【文档说明】湖南省长沙市雅礼中学2022-2023学年高二下学期3月第一次月考数学试题 含解析.docx，共(24)页，1.949 MB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-7d26cf946be066d11ea1b5178c1badeb.html

以下为本文档部分文字说明：

雅礼中学高二月考试卷2023.3一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．）1.设复数z满足(1+i)z=2i，则∣z∣=（）A.12B.22C.2D.2【答案】C【解析】【分析】求出1iz

=+即得解.【详解】解：由题意可得2i1iz=+，所以2i(1i)22i1i(1i)(1i)2z−+===++−，所以22||112z=+=.故选：C2.记nS为等差数列{}na的前n项和．若4524aa+=，648S=，则{}na的公差为（）A.1B.2C.4D.8【答案】C【解析】【分析】

根据等差数列的通项公式及前n项和公式利用条件4524aa+=，648S=列出关于1a与d的方程组，通过解方程组求数列{}na的公差.【详解】设等差数列{}na的公差为d，则45111342724aaadadad+=+++=+=，611656615482Sad

ad=+=+=，联立11272461548adad+=+=，解得4d=.故选：C.3.函数f(x)=2sincosxxxx++在[—π，π]的图像大致为A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】

先判断函数的奇偶性，得()fx是奇函数，排除A，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．【详解】由22sin()()sin()()cos()()cosxxxxfxfxxxxx−+−−−−===−−+−

+，得()fx是奇函数，其图象关于原点对称．又221422()1,2()2f++==2()01f=−+．故选D．【点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法或赋值

法，利用数形结合思想解题．4.已知a→，b→为两个非零向量，||1a→=，||2b→=，且()aba+⊥，则a→与b→的夹角为（）A.30°B.60°C.120°D.150°【答案】C【解析】【分析】先根据向量垂直求出ab→→，再利用夹角公式求出余弦值，最后得出答案.【详解】2()0,

1abaaabab→→→→→→→→+=+==−，1cos,,2||||ababab→→→→→→==−ar与b的夹角是120°.故选：C.5.()()522xyxy−−的展开式中的33xy系数为（）A.200−B.120−C.120D.200【答案】A【解析】【分析】由

题意首先确定5(2)xy−展开式的通项公式，再采用分类讨论法即可确定33xy的系数.【详解】5(2)xy−展开式的通项公式为()()555155(2)2rrrrrrrrTCxyCxy−−−+=−=−，当3r=时，()353353

2345240TCxyxy−−=−=−，此时只需乘以第一个因式()2xy−中的x即可，得到3340xy−；当2r=时，()2522523253280TCxyxy−−=−=，此时只需乘以第一个因式()2xy−中的2

y−即可，得到33160xy−；据此可得：33xy的系数为40160200−−=−.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查二项式定理具体展开项的系数求解问题，解题的关键是写出5(2)xy−的通项()55152rrrrrTCxy−−+=−，再

分类讨论r的值，确定33xy的系数，考查学生的分类讨论思想与运算能力，属于中档题.6.已知椭圆22xa＋22yb＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为A.245x

＋236y＝1B.236x＋227y＝1C.227x＋218y＝1D.218x＋29y＝1【答案】D【解析】【详解】设11(,)Axy、22(,)Bxy，所以22222211222211xyaxyabb+=+=，运用点差法，所以直线AB的斜率为22b

ka=，设直线方程为22(3)byxa=−，联立直线与椭圆的方程222224()690abxbxba+−+−=，所以2122262bxxab+==+；又因为229ab−=，解得229,18ba==.【

学科网考点定位】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查学生的化归与转化能力.7.已知π3sincos65−+=，则πcos23+=（）A.725−B.725C.2425−D.2425【答案】B【解析】【分析】根据三角恒等变换公式求解.【详解】π313sincossinco

scos,6225−+=−+=所以313sincos225+=，所以π3sin,65+=2πππ97cos2cos212sin12,3662525+=+=−+=−=故选:B.8

.已知函数()fx的导函数为()fx，且对任意的实数x都有()()()23xfxexfx−=+−(e是自然对数的底数)，且()01f=，若关于x的不等式()0fxm−的解集中恰有两个整数，则实数m的取值范围是（）A.),0e−B.)2,0e−C.(,0e

−D.(2,0e−【答案】C【解析】【分析】由题意得()()23xefxfxx+=+即()23xefxx=+求出()fx解析式，利用导数研究其单调性和极值与最值，结合图象即可求解.【详解】()()23xxfxfxe+=−即()()23xefxfxx+=+，所以(

)23xefxx=+，则()23xefxxxc=++，所以()23xxxcfxe++=，因为()01f=，所以()001cfce===，所以()231xxxfxe++=，()()()()()(

)2222331221xxxxxxeexxxxxxfxeee+−++−+−−+−===，由()0fx¢>得2<<1x−，此时()fx单调递增，由()0fx得<2x−或1x，此时()fx单调递减，所以1x=时，()fx

取得极大值为()51fe=，当2x=−时，()fx取得极小值()220fe−=−，又因为()10fe−=−，()010f=，()330fe−=，且1x时，()0fx，()0fxm−的解集中恰有两个整数等价于()231xxxfxe++=在ym=下方的图象只有2

个横坐标为整数的点，结合函数图象可得：则()10fm−，解得0em−，所以0em−时，()0fxm−的解集中恰有两个整数1,2−−，故实数m的取值范围是(,0e−故选：C【点睛】关键点点睛：()0fxm−的解集中恰有两个整数，需求出()fx解析式

，所以对已知条件()()()23xfxexfx−=+−变形可得()23xefxx=+即()23xefxxxc=++结合()01f=可求出()231xxxfxe++=，()0fxm−的解集中恰有两个整数等价于()231xxxfxe++=在ym=下方的图象只有2个

横坐标为整数的点，对()fx求导数形结合即可求出实数m的取值范围，属于难题.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9.我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面

是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是A.这11天复工指数和复产指数均逐日增加;B.这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量;C.第3天至第11天复工复产指数均超过80%;D.第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量;【答案】CD【解析】【

分析】注意到折线图中有递减部分，可判定A错误；注意考查第1天和第11天复工复产指数的差的大小，可判定B错误；根据图象，结合复工复产指数的意义和增量的意义可以判定CD正确.【详解】由图可知，第1天到第2天复工指数减少，第7天到第8天复工指数减少，第10天到第11复工指

数减少，第8天到第9天复产指数减少，故A错误；由图可知，第一天的复产指标与复工指标的差大于第11天的复产指标与复工指标的差，所以这11天期间，复产指数增量小于复工指数的增量，故B错误;由图可知，第3天至第11天复工复产指数均超过80%，故C正确;由图可

知，第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量，故D正确;【点睛】本题考查折线图表示的函数的认知与理解，考查理解能力，识图能力，推理能力，难点在于指数增量的理解与观测，属中档题.10.甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小的质地

均相同）．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以1A，2A和3A表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐中取出的球是红球的事件．下列结论正确的是（）A.事件1

A与2A相互独立；B.()2411PBA=；C.()922PB=；D.1A，2A，3A是两两互斥的事件【答案】BCD【解析】【分析】求出各事件的概率，即可得出结论.【详解】由题意，1A，2A和3A表示由甲罐中取出的球是红

球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐中取出的球是红球的事件．显然，1A，2A，3A是两两互斥的事件，D正确且()1515232PA==++，()2215235PA==++，而()()(

)12120PAAPAPA=，A错误，()2215235PA==++，()214451155PAB==，所以()2411PBA=，B正确；()()()()()()()1122331541349211115101122PBPBAPAPBAPAPBAPA=++=++=，C正确；故选：B

CD.11.如图，正方体1111ABCDABCD−的棱长为1，E、F、G分别为BC、1CC、1BB的中点，则（）A.直线1DD与直线AF垂直B.直线1AG与平面AEF平行C.平面AEF截正方体所得的截面面积为98D.点C与点G到平面AEF的距离相等【答案】BC【解析】【分析】以点D为坐标原点，D

A、DC、1DD所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断ABD选项；作出截面，计算出截面面积，可判断C选项.【详解】以点D为坐标原点，DA、DC、1DD所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()1,0,0A、()1,1,0B、()0,1,

0C、()0,0,0D、()11,0,1A、()11,1,1B、()10,1,1C、()10,0,1D、1,1,02E、10,1,2F、11,1,2G，对于A选项，()10,0,1DD=，11,1,2AF

=−，则1102DDAF=，所以，直线1DD与直线AF不垂直，A错；对于B选项，设平面AEF的法向量为(),,mxyz=，1,1,02AE=−，11,0,22EF=−，则10211022mAExymEFxz=−+==−+=，取2x=，可得(

)2,1,2m=，110,1,2AG=−，所以，1110AGm=−=，即1AGm⊥，因为1AG平面AEF，1//AG平面AEF，B对；对于C选项，连接1AD、1DF、1BC，因为E、

F分别为BC、1CC的中点，则1//EFBC，11//ABCD且11ABCD=，所以，四边形11ABCD为平行四边形，则11//ADBC，所以，1//EFAD，所以，E、F、A、1D四点共面，故平面AEF截正方体1111ABCDABCD−所得截面为1ADFE，且2222EFCECF=+=，同理可

得152AEDF==，12ADEF=，所以，四边形1ADFE为等腰梯形，分别过点E、F在平面1ADFE内作1EMAD⊥，1FNAD⊥，垂足分别为M、N，如下图所示：因为1AEDF=，1EAMFDN=，190EMAFND==，所以，1RtRtAEMDFN△≌

△，故1AMDN=，EMFN=，因为//EFMN，EMMN⊥，ENMN⊥，则四边形EFNM为矩形，所以，22MNEF==，11224ADEFAMDN−===，故22324EMAEAM=−=，故梯形1ADFE的面积为()11928ADFEEFADEMS+==梯形，C对；对于D选项，

1,0,02CE=，则点C到平面AEF的距离为113CEmdm==，()1,0,0FG=，则点G到平面AEF的距离为223FGmdm==，所以，点C与点G到平面AEF的距离不相等，D错.故选：B

C.12.已知双曲线()222:10xCyaa−=的左、右焦点分别为1F、2F，P为双曲线C右支上的动点，过P作两渐近线的垂线，垂足分别为A、B．若圆()2221xy−+=与双曲线C的渐近线相切，则下列命题正确的是（）A.双曲线C的离心率233e=B.当点P异于顶点时，12PFF△的

内切圆的圆心总在直线23x=−上C.PAPB为定值D.AB的最小值为32【答案】ACD【解析】【分析】由圆心到渐近线的距离等于半径求得a，从而可得c，得离心率，判断A；设出12PFF△的内切圆与其三边的切点，利用切线的性质得出D点横坐标，从而判断B；设点(

)00,Pxy，求出PAPB，代入P点在双曲线上的条件可判断C；利用余弦定理求得AB，并由基本不等式求得最小值判断D．【详解】双曲线()222:10xCyaa−=的左、右焦点分别为()1,0Fc−、()2,0Fc，双曲线C的渐近线为xya=，即0xay=，因为圆()2221xy−+=

与双曲线C的渐近线相切，且圆心为()2,0，圆的半径为1，所以，2211a=+，因为0a，解得3a=，则双曲线22:13xCy−=，3a=，1b=，2c=，对于A选项，双曲线C离心率22333cea===．A对；对于B选项，P为双曲线C右支上（异于右顶点）一点

，设12PFF△的内切圆与三边切点分别为D、E、H，如图，的由圆的切线性质知12FDFD−()()1212FHFEFHPHFEPE=−=+−+12223FPFPa=−==，即()()22223DDDxxx+−−==，可得3Dx=，所以，当点P异于顶点时，12PFF△的内切圆的圆心总在直线3x

=上，B错；对于C选项，设双曲线C右支上的动点P坐标为()00,xy，则220013xy−=，又双曲线C渐近线方程为3yx=则200200003333·441111333xxxyyyPAPB−+−===++，即

PAPB为定值，C对；对于D选项，由已知OA的方程是33yx=，倾斜角为π6，所以π3AOB=，则23APB=，所以，222cosABPAPBPAPBAPB=+−2π322cos32PAPBPAPB−=，当且仅当

PAPB=时等号成立，D对．的故选：ACD.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知直线()1:2310lmxy−−−=与直线()2:210lmxmy+++=相互平行，则实数m的值是________．【答案】4−【解析】【分析】根据两直线平行可得出关于实数m

的等式与不等式，解之即可.【详解】因为直线()1:2310lmxy−−−=与直线()2:210lmxmy+++=相互平行，则()()2232mmmmm−+=−−−，即2340220mmm+−=−，解得4m=−.故答案为：4−.14.有3男2女共5名学生被分派去,,ABC三个公司实习

,每个公司至少1人,且A公司要且只要1个女生,共有________种不同的分派方法.(用数字作答)【答案】28【解析】【分析】按照分步乘法计数原理,先分派A公司的人选,再分派,BC公司的人选,然后方法数相乘即可.【详解】解:A公司只要1个女生,有12C2=种分

派方案,则,BC公司分派人数可以为2,2或者1,3或者3,1共3种分派方案,共213444CCC14++=种,所以一共有21428=种分派方案.故答案为:28.15.已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为3，那么

P到平面ABC的距离为___________．【答案】2.【解析】【分析】本题考查学生空间想象能力，合理画图成为关键，准确找到P在底面上的射影，使用线面垂直定理，得到垂直关系，勾股定理解决．【详解】作,PDPE分别垂直

于,ACBC，PO⊥平面ABC，连CO，知,CDPDCDPO⊥⊥，=PDODP，CD\^平面PDO，OD平面PDO，CDOD⊥3PDPE==∵，2PC=．3sinsin2PCEPCD==，60PCB

PCA==，POCO⊥，CO为ACB平分线，451,2OCDODCDOC====，又2PC=，422PO=−=．【点睛】画图视角选择不当，线面垂直定理使用不够灵活，难以发现垂直关系，问题即很

难解决，将几何体摆放成正常视角，是立体几何问题解决的有效手段，几何关系利于观察，解题事半功倍．16.若曲线lnyx=与曲线22(0)yxxax=++有公切线，则a的取值范围是_____________.【答案】1ln,2e+【解

析】【分析】分别利用导数的几何意义求出两条曲线的切线，再根据题意得到a的表达式，通过构造函数，再利用导数的性质进行求解即可.【详解】设111(,)(0)xyx是曲线lnyx=上一点，由'1lnyxyx==，因此过点11(,)xy的切线的斜率为11x，所以切线方

程为：1111()yyxxx−=−，而11lnyx=，即11ln1xyxx=+−，设222(,)(0)xyx是曲线22(0)yxxax=++上一点，由2'222yxxayx=++=+，所以过222(,)(0)xyx点的切线的斜率为222x+，所以切线方程为：2

22(22)()yyxxx−=+−，而22222yxxa=++，即222(22)yxxxa=+−+，当这两条切线重合时，就是两个曲线的公切线，因此有：22122212122ln(22)1ln1xxaxxxxa=+

=−+−−=−+，因为1>0x，所以21x−设函数2()ln(22)1(10)fxxxx=−+−−，'1()21fxxx=−+，因为10x−，所以'()0fx，所以函数()fx是减函数，1(0)ln21ln2fe=−−=，当1x→−时，()fx→+，因此1()ln

2fxe，所以1ln2ae，故答案为：1ln,2e+【点睛】关键点睛：利用导数的几何意义和构造函数是解题的关键.四、解答题（本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.在ABC中，角,,ABC所对的边

长分别为,,abc，1ba=+，2ca=+．（1）若2sin3sinCA=，求角C的余弦值；（2）是否存在正整数a，使得ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）18（2）存在，2a=【解析】

【分析】（1）先根据正弦定理得到,ac的关系，再根据2ca=+，1ba=+，解得,,abc，代入余弦定理中即可求得角C的余弦值；（2）根据1ba=+，2ca=+可得c为最大边，即C为最大角，用余弦定理计算角C的余弦值并化简，使其小于零，即可解得a的取值范围，再根据两边之和大于第三边及a为正整数，即

可得a的值.【小问1详解】解：因为2sin3sinCA=，根据正弦定理可知()2223caa=+=，解得4a=，故15ba=+=，6c=，在ABC中，由余弦定理可得：2221cos28abcCab+-==；【小问2详解】因为1ba=+，2c

a=+，所以cba，所以若ABC为钝角三角形，则C为钝角，在ABC中，由余弦定理可得：()()()()22222221223cos022121aaaabcaaCabaaaa++−++−−−===++，又0a，则只需2230aa−−，即()()130a

a+−，解得13a−，则0<<3a，由三角形三边关系可得12aaa+++，可得1a，即13a，因为Za，故2a=，所以存在正整数a为2，使得ABC为钝角三角形.18.已知数列na满足11a=，11,,2,.nnnanaan++=+为奇数为偶数（1）记2nnba

=，写出1b，2b，并猜想数列nb的通项公式（无需证明）；（2）求na的前20项和．【答案】（1）12b=，25b=，31nbn=−；（2）300．【解析】【分析】（1）确定2223nnaa+=+，得

到nb是以2为首项，3为公差的等差数列，计算得到答案.（2）利用分组求和法结合等差数列求和公式计算得到答案.【小问1详解】显然2n为偶数，则2122nnaa+=+，22211nnaa++=+，所以2223nnaa+=+，即13nnbb+=+，且12112baa==+=，所以nb是

以2为首项，3为公差的等差数列，于是12b=，25b=，31nbn=−．【小问2详解】()()20123201351924620Saaaaaaaaaaaa=++++=++++++++()12310123101111bbbbbbbb=−+−+−++−+++++()110

102103002bb+=−=．19.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是平行四边形，120,1,4,15ABCABBCPA====，M，N分别为,BCPC的中点，,PDDCPMMD⊥⊥.（1）证明：ABPM⊥；（2）求直线AN与平面PD

M所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）156．【解析】【分析】（1）要证ABPM⊥，可证DCPM⊥，由题意可得，PDDC⊥，易证DMDC⊥，从而DC⊥平面PDM，即有DCPM⊥，从而得证；（2）取AD中点E，根据题意可知，,,MEDMP

M两两垂直，所以以点M为坐标原点，建立空间直角坐标系，再分别求出向量AN和平面PDM的一个法向量，即可根据线面角的向量公式求出．【详解】（1）在DCM△中，1DC=，2CM=，60DCM=，由余弦定理可得3DM=，所以222DMDCCM+=，DMDC⊥．由题意D

CPD⊥且PDDMD=，DC⊥平面PDM，而PM平面PDM，所以DCPM⊥，又//ABDC，所以ABPM⊥．（2）由PMMD⊥，ABPM⊥，而AB与DM相交，所以PM⊥平面ABCD，因为7AM=，所以22PM=，取AD中点E，连接ME，则,,MED

MPM两两垂直，以点M为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系,则(3,2,0),(0,0,22),(3,0,0)APD−,(0,0,0),(3,1,0)MC−又N为PC中点，所以31335,,2,,,22222NAN−=−.由（1）得CD⊥平面P

DM，所以平面PDM的一个法向量(0,1,0)n=从而直线AN与平面PDM所成角的正弦值为5||152sin6||2725244ANnANn===++‖．【点睛】本题第一问主要考查线面垂直的相互转化，要证明ABPM⊥，可以考虑DCPM⊥，题中与DC有垂直

关系的直线较多，易证DC⊥平面PDM，从而使问题得以解决；第二问思路直接，由第一问的垂直关系可以建立空间直角坐标系，根据线面角的向量公式即可计算得出．20.某学校招聘在职教师，甲､乙两人同时应聘.应聘者需进行笔试和面试，笔试分为三个环节，每个环节都必须参与，甲笔试部分每个环

节通过的概率均为23，乙笔试部分每个环节通过的概率依次为34，13，12，笔试三个环节至少通过两个才能够参加面试，否则直接淘汰；面试分为两个环节，每个环节都必须参与，甲面试部分每个环节通过的概率依次为34，12，

乙面试部分每个环节通过的概率依次为23，34，若面试部分的两个环节都通过，则可以成为该学校的在职教师.甲､乙两人通过各个环节相互独立.（1）求乙未能参与面试的概率；（2）记甲本次应聘通过的环节数为X，求X的分布列以及数

学期望；（3）若该校仅招聘1名在职教师，试通过概率计算，判断甲､乙两人谁更有可能入职.【答案】（1）1124；（2）分布列答案见解析，数学期望：7927；（3）甲更可能成为该校的在职教师.【解析】【分析】（1

）根据事件的互斥性及每一次是否通过相互独立求解即可；（2）首先确定随机变量X的可能取值，再分别求出相应的概率值，列出分布列计算数学期望；（3）分别计算甲乙通过成为在职教师的概率值，比较大小，得出结论.【详解】（1）若

乙笔试部分三个环节一个都没有通过或只通过一个，则不能参与面试，故乙未能参与面试的概率1211113211211143243243243224P=+++=.（2）X的可能取值为0，1，2，3，4，5，()3110327PX===，()2131221C3

39PX===，()223211112C334218PX===，()322321121113173C34233424227PX==++=，()3223211312131174C342423342

54PX==++=，()3231153429PX===.则X的分布列为X012345P12729118727175419故()121717179012345279182754927EX=+

++++=.（3）由（2）可知，甲成为在职教师的概率223121315C9334218P=+=甲，乙成为在职教师的概率1123131243448P=−=乙.因为PP甲乙，所以甲更可能成为该校的在职教师.【点睛】本题

考查相互独立事件的概率､离散型随机变量的分布列以及期望.在求解过程中需清楚互斥事件的概率加法计算公式和相互独立事件的概率乘法计算公式，分布列中需要准确计算每个可能取值的概率值，最后计算数学期望.21.设抛物线2:2(0)Cypxp=的焦点为F，点(),0Dp，过F的直线交C于M，N两点．当直

线MD垂直于x轴时，3MF=．（1）求C的方程；（2）设直线,MDND与C的另一个交点分别为A，B，记直线,MNAB的倾斜角分别为,．当−取得最大值时，求直线AB的方程．【答案】（1）24yx=；（2）:24ABxy=+【解析

】【分析】（1）由抛物线的定义可得=2pMFp+，即可得解；（2）法一：设点的坐标及直线:1MNxmy=+，由韦达定理及斜率公式可得2MNABkk=，再由差角的正切公式及基本不等式可得22ABk=，设直线:2AB

xyn=+，结合韦达定理可解.【小问1详解】抛物线的准线为2px=−，当MD与x轴垂直时，点M的横坐标为p，此时=32pMFp+=，所以2p=，所以抛物线C的方程为24yx=；【小问2详解】[方法一]：【最优解】直线方程横截式设222231241234,,,,,,,4444yyyy

MyNyAyBy，直线:1MNxmy=+，由214xmyyx=+=可得2440ymy−−=，120,4yy=−，由斜率公式可得12221212444MNyykyyyy−==+−，342234344

44AByykyyyy−==+−，直线112:2xMDxyy−=+，代入抛物线方程可得()1214280xyyy−−−=，.130,8yy=−，所以322yy=，同理可得412yy=，所以()34124422MNABkkyyyy===++又因为直线

MN、AB的倾斜角分别为,，所以tantan22MNABkk===，若要使−最大，则0,2，设220MNABkkk==，则()2tantan112tan11tantan1241

222kkkkkk−−====+++，当且仅当12kk=即22k=时，等号成立，所以当−最大时，22ABk=，设直线:2ABxyn=+，代入抛物线方程可得24240yyn−−=，34120,4416yynyy=−==−，所以4n=，所以直线:24AB

xy=+.[方法二]：直线方程点斜式由题可知，直线MN的斜率存在.设()()()()11223344,,,,,,,MxyNxyAxyBxy,直线():1MNykx=−由2(1)4ykxyx=−=得：()22

22240kxkxk−++=，121xx=,同理，124yy=−.直线MD:11(2)2yyxx=−−,代入抛物线方程可得：134xx=，同理，244xx=.代入抛物线方程可得:138yy=−所以322yy=，同理可得412

yy=，由斜率公式可得：()()21432143212121.22114ABMNyyyyyykkxxxxxx−−−====−−−（下同方法一）若要使−最大，则0,2，,设220MNAB

kkk==，则()2tantan112tan11tantan1241222kkkkkk−−====+++，当且仅当12kk=即22k=时，等号成立，所以当−最大时，22ABk=，设直线:2ABxyn=+

，代入抛物线方程可得24240yyn−−=，34120,4416yynyy=−==−，所以4n=，所以直线:24ABxy=+.[方法三]：三点共线设222231241234,,,,,,,4444yyyyMyN

yAyBy，设(),0Pt,若P、M、N三点共线，由221212,,44yytytPMPNy=−=−，所以22122144yyty

ty−=−，化简得124yyt=-，反之，若124yyt=-,可得MN过定点(),0t因此，由M、N、F三点共线，得124yy=−，由M、D、A三点共线，得138yy=−，由N、D、B三点共线，得248yy=−，则3412416y

yyy==−，AB过定点（4,0）（下同方法一）若要使−最大，则0,2，设220MNABkkk==，则()2tantan112tan11tantan1241222kkkkkk−−===

=+++，当且仅当12kk=即22k=时，等号成立，所以当−最大时，22ABk=，所以直线:24ABxy=+.【整体点评】（2）法一：利用直线方程横截式，简化了联立方程的运算，通过寻找直线,MNAB的斜率关

系，由基本不等式即可求出直线AB的斜率，再根据韦达定理求出直线方程，是该题的最优解，也是通性通法；法二：常规设直线方程点斜式，解题过程同解法一；法三：通过设点由三点共线寻找纵坐标关系，快速找到直线AB过定点，省去联立过程，也不失为一种简化运算的好方法．22.已知函

数()2ln2afxxxx=−+.（1）若函数()fx在定义域内是增函数，求实数a的取值范围；（2）当)1,ae时，讨论方程()2afxax=−根的个数.【答案】（1）1,4+；（2）1.

【解析】【分析】（1）由题意可知()0fx对任意的0x恒成立，由参变量分离法得出211axx−，求得函数211yxx=−在区间()0,+上的最大值，由此可得出实数a的取值范围；（2）构造函数()()2ln222aaagx

fxaxxxxax=−+=−+−+，分1a=和()1,ae，利用导数分析函数()ygx=的单调性与极值，结合零点存在定理可判断出函数()ygx=的零点个数，由此可得出结论.【详解】（1）()2ln2afxxxx=−+，定义

域为()0,+，由题意知()110fxaxx=−+对任意的0x恒成立，即221111124axxx−=−−+，2max1111244x−−+=，故1a4.因此，实数a的取值范围

是1,4+；（2）()2afxax=−，即2ln22aaxxxax−+=−，设()2ln22aaxxxaxgx−+−+=，则()()()1111axxaxaxgxx−−−+−==，当1a=

时，()()210gxxx−=，函数()ygx=在()0,+上单调递增，()11g=−，()14ln402g=+，故函数()ygx=有唯一零点；当()1,ae时，()()()11xgxaxx−−=，令()0gx，得10xa或1x；令()0gx，得11xa.

函数()ygx=在10,a上单调递增，在1,1a上单调递减，在()1,+上单调递增，极大值为111ln1ln122212aaaaaaaag=−−−+=−−−+，设()1ln122aHaaa=−−−+

，则()()22211110222aHaaaa−=−+=恒成立，故函数()yHa=单调递增，故()()12022eHaHee=−−，故函数()ygx=在(0,1)上无零点.()11g=−，()9144ln4ln4022ga=−++，故函数()ygx=在()1,+上有唯一零点.综上

所述，当)1,ae时，方程()2afxax=−有且仅有一个根.【点睛】本题考查利用函数在区间上的单调性求参数，同时也考查了利用导数研究函数的零点个数，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.