【文档说明】河北省衡水中学2021届全国高三下学期第二次联合考试（II卷）数学（理）试题含答案.docx，共(16)页，876.400 KB，由小赞的店铺上传

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绝密★启用前河北衡水中学2021届全国高三第二次联合考试理科数学本试卷4页．总分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{0,1,2,3,4,5},{2,4,5},{

0,2,4}UAB===，则UAB=ð（）A．{5}B．{2,4}C．{0,2,5}D．{0,2,4,5}2．已知sin0,cos0，则（）A．sin20B．cos20C．tan02D．sin023．已知复数(1)()zaaia=+−

R，则||z的最小值为（）A．12B．22C．32D．14．直线21yx=−被过点(0,1)和(2,1)，且半径为5的圆截得的弦长为（）A．1055B．21055C．21455D．21055或214555，已知一四棱

锥的三视图如图所示，则该四棱锥的较长侧棱与底面所成角的正切值为（）2A．52B．53C．104D．126．已知双曲线22221(0,0)xyabab−=的焦点(,0)Fc到渐近线的距离为32c，且点(2,3)在双曲线上，则双曲线的方程为（）A．22193xy−=B．

221123xy−=C．221312xy−=D．22139xy−=7．异或运算是一种逻辑运算，异或用符号“∧”表示，在二进制下，当输入的两个量的同一数位的两个数字不同时，输出1，反之输出0．如十进制下的数10与9表示成二

进制分别是1010，1001（即321032101012021202,912020212=+++=+++），那么109101010010011==，现有运算1211000001mn==，则m的值为（）A．7B．9C．

11D．138．已知奇函数()fx的定义域为R，且满足(2)(2)fxfx+=−，以下关于函数()fx的说法：①()fx满足(8)()0fxfx−+=②8为()fx的一个周期③()sin4xfx=是满足条件的一

个函数④()fx有无数个零点其中正确说法的个数为（）A．1B．2C．3D．49．已知三棱锥PABC−的高为1，底面ABC为等边三角形，PAPBPC==，且P，A，B，C都在体积为323的球O的表面上，则该三棱锥的底面ABC的边长

为（）A．233B．3C．3D．23310．甲、乙两人拿两颗如图所示的正四面体骰子做抛掷游戏，规则如下：由一人同时掷两个骰子，观察底面点数，若两个点数之和为5，则由原掷骰子的人继续掷；若掷出的点数之和

不是5，就由对方接着掷．第一次由甲开始掷，设第n次由甲掷的概率为nP，则10P的值为（）A．5111024B．12C．5131024D．25751211．若()Pn表示正整数n的个位数字，()2(2)naPnPn=−，数列

na的前n项和为nS，则2021S=（）A．1−B．0C．1009D．101112．已知函数()()3()ln||,(ln3),(ln3),3,xefxexafbfcfdfe==−===，则a，b，c，d的大小顺序为（）A．a

bcdB．dcbaC．cdbaD．cdab二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若向量a，b满足(cos,sin)(),||2ab==R，则|2|ab−的取值范围为___

______．14．在一次去敬老院献爱心活动中，甲、乙、丙、丁、戊5名同学比带队老师先到，老师想知道他们到的先后顺序，甲说乙不是最早的，乙说甲不是最晚的，丙说他比乙先到．若他们说的都为真话，从上述回答分析，5人可能到的先后顺序的不

同情况种数为___________．15．已知等差数列na满足233,aa=是1a与9a的等比中项，则21niia=的值为_________．16．在长方体1111ABCDABCD−中，11,2ABADAA=+=，E为棱11CD上任意一点，给出下列四个结论：①1BD与AC不垂直；②长方体

1111ABCDABCD−外接球的表面积最小为3；③E到平面11ABD的距离的最大值为22；④长方体1111ABCDABCD−的表面积的最大值为6．4其中所有正确结论的序号为__________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考

题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分)在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，ABD为等边三角形，2,7,1BDACBC

===．（1）求CBD的大小；（2）求ADE的面积．18．（12分）为贯彻“不忘立德树人初心，牢记为党育人、为国育才使命”的要求，某省推出的高考新方案是“312++”模式，“3”是语文、外语、数学三科必考，“1”是在物理与历史两科中选择一科，“2”是在化学，生物，

政治，地理四科中选择两科作为高考科目．某学校为做好选课走班教学，给出三种可供选择的组合进行模拟选课，其中A组合：物理、化学、生物，B组合：历史、政治、地理，C组合：物理、化学、地理根据选课数据得到，选择A组合的概率为35，选择

B组合的概率为15，选择C组合的概率为15，甲、乙、丙三位同学每人选课是相互独立的．（1）求这三位同学恰好选择互不相同组合的概率；（2）记表示这三人中选择含地理的组合的人数，求的分布列及数学期望．19．（12分）如图，

两个全等的梯形ABCD与BAEF所在的平面互相垂直，,//,,2ABADADBCABADBCAD⊥==，P为CF的中点．（1）证明：//DP平面ABFE；（2）求平面DEF与平面BCF所成的锐二面角的余弦值．20．（12分）5已知曲

线C的方程为2222(1)(1)4xyxy+++−+=．（1）求曲线C的离心率；（2）设曲线C的右焦点为F，斜率为k的动直线l过点F与曲线C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点P，证明：||||PFAB为定值．21．（12分）已知函数2()ln,(),xfxxaxgxxea=

+=R．（1）求函数()fx的单调区间；（2）当2a=时，方程()()gxmfx=有两个实根，求实数m的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计

分．22．【选修4—4：坐标系与参数方程】（10分）在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为12cos,12sinxy=+=−（为参数）以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为2cos(0,02,)42bb

+=R厔．（1）求曲线1C的普通方程及曲线2C的直角坐标方程；（2）若曲线1C上存在点P到曲线2C的距离为1，求b的取值范围．23．【选修4-5：不等式选讲】（10分）已知函数()|2|||,,f

xxaxbab=−++R．（1）当4,1ab==时，求不等式()9fx„的解集；（2）当0ab时，()fx的最小值为1，证明：1292ab+…．河北衡水中学2021届全国高三第二次联合考试·理科数学一、选择题1．A【解析】由题意得{1,3,5}UB

=ð，所以{5}UAB=ð．62．C【解析】由sin0,cos0知，为第二象限角，所以2为第一或第三象限角，所以tan02．3．B【解析】因为(1)zaai=+−，所以222112||(1)2222zaaa=+−=−+

…，所以||z的最小值为22．4．B【解析】过点(0,1),(2,1)且半径为5的圆的方程为22(1)(1)5xy−++=或22(1)(3)5xy−+−=，则圆心到直线21yx=−的距离为22|211|2

552(1)d+−==+−或22|231|2552(1)d−−==+−，则弦长222521052(5)55=−=．5．C【解析】设该四棱锥为PABCD−，则由题意可知四棱锥PABCD−满足底面ABCD为矩形，平面PDC⊥平面ABCD，且3,4,

2PCPDABAD====．如图，过点P作PECD⊥，则PE⊥平面ABCD，连接AE，可知PAE为直线PA与平面ABCD所成的角，则225PEPDDE=−=，2222AEADDE=+=，所以510tan422P

EPAEAE===．6．D【解析】双曲线22221xyab−=的焦点(,0)Fc到渐近线0bxay=的距离为2232bccab=+，解得32bc=，所以2234bc=．又222cab=+，所以223ba=．因为点(2,3)在双曲线上，所以2243

1ab−=，所以223,9ab==，所以双曲线的方程为22139xy−=．7．D【解析】由1211000001mn==，可得1101n=，表示成十进制为13，所以13m=．78．D【解析】因为(2)(2)fxfx+=−

，所以(4)()fxfx+=−．因为()fx是奇函数，所以()()fxfx−=−，所以(4)()fxfx+=−，所以(8)(4)()fxfxfx+=−+=，所以8为()fx的一个周期，故②正确；由(8)()fxfx+=可

得(8)()()fxfxfx−=−=−，所以(8)()0fxfx−+=，故①正确；()sin4xfx=为奇函数满足()()0fxfx+−=，且一条对称轴为直线2x=，故③正确；由()fx为奇函数且定义域为R知，(0)0f=，又()fx为周期函数，所以()fx有无数个零点

，故④正确．9．C【解析】设球O的半径为R，由球的体积为323可得，343233R=，解得2R=．因为三棱锥PABC−的高h为1，所以球心O在三棱锥外．如图，设点1O为ABC的外心，则1OO⊥平面ABC．在1RtAOO中，由22211AO

OAOO=−，且11OORh=−=，得13AO=．因为ABC为等边三角形，所以123sin6033AOABAB==，所以133ABAO==．10．A【解析】抛掷两颗正四面体骰子观察底面上的数字之和为5有4种情况，得点数之和为5的概率为41164=，第n次由甲

掷有两种情况：一是第1n−由甲掷，第n次由甲掷，概率为114nP−；二是第1n−次由乙掷，第n次由甲掷，概率为()1314nP−−．这两种情况是互斥的，所以()1113144nnnPPP−−=+−，即11324nnPP−=−+，所以1111222nnPP−−=−−，即数列12nP−

是以11122P−=为首项，12−为公比的等比数列，所以1111222nnP−=+−，所以9101115112221024P=+−=．11．C【解析】由题意得11a=−，20a=，33

a=，42a=−，55a=，64a=，75a=，82a=−，97a=−，8100a=，111a=−，120a=……所以数列na为周期数列，且周期为10．因为105S=，所以20215202(1)1009S=+−=．12．B【解析】因

为ln3ln3ln(ln3)(ln3)ln(ln3),(ln3)ln(ln3)3ln(ln3)3afebfe−=−=====，所以ab．因为函数()ln||xfxex=在区间(0,)+上单调递增，所以b

，c，d中b最小．构造函数()lngxxex=−，则()xegxx−=，当xe…时，()0gx…，所以()gx在区间[,)e+上单调递增，所以(3)3ln3()0gege=−=，所以3ln3e．所以33ee，所以dc，所以dcba．二填空题13．[0,4]【解

析】设a与b的夹角为，则222(2)4488cosababab−=+−=−．因为[0,]，所以088cos16−剟，所以0|2|4ab−剟．14．48【解析】按乙到达的名次顺序进行分类：乙第二个到达有1222AA种，乙第三个到达有112222AAA种，乙第四个到达有2232

AA种，乙最后到达有44A种，所以不同的情况种数为121122242222232448AAAAAAAA+++=．5．3n或3(1)2nn+【解析】设等差数列na的公差为d，因为3a是1a与9a的等比中项，所以()()()22227adadad+=−+，解得

0d=或32d=．当0d=时，224213niniaaaan==+++=；当32d=时，23(2)2naandn=+−=，224213(1)2niniaaaann==+++=+．16．②③④【解析】对于①，当长方体为正方体时，

1BDAC⊥，故①错误；对于②，如图，设ADx=，则12(02)AAxx=−，所以222211(2)2(1)3BDxxx=++−=−+，当1x=时，1BD的最小值为3，即长方体1111ABCDABCD−外接球的直径为3，所以外接球表面积的最小值为3，故②正确；对于③，设点E到平面11

ABD的距离为h，如图，由1111EADBDABEVV−−=三棱锥三棱锥可得111111133ADBABEShSDD=，所以由②可知，22(2)(2)xxhxx−=+−，其中22(2)12xxxx+−−=„，当且仅当

2xx=−，即1x=时等号成立，222[(2)](2)22xxxx+−+−=…，当且仅当2xx=−，即91x=时等号成立，所以22h„，当且仅当2xx=−，即1x=时，等号成立，故③正确；对于④，该长方体的表面积为2222(2)2(2)4422(1)6Sxxxxxxx=+−+−=+−=−

−+，当1x=时，S的最大值为6，故④正确．三、解答题17．解：（1）在ABC中，2,7,1ABACBC===，由余弦定理得22222221(7)1cos22212ABBCACABCABBC+−+−===−．（3分）因为0ABC，

所以23ABC=，所以233CBDABD=−=．（5分）（2）由3CBDADB==知，//BCAD，所以BCEDAE∽，（7分）所以12BCBEADDE==，所以2DEBE=．因为2BD=，所以43DE=．（9分）所以11423sin2si

n22333ADESADDEADE===．（12分）18．解：用iA表示第i位同学选择A组合，用iB表示第i位同学选择B组合，用iC表示第i位同学选择C组合，1,2,3i=．由题意可知，,,iiiABC互相独立，且()()()311,,555iii

PAPBPC===．10（1）三位同学恰好选择不同组合共有336A=种情况，每种情况的概率相同，故三位同学恰好选择不同组合的概率()()()()12312331118666555125PPABCPAPBPC====．（4分）（2）

由题意知的所有可能取值为0，1，2，3，且2~3,5B，（6分）所以03032327(0)55125PC===，12132354(1)55125PC===，2

1232336(2)55125PC===，3033238(3)55125PC===，（10分）所以的分布列为0123P2712554125361258125（11分

）所以27543686()01231251251251255E=+++=．（12分）19．（1）证明：如图，取BF的中点Q，连接,PQAQ．因为P，Q为,CFBF的中点，所以//PQBC，且12PQBC=．又因为//,2ADBCBCAD=，所以/

/PQAD，且PQAD=，（2分）所以四边形ADPQ为平行四边形，11所以//DPAQ．又AQ平面ABFE，DP平面ABFE，所以//DP平面ABFE．（5分）（2）解：因为平面ABCD⊥平面BAEF，平面ABCD平面

,,BAEFABFBABFB=⊥平面BAEF，所以FB⊥平面ABCD．又BC平面ABCD，所以FBBC⊥．又,ABFBABBC⊥⊥，所以以B为坐标原点，分别以,,BABCBF所在直线为x，y，z轴建立

如图所示的空间直角坐标系．设2BC=，则(1,1,0),(1,0,2),(0,0,1),(1,0,0),(1,1,1),(0,1,2)DEFAFDED=−=−．（8分）设平面DEF的一个法向量为(,,)nx

yz=，则0,0,nFDnED==即0,20,xyzyz+−=−=令1z=，得(1,2,1)n=−．（9分）易知平面BCF的一个法向量为(1,0,0)mBA==，（10分）所以16cos,6||||16mnmnmn−===−．

所以平面DEF与平面BCF所成锐二面角的余弦值为66．（12分）20．（1）解：由2222(1)(1)4xyxy+++−+=可知，点(,)xy到点(1,0),(1,0)−的距离之和为4，且42，12根据椭圆的定义可知，曲线C为焦点

在x轴上的椭圆．设椭圆的长轴长为2a，焦距为2c，则24,22ac==，所以曲线C的离心率为12cea==．（4分）（2）证明：设椭圆的短轴长为2b，由（1）可得2223bac=−=，所以曲线C的方程为22143xy+=，则(1,0)F．由题意可知，动直线l的方程为(1)yk

x=−，设()()1122,,,AxyBxy，由221,43(1),xyykx+==−得()()2222348430kxkxk+−+−=，所以()22121222438,3434kkxxxxkk−+==++．（6分）设AB的中点为()00,Qxy，则212024

234xxkxk+==+，()0023134kykxk−=−=+．当0k时，线段AB的垂直平分线的方程为2223143434kkyxkkk−−=−−++，令0y=，得2234kxk=+，所以()222231||

13434kkPFkk+=−=++，()()221212||ABxxyy=−+−()()22121214kxxxx=++−13()2212134kk+=+，所以()()222231||134||412134kPFkABkk++==++．（9分）当0k=

时，l的方程为0y=，此时，||1||24,||1,||4PFABaPFcAB=====．综上，||||PFAB为定值．（12分）21．解：（1）由题意知函数()fx的定义域为(0,)+，因为()ln,fxxaxa=+R，所以()1axafxxx+=+=．（1分）

①当0a…时，()0fx在区间(0,)+上恒成立，所以函数()fx的单调递增区间为(0,)+，无单调递减区间．（3分）②当0a时，令()0fx，得xa−，令()0fx，得0xa−，所以函数()fx的单调递增区间为(,)a−+，单调递减区间为(0,)a−．（5分）（2）

方程()()gxmfx=有两个实根，即关于x的方程2e(2ln)0xxmxx−+=有两个实根，即函数2()(2ln)xhxxemxx=−+有两个零点．又22ln()(2ln)(2ln)xxxhxxemxxemxx+=−+=−+，（7分）令2lntxx=+，由（1）得

t是关于x的单调递增函数，且tR，所以只需函数()tutemt=−有两个零点．（8分）14令()0ut=，得1ttme=，令()ttte=，则1()ttte−=，（9分）易知当(,1)t−时

，()t单调递增，当(1,)t+时，()t单调递减，所以当1t=时，()t取得最大值1(1)e=．（10分）又因为当0t时，()0t，当0t时，()0t，(0)0=，则函数()

ttte=的图象如图所示，所以当110,me，即(,)me+时，函数()hx有两个零点．所以实数m的取值范围为(,)e+．（12分）22．解：（1）由12cos,12sinxy=+=−（为参数），消去参数，得曲线1C的普通方

程为22(1)(1)4xy−+−=．（2分）由2cos42b+=，得222cossin222b−=，（4分）令cos,sinxy==，得xyb−=，所以曲线2C的直角坐标方程为0xyb−−=．（5分）（2）设(12cos

,12sin)P+−，15因为点P到直线0xyb−−=的距离为1，所以|12cos(12sin)|12b+−−−=，化简得22sin24b+−=①．（7分）若关于的方程①有解，则曲线1C上存在点P到曲线2C的距离为1，所以22sin24b=++

②，或22sin24b=+−③由②得232b−剟，由③得322b−剟，（9分）所以b的取值范围为[32,32]−．（10分）23．（1）解：由题意得()|24||1|fxxx=−++，当2x…时，原不等式可化为339x−„，解得4x„，故2

4x剟；（1分）当12x−„时，原不等式可化为59x−„，解得4x−…，故12x−„；（2分）当1x−时，原不等式可化为339x−+„，解得2x−…，故21x−−„．（3分）综上，不等式()9fx„的解集为[2

,4]−．（5分）（2）证明：因为()|2|||2||||()12222aaaafxxaxbxxbxxbxxbb=−++=−++−++−−+=+=厖，且0ab，（7分）所以121255922222aababbababbaba+=++=+++=…，16当且仅当23

ab==或23ab==−时等号成立，故原不等式得证．（10分）