【文档说明】重庆市第二十九中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题 含解析.docx，共(25)页，2.108 MB，由小赞的店铺上传

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重庆二十九中2023-2024学年度上期高二年级数学10月考试题卷（命题人：满分：150分时间：120分钟）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

．1.过()()1320AB−−，，，两点的直线的倾斜角是（）A.45B.60C.120D.135【答案】D【解析】【分析】根据两点坐标求出直线的斜率，结合直线倾斜角的范围即可得出结果.【详解】由已知直线的斜率为()03tan1018021k−−===−−−，，所以倾斜角1

35=．故选：D.2.已知直线1l的一个方向向量()2,4,ax=（0x），直线2l的一个方向向量()2,,1by=，若6a=，且12ll⊥，则xy+的值是（）A.2B.3−或1C.3−D.1【答案】A【解析】【分析】根据模和垂直的空间向

量公式，即可求解.【详解】222246ax=++=，0x，得4x=，所以()2,4,4a=，因为12ll⊥，则224410aby=++=，得=2y−，所以2xy+=.故选：A3.如图所示，ABC中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的四等分点，则BE=

（）A3144+BABCB.5144BABC+C.5148BABC+D.3148BABC+【答案】D【解析】【分析】根据向量加减法的三角形法则计算即可.【详解】解：由题意可得：BEBAAE=+，14AEAD=，ADABBD=+，1

2BDBC=．∴3148BEBABC=+，故选：D.4.如图，在三棱锥−PABC中，PAC△是边长为3的正三角形，M是AB上一点，12AMMB=，D为BC的中点，N为PD上一点且23PNPD=，则MN=（）A.5B.

3C.5D.3【答案】D【解析】【分析】以,,PAPBPC为一组基底，表示MN求解.【详解】解：以,,PAPBPC为一组基底，则22MNANAM=−，213PNPAAB=−−，.2211333PDPAPBPA=−−+，211113333PBPCPAPBPA=+−−+

，21233PCPA=−，22144999PCPCPAPA=−+，144933cos6093999=−+=，所以3MN=.故选：D5.如图，圆锥的轴截面ABC为等边三角形，D为弧AB的中点，E为母线BC的中点，则异面直线AB和DE所

成角的余弦值为（）A.23B.23C.24D.14【答案】C【解析】【分析】解法一：取AC中点F，连接,EFDF，O为AB的中点，连接,ODCO，先证明DO⊥平面ABC，即可得出DOOE⊥，根据勾股定理求出2DEDFr==.然后由//EFAB，得出DEF或其补角等于异面直线AB和DE所成的

角，在DEF中，即可求出答案；解法二：先证明DO⊥平面ABC，建立空间直角坐标系，得出点的坐标，表示出,ABDE，即可根据数量积公式，求出答案.【详解】解法一：如图1，取AC中点F，连接,EFDF，O为AB的中点，连接,,,ODCOOEOF，易知CO⊥底

面OAB，因为CO平面ABC，所以平面ABC⊥底面OAB.又平面ABC底面OABAB=，⊥DOAB，所以DO⊥平面ABC.因为EO平面ABC，所以DOOE⊥.同理可得，DOOF⊥.设底面半径为r，EFr=，222DEDFDOOEr==+=.

因为,EF分别为,CBCA的中点，所以//EFAB，则在DEF中，DEF或其补角等于异面直线AB和DE所成的角.所以2222122cos24221DEEFDFDEFDEEF+−+−===.解法二：如图2，O

为AB的中点，连接,ODCO，易知CO⊥底面OAB，因为CO平面ABC，所以平面ABC⊥底面OAB.又平面ABC底面OABAB=，⊥DOAB，所以DO⊥平面ABC.以点O为坐标原点，建立空间直角坐标系，

设2AB=，则()0,1,0A−，()0,1,0B，()1,0,0D，130,,22E，所以()0,2,0AB=，131,,22DE=−，记所求角为，则2cos4ABDE

ABDE==.故选：C.6.如图，平行六面体1111ABCDABCD−中，2AB=，3AD=，13AA=，11π3BADBAADAA===，则1BC与1BD所成角的大小为（）A.π4B.π3C.π2D.2π3【答案】C【解析】【分析

】设1,,ABaADbAAc===，表示出1BCbc=−，1BDbca=+−，计算110BCBD=，即可求得答案.【详解】设1,,ABaADbAAc===，则||2,||3,||3abc===，三向量1,,ABaADbAAc=

==的夹角皆为π3，由题意可得11BCBCBBbc=−=−，11BDADABbca=−=+−，故2211()()BCBDbcbcabbacac=−+−=−−+ππ923cos923cos033=−−

+=，即11BCBD⊥，所以1BC与1BD所成角的大小为π2，故选：C7.在ABC中，内角A的平分线与边BC交于点D且sin2sinBC=，1AB=，若ABC的面积3S,12，则AD的取值范围是（）A.32,33B.23,33

C.2223,33D.223,33【答案】D【解析】【分析】根据三角形的面积公式建立方程，求出4cos32AAD=，再由三角形面积范围求出角A的范围，利用三角函数即可求解.【详解】sin2sinBC=，1c=，22bc==，A

BDACDABCSSS+=△△△，即1111sin2sin12sin22222AAADADA+=，即3sin2sin4sincos222AAAADA==，解得4cos32AAD=，又因为1312sinsin,122ABCSAA

==△，所以60120A，即30602A，13cos222A，4223cos[,]3233AAD=，故选：D8.平面直角坐标系中，矩形的四个顶点为，(0,0)O(8,0)A，(

8,6)B，(0,6)C，光线从OA边上一点()04,0P沿与x轴成角的方向发射到AB边上的1P点，被AB反射到BC上的2P点，再被BC反射到OC上的3P点，最后被OC反射到x轴上的4(,0)Pt点，若(4,8)t，则tan的取值范

围是（）A.33,54B.13,24C.32,83D.31,82【答案】A【解析】【分析】根据光线反射的性质，利用解三角形可得4P坐标，再由(4,8)t求解即可.【详解】由题意，14tanAP=，则164tanBP=−,26

4tan64tantanBP−==−，36[8(4)]tan12tan6tanCP=−−=−，46(12tan6)1212tantanOP−−==−，即412(12,0)tanP−，1212(4,8)tant=−，解得33tan54

.故选：A二、多选题（本大题共4小题，每小5分，共20分、在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9.两直线0mxyn+−=与10xmy++=互相平行的条件是（）A.1m=B.1m=C.11mn=−D.

11mn=−【答案】CD【解析】【分析】根据两直线平行斜率相等截距不相等可得答案.【详解】0m=时，两直线分别为0yn−=与10x+=互相垂直，不满足题意；所以0m，根据两直线平行可得11mm=，所以1m=，又两直线不重合，所以1m=时，1n−；1m=−时，1n．故选：CD

.10.已知空间中三点()1,2,1A−，()1,3,1B，()2,4,2C−，则（）A.ABAC⊥B.与BC方向相反的单位向量的坐标是3111111,,111111−−C.ACBC∥D.BC在AB上的投影向量的模为6【答

案】AB【解析】【分析】A选项，验证ABACuuuruuur是否等于0即可；B选项，与BC方向相反的单位向量为BCBC−，即可判断选项正误；C选项，验证是否存在非零实数，使ACBC=即可；D选项，BC在AB上的投影向量的模为cos,BCBCAB，据

此可判断选项正误.【详解】由题，()()()2,1,01,2,13,1,1ABACBC==−=−，，.A选项，220ABAC=−+=，则ABAC⊥，故A正确；B选项，()231111BC=−++=，则BCBC−=3111111,

,111111−−，故B正确；C选项，设ACBC=，则1321−=−==，即不存在，故C错误；D选项，22555cos,111121BCABBCABBCAB−===−+，则55cos,11511

BCBCAB==，故D错误.故选：AB11.下列利用方向向量､法向量判断线､面位置关系的结论中，正确的是（）A.两条不重合直线12,ll的方向向量分别是()()2,3,1,2,3,1ab=−=−−，则1

2ll∥B.直线l的方向向量()112a,,=−，平面的法向量是()6,4,1u=−，则l⊥C.两个不同的平面,的法向量分别是()()2,2,1,3,4,2uv=−=−，则⊥D.直线l的方向向量(

)0,3,0a=，平面的法向量是()0,5,0u=−，则l∥【答案】AC【解析】【分析】对于A，由不重合两直线方向向量平行可判断直线相互平行；对于B，要考虑直线可能在面内；对于C，由两法向量垂直可得两平面垂直；对

于D，直线方向向量与法向量平行，则直线与面垂直.【详解】对于A，两条不重合直线1l，2l的方向向量分别是(2,3,1),(2,3,1)ab=−=−−，则ba=−，所以//ab，即12ll//，故A正确；对于B，直线l的方向向量(1,1,2)a=−，平面的法向量是(6,4,

1)u=−，则16142(1)0au=−+−=，所以au⊥，即//l或l，故B错误；对于C，两个不同的平面，的法向量分别是(2,2,1),(3,4,2)uv=−=−，则0uv=，所以⊥，故C正确；对于D，直线l方向向量(0,3,0

)a=，平面a的法向量是(0,5,0)u=−，则53ua=−，所以//，即l⊥，故D错误．故选：AC．12.如图，在多面体ABCDES中，SA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，且//DESA，22SAABDE===，,MN分别是线段,B

CSB的中点，Q是线段DC上的一个动点（含端点,DC），则下列说法正确的是（）的A.存在点Q，使得NQSB⊥B.存在点Q，使得异面直线NQ与SA所成的角为60C.三棱锥QAMN−体积的最大值是23D.当点Q自D向C处运动时，直线DC与平面QMN所成的角逐渐增大【答案】ACD【解析】【分析】首先以A

为坐标原点，,,ABADAS正方向为,,xyz轴，可建立如图所示空间直角坐标系，对选项A，假设存在点()(),2,002Qmm，根据0NQSB=即可判断A正确，对选项B，假设存在点()(),2,002Qmm

，根据1cos,2NQSA=无解即可判断B错误，对选出C，连接,,AQAMAN，根据()()maxmaxQAMNNAMQVV−−=即可判断C正确，对选项D，设直线DC与平面QMN所成的角为，得到21sin53222m=−+，再根据函数的单调性即可判断D正确.【详

解】以A为坐标原点，,,ABADAS正方向为,,xyz轴，可建立如图所示空间直角坐标系，()0,0,0A，()2,0,0B，()2,2,0C，()0,2,0D，()0,2,1E，()0,0,2S，()1,

0,1N，()2,1,0M；对于A，假设存在点()(),2,002Qmm，使得NQSB⊥，则()1,2,1NQm=−−，又()2,0,2SB=−，所以()2120NQSBm=−+=，解得：0m=，即点Q与D重合时，NQSB⊥，A正确；对于B，假设存在点()(),2,

002Qmm，使得异面直线NQ与SA所成的角为60，因为()1,2,1NQm=−−，()0,0,2SA=−，所以()211cos,215NQSANQSANQSAm===−+，方程无解；所以不存在点Q，使得异面直线NQ与SA所成的角为60，B错误

；对于C，连接,,AQAMAN；设()02DQmm=，因为22AMQABCDABMQCMADQmSSSSS=−−−=−，所以当0m=，即点Q与点D重合时，AMQS△取得最大值2；又点N到平面AMQ的距离112dSA==，所以()()maxmax122133QAMNNAMQVV−−==

=，C正确；对于D，由上分析知：()1,2,1NQm=−−，(1,1,1)NM=−，若(,,)mxyz=是面NMQ的法向量，则(1)200mNQmxyzmNMxyz=−+−==+−=，令1x=，则(1,2,3)

mmm=−−，因为()2,0,0DC=uuur，设直线DC与平面QMN所成的角为，π0,2，所以()()22211sin12353222DCnDCnmmm===+−+−−+，当点Q自D向C处运动时，m的值由0到2变大，此时sin也逐渐增大，因为sinyx=在π

0,2为增函数，所以也逐渐增大，故D正确.故选：ACD.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13.已知()13,,1,,1,2ambn=−=−，若ab，则mn=________．【答案】43【解析】分析】根据ab，解得m，n求解.【详解】由题意

可知n不为0，因为()13,,1,,1,2ambn=−=−，且ab，所以312112mn−===−，解得3,22nm=−=−，所以43mn=，故答案为：4314.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为

a，b，c．若3a=，45B=，75C=°，则b=______．【答案】2【解析】【分析】由已知利用三角形内角和定理可求A，根据正弦定理即可求b的值．【详解】在ABC中，因为3a=，45B=，75C=°，则1804

57560A=−−=，由正弦定理sinsinabAB=，可得：23sin22sin32aBbA===．故答案为：2．【15.两条异面直线a，b所成的角为π3，在直线a，b上分别取点A，E和A，F，使AAa⊥，且AA

b⊥已知3,4,7AEAFEF===，则线段AA的长为___________．【答案】23或6【解析】【分析】利用空间向量线性运算得到EFEAAAAF=++，结合空间向量数量积的运算法则及模的运算即可得解，注意,EAAF的夹角有两种情况.【详解】由题意，得EFEAAAAF=++

，所以2222222EFEAAAAFEAAAEAAFAAAF=+++++，因为3,4,7AEAFEF===，所以2249EFEF==，229,16EAAF==，因为AAa⊥，所以AAAE⊥，则0EAAA=，同理：0AA

AF=，因为异面直线a，b所成的角为π3，当,EAAF的夹角为π3时，π1cos34632EAAFEAAF===，所以2499160260AA=+++++，则212AA=，即212AA=

，故23AA=；当,EAAF的夹角为2π3时，2π1cos34632EAAFEAAF==−=−，所以()2499160260AA=++++−+，则236AA=，故6AA=；综上：线段AA的长为23或6.故答案为：23或6..16.已知等腰RtABC△内接于圆

O，点M是下半圆弧上的动点（不含端点，如图所示）.现将上半圆面沿AB折起，使所成的二面角CABM−−为π4.则直线AC与直线OM所成角的正弦值最小值为______.【答案】12##0.5【解析】【分析】取下半圆弧的中点D，连接OC，OD，以点O为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求解

作答.【详解】在折后的图形中，取下半圆弧的中点D，连接OC，OD，如图，依题意，,,,,OAODOAOCOCODOOCOD⊥⊥=平面COD，于是得OA⊥平面COD，且COD是二面角CABM−−的平面角，即4COD

=，在平面COD内过点O作OzOD⊥，因此射线,,OAODOz两两垂直，以点O为原点，射线,,OAODOz分别为,,xyz非负半轴建立空间直角坐标系，令2OA=，则(2,0,0),(0,2,2)AC，设点(,,0),0Mabb，显

然有224ab+=，于是得(2,2,2),(,,0)ACOMab=−=，令直线AC与直线OM所成的角为，因此222|||22|1cos|cos,|(2)4||||22ACOMabACOMabACOMab−+====−+2222222211132222(2)3()4442abab

ababab=+−+++=+=，当且仅当2ab−=，即2623,33ab=−=时取等号，显然直线AC与直线OM为异面直线，即(0,]2，而余弦函数cos在(0,]2上单调递减，因此co

s取最大值32时，角取最小值，min1(sin)2=，所以直线AC与直线OM所成角的正弦值最小值为12.故答案为：12【点睛】思路点睛：求空间角的最值问题，根据给定条件，选定变量，将该角的某个三角函数建立起变量的函数，求出函数最值即可.四、解答题

（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.已知直线:(21)(1)1170lxy−+−+−=，R.（1）若直线l与直线1:(1)10lxy+++=垂直，求实数的值（2）若直线l在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍，求直线l的方程.【答案】（1）0

=或2=（2）220xy+−=或340xy+=【解析】【分析】（1）根据直线垂直的充要条件列方程求解即可；（2）求出在坐标轴上的截距，由条件求出，即可得出直线方程.【小问1详解】因为直线l与直线1:(1)10lxy+++=垂

直，所以(21)1(1)(1)0−+−+=，解得0=或2=.【小问2详解】令0y=，得71121x−=−，令0x=，7111y−=−，由题意知7117112211−−=−−，解得35=

或711=，所以直线l的方程为220xy+−=或340xy+=.18.已知ABC的内角,,ABC所对的边分别为,,abc，且2a=，3cos5B=.（1）若4b=，求sinA的值；（2）若ABC的面积4ABCS=，求,bc的值.【答案】（1）25（

2）17b=，5c=【解析】【分析】（1）先求出4sin5B=，再利用正弦定理求解；（2）利用ABC的面积求出5c=，再利用余弦定理求出b得解.【小问1详解】3cos05B=，且240π,sin1cos5BBB=−=.由正弦定理得sinsinabAB=，所以42sin25sin45aBAb

===.【小问2详解】114sin4,24,5225ABCSacBcc====.由余弦定理得2222232cos2522517,175bacacBb=+−=+−==.19.如图，四棱柱1111ABCDABCD−为平行六面体，M为1AA的中

点．（1）若点N满足112NDDD=，求证：1MBCN、、、四点共面；（2）若1111ABCDABCD−为正方体，求直线CD平面1MBC所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）13【解析】【分析

】（1）用向量证明1//BCMN即可；（2）用空间向量求角度.【小问1详解】证明：在四棱柱1111ABCDABCD−为平行六面体中，111111,ADBCDDCC==，如图在1DD的延长线上取1112DNDD=，则11

2NDDD=，则1111111MNMAADDNDDAD=++=+，11111BCBCCCDDAD=+=+，所以1BCMN=，即1//BCMN，所以1MBCN、、、四点共面.【小问2详解】正方体1111ABCDABCD−，以D为原点，1,,DADCDD所在直线,,xyz轴

如图建立空间直角坐标系，设||2AD=，则1(0,0,0),(0,2,0),(0,2,2),(2,0,1),(2,2,0)DCCMB，设平面1MBC的一个法向量为(,,)nxyz=，1(0,2,1),(2,0,2)MBBC=−=−，则1020,2200MBnyzxz

BCn=−=−+==，令2z=，则,12yx==，所以(2,1,2)n=，(0,2,0)DC=，21|cos|||233DCn==，所以直线CD平面1MBC所成角的正弦值13.为20.读书可以增长知识，开拓视野，修身怡情．某校为了解本校学生课外阅读情况

，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全校学生中抽出一个容量为100的样本，其中男生40名，女生60名．经调查统计，分别得到40名男生一周课外阅读时间（单位：小时）的频数分布表和60名女生一周课外阅读时间（单位：小时）的频率分布直方图．男生一周阅读时间频数分布表小时频数)0,29

)2,422)4,66)6,83（1）由以上频率分布直方图估计该校女生一周阅读时间的第75百分位数；（2）从一周课外阅读时间为)4,6的样本学生中按比例分配抽取7人，再从这7人中任意抽取2人，求恰好抽到一男一女的概率．【答案】（1）163

（2）1021【解析】【分析】（1）根据百分位数的定义，结合频率分布直方图可得答案；（2）由频数分布表，频率分布直方图知，一周课外阅读时间为)4,6的学生中男生有6人，女生有15人，按照比例抽样，利用古典概型可解.【小问1详解】设女生一周阅读时间的75%分位数

为a，()111322424484a++−=，解得163a=；【小问2详解】由频数分布表，频率分布直方图知，一周课外阅读时间为)4,6的学生中男生有6人，女生有1260158=（人），若从中按比例分别抽取7人，则男生有2人，记为1a，2a

，女生有5人，记为1b，2b，3b，4b，5b，则样本空间12111213141521222324251213{,,,,,,,,,,,,,aaababababababababababbbbb=1415232425343545,,,,,,,}bbbbbbbbbbbbbbbb，共有21个样本点

．记事件A＝“恰好一男一女”，则11121314152122232425,,,,,,,,,Aabababababababababab=包含10个样本点，故所求概率()1021PA=．21.如图，在四棱锥P

ABCD−中，PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，,,222,BCADCDADPCADDCBCE⊥====∥为PD的中点．（1）证明：//CE平面PAB；（2）求直线CE与平面PAB间的距离．【答案】（1）证明见解析（2）55【解析】【分析】（1）取PA的中点M，连,BMEM，可证四边形

BCEM为平行四边形，//CEBM，再根据线面平行的判定定理可得//CE平面PAB；（2）根据//CE平面PAB，转化为求点E到平面PAB的距离，取AD的中点N，连,BNPN，可证BC⊥平面PNB，以B为原点，,BCBN分别为,xy

轴，在平面PNB内，作Bz⊥平面ABCD，建立空间直角坐标系，根据点面距的向量公式可求出结果.【小问1详解】取PA的中点M，连,BMEM，因为E为PD的中点，所以//EMAD，12EMAD=，又//BCAD，12BCAD=，所以//EMBC，EMBC=，所以四边形BCEM为平行四边形，所以

//CEBM，因为CE平面PAB，BM平面PAB，所以//CE平面PAB..【小问2详解】因为//CE平面PAB，所以点E到平面PAB的距离即为所求.因为,,222BCADCDADADDCBC⊥===∥，取AD的中点N，连,BNPN，则四边形BCDN为矩形，1BNCD==，

因为PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，所以PNAD^，112PNAD==，因为BNAD⊥，PNBNN?，,PNBN平面PNB，所以AD⊥平面PNB，因为//BCAD，所以BC⊥平面PNB，因为BCABCD，所以平面ABCD⊥平面PNB，以B为原点，,BCBN分别为,xy轴，在平面P

NB内，作Bz⊥平面ABCD，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)B，(1,1,0)A−，(1,1,0)D，因为BC⊥平面PNB，PB平面PNB，所以BCPB⊥，在RtPBC△中，2PC=，1BC=，所以2

222213PBPCBC=−=−=，因为1BNPN==，所以22211(3)1cos2112PNB+−==−Ð，因为PNB是三角形内角，所以120PNB=，所以33(0,,)22P，153(,,)244E，所以33(0,,)22B

P=，(1,1,0)BA=−，153(,,)244BE=，设平面PAB的一个法向量为(,,)nxyz=，则330220nBPyznBAxy=+==−+=，取1x=，则1y=，3z=−，(1,1,

3)n=−，所以点E到平面PAB的距离为153|3|||5244||5113nBEdn+−===++.故直线CE与平面PAB间的距离为55.22.如图1，菱形ABCD中120ABC=，动点,EF在边,ADAB上（不含

端点），且存在实数使EFDB=，沿EF将AEF△向上折起得到PEF!，使得平面PEF⊥平面BCDEF，如图2所示．（1）若BFPD⊥，设三棱锥PBCD−和四棱锥PBDEF−的体积分别为12,VV，求12VV；（2）当点E的位

置变化时，平面EPF与平面BPF的夹角（锐角）的余弦值是否为定值，若是，求出该余弦值，若不是，说明理由；【答案】（1）95；（2）是，55.【解析】【分析】（1）设OPx=，建立空间直角坐标系，由直线BF与PD垂直

，即可列式求解；（2）设平面PEF与平面PBF的夹角为，求出平面PBF的法向量，平面PEF的法向量，利用空间向量夹角公式即可求解．【小问1详解】在图2中，取EF中点O，BD中点M，连接OP，OM，因EFDB

=即//EFBD，所以PEPF=,所以POEF⊥,又因为平面PEF⊥平面BCDEF，平面PEF平面BCDEFEF=，PO平面PEF，所以PO⊥平面BCDEF，为由题意可知OMEF⊥,以O为原点，OF，OM，OP所在直线分别为,,xyz轴，建立空间

直角坐标系，设4AB=，,023OPxx=，则23OMx=−，所以()2,23,0Bx−，,0,03xF，()0,0,Px，()2,23,0Dx−−，所以()2,23,PDxx=−−−，2,23,03xBFx=−−，因为直线BF与PD垂直，所

以()()23230223xPDxBFx=−−−+−=，即210803xx−+=，解得：63x=（舍）或44333x==，所以2POOM=，2PEED=，所以图1中点E在靠近点D的三等分点处，所以59

BDEFABDAEFBCDABDSSSSS=−=，所以1295BCDBDEFSVVS==；【小问2详解】设平面PEF与平面PBF的夹角为，平面PEF的法向量()0,1,0n=，,0,3xPFx=−，2,23,03xBFx=−−，设平

面PBF的法向量(,,)mabc=，则00PFmBFm==，即()0322303xaxcxaxb−=−+−=，取1a=，得33b=−，33c=,得331,,33m=−，所以353cos,5111133mn−==−+

+，所以5cos5=，所以无论点E的位置如何，平面PEF与平面PBF的夹角余弦值都为定值55．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com