【文档说明】河北省衡水中学2021届全国高三下学期第二次联合考试（II卷）数学（文）试题含答案.docx，共(14)页，690.736 KB，由小赞的店铺上传

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绝密★启用前河北衡水中学2021届全国高三第二次联合考试文科数学本试卷4页．总分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上

对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的．1．已知全集{1,2,3,4,5,6,7,8}U=，集合{1,3,5,7},{2,3,4,5}AB==，则()UAB=ð（）A．{3,5}B．{2,4}C．{3,7}D．{2,5}2，已知复数21(2)zi=−，

则在复平面内z的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．为了弘扬“扶贫济困，人心向善”的传统美德，某校发动师生开展了为山区贫困学生捐款献爱的活动．已知第一天募捐到1000元，第二天募捐到1500元，第三天募捐到20

00元，……照此规律下去，该学校要完成募捐20000元的日标至少需要的天数为（）A．6B．7C．8D．94．已知向量(1,2),||2,||13abab==−=，则a与b的夹角为（）A．6B．3C．23D．565．甲、乙、丙、丁4人在某次考核中的成绩只有一个人是优秀，他们的对话如下，甲：我

不优秀；乙：我认为丁优秀；丙：乙平时成绩较好，乙背定优秀；丁：乙的说法是错误的若四人的说法中只有一个是真的，则考核成绩优秀者为（）A．甲B．乙C．丙D．丁6．卡西尼卵形线是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的．在数学史上，同一平面内到2两个定点（叫做焦点）

的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线．已知卡西尼卵形线是中心对称图形且有唯一的对称中心．若某卡西尼卵形线C两焦点间的距离为2，且C上的点到两焦点的距离之积为1，则C上的点到其对称中心距离的最大值为（）A．1

B．2C．3D．27．MOD函数是一个求余函数，格式为MOD(,)MN，其结果为两个数M，N作除法运算MN后的余数，例：MOD(36,10)6=，如图，该程序框图给出了一个求余的实例．若输入的6,1nv==，则输出

的u的值为（）A．1B．2C．3D．48．已知双曲线22221(0,0)xyabab−=的左、右焦点分别为12,FF，若过点2F作渐近线的垂线，垂足为P，且12FPF的面积为2b，则该双曲线的离心率为（）A．13+B．12+C．3D．29．已知函数()

sin()(0,||)gxx=+的部分图象如图所示，函数()sin2fxx=−，则（）3A．1()22gxfx=−B．1()22xgxf=−C．1()22xgxf=

+D．()(21)gxfx=−10．中医药在抗击新冠肺炎疫情中发挥了重要作用，但由于中药材长期的过度开采，本来蕴藏丰富的中药材量在不断减少．研究发现，t期中药材资源的再生量()1tttxfxrxN

=−，其中tx为t期中药材资源的存量，r，N为正常数，而t期中药资源的利用量与存量的比为采挖强度．当t期的再生量达到最大，且利用量等于最大再生量时，中药材资源的采挖强度为（）A．2rB．3rC．4rD．5r11．已知圆22:1Cxy+=，直线:2lx=，P为直线l上的动点，过点P作圆C的切

线，切点分别为A，B，则直线AB过定点（）A．1,02B．(0,2)C．(2,1)D．1,1212．已知函数()2()ln913sin2fxxxxx=+−+−+，则不等式2(1)41ffx+−+的解集是（）A．{|11}xxx−或B．

{|1}xxB．{|1}xx−D．{|11}xx−二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知角的终边上有一点(2,3)P，则cos2的值为___________．14．若x，y满足约束条件1,36,24,xyxyxy

−+−−„……则4zxy=+的最小值为__________．15．已知直线:lyxb=+为曲线()xfxe=的切线，若直线l与曲线217()22gxxmx=−+−也相切，则实数m的值为_________

_．16．在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin2cossin2cosBBCC−=+，且2c=，，则ABC外接圆半径的最小值为______________．4三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21

题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知在公比为2的等比数列na中，234,,4aaa−成等差数列．（1）求数列na的通项公式；（2）设()2125

log1,,,?,nnnanban+=为奇数为偶数求数列nb的前2n项和2nS．18．（12分）某数学兴趣小组为了探究参与某项老年运动是否与性别有关的问题，对城区60岁以上老人进行了随机走访调查．得到的数据如下：男性女性总计参与该项老年运动16px不参与该

项老年运动44qy总计6040100从统计数据中分析得参与该项老年运动的被调查者中，女性的概率是13．（1）求22列联表中p，q，x，y的值；（2）是否有90%的把握认为参与该项老年运动与性别有关？（3）若将参与

该项老年运动的老人称为“健康达人”，现从参与调查的“健康达人”中按性别采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行健康状况跟踪调查，那么被跟踪调查的2人中都是男性的概率是多少？参考公式及数据：22()()()()()nadbcKabcdacbd−=++++，其中nabcd=+

++．()20PKk0.150.100.050.0250.0100.0050.0010k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82819．（12分）5如图，在四棱锥PABCD−中，四边形ABCD为菱形，2PAAB==，

22PB=，60ABC=，且平面PAC⊥平面ABCD．（1）证明：PA⊥平面ABCD；（2）若M是PC上一点，且BMPC⊥，求三棱锥MBCD−的体积．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)xyEabab+

=的左、右顶点分别为A，B，M是椭圆E上一点，M关于x轴的对称点为N，且14MANBkk=．（1）求椭圆E的离心率；（2）若椭圆E的一个焦点与抛物线243yx=的焦点重合，斜率为1的直线l与E相交于P，Q两点，在y轴上存在点R，使得以线段PQ为直

径的圆经过点R，且()0RQRPPQ+=，求直线l的方程．21．（12分）已知函数()(0)xaxfxaxe−=．（1）求函数()yfx=的单调区间；（2）在区间,2a+上，()fx

是否存在最大值与最小值？若存在，求出最大值与最小值；若不存在，请说明理由．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．【选修4-4：坐标系与参数

方程】（10分）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为222cos,22sinxy=+=（为参数）以坐标原点O为极点，x轴的6正半轴为极轴建立极坐标系，点A的极坐标为42,4．（1）求圆C的普通方程及极坐标方程；（2）过点A的直线l与圆C交于M，N两点，当MCN面积最

大时，求直线l的直角坐标方程．23．【选修4-5：不等式选讲】（10分）设函数()1|21|fxxx=−−−．（1）求不等式()1fx−…的解集；（2）若不等式()1fxax−恒成立，求实数a的取值范围．河北衡水中学2021届全国高三第

二次联合考试·文科数学一、选择题1．B【解析】由题意得{2,4,6,8}UA=ð，所以(){2,4}UAB=ð．2．D【解析】复数21134(2)342525ziii===+−−，则342525zi=−，所以在复平面内z对应的点位于第四象限．3．C【解析】设第n天募捐到na元，则数

列na是以1000为首项，500为公差的等差数列，所以其前n项和250(3)nSnn=+．因为7817500,22000SS==，所以至少需要8天可完成募捐目标．4．D【解析】因为||13ab−=，所以2()13ab

−=，即22213aabb−+=．设a与b的夹角为，则3232cos413−+=，解得3cos2=−，所以a与b的夹角为56．5．A【解析】假设甲优秀，则甲、乙、丙说法错误，丁说法正确，满足题设要求；假设

乙优秀，则乙说法错误，甲、丙、丁说法正确，不满足题设要求；假设丙优秀，则乙、丙说法错误，甲、丁说法正确，不满足题设要求；假设丁优秀，则丙、丁说法错误，甲、乙说法正确，不满足题设要求综上，优秀者为甲．6．B【解析】设左、右

焦点分别为12,FF，以线段12FF的中点为坐标原点，12,FF所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，则12(1,0),(1,0)FF−．设曲线上任意一点(,)Pxy，则2222(1)(1)1xyxy++−+=，化简得该卡西尼卵形线的方程为()()222222xyxy+=−，显

然其对称中心为(0,0)．由7()()222222xyxy+=−得()()222222240xyxyy+−+=−„，所以()()222222xyxy++„，所以2202xy+剟，所以222xy+„．当且仅当0,2yx==时等号成立，所以该卡西尼卵形线上的点到其对称

中心距离的最大值为2．7．A【解析】当1i=时，1v=；当2i=时，2v=；当3i=时，4v=…当7i=时，64v=，所以MOD(64,7)1u==．8．D【解析】双曲线22221(0,0)xyabab−=的

渐近线方程为byxa=，在2OPF中，122222,,||,2FPFOPFPFbOFcOPaSSabb======，所以ab=，离心率2222cabeaa+===．9．C【解析】由题图可得()sin2gxx=，所以由()sin2fxx=−的图象得()gx的图

象，只需将()fx图象上的所有点向左平移12个单位长度得到12yfx=+的图象，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得1()sin222xgxfx=+=．10．A【解析】由题意得()22

124ttttttxrxrNrNfxrxrxxNNN=−=−+=−−+，所以当2tNx=时，()tfx有最大值4rN，所以当利用量与最大再生量相同时，采挖强度为422rNrN=．11．A【解析】因为P为

直线l上的动点，所以可设(2,)Pt，由题意可得圆心C的坐标为(0,0)，以线段PC为直径的圆N的方程为2220xyxty+−−=．两圆方程作差，即得两圆公共弦AB的方程为210xty+−=，所以直线AB过定点1,02

．12．D【解析】构造函数()2()()2ln913singxfxxxxx=−=+−+−．因为()()0gxgx−+=，所以()gx是奇函数，因为()221ln913ln913xxxx+−=++，(sin)cos10xxx−=−„，所以()gx在8区间(0,)+上是减函数．因为()

gx是奇函数且(0)0g=，所以()gx在R上是减函数．不等式2(1)41ffx+−+等价于22(1)201ffx−+−−+，即2(1)(1)1gggx−−=+，所

以211x+，解得11x−．二、填空题13．513−【解析】由题意得223313sin1323==+，则223135cos212sin121313=−=−=−．14．325【解析】作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，所以

当目标函数过直线36,24xyxy+=−=−的交点224,55时，z取最小值，所以min224324555z=+=．15．4或2−【解析】设直线:lyxb=+与曲线()xfxe=相切于点()00,

xxe，由()001xfxe==，得00x=，所以切点坐标为(0,1)，所以直线l的方程为1yx=+．又由直线l与曲线()gx相切，得217122xmxx−+−=+，化简得222(1)90,4(1)360xmxm−−+==−−=，解得4m=或2m=−．16．31−【解析】由

sin2cossin2cosBBCC−=+，得2sinsincos2sinsincosBBCCCB+=−，即sin2sin2sinABC+=，所以由正弦定理得22abc+=．所以22222322262cos284abcababCabab+−+−−==…，所以62sin

4C+„，设ABC外接圆半径为R，因此22(31)sincRC=−…，所以31R−…，即外接圆半径的最小值为31−．9三、解答题17．解：（1）因为数列na的公比q为2，所以2131412,4,484aaaaaa==−=−．因为234,,4aaa−成等差数列，所以111

8284aaa=+−，解得12a=，所以2nna=．（6分）（2）由（1）可得51,?(2),.?nnnnbn+=为奇数，为偶数（8分）所以奇数项是以6为首项，10为公差的等差数列，偶数项是以2为首项

，2为公比的等比数列，所以()()21321242nnnSbbbbbb−=+++++++()(616104)242nn=+++−++++()212(6104)212nnn−+−=+−21522nnn+=++−12252nnn+=++−．（12分）18．解：（1）由题意得1163

pp=+，解得8p=，所以40832q=−=，（2分）所以16824,443276xy=+==+=．（4分）（2）由列联表中的数据可得2K的观测值2100(1632844)0.5852.70660402476k

−=．（5分）所以没有90%的把握认为参与该项老年运动与性别有关．（7分）（3）由（1）得“健康达人”共有24人，其中男性16人，女性8人，所以抽样比61244k==．（7分）因此按性别分层抽样抽取的6人中有男性11644=人，记

为1234,,,AAAA，10女性1824=人，记为12,BB，（9分）从这6人中抽取2人的所有方式为()12,AA，()13,AA，()14,AA，()11,AB，()12,AB，()23,AA，()2

4,AA，()21,AB，()22,AB，()34,AA，()31,AB，()32,AB，()41,AB，()42,AB，()12,BB，共15种情况，其中符合题目要求的是6种情况，所以抽取的全是男性

的概率为62155P==．（12分）19．（1）证明：因为四边形ABCD为菱形，所以BDAC⊥．因为平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC平面,ABCDACBD=平面ABCD，所以BD⊥平面PAC．（2分）因为PA平面PAC，所以PABD⊥．（3分）又因为2,22PAABPB==

=，所以222PAABPB+=，所以PAAB⊥．（5分）又因为,ABBD平面,ABCDABBDB=，所以PA⊥平面ABCD．（6分）（2）解：由（1）得PA⊥平面ABCD，因为AC平面ABCD，所以PAAC⊥，

（8分）所以2222PCPAAC=+=，所以PBC为等腰三角形．在PBC中，由余弦定理得2223cos24PBPCBCBPCPBPC+−==．因为BMPC⊥，所以34PMPB=，所以34PMPC=．易得14CMPC=，（10分）又1sin12032BCD

SBCCD==，11所以11111332443436BCDMBCDPBCDVVSPA−−====三棱锥三棱锥．（12分）20．解：（1）由椭圆E的方程可得(,0),(,0)AaBa−．设()00,Mxy，则()00,Nxy−

，所以200022000.MANByyykkxaxaxa−==−+−−．又点()00,Mxy在椭圆E上，所以2200221xyab+=，所以22220002221yxaxbaa−=−=，所以220222014MANBybkkxaa=−==−，所以椭圆

E的离心率2222222312cabbeaaa−===−=．（4分）（2）由题意知椭圆E的一个焦点为(3,0)，所以椭圆E的标准方程为2214xy+=．（5分）设直线l的方程为()()1122,(0,),,,,yxmRtPxyQxy=+，线段PQ的中点为(),SSS

xy，联立221,4,xyyxm+==+消去y，得2258440xmxm++−=，则()()2226420441650mmm=−−=−，解得25m，所以21212844,55mmxxxx−+=−=

，（7分）所以124,255SSSxxmmxyxm+==−=+=，所以4,55mmS−．（8分）12由()0RQRPPQ+=，得RSPQ⊥，（9分）所以511405mtm−=−−−，解得35mt=−．（10分）又因为以线段PQ为直径的圆过点R，所以PRQR⊥，所以12

121ytytxx−−=−．又1122,yxmyxm=+=+，代入上式整理得()212122()()0xxmtxxmt+−++−=，即()222244880555mmm−−+=，解得1m=．所以直线l的方程为1yx=．（12分）21．解：（1）由题意得

函数()fx的定义域为(,0)(0,)−+，（1分）则22()xxaxafxxe−−=．（3分）令()0fx=，得221244,22aaaaaaxx−+++==．因为0a，所以120,0xx．当x在定义域上变化时，()fx

的变化情况如下表：x()1,x−1x()1,0x()20,x2x()2,x+()fx+0--0+()fx极大值极小值13所以函数()yfx=的单调递增区间为2244,,,22aaaaaa−+++−+，单调递减区间为2244,0,0,22aaaaaa

−+++．（6分）（2）令()0xaxfxxe−==，得xa=，则a是函数()fx的唯一零点．（7分）因为22244022aaaaaaaxa++−+−=−=，所以20ax，所以202aax．当0xa时

，()0fx；当xa时，()0fx．（9分）由（1）可知函数()fx在区间2,2ax上单调递减，在区间()2,x+上单调递增，（10分）所以()fx在区间,2a+上的最大值为22aafe−=，最小值为()2222xaxfxxe−=，其中22

42aaax++=．（12分）22．解：（1）圆C的直角坐标方程为22(2)8xy−+=，（2分）极坐标方程为24cos4−=．（4分）（2）42,4A的直角坐标为(4,4)A．（5分）111||||sin||||8

4222MCNSCMCNMCNCMCN===„，当90MCN=时，面积最大，此时，圆心C到直线l的距离22222d==．（6分）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为4x=，满足题意；（7分）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为4(4)ykx−=−，即440kxyk

−+−=，14圆心C到直线l的距离2|244|21kkdk+−==+，解得34k=，即3440xy−+=．（9分）综上，直线l的方程为4x=或3440xy−+=．（10分）23．解：（1）由题意得1,,2()132,,2xxfxxx−=−

…（2分）当12x…时，令1x−−…，解得112x剟；当12x时，令321x−−…，解得1132x„．（4分）综上所述，()1fx−…的解集为1,13．（5分）（2）由（1）得1,,2()132,,2xxfxxx−=−…当12x…，-1xax−

−，即(1)10ax+−，（6分）此时，应有10,1(1)10,2aa++−解得1a；（7分）当12x时，321xax−−，即(3)10ax−+，（8分）此时，应有30,1(3)10,2aa−−+„…解得13a

剟．（9分）综上所述，实数a的取值范围是(1,3]．（10分）