【文档说明】上海市上海交通大学附属中学2023-2024学年高一上学期10月考试+数学+含解析.docx，共(20)页，828.655 KB，由小赞的店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

高一数学月考试卷（说明：本试卷满分150分，考试时间120分钟．本套试卷另附答题纸，每道题的解答必须．．写在答题纸的相应位置，本卷上任何解答都不作评分依据．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．）一、填空题（本大题满分54分，前6题每题4分，后6题

每题5分，填错或不填在正确的位置一律得零分）1.已知集合{1,}Am=−，21,Bm=，且AB=，则m的值为________.2.已知全集1,2,3,4U=，集合1,2A=，2,3B=，则

AB=______．3.关于x不等式210xax++恒成立，则实数a的取值范围是___________.4.已知关于x的不等式()()222160axax−+−+的解集为M．若3M且5M，则实数a的取值范围是______

．5.已知关于x的一元二次不等式2430axx++的解集为1xbx，则ab−=______．6.不等式2111xxx+−+−的解集是____________.7.已知aR，若关于x不等式5xa−无解，则实数a的取值范围是______．8.已知集合204xAx

x+=−，22210Bxxaxa=−+−，若“xA”是“xB”的必要非充分条件，则实数a的取值范围是______．9.著名的哥德巴赫猜想指出：“任何大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，用反证法研究该猜想，应假

设的内容是_______．10.已知1x，2x是一元二次方程250xmx++=的两个实数根，若1x，2x满足1223xx=−，则m=________.11.已知aZ，若关于x的不等式21802xxa−+的解集中有且仅有5个整数，则所有符合条件的

a的值之和是______．12.已知集合AR，对任意a、b、cAÎ，规定运算“”满足如下性质：（1）abA；（2）0aa=；（3）()abcacbcc=++；给出下列命题：①0A；的②若1A

，则()1110=；③若aA，且0aa=，则0a=；④若a、b、cAÎ，且0aa=，abcb=，则ac=．其中所有正确命题的序号是______．二、选择题（本大题满分18分，前2题每题4分，后2题每题5分

，每题有且仅有一个正确选项）13.已知,,abcR，则下列四个命题正确的个数是（）①若22acbc，则ab；②若22ab−−，则()()2222ab−−；③若0abc，则aacbbc++；④若0a，0b，4ab+，4ab，则2a，2b.A.1B.2C.3D.414

.某城市为控制用水，计划提高水价，现有以下四种方案，其中提价最多方案是（其中01qp）（）A.先提价%p，再提价%qB.先提价%q，再提价%pC.分两次，都提价22%2pq+D.分两次，都提价%2pq+15.若实数a，b满足a

≥0，b≥0，且ab=0，则称a与b互补，记φ（a，b）=﹣a﹣b那么φ（a，b）=0是a与b互补的（）A.必要不充分条件B.充分不必要的条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件16.已知a，b，Rc，若关于x不等式01acxbxx++−

的解集为()123321,0xxxxxx，则（）A.不存在有序数组(,,)abc，使得211xx−=B.存唯一有序数组(,,)abc，使得211xx−=C.有且只有两组有序数组(,,)abc

，使得211xx−=D.存在无穷多组有序数组(,,)abc，使得211xx−=的在三、解答题（本大题满分78分）解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要步骤．17.已知两个命题：:p二次函数2yx

axa=++的图象与x轴有两个不同的交点；:q关于x的不等式12ax+恒成立．若命题p和q有且仅有一个是真命题，求实数a的取值范围．18.求下列关于x的不等式的解集．（1）2411xxx−++；（2）()212200xaxaa−++．19.已知

()()()212fxxaxaa=−++−R，设函数()yfx=．（1）当2a=时，求不等式()5fx的解集；（2）若()4fx恒成立，求实数a的取值范围．20.已知()()22fxaxxaa=+−R．（1）已知关于x的不等式()()212fxaxa−+−的解集是()1

,1,a−−+，求实数a的取值范围；（2）已知()12fxa−的解集为A，且1,42AA=，求实数a的取值范围．21.某天，你突然发现黑板上有如下内容：例：求33xx−，)0,x+的最小值．解：由平均值不等式：当

a、b、)0,c+时，33abcabc++恒成立、当且仅当abc==时取等号，得到3113xx++，于是33311323322xxxxxx−=++−−−−=−，且等号当且仅当1x=时成立；所以当且仅当1x

=时33xx−取到最小值2−．（1）请你模仿上面例题，研究44xx−，)0,x+的最小值；（2）研究3139xx−，)0,x+最小值；（3）求当0a时，3xax−，)0,x+最小值．的

的高一数学月考试卷（说明：本试卷满分150分，考试时间120分钟．本套试卷另附答题纸，每道题的解答必须．．写在答题纸的相应位置，本卷上任何解答都不作评分依据．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．）一、填空题（本大题满分54分，

前6题每题4分，后6题每题5分，填错或不填在正确的位置一律得零分）1.已知集合{1,}Am=−，21,Bm=，且AB=，则m的值为________.【答案】0【解析】【分析】本题根据题意先得到限制条件，再根据限制条件求m的值即可.【详解】解

：因为{1,}Am=−，21,Bm=，AB=，所以2211mmmm−=−，解得0m=，故答案为：0【点睛】本题考查根据集合相等求参数的值，是基础题.2.已知全集1,2,3,4U=，集合1,2A=，2,3B=，则AB=__

____．【答案】1【解析】【分析】根据集合的交集、补集运算求解.【详解】由题意可得：1,4=B，所以1AB=I.故答案为：1.3.关于x不等式210xax++恒成立，则实数a的取值范围是___________.【答案】(

2,2)−【解析】【分析】由一元二次不等式在实数集上恒成立，结合对应函数的性质知，即可求a的范围.【详解】由题设，要使210xax++恒成立，∵函数2()1=++fxxax开口向上，∴只需240a=−即可，解得22a−.故答案为：(2,2

)−4.已知关于x的不等式()()222160axax−+−+的解集为M．若3M且5M，则实数a的取值范围是______．【答案】715a【解析】【分析】由题意可得出关于实数a的不等式组，由此可解得实数a的

取值范围.【详解】因为关于x的不等式()()222160axax−+−+的解集为M，3M且5M，所以，()()()()92321615150252521635490aaaaaa−+−+=−−+−+=−，解得715a.故答案为：715a.5.已知关于x的一元二次不等式

2430axx++的解集为1xbx，则ab−=______．【答案】467−【解析】【分析】由题意可知：关于x的一元二次方程2430axx++=的根为(),11bb，且a<0，利用韦达定理运算求解.【详解】由题意可知：关于x一元二次方程2430

axx++=的根为(),11bb，且a<0，可得413baba+=−=，解得70317ab=−=−，所以()346777−=−−−=−ab.故答案为：467−.6.不等式2111xxx+−+−的解集是____________.【答案】(

0,1的【解析】【分析】先求出x的范围，再解分式不等式即可.【详解】由2111xxx+−+−可得1x且0x，21x，即20xx−，即()20xx−，解得02x，综上所述不等式的解集为(0,1.故答案为：(0,1【点睛】本题主要考查分式不等式的解法，解不等式时注意式子要

有意义，此题属于基础题.7.已知aR，若关于x的不等式5xa−无解，则实数a的取值范围是______．【答案】(,0−【解析】【分析】分析可知，对任意的xR，5xa−，可得出min5ax−，即可得解.【详解】由题意可知，关于x的不等式

5xa−无解，即对任意的xR，5xa−，所以，min50ax−=，故实数a的取值范围是(,0−.故答案为：(,0−.8.已知集合204xAxx+=−，22210Bxxaxa=−+−，若“xA”是“xB”的必要

非充分条件，则实数a的取值范围是______．【答案】|13−aa【解析】【分析】先求集合,AB，由题意可知集合B是集合A的真子集，根据包含关系运算求解.【详解】由题意可得20244xAxxxx

+==−−，22210|11Bxxaxaxaxa=−+−=−+，若“xA”是“xB”的必要非充分条件，则集合B是集合A的真子集，则1214aa−−+，且等号不能同时成立，解得13a−，所以实数a的取值范围是|13−aa.故

答案为：|13−aa.9.著名的哥德巴赫猜想指出：“任何大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，用反证法研究该猜想，应假设的内容是_______．【答案】存在一个大于2的偶数不可以表示为两个素数的和.【解析】【分析】从命题的否定入手可解.【详解】反证法先否定命题，故答案

为存在一个大于2的偶数不可以表示为两个素数的和.【点睛】本题主要考查反证法步骤，利用反证法证明命题时，先是否定命题，结合已知条件及定理得出矛盾，从而肯定命题.10.已知1x，2x是一元二次方程250xmx++=的两个实数根，

若1x，2x满足1223xx=−，则m=________.【答案】92−【解析】【分析】由韦达定理可知1x，2x同号，分1x，2x都为负数和都为正数两种类型讨论，利用韦达定理和已知条件，解方程并检验即可.【详解】∵一元二次方程250

xmx++=有两个实数根1x，2x，∴2450m=−，即220m.由一元二次方程根与系数关系，可得12xxm+=−，1250xx=，则1x，2x同号.①当1x，2x都为负数时，可得1212,23,xxmxx+=−=−−

解得1223,?3,xmxm=−+=−∴()()2335mm−+−=，即229140mm−+=，此时2942140=−，方程无解；②当1x，2x都为正数时，可得121223xxmxx+=−=−解得1221,31,3mxmx=−−=−+的∴211533mm

−−−+=，即223540mm−−=，解得16m=或292m=−.因为1x，2x都为正数，则0m−，即0m，所以292m=−.综上可得92m=−.故答案为：92−11.已知aZ，若关于x的不等式21802xxa−+的解集中

有且仅有5个整数，则所有符合条件的a的值之和是______．【答案】87【解析】【分析】设关于x的不等式21802xxa−+的解集为A，分析可知集合A中的5个整数依次为6、7、8、9、10，由此可得出关于实数a的

不等式组，解出实数a的取值范围，即可得解.【详解】设关于x的不等式21802xxa−+的解集为A，因为二次函数2182yxxa=−+的对称轴为直线8x=，所以，集合A中的5个整数依次为6、7、8、9、10，所以，22158502168602aa−+

−+，解得55302a，又因为aZ，所以，整数a的取值集合为28,29,30，因此，所有符合条件的a的值之和是28293087++=.故答案为：87.12.已知集合AR，对任意a、b、cAÎ，规定运算

“”满足如下性质：（1）abA；（2）0aa=；（3）()abcacbcc=++；给出下列命题：①0A；②若1A，则()1110=；③若aA，且0aa=，则0a=；④若a、b、cAÎ，且0aa=，abcb=，则ac=．其中所有正确命题的序号是______

．【答案】①③④【解析】【分析】根据新定义计算“”逐项分析可得结果.【详解】对于命题①，对任意的aA，0aaA=，命题①为真命题；对于命题②，若1A，则()111111110011=++=++=，命题②假命题；

对于命题③，当0a=时，若aA，则0aa=，则0a=显然成立；当0a时，若aA，且0aa=，在（3）中，令0c=，ba=，则()00002aaaaa=++=，另一方面()0000aa==，则

20a=，即0a=，这与0a矛盾；综上，0a=，故命题③为真命题；对于命题④，若a、b、cAÎ，由0aa=可得0a=，又因为abcb=，则()()abccbc=，因为()abcacbcc=++，则()cbcccbcc=++，

所以，0accc==，即00c=，所以，()000ccccccc=++==，所以，ac=，故命题④为真命题.故答案为：①③④.【点睛】关键点睛：本题考查新定义运算，解本题的关键在于根据题中三个性

质进行推导，解题时应紧扣题中定义进行推导.二、选择题（本大题满分18分，前2题每题4分，后2题每题5分，每题有且仅有一个正确选项）13.已知,,abcR，则下列四个命题正确的个数是（）①若22acbc，则ab；②若2

2ab−−，则()()2222ab−−；③若0abc，则aacbbc++；④若0a，0b，4ab+，4ab，则2a，2b.A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】利用不等式的性质，逐一分析选项，得到正确结论.为【详解】①当22ac

bc时，20c，两边同时除以2c，得到ab，正确；②220ab−−，那么2222ab−−，即()()2222ab−−，正确；③()()()()()abcbaccabaacbbcbbcbbc+−+−

+−==++−，0abc0,0abbc−−aacbbc++，正确；④令110,2ab==同样能满足4,4abab+，2,2ab不正确.共有3个正确.故选C.【点睛】本题考查不等式比较大小，一般不等式比较大小的方法：1.做差法，2.利用不等式

的性质，3.利用函数单调性比较大小，4.特殊值比较大小.14.某城市为控制用水，计划提高水价，现有以下四种方案，其中提价最多的方案是（其中01qp）（）A.先提价%p，再提价%qB.先提价%q，再提价%pC.分两次，都提价22%2pq+D.分两次，都提价%2pq+

【答案】C【解析】【分析】求出每个选项中提价后的水价，结合基本不等式比较大小可得合适的选项.【详解】设原来的水价为a，AB选项中，两次提价后的水价为()()1%1%apq++，C选项中，两次提价后的水价为222

1%2pqa++，D选项中，两次提价后的水价为21%2pqa++，因为01qp，则222pqpq+，则()()2222222pqpqpqpq+++=+，所以，22222pqpq++，则2222pq

pq++，即22221%1%22pqpqaa++++，由基本不等式可得()()21%1%1%2pqapqa++++，所以，()()22221%1%1%1%22pqpqaaapq++

++++.故选：C15.若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab=0，则称a与b互补，记φ（a，b）=﹣a﹣b那么φ（a，b）=0是a与b互补的（）A.必要不充分条件B.充分不必要的条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C【解析】【详解】试题分析：由φ（a，b）＝0得22ab+－a－b＝０且0,0ab；所以φ（a，b）＝0是a与b互补的充分条件；再由a与b互补得到：0,0ab，且ab＝0；从而有，所以φ（

a，b）＝0是a与b互补的必要条件；故得φ（a，b）＝0是a与b互补的充要条件；故选Ｃ．考点：充要条件的判定．16.已知a，b，Rc，若关于x不等式01acxbxx++−的解集为()123321,0xxxxxx

，则（）A.不存在有序数组(,,)abc，使得211xx−=B.存在唯一有序数组(,,)abc，使得211xx−=C.有且只有两组有序数组(,,)abc，使得211xx−=D.存在无穷多组有序数组(,,)abc，使得211xx−=【答案】D【解析】.【分析】根据1>0

x，不等式转化为一元二次不等式的解的问题，利用两个一元二次不等式解集有交集的结论，得出两个不等式解集的形式，从而再结合一元二次方程的根与系数关系确定结论．【详解】由题意不等式20xbxacx++−的解

集为()123321,0xxxxxx，即220xbxaxbxacx++++−的解集是123,xxx，则不等式20xbxa++的解是{|x2xx或3xx}，不等式2xbxacx++−的解集是13{|}xxxx，设1xm

=，21xm=+，3xn=(1)mn+，所以0cn−=，nc=，1m+和n是方程20xbxa++=的两根，则11bmnmc−=++=++，(1)amnmcc=+=+，又22(1)mbmammmcmcccm++=+−−−++=−，所以m是2xbx

acx++=−的一根，所以存在无数对(,,)abc，使得211xx−=．故选：D．【点睛】关键点点睛：本题考查分式不等式的解集问题，解题关键是转化一元二次不等式的解集，从而结合一元二次方程根与系数关系得出结论．三、解答题（本大题满分78分）解答下列各题必须在答题纸规定的方框

内写出必要步骤．17.已知两个命题：:p二次函数2yxaxa=++的图象与x轴有两个不同的交点；:q关于x的不等式12ax+恒成立．若命题p和q有且仅有一个是真命题，求实数a的取值范围．【答案】10a−或4a【解析】【分析】

分别求出当命题p、q为真命题时，实数a取值范围，然后分p真q假、p假q真两种情况讨论，求出对应的实数a的取值范围，综合可得出实数a的取值范围.【详解】解：若命题p为真命题，则240aa=−，解得a<0或4a，若命题q为真命题，则()min120ax+=，即1a

−，的若p真q假，则041aaa−或，可得10a−或4a，若p假q真，则041aa−，此时，a.综上所述，10a−或4a.18.求下列关于x的不等式的解集．（1）2411xxx−++；（2）()212200xaxa

a−++．【答案】（1）3xx−或1x（2）答案见解析【解析】【分析】（1）将所求不等式变形为214xxx++−，即为2230xx+−，结合二次不等式的解法可得出所求不等式的解集；（2）将所求不等式变形为()120xaxa−−，对2a

和1a的大小进行分类讨论，结合二次不等式的解法解原不等式即可得其解集.【小问1详解】解：因为22131024xxx++=++，由2411xxx−++可得214xxx++−，即2230xx+

−，解得3x−或1x，故原不等式的解集为3xx−或1x.【小问2详解】解：由21220xaxa−++可得()120xaxa−−，因为0a，当12aa=时，即当22a=时，原不等式即为()220x−

，此时，原不等式的解集为；当12aa时，即当202a时，解不等式()120xaxa−−可得12axa，此时，原不等式的解集为12xaxa；当12aa时，即当22a时，解原不等式可得12xaa，此时，原不等式的解集为12xxaa

.综上所述，当22a=时，原不等式的解集为；当202a时，原不等式的解集为12xaxa；当22a时，原不等式的解集为12xxaa.19.已知()()()212fxxaxaa=−++−R，设函数()yfx=．（1）当2a=

时，求不等式()5fx的解集；（2）若()4fx恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）2xx或7x（2）1aa−或3a【解析】【分析】（1）当2a=时，可得出()54fxxx=−+−，分4x、45x、5x≥三种情况解不等式()5

fx，综合可得出原不等式的解集；（2）利用绝对值三角不等式可求出函数()fx的最小值，可得出关于实数a的不等式，解之即可.【小问1详解】解：当2a=时，()54fxxx=−+−.当4x时，()54925fxxxx=−+−=−，解得2x，此时，2x，当45x时

，()541fxxx=−+−=，此时，不等式()5fx无解，当5x≥时，()54295fxxxx=−+−=−，解得7x，此时，7x.综上所述，当2a=时，不等式()5fx的解集为2xx或7x.【小

问2详解】解：因为()221210aaa+−=−，当且仅当1a=时，等号成立，由绝对值三角不等式可得()()()221212fxxaxaxaxa=−++−−+−+()22121aaa=+−=−，当且仅当221axa+时，等号成

立，因为()4fx恒成立，则()214−a，可得12a−−或12a−，解得1a−或3a.所以，实数a的取值范围是1aa−或3a.20.已知()()22fxaxxaa=+−R．（1）已知关于x的不等式()()212fxaxa−+−的解集是()1,1,a−−+

，求实数a的取值范围；（2）已知()12fxa−的解集为A，且1,42AA=，求实数a的取值范围．【答案】（1）10aa−（2）2a【解析】【分析】（1）将所求不等式变形为()()110axx−+，根据

二次不等式的解法可得出关于实数a的不等式组，即可解得实数a的取值范围；（2）分析可知，对任意的1,42x，210axx+−恒成立，由参变量分离法可得出211axx−，令1

1,24tx=，求出函数2ytt=−在1,24上的最大值，即可得出实数a的取值范围.【小问1详解】由()()22212fxaxxaaxa=+−−+−，即()2110axax+−−，整理可得()()110axx−+，因为不等式()()110axx−+的解集为()

1,1,a−−+，则011aa−，解得10a−，因此，实数a的取值范围是10aa−.【小问2详解】由()2212fxaxxaa=+−−可得210axx+−，因为不等式()12fxa−的解集为A，且1,42AA=，则1,

42A，所以，对任意的1,42x，210axx+−恒成立，则21axx−，可得211axx−，令11,24tx=，则221124ttt−=−−

，因为函数21124yt=−−在11,42上单调递减，在1,22上单调递增，当14t=时，21134416y=−=−；当2t=时，2222y=−=.当1,24t时，函数2ytt=−的最大值为2，所以，2a.21.某天，你

突然发现黑板上有如下内容：例：求33xx−，)0,x+的最小值．解：由平均值不等式：当a、b、)0,c+时，33abcabc++恒成立、当且仅当abc==时取等号，得到3113xx++，于是33311323322xxxxxx−

=++−−−−=−，且等号当且仅当1x=时成立；所以当且仅当1x=时33xx−取到最小值2−．（1）请你模仿上面例题，研究44xx−，)0,x+的最小值；（2）研究3139xx−，)0,x+的最小值；（3）求当0a时，3xax−，)0,x+的最小值．【答案

】（1）3−（2）6−（3）239aa−【解析】【分析】（1）由四元基本不等式可得41114xx+++，进而可求得44xx−，)0,x+的最小值；（2）由三元基本不等式可得出3272727xx++，进而可求得3139xx−，)0,x+的最小值；（3）令0t，33323233

xtttxtx++=，令323txax=，可得33279aaat==，再利用三元基本不等式可求得当0a时，3xax−，)0,x+的最小值．【小问1详解】由平均值不等式：当a、b、c、)0,

d+时，44abcdabcd+++恒成立、当且仅当abcd===时取等号，得到41114xx+++，于是，当0x时，44444111434111433xxxxxx−=+++−−−−=−，当且仅当1x=时，等号成立，故44xx−，)0,x+的最小值为3−.【小问

2详解】由平均值不等式：当a、b、)0,c+时，33abcabc++恒成立、当且仅当abc==时取等号，得到33327273272727xxx++=，当且仅当327x=时，即当3x=时，等号

成立，所以，当0x时，()()33311132727272754999xxxxxx−=−=++−−()127275469xx−−=−，所以，3139xx−，)0,x+的最小值为6−.【小问3详解】当0a

且0x时，令0t，33323233xtttxtx++=，令323txax=，可得33279aaat==，所以，当0a且0x时，33322323229aaxaxxttaxttxaxtt−=++−−−−=−=−，所以，当0a时，3xax−，)0,x+的最小值为

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