且只有一个零点，求实数b的范围；（3）是否存在实数a，使得当()fx的定义域为,mn时，值域为1log,1logaanm++，若存

在，求出实数a的范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）()(),22,−−+（2）(),0−（3）存在；3220,2a−【解析】【分析】（1）由202xx−+可得()fx的

定义域；（2）注意到()24122xtxxx−==−++在()2,+上单调递增，则()fx在()2,+，即b的范围是就是()fx在()2,+上的值域；（3）由题可得01a，则问题转化为22xaxx−=+在()2,+上有两个互异实根，即可得答案.【小问1详解】由2

02xx−+，得<2x−或2x．∴()fx的定义域为()(),22,−−+；【小问2详解】令()24122xtxxx−==−++，因函数42=+yx在()2,+上单调递减，则()tx在()2,+上为增函

数，故()tx值域为()0,1.又2a=，∴()fx在()2,+上为增函数；函数()()gxfxb=−在()2,+有且只有一个零点，即()fxb=在()2,+有且只有一个解，∵函数()fx在()2,+的值域为(),

0−，的∴b的范围是(),0−．【小问3详解】假设存在这样的实数a，使得当()fx的定义域为,mn时，值域为1log,1logaanm++，由mn且1logan+1logam+，可得01a．又由（2）()412txx=−+在()2,+上为增函

数，logayx=在()2,+上为减函数.则()fx在()2,+上为减函数，得()()()()2log1loglog22log1loglog2aaaaaamfmmammnfnnann−==+=+−==+=+.即22xaxx−=+在()2,

+上有两个互异实根，因()2221202xaxaxaxx−=+−+=+即()()2212gxaxax=+−+，有两个大于2的相异零点.设()gx零点为12,xx，则()()()()212122180Δ02144220221240aaaxxax

xaaa−−−+−−−−++.解得32202a−．又∵01a，故存在这样的实数3220,2a−符合题意．20.对于函数()fx，若在定义域内存在实数0x，且00x，满足()()00fxfx−=，则称()fx

为“弱偶函数”.若在定义域内存在实数0x，满足()()00fxfx−=−，则称()fx为“弱奇函数”.（1）判断函数()31,0,0xfxxxx=是否为“弱奇函数”或“弱偶函数”；（直接写出结论）（2）已知函数()()21gxx

x=−+，试判断()gx为其定义域上的“弱奇函数”，若是，求出所有满足()()00gxgx−=−的0x的值，若不是，请说明理由；（3）若()2,43,4xmxxhxxx−=+为其定义域上的“弱奇函数”.求实数m取值范围.【

答案】（1）弱奇函数（2）()gx不是其定义域上的“弱奇函数”.（3）15,44【解析】【分析】（1）根据所给定义判断即可；（2）对x分类讨论即可；（3）首先由20xmx−在)4,+上恒成立，求出m的取值范围，依题意存

在实数0x使得()()00hxhx−=−，分04x、044x−、04x−三种情况讨论，分别结合方程有解求出m的取值范围，即可得解.【小问1详解】当0x时，则0x−，若31xx=−，无实数解，舍去；若31xx=−−，解得=

1x−（正舍），当0x时，则0x−，若31xx−=，无实数解，舍去；若31xx−=−，解得1x=（负舍），则存实数01x=，满足()()00fxfx−=−，则()fx是“弱奇函数”，【小问2详解】假设()()21gxxx=−+

为其定义域上的“弱奇函数”，则()()2121xxxx−+=+−，若1x，则()()()()2121xxxx−+=+−，则0x=，舍去；若11x−，则()()()()2121xxxx−+=+−，则2x=，舍去；若1x−，则()()()()2121xxxx−+=+−，则

0x=，舍去；从而()()00gxgx−=−无解，所以()gx不是其定义域上的“弱奇函数”.【小问3详解】由20xmx−在)4,+上恒成立，转化为mx在)4,+上恒成立，即4m.在因为()2,43,4xmxxhxxx−=

+为其定义域上的“弱奇函数”，所以存在实数0x使得()()00hxhx−=−，当04x时，则04x−−，所以20003xxmx−+=−−，即20003xxmx−=−，所以()220003xxmx−=−，0069xmx−+

=−，即096mx=−在)4,+有解可保证()fx是“弱奇函数"，所以15,64m，又因为4m，所以15,44m；当044x−时，044x−−，此时()00330xx−+−−=，不成立；当04x−

时，则04x−，所以()20003xmxx+=−+，则22000069xmxxx+=++，即()069mx−=，即096mx=+在(,4−−有解可保证()fx是“弱奇函数”，所以15,64m，由4m可知15,44m

；综上所述，实数m的取值范围为15,44m.【点睛】关键点睛：本题属于新定义问题，对于新定义问题，关键是理解所给定义，将问题转化为方程有解，分段函数注意分类讨论.