【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019必修一）专题4.2 指数-重难点题型检测 Word版含解析.docx，共(8)页，28.396 KB，由小赞的店铺上传

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专题4.2指数-重难点题型检测参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2022•南京模拟）把二次根式√𝑥𝑦(𝑦＞0)化为最简二次根式，结果是（）A．√𝑥√𝑦B．√𝑥𝑦C．

√𝑥𝑦𝑦D．以上都不对【解题思路】利用根式的化简方法，即可求解．【解答过程】解：√𝑥𝑦=√𝑥𝑦𝑦2=√𝑥𝑦√𝑦2=√𝑥𝑦𝑦．故选：C．2．（3分）（2022•稷山县校级开学）√3×√323×√126的化简结果为（）A．2B．3C．4D．6【解题思路】直接利用指

数的运算的应用求出结果．【解答过程】解：√3×√323×√126=312×313×2−13×316×216×216=31×20=3．故选：B．3．（3分）（2022秋•凉州区校级月考）下列运算正确的是（）A．（﹣3a）3＝﹣9a3B．﹣a2•a3＝﹣a6C．﹣（﹣2a

2）3＝8a6D．3a+2a＝5【解题思路】利用指数幂的运算性质即可得出．【解答过程】解：A，∵（﹣3a）3＝﹣27a3，∴A错误，B，∵﹣a2•a3＝﹣a5，∴B错误，C，∵﹣（﹣2a2）3＝8a6，∴C正确，D，∵3a

+2a＝5a，∴D错误，故选：C．4．（3分）（2022•茂名模拟）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（）A．−√𝑥=(−𝑥)12B．𝑥−34=√(1𝑥)34(𝑥＞0)C．√𝑦26=𝑦13D．[√(−𝑥)23]34=𝑥12(𝑥＜0)【解题思路】根据指数幂的运

算法则化简判断即可．【解答过程】解：对于A：−√𝑥=−𝑥12，故A不成立；对于B：𝑥−34=√(1𝑥)34（x＞0），故B成立；对于C：√𝑦26=|𝑦|13，故C不成立；对于D：[√(−𝑥)23]⬚34=(

(−𝑥)23)34=(−𝑥)12，x＜0，故D不成立．故选：B．5．（3分）（2022•仁寿县校级开学）已知𝑥+1𝑥=6，则𝑥2+1𝑥2=（）A．38B．36C．34D．32【解题思路】利用完全平方式即可得出．【解答过程】解：∵𝑥+1𝑥=6，∴𝑥2+1𝑥2=(𝑥+

1𝑥)2−2＝36﹣2＝34，故选：C．6．（3分）（2022•民勤县校级开学）若|3x﹣2y﹣1|+√𝑥+𝑦−2=0，则x，y的值分别为（）A．1，4B．2，0C．0，2D．1，1【解题思路】利用绝对值，根式的运算性质即可得出

．【解答过程】解：∵|3x﹣2y﹣1|+√𝑥+𝑦−2=0，∴{3𝑥−2𝑦−1=0𝑥+𝑦−2=0，∴{𝑥=1𝑦=1，∴x，y的值分别为1，1，故选：D．7．（3分）（2022•南京模拟）若√𝑦−1√𝑦=𝑚，则1+𝑦2

𝑦的结果是（）A．m2+2B．m2﹣2C．√𝑚+2D．√𝑚−2【解题思路】将√𝑦−1√𝑦=𝑚两边同时平方，化简即可得出结果．【解答过程】解：因为𝑚2=(√𝑦−1√𝑦)2=𝑦+1𝑦−2，所以1+𝑦2𝑦=1�

�+𝑦=𝑚2+2，故选：A．8．（3分）（2021秋•镇江期中）已知a是大于1的实数，满足方程a2+a﹣2＝7，则𝑎12−𝑎−12=（）A．1B．72+√72C．3√7+3D．4【解题思路】利用有理数指数幂的运算性质，结合完全平方公式求解．【解答过程】解：∵（

a+a﹣1）2＝a2+a﹣2+2＝9，∴a+a﹣1＝3，∴(𝑎12−𝑎−12)2=a+a﹣1﹣2＝1，又∵a＞1，∴𝑎12＞1，∴𝑎12＞𝑎−12，∴𝑎12−𝑎−12=1，故选：A．二．多选题（

共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2021秋•爱民区校级期末）下列运算结果中，一定正确的是（）A．a3•a4＝a7B．（﹣a2）3＝a6C．√𝑎88=𝑎D．√(−𝜋)55=−𝜋【解题思路】根据有理数指数幂的运算法则计算．【解答过程】解：A选项a3•a4＝a3+4

＝a7，正确；B选项（﹣a2）3＝﹣a6，错误；C选项当a≥0时，√𝑎88=a，当a＜0时，√𝑎88=−a，错误；D选项√(−𝜋)55=−π，正确．故选：AD．10．（4分）（2021秋•滕州市期末）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（）A．√𝑦26=𝑦13(�

�＜0)B．𝑥−34=√(1𝑥)34(𝑥＞0)C．𝑥−13=−√𝑥3(𝑥≠0)D．[√(−𝑥)23]34=𝑥12(𝑥＞0)【解题思路】根据指数幂的运算性质即可求出．【解答过程】解：对于A：√𝑦26=（﹣y）⬚13，故A错误；对于B：𝑥−34=√(1𝑥)34，x＞0，故B

正确；对于C：𝑥−13=1√𝑥3，x≠0，故C错误；对于D：[√(−𝑥)23]⬚34=[x⬚23]⬚34=𝑥12，x＞0，故D正确．故选：BD．11．（4分）（2021秋•鼓楼区校级月考）已知a+a﹣1＝3，则下

列选项中正确的有（）A．a2+a﹣2＝7B．a3+a﹣3＝16C．𝑎12+𝑎−12=±√5D．𝑎32+𝑎−32=2√5【解题思路】对a+a﹣1＝3两边平方即可求出a2+a﹣2＝7，从而判断A正确；根据立方

和公式即可判断B错误；可求出(𝑎12+𝑎−12)2=5，从而判断C错误；根据立方和公式即可判断D正确．【解答过程】解：∵a+a﹣1＝3，∴（a+a﹣1）2＝a2+a﹣2+2＝9，∴a2+a﹣2＝7，A正确；∴a3+a﹣3＝（a+a﹣1）（a2﹣1+a

﹣2）＝18，B错误；(𝑎12+𝑎−12)2=𝑎+𝑎−1+2=5，∴𝑎12+𝑎−12=√5，C错误；∴𝑎32+𝑎−32=(𝑎12+𝑎−12)(𝑎+𝑎−1−1)=2√5，D正确．故选

：AD．12．（4分）（2021秋•电白区期中）以下化简结果正确的是（字母均为正数）（）A．𝑎52⋅𝑎13⋅𝑎136=1B．(𝑎6⋅𝑏−9)−23=𝑎−4𝑏6C．−15𝑎12𝑏13𝑐−3425𝑎−12𝑏13𝑐54=−35𝑎𝑐D．(−2𝑥14𝑦−13)

(3𝑥−12𝑦23)(−4𝑥14𝑦23)=24𝑦【解题思路】利用有理数指数幂的运算性质求解．【解答过程】解：对于选项A：𝑎52⋅𝑎13⋅𝑎136=𝑎52+13+136=a5，故选项A错误，对于选项B：(𝑎6⋅𝑏−9)−23=

a﹣4b6，故选项B正确，对于选项C：−15𝑎12𝑏13𝑐−3425𝑎−12𝑏13𝑐54=−35ac﹣2，故选项C错误，对于选项D：(−2𝑥14𝑦−13)(3𝑥−12𝑦23)(−4𝑥14𝑦23)=24y，故选项D正确，故选：BD．三．填空题

（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）（2021秋•滨州期末）(278)23−√(−14)2+(19)0=3．【解题思路】利用有理数指数幂的运算性质化简即可求解．【解答过程】解：原式＝[（32）3]⬚23−1

4+1=94−14+1＝2+1＝3，故答案为：3．14．（4分）（2021秋•会宁县校级月考）若√(1−𝑎)2+√(1+𝑎)2=2，则a的取值范围为{a|﹣1≤a≤1}．【解题思路】化简二次根式，转化为去绝对值问题，进行分类讨论，求出a的取值范围．【解答过程】解：∵√(1−𝑎)2+√

(1+𝑎)2=|1﹣a|+|1+a|＝|a﹣1|+|a+1|={2𝑎，𝑎＞12，−1≤𝑎≤1−2𝑎，𝑎＜−1，∴当﹣1≤a≤1时，√(1−𝑎)2+√(1+𝑎)2=2；∴a的取值范围是{a|﹣1≤a≤1}．

故答案为：{a|﹣1≤a≤1}．15．（4分）（2021秋•鼓楼区校级月考）方程24x+1﹣17×4x+8＝0，x＝−12或32．【解题思路】原方程可变成2•（4x）2﹣17×4x+8＝0，然后可解出4x，进而得出x的值．【解答过程】解：∵2•

（4x）2﹣17×4x+8＝0，∴4𝑥=12或8，解得𝑥=−12或32．故答案为：−12或32．16．（4分）（2022•南岗区校级开学）若a+b＝5，ab＝2，则a4+b4+3a2b2值是445．【解题思路】由有理数指数幂的运算求解即可．【解答过程】解：由a+b＝5，ab＝2

，则a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝25﹣4＝21，则a4+b4+3a2b2＝（a2+b2）2+a2b2＝212+22＝445，故答案为：445．四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）已知27x＝67，81y＝603，求证：4y

﹣3x＝2．【解题思路】根据指数幂的运算法则进行化简即可．【解答过程】证明：27x＝67，81y＝603，∴33x＝67，34y＝603，两式相除得34y﹣3x＝603÷67＝9，即34y﹣3x＝32，∴4y﹣3x＝218．（6分）（2022•

南京模拟）已知a﹣b＝2，ab＝48，求a4+b4的值．【解题思路】首先求出a2+b2的值，然后可得答案．【解答过程】解：因为a﹣b＝2，∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝4+96＝100，∴a4+b4＝（a2+b2）2﹣2a2b2＝10000﹣4608＝5392．19．（8分）（

2022•仁寿县校级开学）计算：（1）√9+(√93−2)0−|−3|−(13)−1；（2）|−2|+(−1)2017×(𝜋−3)0−√8+(12)−2．【解题思路】（1）（2）利用指数幂的运算性质即可得出．【解答过程】解：（1）原式＝3+1﹣3﹣3＝﹣2．（2）原式＝2﹣1×1﹣2√2+4＝5

﹣2√2．20．（8分）（2022•赫山区校级开学）化简下列各式：（1）√(−2)2+√−233；（2）若10x＝3，10y＝2，求10x+2y．【解题思路】（1）（2）利用指数幂的运算性质即可得出．【解答过程】解：（1）√(−2)2+√−233

=2+（﹣2）＝0；（2）∵10x＝3，10y＝2，∴10x+2y＝10x×102y＝3×22＝12．21．（8分）（2022春•榕城区校级月考）求下列各式的值：（1）0.001−13−(78)0+1634+（√2⋅√33）6．（2）设𝑥12

+𝑥−12=3，求x+x﹣1的值．【解题思路】利用有理数指数幂的运算性质求解．【解答过程】解：（1）原式=(0.1)3×(−13)−1+24×34+212×6⋅313×6=10﹣1+8+8×9＝9+8+72＝89．（2）∵𝑥12+𝑥−12=3，∴(�

�12+𝑥−12)2=x+2+x﹣1＝9，∴x+x﹣1＝7．22．（8分）（2022•洪山区校级开学）已知a＞0，且𝑎2𝑥=√2+1，求下列代数式的值：（1）𝑎𝑥+𝑎−𝑥𝑎𝑥−𝑎−𝑥；（2）𝑎3𝑥+𝑎−3𝑥𝑎𝑥+�

�−𝑥．（注：立方和公式a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2））【解题思路】（1）给𝑎𝑥+𝑎−𝑥𝑎𝑥−𝑎−𝑥分子分母同时乘以ax+a﹣x，化简后代值求解即可；（2）先对分子分解因式，化简后代值求解．【解答过程】解：（1）因为a＞0，且�

�2𝑥=√2+1，所以a﹣2x=1𝑎2𝑥=1√2+1=√2−1，所以𝑎𝑥+𝑎−𝑥𝑎𝑥−𝑎−𝑥=(𝑎𝑥+𝑎−𝑥)2(𝑎𝑥−𝑎−𝑥)(𝑎𝑥+𝑎−𝑥)=𝑎2𝑥+2+

𝑎−2𝑥𝑎2𝑥−𝑎−2𝑥=√2+1+2+√2−1√2+1−√2+1=√2+1．（2）因为a＞0，且𝑎2𝑥=√2+1，a﹣2x=√2−1，所以𝑎3𝑥+𝑎−3𝑥𝑎𝑥+𝑎−𝑥=(𝑎𝑥+𝑎−𝑥

)(𝑎2𝑥−1+𝑎−2𝑥)𝑎𝑥+𝑎−𝑥=a2x﹣1+a﹣2x=√2+1﹣1+√2−1＝2√2−1．