【文档说明】安徽省安庆市示范高中2021-2022学年高三下学期4月联考试题 数学（理） 含答案.docx，共(15)页，601.044 KB，由小赞的店铺上传

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2022年安庆市示范高中高三联考试题数学（理科）本试卷共4页，23题（含选考题）．全卷满分150分，考试时间120分钟．考生注意事项：1．答题前，先将自己的姓名，准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指

定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上

指定的位置用2B铅笔涂黑．答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．5．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的．1．已知函数()2ln3=−yxx的定义域为A，集合14=Bxx，则()=RABð（）A．{0,1,2,3,4}B．{1,2,3}C．[0,4]D．[1,3]2．已知(1i)12i+=−za，若复数z为纯虚数，则实数=a（）A．

2B．2−C．12D．12−3．在数列na中，“212nnnaaa++=”是“na为等比数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．2021年，我国通信业积极推进网络强国和数字中国建设，5G和千兆光网等新型信息基础设施建设覆

盖和应用普及全面加速，移动电话用户规模小幅增长．截止2021年，全国电话用户净增4755万户，总数达到18.24亿户，其中移动电话用户总数16.43亿户，全年净增4875万户，其中，4G移动电话用户为10.69亿户，5G移动电话用户达到3.55亿户，周定电话用户总数1.81亿户，全年

净减121万户．自2011年以来固定电话与移动电话普及率（单位：部/百人）如图所示，则以下说法错误的是（）A．近十年以米移动电话普及率逐年递增B．近十年以来固定电话普及率逐年递减C．2021年移动电话普及率为116.3部/百人，比上年末提高3.4部/百人D．2021年固定

电话普及率为12.8部/百人，比上年末降低0.1个百分点5．已知函数()fx的定义域为R，其图象关于原点及(2,1)对称．当[0,2]x时，3()log(1)fxx=+，则下列叙述错误的是（）A．()fx是周期函数B．()fx为奇函数C．(

)fx在(,)−+单调递增D．()fx的值域为R6．已知命题p：点(,)ab在圆22:1Cxy+=内，则直线1axby+=与C相离；命题q：直线l⊥直线m，m∥平面，则l⊥．下列命题正确的是（）A．pqB．()pq

C．()pqD．()pq7．已知函数()fx在,−上的图象如图所示，则函数()fx的解析式可能为（）A．()esinxfxx=B．()esinxfxx−=−C．()esinxfxx=−D．()esinxfxx−=−

8．已知圆锥SO的底面半径为1，母线3SA=．过点A的平面将圆锥SO分成两部分，则截面椭圆周长的最小值为（）A．33B．32C．43D．429．已知()sincosfxxx=+，设()fx是()fx的导函数，下列结论错误的是（）A．将()fx图象向左平移2可得()fx的图象B．将(

)fx图象向右平移32可得()fx的图象C．()fx与()fx的图象关于2x=对称D．()fx与()fx的图象关于y轴对称10．已知m，n都是正整数，且elnmnmn++，则（）A．emnB．emmC．emnD．enm

11．已知抛物线2:Cyax=的焦点为F，过C上一点P作C的切线与y轴交于点T，则PTF不能为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．等边三角形D．不等边三角形12．在自然界中，树木的分叉、花瓣的数量、

植物种子的排列等都遵循了某种数学规律，直到13世纪意大利数学家莱昂纳多·裴波那契从免子繁殖问题发现了一组神奇的数字1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，它揭示了植物生长的规律，我们将其称为裴波那契

数列，该数列也可以表示为na，()12211,nnnaaaaan++===+N．下面结论：①1221nnaaaa++++=−，②222121nnnaaaaa++++=，③13212nnaaaa−+++=，④242211nnaaaa++++=−，则以上正确结论的个数是（）A．4B．3C．2

D．1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量,ab满足1||1,||,()2abbab==⊥+，则|2|ab−=_________．14．已知双线2222:1(0,0)xyCabab−=的顶点分别为M、

N、P为、C上一点且直线,PMPN的斜率之积为3，则双曲线C的离心率为________．15．2022年北京冬奥会自由式滑雪大跳台比赛在首钢滑雪大跳台进行，在资格赛中每位选手滑跳三次，假设某运动员滑跳一次成绩超过70分的概率为34，则在资格赛中该运动员超过

70分的次数X的数学期望为________，其中至少有两次成绩超过70分的概率为_______．（第一空2分，第二空3分）16．已知四棱锥PABCD−的底面为矩形，1,3PAPDADPBPCAC======，则其外接球

的表面积为________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B

，C的对边，且2cosabcA+=．（1）求证：2CA=；（2）若b为a，c的等差中项，且10b=，求ABC的面积．18．（12分）2022年北京冬奥会防寒服中的“神奇内芯”—仿鹅绒高保暖絮片，是国家运动员教练员比赛服装的保暖材料．该“内芯”具有超轻超薄、湿态保暖、高蓬松度等特点，其研发是

国家重点研发计划“科技冬奥”重点专项之一，填补了国内空白．为了保证其质量，厂方技术员从生产的一批保暖絮片中处随机抽取了100处，分别测量了其纤维长度（单位：mm）的均值，并制成如下频率分布直方图：（1）估计该批保暖絮片纤维长度的平均数x和样本方差

2s（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（2）该批保暖絮片进人成品库之前需进行二次检验，从中随机抽取15处测量其纤维长度均值，数据如下：31.832.728.234.329.134.837.230.830.625.232.928.933.929.53

4.5．请问该批保暖絮片是否合格？（若二次抽检纤维长度均值y满足1||2xys−，则认为保暖絮片合格，否则认为不合格）．19．（12分）如图ABCD为平行四边形，5,4,3ABADBD===，将ABD沿BD翻折到PBD位置且120PDA=．（1）求P，C两点之间的距离；

（2）求二面角DPBC−−的余弦值．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左，右焦点分别为1F、2F，动直线l过2F与C相交于A，B两点．若M：223360xyx+−+=是其中一个1ABF的内切圆．（1）求椭圆C的方程；（2）

求1ABF内切圆半径的最大值．21．（12分）已知函数x2()efx−=，函数ln()(,)axbgxabx+=R在ex=处取得最大值．（1）求a的取值范围；（2）当02a时，求证：()()fxgx．（

二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．（10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4c

os=．（1）求曲线C的普通方程；（2）若过点(0,1)P的直线l与曲线C交于A，B两点，求||||PAPB+的取值范围．23．（10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()2||||fxxxa=+−，其中0a．（1）当1a=时，求不等式()4fx的

解集；（2）若[1,2]x−时，2()6fx，求a的取值范围．理科数学参考答案题号123456789101112答案DCBAABDACADA1．【解析】由已知03Axxxx=，故()03,[

1,3]RRAxxAB==痧，故选D．2．【解析】设i(,0),i12izbbRbabb=−+=−，故1,2abb−==−，解得12a=，故选C．3．【解析】由na为等比数列，则212nnnaaa++=；反之不成立．

故选B．4．【解析】由题意及图表可知选A．5．【解析】由已知可知()fx为奇函数，在(,)−+单调递增，其值域为R，故选A．6．【解析】由已知p真q假，故()pq为真，所以选B．7．【解析】由于图像在二四象限，故排除AB．当()sinxfx

ex−=−时，()(cossin)xfxexx−=−−在[,]−内极值点分别为3,44−，故选D．8．【解析】由已知圆锥展开图圆心角2,33ASASASA===．截面椭圆周长的最小值为33AA=，故选A．9．【解析】由已知()sincosfxxx=+，所以()co

ssinsincos22fxxxxx=−=+++，故将()fx图像向左平移2或右移32可得()fx的图象；()cossin()fxxxfx=−=−，所以()fx与()fx的图象关于y轴对称；(0

)()ff，所以()fx与()fx的图像关于2x=对称错误，故选C．10．【解析】因为lnmenmn++，所以!lnlnlnmnemnnen−−=−，令(),(0)xfxexx=−，所

以()10xfxe−=，故()fx在[0,)+上单调递增，由已知得()(ln)fmfn，故lnmn，即men，因为m，n都是正整数，所以选A．11．【解析】不妨设抛物线2:2(0),,02pCxpypF=．设()00,Pxy

，可求得切线PT的方程为：()00xxpyy=+，可得()0,0Ty−，所以02pPFTFy==+，故PTF等腰三角形，又PFT可以为锐角、直角及钝角，所以PTF不可能为不等边三角形，故选D．12．【解析】由己知12323412,,,nnnaaaaa

aaaa+++=+=+=，累加得1221nnaaaa++++=−由1223445622212,,,,nnnaaaaaaaaaaa−−=+=+=+=，累加得13212nnaaaa−+++=；由1233452122

1,,,nnnaaaaaaaaa−++=+=+=，累加整理得242211nnaaaa++++=−；因为()221212,nnnnnnnaaaaaaa+++++=++=，2222222212334344nnnaaaaaaaaaaa+++=++++=++22245511nnnn

nnaaaaaaaaa−+=+++==+=，故选A．13．【答案】3【解析】由()bab⊥+得221,|2|4434ababaabb=−−=−+=．14．【答案】2【解所】设()00,Pxy，则()2222002byxaa=−．由已知得00003yyxaxa=−+，即()222003

yxa=−．故223ba=，所以2212bea=+=．15．【答案】2732【解析】假设该运动员在3次滑跳中有X次成绩超过70分，则33,4XB，则39()344EX==，该运动员至少有两次成绩超过70分的概率为23233132744432PC

=+=．16．【答案】103【解析】如图取AD中点E，底面中心为1O，外接球的球心为O，则1OO⊥底面ABCD．由已知得112332,,,,,,222ABABPACDPDPAPDOEPE

OC=⊥⊥⊥===．设球的半径为R，1OOd=．在直角梯形1PEOO中，2222322Rd=+−．在直角1OOC中，22232Rd=+，联立得36d=，即256R=，故球的表面积为21043R=．17．【解析】

（1）由已知2cosabcA+=及正弦定理得sinsin2sincosABCA+=2分又sinsin()sincoscossinBACACAC=+=+代入上式得sinsincoscossinACACA=−，即sinsin()

ACA=−4分又0,0ACA−，显然0C，所以ACA=−，故2CA=5分（2）由（1）知ac，因为10b=为a，c的等差中项，不妨设10,10,0adcdd=−=+由余弦定理得2222cosabcbcA=+−，整理

得：25(10)cosddA+=+①7分由已知得，20cos22(10)abdAcd+−==+②9分由①②联立，整理得：2d=，所以38,12,cos4acA===．10分所以27sin1cos4AA=−=．

ABC的面积为1sin1572SbcA==12分18．【解析】（1）由频率分布直方图可得，纤维长度区间是[23,25)、[25,27)、[27,29)、[29,31)、[31,33)、[33,35)、[35,37)、[37,39]的频率分别为0

.04、0.09、0.16、0.24、0.18、0.14、0.10、0.05，对应的频数分别4、9、16、24、18、14、10、52分故样本均值为：1(42492616282430183214341036

538)31100+++++++=4分样本方差为()222222147951632411811431055712.28100+++++++=6分所以估计该保暖絮片的纤维长度的平均数为31x=，方差为212.28s=8分（2）二次抽检纤

维长度均值130(1.82.71.84.30.94.87.20.80.64.82.91.13.90.54.5)31.615y=++−+−++++−+−+−+=10分故1||0.62xys−=，所以该批保暖絮片合格12分19．【解析】（1）延长AD到E，使4ADDE==，

连接,ECPE．由己知得BCED为平行四边形，故BDEC∥．又222ABADBD=+，所以BDAD⊥，由已知BDPD⊥，故BD⊥平面PAE，3分所以EC⊥平面PAE，所以ECPE⊥因为120PDA=，所以60PDE=，又4PDDE==，所以PAE为等边三角形，故4PE=

．又3ECBD==，所以225PCPEEC=+=5分（2）由（1）知BCED为矩形，取DE中点O，连接OP．以,OAOP分别为x，z轴建立空间直角坐标系Oxyz−，如图．则(0,0,23),(2,0,0),(2,3,0)

,(2,3,0)PDBC−．(2,0,23),(2,3,23),(2,3,23)PDPBPC=−=−=−−．7分设平面PDB的法向量为()111,,mxyz=，则0,0mPDmPB==即111113023230xzxyz−=+−=，取111

3,0,1xyz===，故(3,0,1)m=9分设平面PBC的法向量为()222,,nxyz=，则0,0nPBnPC==即2222222323023230xyzxyz+−=−+−=，取2220,2,3xy

z===，故(0,2,3)n=所以21cos,14||||mnmnmn==11分由已知二面角DPBC−−为钝角，故二面角DPBC−−的余弦值为2114−12分20．【解析】（1）因已知M方程为：2233324x

y−+=，圆心33,02M，半径为32．因为M是其中一个1ABF的内切圆，所以1112,FAFBABFF=⊥．所以直线AB的方程为23x=，故1223,(23,0),(23,0)cFF=−2

分设1FA方程为：(23)ykx=+，则233232321kk+=+解得312k=，不妨取1FA方程为：3(23)12yx=+，与23x=联立可得(23,1)A，同理得(23,1)B−4分又212(43)17,1AFAF=+==．由椭圆定义知：1228aAFAF=+=，故224

,2abac==−=．所以椭圆C的方程为221164xy+=．6分解法二：由已知M方程为：2233324xy−+=，圆心33,02M，半径为32．由已知得，故1223,(23,0),

(23,0)cFF=−．2分由222111222143327,(43)132AFMFAFAFAFMF−====+，4分解得211,7AFAF==故1228aAFAF=+=，所以4a=．222bac=−=．所以椭圆C的方程为221164xy+=．6分（2）设1ABF内切圆半径为

R，面积为S，()()1122,,,AxyBxy，则1482SaRR==，又()()1212121232SFFyyyy=+=+．所以()1234Ryy=+8分设直线l的方程为：23xmy=+，与椭圆22:416Cxy+=联立整理得()2244340mymy++−=，则121

222434,44myyyymm+=−=−++．由120yy，所以()()2212121212221484myyyyyyyym++=−=+−=+所以()2221234mRm+=+，10分令21tm=+，则1t，223231(3)96tRttt==+++当且仅当3t=即22m=时取等号．故1A

BF内切圆半径的最大值为112分21．【解析】（1）显然2()ln0,()abaxagxx−−=，由已知()0ge=得0b=．故ln()(0)axgxax=．2分若0a，当(0,)xe时，()0gx；当正数(,)xe+时，()0gx．()gx

有最小值，不符合题意．若0a，当(0,)xe时，()0gx；当(,)xe+时，()0gx．()gx有最大值()agee=．故a的取值范围为(0,)+．4分（2）由（1）知0a，当(0,1]x时，(

)0,()0fxgx，所以()()fxgx．当(1,)x+时，因为2lnlnxaxxx，只需证22lnxxex−，即证22ln0xxex−−6分令2()2ln,(1)xFxxexx−=−，()22222()(1)xxxxeFxxex

x−−+−=+−=设()()2222()2,(1),()310xxxxxexxxxe−−=+−=++，故()x在(1,)+上为增函数．8分所以2315(1)20,2024ee=−=−

，所以存在031,2x，使得()00x=，此时022002xexx−=+．当()01,xx时，()0x，即()0Fx；当()0,xx+时，()0x，即()0Fx．故()min

0002()2ln1FxFxxx==−+．10分又因为22ln1yxx=−+在(1,)+为减函数，且031,2x，所以()min?0002432243()2ln2ln2ln0152532FxFxxx==−−=−+

故当(1,)x+时，22ln0xxex−−，即22lnxxex−，所以()()fxgx．综上，当02a时，()()fxgx．12分（第二问中：若出现2ln2()2ln2ln1ln0xxxFxxex

exxx−+−=−=−−−，其中证明：1xex+，也证明1lnxx−得到结论的不扣分；都没有证明的扣2分）解法二：由（1）知0a，当(0,1]x时，()0,()0fxgx，所以()()fxgx．当(1,)x+时，因为2lnlnxaxxx，只需证22

lnxxex−，即证222lnxeexxx．6分令1112(1)()(1),()0,()xxexexxxxxx−==在(1,)+上单递增，所以11()(1)xe=；8分令2222232ln2(12ln)(),

(1),()exexxxxxx−==，由2()0x=得xe=．当(1,)xe时，22()0,()xx单调递增；当(,)xe+时，22()0,()xx单调递减．当xe=时，2max2()()xee==，故2()xe10分所以12

()()xx综上，当02a时，()()fxgx12分另可以证明：212lnxxexex−（参考文科答案），给出相应的分数．22．【解析】（1）由4cos=，故24cos=，因为222

,cosxyx=+=2分所以曲线C的普通方程为224xyx+=，即22(2)4xy−+=．4分（2）设直线l的倾斜角为，则直线l的参数方程为cos1sinxtyt==+（t是参数），6分代入224xyx+=化简得：22(sin2cos)10tt+−+=

由0得|sin2cos|1−设其两根分别为12,tt，则12122(sin2cos),1tttt+=−=9分由参数的几何意义知1212||||2|sin2cos|2PAPBtttt+=+=+=−，又

sin2cos5sin()−=−，其中525cos,sin55==，所以|sin2cos|5−，故||||25PAPB+故||||PAPB+到的取值范围为(2,25]10分23．【解析】（1）当1a=时，31,1()2|

||1|1,0131,0xxfxxxxxxx−=+−=+−+2分故原不等式等价于1314xx−①或0114xx+②或0314xx−+③解①得：53x；解②

得：；解③得：1x−4分综上：不等式()4fx的解集为5(,1],3−−+5分（2）当0a=时，()3||fxx=；当0a时，3,(),03,0xaxafxxaxaxax−=+−+所以()fx在[0,)+单调递

增，在(,0]−上单调递减，7分由[1,2]x−时，2()6fx，故(0)2(1)6(2)6fff−即||22|1|64|2|6aaa+−−+−，9分解得225304aaaa

−−或，故23a．故a的取值范围为[2,3]．10分