【文档说明】七年级数学下册举一反三系列（沪科版）专题1.7 期末满分计划之计算专训重难点题型（解析版）.docx，共(31)页，355.672 KB，由管理员店铺上传

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1专题1.7期末满分计划之计算专训重难点题型【沪科版】【题型1实数的计算】【例1】（2020秋•内江期末）计算：（1）−12020+√643−(−2)×√9；（2）−12020+√(−2)2−√273+|2−√3|．【

分析】（1）原式利用乘方的意义，立方根性质，以及二次根式性质计算即可求出值；（2）原式利用乘方的意义，立方根性质、二次根式性质，以及绝对值的代数意义计算即可求出值．【解答】解：（1）原式＝﹣1+4+2×3＝﹣1+4+6＝9；（2）原式＝﹣1+2﹣3+2

−√3=−√3．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【变式1-1】（2020秋•招远市期末）计算：（1）﹣12+√−273−（﹣2）×√92（2）√3（√3+1）+|√3−2|【分析】（1）原式利用乘方的意义，立方根定义，以及乘法法则计算即可求出值；（2）原式利用二次

根式乘法法则，绝对值的代数意义计算即可求出值．【解答】解：（1）原式＝﹣1+（﹣3）+2×3＝﹣1﹣3+6＝2；（2）原式＝3+√3+2−√3＝5．【点评】此题考查了实数的运算，乘方的意义，绝对值，平

方根、立方根性质，以及二次根式的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【变式1-2】（2020秋•江都区期末）计算：（1）√(−1)2+√(−2)33+√179；（2）|1−√3|+（﹣2）2−√3．【分析】（1）直接利用立

方根以及算术平方根分别化简得出答案；（2）直接利用绝对值的性质分别化简得出答案．【解答】解：（1）原式＝1﹣2+43=13；（2）原式=√3−1+4−√3＝3．【点评】此题主要考查了实数运算，正确掌握相关定义是解题关键．【变式1-3

】（2020秋•松北区期末）计算：（1）√−643−|2−√5|−√(−3)2+2√5；（2）3√5−|√6−√5|．【分析】（1）首先计算开方、绝对值，然后从左向右依次计算即可．（2）首先计算绝对值，然后从左向右依次计算即可．【解答】解：（1）√−643−|2−√5|−√(−3)2+2√5

＝4﹣（√5−2）﹣3+2√53＝﹣4−√5+2﹣3+2√5=√5−5．（2）3√5−|√6−√5|＝3√5−√6+√5＝4√5−√6．【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即

先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．【题型2利用平方根、立方根解方程】【例2】（2020秋•鼓楼区期末）

求下列各式中的x：（1）4x2﹣81＝0；（2）（x﹣1）3+4=58．【分析】（1）直接利用平方根的定义计算得出答案；（2）直接利用立方根的定义计算得出答案．【解答】解：（1）4x2﹣81＝0，则x2=814，故x＝±92；（2）（x﹣

1）3+4=58（x﹣1）3=58−4，则（x﹣1）3=−278，故x﹣1=−32，解得：x=−12．【点评】此题主要考查了立方根和平方根，正确掌握相关定义是解题关键．【变式2-1】（2020秋•丹阳市期末）求下列各式中的x的值．4（1）4x2﹣9＝0；（2）（x﹣1）3＝64．【分析

】（1）先移项，然后根据直接开平方法可以解答此方程；（2）根据直接开立方法可以解答此方程．【解答】解：（1）4x2﹣9＝0，4x2＝9，x2=94，解得x＝±32；（2）（x﹣1）3＝64，x﹣1＝4，解得x＝5．【点评】本题考查平方根、

立方根、解方程，解答本题的关键是明确解方程的方法．【变式2-2】（2020秋•东台市期末）求下列各式中x的值．（1）2x2＝72；（2）（x+1）3+3＝﹣61．【分析】（1）直接利用平方根的定义计算得出答案

；（2）直接利用立方根的定义计算得出答案．【解答】解：（1）x2＝36，故x＝±6，则x＝6或x＝﹣6；（2）（x+1）3＝﹣64，x+1＝﹣4∴x＝﹣5．【点评】此题主要考查了立方根和平方根，正确掌握相关定义

是解题关键．【变式2-3】（2020秋•南京期末）求下列各式中的x．（1）3（x﹣1）2﹣75＝0；（2）（x+2）3＝﹣125．5【分析】（1）根据题意，可得：（x﹣1）2＝25，据此求出x的值是多少即可．（2）根据立方

根的含义和求法，据此求出x的值是多少即可．【解答】解：（1）∵3（x﹣1）2﹣75＝0，∴（x﹣1）2＝25，∴x﹣1＝5，或x﹣1＝﹣5，解得：x＝6或x＝﹣4．（2）∵（x+2）3＝﹣125，∴x+2＝﹣5，解得：x＝﹣7

．【点评】此题主要考查了立方根的含义和求法，以及平方根的含义和求法，解答此题的关键是要明确：（1）一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．（2）正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．【题型3

实数相关性质的运算】【例3】（2020秋•射阳县期末）已知某正数的两个不同的平方根是3a﹣14和a+2；b+11的立方根为﹣3；c是√6的整数部分；1）求a+b+c的值；2）求3a﹣b+c的平方根．【

分析】1）由平方根的性质知3a﹣14和a+2互为相反数，可列式，解之可得a＝3，根据立方根定义可得b的值，根据2＜√6＜3可得c的值；2）分别将a，b，c的值代入3a﹣b+c，可解答．【解答】解：1）

∵某正数的两个平方根分别是3a﹣14和a+2，∴3a﹣14）+a+2）＝0，∴a＝3，又∵b+11的立方根为﹣3，∴b+11＝﹣3）3＝﹣27，∴b＝﹣38，又∵c是√6的整数部分，∴c＝2；6∴a+b+c＝3+﹣38）+2

＝﹣33；2）当a＝3，b＝﹣38，c＝2时，3a﹣b+c＝3×3﹣﹣38）+2＝49，∴3a﹣b+c的平方根是±7．【点评】本题主要考查立方根、平方根及无理数的估算，解题的关键是熟练掌握平方根和立方根的定义．【变式3-1

】（2020秋•开福区校级期末）已知：3a+1的立方根是﹣2，2b﹣1的算术平方根是3，c是√43的整数部分．（1）求a，b，c的值；（2）求2a﹣b+92𝑐的平方根．【分析】（1）根据立方根、算术平方根、

无理数的估算即可求出a、b、c的值；（2）求出代数式2a﹣b+92𝑐的值，再求这个数的平方根．【解答】解：（1）∵3a+1的立方根是﹣2，∴3a+1＝﹣8，解得，a＝﹣3，∵2b﹣1的算术平方根是3，∴2b﹣1＝9，解得，b＝5，

∵√36＜√43＜√49，∴6＜√43＜7，∴√43的整数部分为6，即，c＝6，因此，a＝﹣3，b＝5，c＝6，（2）当a＝﹣3，b＝5，c＝6时，2a﹣b+92𝑐=−6﹣5+92×6＝16，2a﹣b+

92𝑐的平方根为±√16=±4．【点评】本题考查算术平方根、立方根、无理数的估算，掌握算术平方根、立方根和无理数的估算是正确解答的前提．【变式3-2】（2020秋•浦东新区期末）已知√𝑀𝑎+𝑏是M的立方根，而√𝑏

−63是√𝑀𝑎+𝑏的相反数，且M＝3a7﹣7．（1）求a与b的值；（2）设𝑥=√𝑀𝑎+𝑏，𝑦=√𝑏−63，求x与y平方和的立方根．【分析】（1）根据立方根得出a+b＝3，M＝6﹣b，再根据已知条件求出答案即可；（2）求出x、y的值，再求出x2+y2的值

，最后求出答案即可．【解答】解：（1）∵√𝑀𝑎+𝑏是M的立方根，而√𝑏−63是√𝑀𝑎+𝑏的相反数，∴a+b＝3，M＝6﹣b，∵M＝3a﹣7，∴6﹣b＝3a﹣7，解得：a＝5，b＝﹣2；（2）∵a＝5，b＝﹣2，M＝6﹣（﹣2）＝

8，∴𝑥=√𝑀𝑎+𝑏=√83=2，y=√−2−63=−2，∴x2+y2＝22+（﹣2）2＝8，∴x与y平方和的立方根是√83=2．【点评】本题考查了立方根和实数的性质，能熟记立方根的定义是解此题的关键．【变式3-3】（2020秋

•重庆期末）阅读下面的文字，解答问题：大家知道√2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此√2的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用√2−1来表示√2的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法

是有道理，因为√2的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：∵√4＜√7＜√9，即2＜√7＜3，∴√7的整数部分为2，小数部分为（√7−2）．请解答：（1）√17的整数部分是4，小数部分是√17−4．（2）如果√5的小数部分为a，√13的整数部分为b，

求a+b−√5的值；（3）已知：10+√3=x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的相反数．【分析】（1）先估算出√17的范围，即可得出答案；（2）先估算出√5、√13的范围，求出a、b的值，再代入求出即可；

8（3）先估算出√3的范围，求出x、y的值，再代入求出即可．【解答】解：（1）∵4＜√17＜5，∴√17的整数部分是4，小数部分是√17−4，故答案为：4，√17−4；（2）∵2＜√5＜3，∴a=√5−2，∵3＜√13＜4

，∴b＝3，∴a+b−√5=√5−2+3−√5=1；（3）∵1＜3＜4，∴1＜√3＜2，∴11＜10+√3＜12，∵10+√3=x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，∴x＝11，y＝10+√3−11=√3−1，∴x﹣y＝

11﹣（√3−1）＝12−√3，∴x﹣y的相反数是﹣12+√3；【点评】本题考查了估算无理数的大小，能估算出√3、√5、√13、√17的范围是解此题的关键．【题型4解一元一次不等式（组）】【例4】（2020春•射洪市期末）①𝑥−13−𝑥+42＞−2②{𝑥−32+3＞𝑥+11

−3(𝑥−1)≤8−𝑥【分析】①去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可；②先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．【解答】解：①去分母得：2（x﹣1）﹣3（x+4）＞﹣12，2x﹣2﹣3x﹣12＞﹣12，2x﹣3x＞﹣12+12+2，﹣x＞2，9x＜﹣2；②{𝑥

−32+3＞𝑥+1①1−3(𝑥−1))≤8−𝑥②，解不等式①得：x＜1，解不等式②得：x≥﹣2，∴不等式组的解集是：﹣2≤x＜1．【点评】本题考查了解一元一次不等式组和解一元一次不等式，能根据不等式的性质进行变形是解①的关键，能求出不等式组的解集是解②的关键．【变式4-1

】（2020春•沂水县期末）解不等式或不等式组：（1）5𝑥+16−2＞𝑥−54；（2）{3(𝑥−1)＜2𝑥①2𝑥+1＞𝑥−12②．【分析】（1）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可；（2）先求出每个不等式的解

集，再求出不等式组的解集即可．【解答】解：（1）5𝑥+16−2＞𝑥−54，2（5x+1）﹣24＞3（x﹣5），10x+2﹣24＞3x﹣15，10x﹣3x＞﹣15﹣2+24，7x＞7，x＞1；（2）{3(𝑥−1)

＜2𝑥①2𝑥+1＞𝑥−12②，由①得：x＜3；由②得：x＞﹣1；则不等式组的解集为﹣1＜x＜3．【点评】本题考查了解一元一次不等式组和解一元一次不等式，能根据不等式的性质进行变形是解（1）的关键，能求出不等式组的解集是解（2）的关键．10【变式4-2】（2020春•回民区

期末）（1）解不等式2𝑥−13−5𝑥+12≤1，并求出这个不等式的负整数解．（2）解不等式组{5𝑥−1＜3(𝑥+1)2𝑥−13−5𝑥+12≤1，并把它们的解集表示在数轴上．【分析】（1）不等式去分母，去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，求出解集，确定出所求即

可；（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可．【解答】解：（1）原不等式可化为2（2x﹣1）﹣3（5x+1）≤6，整理得：﹣11x≤11，系数化为1得：x≥﹣1，则负整数解为﹣1；（2）{5𝑥−1＜3(𝑥+1)①2𝑥−13−5𝑥+

12≤1②，解不等式①得x＜2，解不等式②得x≥﹣1，∴不等式组的解集为﹣1≤x＜2，解集在数轴上表示为：．【点评】此题考查了解一元一次不等式组，以及一元一次不等式组，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．【

变式4-3】（2020春•邓州市期末）（1）解不等式3x+5＜7（x﹣1）+3，并写出满足此不等式的最小整数解．（2）解不等式组{−2(𝑥+3)≤7𝑥+3𝑥+12−16＜𝑥+33，并把它的解集在数轴上表示出来．【分析】（1）不等式去括号，移

项，合并同类项，把x系数化为1，求出解集，确定出最小整数解即可；（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可．【解答】解：（1）去括号得：3x+5＜7x﹣7+3，11移项得：3x﹣7x＜﹣7+3﹣5，合并得：

﹣4x＜﹣9，解得：x＞94，则不等式组的最小整数解为3；（2）{−2(𝑥+3)≤7𝑥+3①𝑥+12−16＜𝑥+33②，由①得：x≥﹣1，由②得：x＜4，∴不等式组的解集为﹣1≤x＜4．【点评】此题考查了解一元一次不等式组，解一元一

次不等式，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．【题型5不等式（组）中的含参问题】【例5】（2020春•江汉区期末）已知，关于x的不等式组{𝑥+1＞𝑚𝑥−1≤𝑛有解．（1）若不等式的解集与{1−2𝑥＜53𝑥−12≤4的解集相同，求m+n的

值；（2）若不等式组恰好只有4个整数解．①若m＝﹣1，求n的取值范围；②若n＝2m，则m的取值范围为32≤m＜52．【分析】（1）先求出不等式组{1−2𝑥＜53𝑥−12≤4的解集，再根据两个不等式组同解得出关于m、n的方程，即可求解；（2）①由m＝﹣1得出不等式组{

𝑥+1＞𝑚𝑥−1≤𝑛的解集为﹣2＜x≤n+1，根据不等式组恰好只有4个整数解，得到2≤n+1＜3，即可求出n的取值范围；②由n＝2m，得出不等式组{𝑥+1＞𝑚𝑥−1≤𝑛的解集为m﹣1＜x≤2m+1，求出2m+1﹣（m﹣1）＝m+2，根据

不等式组恰好只有4个整数解，得到4≤m+2＜5，即可求出m的取值范围．12【解答】解：（1）解不等式组{1−2𝑥＜53𝑥−12≤4，得﹣2＜x≤3，解不等式x+1＞m，得x＞m﹣1，解不等式x﹣1≤n，得x

≤n+1，由题意得m﹣1＝﹣2，n+1＝3，解得m＝﹣1，n＝2，m+n＝﹣1+2＝1；（2）①m＝﹣1时，关于x的不等式组{𝑥+1＞𝑚𝑥−1≤𝑛的解集为﹣2＜x≤n+1，∵不等式组恰好只有4个整数解

，∴4个整数解是﹣1，0，1，2，∴2≤n+1＜3，∴1≤n＜2；②n＝2m时，关于x的不等式组{𝑥+1＞𝑚𝑥−1≤𝑛的解集为m﹣1＜x≤2m+1，∵不等式组恰好只有4个整数解，3＜2m+1﹣（m﹣1

）＜5，解得1＜m＜3，∴0＜m﹣1＜2，3＜2m+1＜7，当0＜m﹣1＜1时，1＜m＜2，必须满足，4≤2m+1＜5，∴32≤m＜2．当1≤m﹣1＜2时，即2≤m＜3时，必须满足，5≤2m+1＜6，∴2≤m＜52，综上所述，32≤m＜52．故答案为：32≤m＜

52．13【点评】此题主要考查了一元一次不等式组的解法与不等式的整数解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．【变式5-1】（2020春•渝中区期末）已知不等式组{𝑥2

+𝑥+13＞0𝑥+5𝑎+43＞43(𝑥+1)+𝑎有且只有两个整数解，求实数a的取值范围，并用数轴把它表示出来．【分析】先分别求出两个不等式的解集，再根据不等式组有2个整数解，求出a的取值范围，然后在数轴上表示即可．【解答】解：解不等式𝑥

2+𝑥+13＞0得：x＞−25，解不等式x+5𝑎+43＞43（x+1）+a得：x＜2a，则不等式组的解集为：−25＜x＜2a，∵不等式组{𝑥2+𝑥+13＞0𝑥+5𝑎+43＞43(𝑥+1)+𝑎有且只有两个整数解，∴两个整数解为

：0，1，∴1＜2a≤2，解得：12＜a≤1．用数轴表示如下：【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解，在数轴上表示不等式的解集，解答本题的关键是根据不等式组有2个整数解列出关于a的不等式．【变式5-2】（20

20春•淮阳区期末）已知a、b是整数，关于x的不等式x+2b＞a的最小整数解是8，关于x的不等式x﹣3b+19＜2a的最大整数解为8．（1）求a、b的值．（2）若|m﹣b|＝m﹣b，|m﹣a|＞a﹣m，求m的取值范围．【分

析】（1）根据已知条件得到a﹣2b、2a+3b﹣19也是整数，解方程组即可得到结论；（2）根据题意得不等式组于是得到结论．【解答】解：（1）∵为a、b是整数，∴a﹣2b、2a+3b﹣19也是整数，14由x+2b＞a解得：x＞a﹣2b，由x﹣3b+19＜2a解得：x＜2a+3b﹣19，于是

，由题意可得：{𝑎−2𝑏+1=82𝑎+3𝑏−19−1=8，解得：{𝑎=11𝑏=2；（2）由题意得：{𝑚−𝑏≥0𝑎−𝑚＜0，即：{𝑚−2≥011−𝑚＜0，解得：{𝑚≥2𝑚＞11，∴m的取值范围是：m＞11．【

点评】考查了对解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解，解二元一次方程组的应用，关键是根据题意得出关于ab的方程组．【变式5-3】（2020春•开福区校级期中）（1）已知x＝a+2，若x＜8，求a的取值范围；（2）已知不等式x﹣a≤2的解集中，任何x的值均在x＜8的范围内，求a的取值范围

；（3）已知不等式组{𝑥−𝑎≤2𝑥−𝑎＞−1的解集中，任何x的值均在2≤x＜8的范围内，求a的整数解．【分析】（1）根据题意得到a+2＜8，解得即可；（2）根据题意得到a+2＜8，解得即可；（3）表示出不等式组中两不等式的解集，根据任一个x的

值均在2≤x＜8的范围中，求出a的范围即可．【解答】解：（1）∵x＝a+2，∴若x＜8，则a+2＜8，解得a＜6；（2）由x﹣a≤2可知，x≤a+2，∵不等式x﹣a≤2的解集中，任何x的值均在x＜8的范围内，∴a+2＜8，解得a＜6；（3）不等式变形得：{𝑥≤𝑎+2𝑥＞𝑎−1，由任

一个x的值均在2≤x＜8的范围中，得到{𝑎+2＜8𝑎−1≥2，15解得：3≤a＜6，∴a的整数解为3，4，5．【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式和一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【题型6巧用幂的逆向运算】【

例6】（2020春•鼓楼区校级期末）求值：（1）已知42x＝23x﹣1，求x的值．（2）已知a2n＝3，a3m＝5，求a6n﹣9m的值．（3）已知3•2x+2x+1＝40，求x的值．【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则、积的乘方运算法则分别计算得出答案．【解

答】解：（1）∵42x＝23x﹣1，∴24x＝23x﹣1，∴4x＝3x﹣1，∴x＝﹣1；（2）∵a2n＝3，a3m＝5，∴a6n﹣9m＝a6n÷a9m＝（a2n）3÷（a3m）3＝33÷53=27125；（3）∵3•2x+2x+1＝40，∴3•2x+2•2x＝40，∴5•2x＝40

，∴2x＝8，∴x＝3．【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及幂的乘方运算、积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．【变式6-1】（2020春•泰兴市期末）（1）已知2x＝3，2y＝5，求：2x﹣2y+1的值；16（2）x﹣2y﹣1＝0，求：2x÷4y×

8的值．【分析】（1）直接利用同底数幂的乘除运算法则将原式变形得出答案；（2）直接利用同底数幂的乘除运算法则将原式变形得出答案．【解答】解：（1）∵2x＝3，2y＝5，∴2x﹣2y+1＝2x÷（2y）2×2＝3÷52×2=625；（2）∵x﹣2y﹣1

＝0，∴x﹣2y＝1，∴2x÷4y×8＝2x÷22y×8＝2x﹣2y×8＝2×8．＝16．【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算，正确将原式变形是解题关键．【变式6-2】（2021春•高新区期末）若am＝an（a＞0，a≠1，m、n都是正整数），则m＝n，利用上面结论解决

下面的问题：（1）如果2x•23＝32，求x的值；（2）如果2÷8x•16x＝25，求x的值；（3）若x＝5m﹣2，y＝3﹣25m，用含x的代数式表示y．【分析】根据幂的乘方与积的乘方进行计算即可．【解答】解：（1）∵2x•23＝32，∴2x+3＝25，∴x+3＝5，∴x＝2；（2）∵2÷8x•

16x＝25，∴2÷23x•24x＝25，∴21﹣3x+4x＝25，∴1+x＝5，17∴x＝4；（3）∵x＝5m﹣2，∴5m＝x+2，∵y＝3﹣25m，∴y＝3﹣（5m）2，∴y＝3﹣（x+2）2＝﹣x2﹣4x﹣1．【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方，掌握幂的乘方与积的乘方的运算性质是正确计

算的前提．【变式6-3】（2020春•朝阳区校级期末）已知n为正整数，且x2n＝4（1）求xn﹣3•x3（n+1）的值；（2）求9（x3n）2﹣13（x2）2n的值．【分析】（1）根据同底数幂的乘法法

则及幂的乘方法则将原式化简为（x2n）2，再把x2n＝4代入进行计算即可；（2）根据同底数幂的乘法法则及幂的乘方法则将原式化简为9（x2n）3﹣13（x2n）2，再把x2n＝4代入进行计算即可．【解答】解：（1）∵x2n＝4，∴xn﹣3•x3（n+1）＝xn﹣3•

x3n+3＝x4n＝（x2n）2＝42＝16；（2）∵x2n＝4，∴9（x3n）2﹣13（x2）2n＝9x6n﹣13x4n＝9（x2n）3﹣13（x2n）2＝9×43﹣13×42＝576﹣208＝368．【点评】本题考查的是幂的乘方与同底数幂的乘法法则，熟知幂的乘方法则是底数不变，指数

相乘是解答此题的关键．【题型7整式混合运算的化简求值】【例7】（2020春•招远市期末）（1）先化简，再求值：（2x+y）2﹣（x+2y）（x﹣2y）﹣（3x﹣y）（x﹣5y），其中x＝﹣3，y=15．（2）说明代数式[（x﹣y）2﹣（x+y）（x﹣y）]÷（﹣2y）+y的值，与y

的值无关．【分析】（1）根据完全平方公式、平方差公式、多项式乘多项式的运算法则把原式化简，把x、y的值代入计算即可；（2）根据完全平方公式、平方差公式、多项式除单项式的运算法则把原式化简，证明结论．【解答】解：（1）（2x+y）2﹣（x+2y）（x﹣2y）﹣（3x﹣y）（x﹣

5y）18＝4x2+4xy+y2﹣（x2﹣4y2）﹣（3x2﹣15xy﹣xy+5y2）＝4x2+4xy+y2﹣x2+4y2﹣3x2+15xy+xy﹣5y2＝20xy，当x＝﹣3，y=15时，原式＝20×（﹣3）×15=

−12；（2）[（x﹣y）2﹣（x+y）（x﹣y）]÷（﹣2y）+y＝[x2﹣2xy+y2﹣（x2﹣y2）]÷（﹣2y）+y＝（x2﹣2xy+y2﹣x2+y2）÷（﹣2y）+y＝（﹣2xy+2y2）÷（﹣2y）

+y＝x﹣y+y＝x，因此，代数式[（x﹣y）2﹣（x+y）（x﹣y）]÷（﹣2y）+y的值，与y的值无关．【点评】本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．【变式7-1】（2020春•济南期末）（1）化简（a+3b）2﹣（a+b）（a﹣

b）﹣2b（2a+4b）；（2）先化简[（2x+y）（2x﹣y）+（x﹣y）2﹣2x（x﹣3y）]÷x，再求值，其中x＝2，y=−12．【分析】（1）根据整式的运算法则即可求出答案．（2）根据整式的运算法则进行化简，然

后将x与y的值代入原式即可求出答案．【解答】解：（1）原式＝a2+6ab+9b2﹣a2+b2﹣4ab﹣8b2＝2b2+2ab．（2）原式＝（4x2﹣y2+x2﹣2xy+y2﹣2x2+6xy）÷x＝（3x2+4xy）÷x＝3x+4y，当x＝2y

=−12时，∴原式＝4y+3x＝﹣2+6＝4．【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．【变式7-2】（2020春•深圳校级期末）（1）计算：2x（x﹣3y）+（5xy2﹣2x2y）÷y；（2）

计算：（2x﹣3y﹣1）（2x+3y﹣1）；（3）先化简，再求值：[（x+2y）2﹣（3x+y）（﹣y+3x）﹣5y2]÷（−12x），其中（2x+1）2+|y﹣2|＝0．【分析】（1）根据单项式乘多项式和多项式除以单项式可以解答本题；19（2）根据平方

差公式和完全平方公式可以解答本题；（3）根据完全平方公式、平方差公式和多项式除以单项式可以化简题目中的式子，然后根据（2x+1）2+|y﹣2|＝0可以得到x、y的值，再将x、y的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：（1）2x（x﹣3y）+（5xy2﹣2x2y）÷y＝2x2﹣6

xy+5xy﹣2x2＝﹣xy；（2）（2x﹣3y﹣1）（2x+3y﹣1）＝[（2x﹣1）﹣3y][（2x﹣1）+3y]＝（2x﹣1）2﹣（3y）2＝4x2﹣4x+1﹣9y2；（3）[（x+2y）2﹣（3x+y）（﹣y+3x）﹣5y2]÷（−12x）＝（x

2+4xy+4y2﹣9x2+y2﹣5y2）•（−2𝑥）＝（﹣8x2+4xy）•（−2𝑥）＝16x﹣8y，∵（2x+1）2+|y﹣2|＝0，∴2x+1＝0，y﹣2＝0，解得x=−12，y＝2，当x=−12，y＝2时，

原式＝16×（−12）﹣8×2＝﹣8﹣16＝﹣24．【点评】本题考查整式的混合运算﹣化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值的方法．【变式7-3】（2020春•西湖区校级期末）先化简，再求值：（1）（m﹣2n）2﹣4n（3n﹣m）+（2n﹣3m）（3m+2n），其中2m2+n2＝

6．（2）[（27a4﹣6a5）÷3a2+（﹣3a3）2÷（﹣a﹣1）﹣4]÷（﹣2a）2，其中a＝﹣6．【分析】（1）根据完全平方公式、单项式乘多项式、平方差公式可以化简题目中的式子，然后根据2m2+n2＝6，即可求得所求式子的值

；（2）根据多项式除以单项式、积的乘方和同底数幂的乘除法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：（1）（m﹣2n）2﹣4n（3n﹣m）+（2n﹣3m）（3m+2n）20＝m2﹣4mn+4n2

﹣12n2+4mn+4n2﹣9m2＝﹣8m2﹣4n2，当2m2+n2＝6时，原式＝﹣4（2m2+n2）＝﹣4×6＝﹣24；（2）[（27a4﹣6a5）÷3a2+（﹣3a3）2÷（﹣a﹣1）﹣4]÷（﹣2a）2＝[9a2﹣2a3+9a6÷（a4）]÷（4a2）＝（9a2﹣2a3+9a2）÷

（4a2）＝（18a2﹣2a3）÷（4a2）=92−12a，当a＝﹣6时，原式=92−12×（﹣6）=92+3=152．【点评】本题考查整式的混合运算﹣化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值的方法．【题型8因式分解】

【例8】（2020秋•丛台区期末）因式分解（1）（a﹣b）2+4ab；（2）x2﹣2x﹣8；（3）x4﹣6x3+9x2﹣16；（4）（x2+3x+5）（x2+3x+1）+3．【分析】（1）先根据完全平方公式展开，再根据完全平方公式分解因式即可；（2）根据十字相乘法分解

因式即可；（3）先分组，根据完全平方公式进行计算，再根据平方差公式分解因式，最后根据“十字相乘法”分解因式即可；（4）把x2+3x当作一个整体展开，再根据“十字相乘法”分解因式即可．【解答】解：（1）（a﹣b）2+

4ab＝a2﹣2ab+b2+4ab＝a2+2ab+b2＝（a+b）2；（2）x2﹣2x﹣8＝（x﹣4）（x+2）；21（3）x4﹣6x3+9x2﹣16＝（x4﹣6x3+9x2）﹣16＝x2（x﹣3）2﹣42＝[x（x﹣3）+4][x（x﹣3）﹣4]＝（x2﹣3x+4）（x2﹣3x﹣

4）＝（x2﹣3x+4）（x﹣4）（x+1）；（4）（x2+3x+5）（x2+3x+1）+3＝（x2+3x）2+6（x2+3x）+5+3＝（x2+3x）2+6（x2+3x）+8＝（x2+3x+2）（x2+3x+4）＝（x+1）（x+2）（x2+3x+4）．【点评】本题考查了分解因式，能灵活运

用因式分解的方法分解因式是解此题的关键，注意：分解因式的方法有：提取公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法等．【变式8-1】（2020春•肥城市期末）把下列各式进行因式分解：（1）a4（a﹣b）+16（b﹣a）；（2）50a﹣20a（x﹣y）+2a（x﹣y）2．【分析】（1）先提取公因式（a﹣b

），再运用平方差公式进行因式分解；（2）先提取公因式2a，再利用完全平方公式进行因式分解．【解答】解：（1）原式＝a4（a﹣b）﹣16（a﹣b）＝（a﹣b）（a4﹣16）＝（a﹣b）（a2+4）（a2﹣4）＝（a﹣b）（a2+4）（a+2）（a﹣2）；（2）原式＝2a[（x﹣y

）2﹣10（x﹣y）+25]＝2a（x﹣y﹣5）2．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．【变式8-2】（2020春•北碚区校级期末）因式分解：（1）3a2b2﹣6ab3；22（2）﹣27a3b+18a2b2﹣3ab3；（3）x3

+5x2﹣x﹣5；（4）（x2﹣4）2﹣9x2．【分析】（1）提公因式3ab2可进行因式分解；（2）先提公因式﹣3ab，再利用完全平方公式进行因式分解即可；（3）利用分组分解法进行因式分解，先将前两项为一组，后两项为一组，提公因式后，再利用平方差公式进行即可；（4）先

利用平方差公式，在分别利用十字相乘法进行因式分解即可．【解答】解：（1）3a2b2﹣6ab3＝3ab2（a﹣2b）；（2）﹣27a3b+18a2b2﹣3ab3＝﹣3ab（9a2﹣6ab+b2）＝﹣3ab（3a﹣b）2；（3）x3+5x2﹣x﹣5＝x2（x+5）﹣（x

+5）＝（x+5）（x+1）（x﹣1）；（4）（x2﹣4）2﹣9x2＝（x2﹣4+3x）（x2﹣4﹣3x）＝（x+4）（x﹣1）（x﹣4）（x+1）．【点评】本题考查因式分解的方法，掌握提公因式法、公式

法、十字相乘法、分组分解法是正确进行因式分解的关键．【变式8-3】（2020春•东阿县期末）因式分解（1）16x4﹣1；（2）x2y﹣2xy2+y3；（3）（x2+16y2）2﹣64x2y2；（4）（a﹣b）（x﹣y）﹣（b

﹣a）（x+y）．【分析】（1）原式利用平方差公式分解即可；（2）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；（3）原式利用平方差公式，以及完全平方公式分解即可；（4）原式变形后，提取公因式即可．【解答】解：（1）原式＝（4x2+1）（4x2﹣1）＝（4x2+1）（2x+1）

（2x﹣1）；（2）原式＝y（x2﹣2xy+y2）＝y（x﹣y）2；（3）原式＝（x2+16y2+8xy）（x2+16y2﹣8xy）＝（x+4y）2（x﹣4y）2；23（4）原式＝（a﹣b）（x﹣y）+（a﹣b）（x

+y）＝（a﹣b）（x﹣y+x+y）＝2x（a﹣b）．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．【题型9利用乘法公式求值】【例9】（2020春•娄星区校级期末）已知a

﹣b＝6，ab＝2，求下列各式的值．（1）a2+b2；（2）（a+b）2；（3）a2﹣ab+b2．【分析】（1）由（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，给等式两边同时加2ab，根据已知条件即可得出答案；（2）由（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，给等式两边同时加4ab，右边

为a2+2ab+b2，即（a+b）2，根据已知条件即可得出答案；（3）由（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，给等式两边同时加ab，右边为a2﹣ab+b2，根据已知条件即可得出答案．【解答】解：（1）a2+b2＝（a﹣b）2+2ab

＝62+2×2＝40；（2）（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝62+4×2＝44；（3）a2﹣ab+b2＝（a﹣b）2+ab＝62+2＝38．【点评】本题主要考查了完全平方公式的变式应用，熟练应用完全平方公式的变式进行计算是解决本题的关键

．【变式9-1】（2021春•电白区期末）已知a﹣b＝6，ab＝﹣7．求：（1）a2+b2的值；（2）（a+b）2+2（a﹣b）2的值．【分析】（1）由（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，给等式两边同时加2ab，根据已知条件即可得出答案；（2）由（a﹣b）2＝a2﹣2ab

+b2，给等式两边同时加4ab，右边为a2+2ab+b2，即（a+b）2，根据已知条件即可得出答案．【解答】解：（1）∵a﹣b＝6，ab＝﹣7，∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝62+2×（﹣7）＝22；（2）∵（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，

a﹣b＝6，ab＝﹣7，∴（a+b）2＝62+4×（﹣7）＝8，∴（a+b）2+2（a﹣b）2＝8+2×62＝80．24【点评】本题主要考查了完全平方公式的变式应用，熟练应用完全平方公式的变式进行计算是解决本题的关键．【变式9-2】（2020春•简阳市期末）阅读：已知a+b＝﹣4，ab＝3，求a

2+b2的值．解：∵a+b＝﹣4，ab＝3，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（﹣4）2﹣2×3＝10．请你根据上述解题思路回答下列问题：（1）已知a+b＝5，ab＝7，求𝑎2+𝑏22，a2﹣ab+b2的值．（2）已知a﹣c﹣b＝﹣10，（a﹣b）c＝﹣12，求（a

﹣b）2+c2的值．【分析】（1）由于（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，故采用整体代入法求解；（2）根据完全平分公式，即可解答．【解答】解：（1）∵a+b＝5，ab＝7，∴𝑎2+𝑏22=(𝑎+𝑏)2−2𝑎𝑏2=52−2×72=112，a2﹣ab+b2＝（a+b）

2﹣2ab﹣ab＝（a+b）2﹣3ab＝52﹣3×7＝4．（2）（a﹣b）2+c2＝[（a﹣b）﹣c]2+2（a﹣b）c＝（a﹣c﹣b）2+2（a﹣b）c＝（﹣10）2+2×（﹣12）＝76．【点评】本题考查了完全平方公式，关键是要灵活应用完全平

方公式及其变形公式．【变式9-3】（2020春•秦都区期末）我们知道完全平方公式是：（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，由此公式我们可以得出下列结论：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣

4ab①；ab=12[（a+b）2﹣（a2+b2）]②．利用公式①和②解决下列问题：（1）若m+n＝10，mn＝﹣3，求（m﹣n）2的值；（2）已知m满足（2019﹣2m）2+（2m﹣2020）2＝7，求（2019﹣2m）（2m

﹣2020）的值．【分析】（1）根据题干结论推出（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn，再代入计算即可；（2）设a＝2019﹣2m，b＝2m﹣2020，再利用题干结论即可简化求解．【解答】解：（1）∵（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn，m+n＝10，mn＝﹣3，25∴（m﹣n）2＝102

﹣4×（﹣3）＝112，（2）设a＝2019﹣2m，b＝2m﹣2020，∴a2+b2＝7，a+b＝﹣1，∴（2019﹣2m）（2m﹣2020）＝ab=12[（a+b）2﹣（a2+b2）]=12×(1−7)

=−3．【点评】本题考查完全平方公式，理解题干中的结论和完全平方公式的变形应用是解题关键．【题型10利用因式分解求值】【例10】（2020秋•辉县市期末）已知x、y满足xy＝14，x2y﹣xy2﹣x+y＝65，求下列各式的值：（1）x2+y2；（2）x+y．【分析】（

1）把x2y﹣xy2﹣x+y用分组法分解因式得（x﹣y）（xy﹣1），由xy＝14可得x﹣y的值，再把x2+y2化为（x﹣y）2+2xy，代入已知数据计算即可；（2）把（x+y）2化为（x﹣y）2+4xy，代入已知数据计算即可．【解答】解：∵xy

＝14，x2y﹣xy2﹣x+y＝65，∴xy（x﹣y）﹣（x﹣y）＝（x﹣y）（xy﹣1）＝65，∴x﹣y＝5，∴（1）x2+y2＝（x﹣y）2+2xy＝53；（2）∵（x+y）2＝（x﹣y）2+4xy＝81，∴x+y＝±9．【点评】本题考查了完全平方公式的运用，熟练掌握完全平方公式

：（a±b）2＝a2±2ab+b2是解本题的关键．【变式10-1】（2020•吉安县期末）若a＝2021，b＝2020，c＝2019，求a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值．【分析】利用完全平方公式对a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣

ac进行分解，代入求值即可．【解答】解：∵a＝2021，b＝2020，c＝2019，∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac=12（a2﹣2ab+b2）+12（a2﹣2ac+c2）+12（b2﹣2bc+c2）

=12（a﹣b）2+12（a﹣c）2+12（b﹣c）2=12×（2021﹣2020）2+12×（2021﹣2019）2+12（×2020﹣2019）226=12+12×4+12＝3．【点评】本题以代数式求值为背景考查了用完全平方公式

因式分解，关键是能够用完全平方公式分解化简．【变式10-2】（2020秋•农安县期末）已知m2+m＝2，求代数式m3+3m2+2020的值．【分析】直接将原式变形，进而把已知代入得出答案．【解答】解：m3+3m2+202

0＝m3+m2+2m2+2020＝m（m2+m）+2m2+2020，又m2+m＝2，所以：原式＝2m2+2m+2020＝2（m2+m）+2020＝4+2020＝2024．【点评】此题主要考查了因式分解的应用，正确将原式变形是解题关键．【变式10-3】（2020春•西湖区校级期末）阅读下列材料：

已知a2+a﹣3＝0，求a2（a+4）的值．解：∵a2＝3﹣a，∴a2（a+4）＝（3﹣a）（a+4）＝3a+12﹣a2﹣4a＝﹣a2﹣a+12∵a2+a＝3，∴﹣（a2+a）+12＝﹣3+12＝9∴a2（a+4）＝9根据上述材料的做法，完成下列各小题：（

1）已知a2﹣a﹣10＝0，求2（a+4）（a﹣5）的值；（2）已知x2﹣x﹣1＝0，求x3﹣2x+1的值；（3）已知（999﹣a）（998﹣a）＝1999，求（999﹣a）2+（998﹣a）2的值．（4）已知x2+4x﹣1＝0，求代数值2x4+8x3﹣4x2﹣8

x+1的值．【分析】（1）根据阅读材料的解答过程，利用整体代入的方法即可求解；（2）根据因式分解的提公因式法将式子变形，然后整体代入计算即可求解；（3）根据换元的思想，利用阅读材料的解答过程即可求解；（4）根据因式分

解和整式的混合运算，整体代入即可求解．【解答】解：（1）∵a2﹣a﹣10＝0，∴a2﹣a＝10，∴2（a+4）（a﹣5）＝2（a2﹣a﹣20）＝2（10﹣20）＝﹣2027答：2（a+4）（a﹣5）的值为﹣20；（2）∵x2﹣x﹣1＝0，∴x2﹣x＝1，x2＝x+1，∴

x3﹣2x+1＝x（x2﹣2）+1＝x（x+1﹣2）+1＝x（x﹣1）+1＝x2﹣x+1＝1+1＝2；答：x3﹣2x+1的值为2；（3）∵（999﹣a）（998﹣a）＝1999，∴设：998﹣a＝x∴（x+1）x＝1999，x2+x＝1999，（99

9﹣a）2+（998﹣a）2＝（x+1）2+x2＝x2+2x+1+x2＝2（x2+x）+1＝2×1999+1＝3999答：（999﹣a）2+（998﹣a）2的值为3999．（4）∵x2+4x﹣1＝0，∴x2+4x＝1，x2＝1﹣

4x，∴2x4+8x3﹣4x2﹣8x+1＝2x2（x2+4x﹣2）﹣8x+1＝2（1﹣4x）（1﹣2）﹣8x+1＝﹣2+8x﹣8x+1＝﹣1．答：代数值2x4+8x3﹣4x2﹣8x+1的值为﹣1．【点评】本题考查了因

式分解的应用和整式的混合运算，解决本题的关键是整体代入思想的运用．【题型11分式的化简求值】【例11】（2020春•碑林区校级期末）先化简𝑥2−4𝑥+4𝑥2−4÷(𝑥−2𝑥+2−𝑥+2)，然后从−√5＜x＜√5的范围内选择一个合适的整数作为x的值代入求值．【分析】先算括号内的加减，

把除法变成乘法，算乘法，求出x的值，最后求出答案即可．【解答】解：𝑥2−4𝑥+4𝑥2−4÷(𝑥−2𝑥+2−𝑥+2)=(𝑥−2)2(𝑥+2)(𝑥−2)÷𝑥−2−(𝑥+2)(𝑥−2)𝑥+2=𝑥−2𝑥+2•𝑥+2−(𝑥−2)(

𝑥+1)28=−1𝑥+1，满足−√5＜x＜√5的整数有﹣2，﹣1，0，1，2，∵x2﹣4≠0，x+1≠0，∴x不能为2，﹣2，﹣1，取x＝0，当x＝0时，原式=−10+1=−1．【点评】本题考查了估算无理数的大小，分式的混合运算和求值，解不等式组等知识点，能正确根据分式的基本性

质进行化简是解此题的关键．【变式11-1】（2020秋•鹿邑县期末）先化简，再求值：（3𝑥+1−x+1）÷𝑥2−4𝑥+4𝑥+1，从﹣1，2，﹣3中选一个值，代入求值．【分析】先算括号内的加减，把除法变成乘法，算乘法，

最后求出答案即可．【解答】解：（3𝑥+1−x+1）÷𝑥2−4𝑥+4𝑥+1=3−(𝑥+1)(𝑥−1)𝑥+1•𝑥+1(𝑥−2)2=4−𝑥2𝑥+1•𝑥+1(𝑥−2)2=−(𝑥+2)(𝑥−2)𝑥+1•𝑥+1(𝑥−2)

2=−𝑥+2𝑥−2，∵x+1≠0，x﹣2≠0，∴x≠﹣1，x≠2，取x＝﹣3，当x＝﹣3时，原式=−−3+2−3−2=−15．【点评】本题考查了分式的混合运算和求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．【变式11-2】（2020秋•盐池县期末）先

化简，再求值：𝑎2−3𝑎𝑎2−6𝑎+9+23−𝑎÷𝑎−2𝑎2−9，并在2，3，﹣3，4这四个数中取一个合适的数作为a的值代入求值．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由分式有意义的条件确定a的值，继而代入计算即可．29【解答】解：原式=𝑎(𝑎−3)(𝑎−3)2

−2𝑎−3•(𝑎+3)(𝑎−3)𝑎−2=𝑎𝑎−3−2(𝑎+3)𝑎−2，∵a≠±3且a≠2，∴a＝4，则原式=44−3−2×(4+3)4−2＝4﹣7＝﹣3．【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．【变式11-3】

（2020春•渝中区校级期末）先化简，再求值：（𝑎2+𝑎𝑎−1−a﹣1）÷𝑎3+𝑎2𝑎2−2𝑎+1，其中a是不等式组{−𝑎−1≤03(𝑎+1)≤𝑎+7的整数解．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再解不等式组得出其整数解

，找到使分式有意义的a的值，代入计算即可．【解答】解：原式＝（𝑎2+𝑎𝑎−1−𝑎2−1𝑎−1）÷𝑎2(𝑎+1)(𝑎−1)2=𝑎+1𝑎−1•(𝑎−1)2𝑎2(𝑎+1)=𝑎−1𝑎2，解不等式组{−𝑎−1≤03(𝑎+1)≤�

�+7得﹣1≤a≤2，∴a可取﹣1、0、1、2，∵分母不为0，∴a≠﹣1、0、1，∴a＝2，原式=2−122=14．【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．【题型12解分式方程】【例12】（2020秋•禹城市期末）解方程

：（1）𝑥−3𝑥−2+1=32−𝑥；30（2）𝑥𝑥−1−1=3(𝑥+2)(𝑥−1)．【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）去分母得：x﹣3+x﹣2＝﹣3，解

得：x＝1，检验：当x＝1时，x﹣2＝﹣1≠0，∴x＝1是分式方程的解；（2）去分母得：x（x+2）﹣（x+2）（x﹣1）＝3，整理得：x2+2x﹣x2﹣x+2＝3，解得：x＝1，检验：当x＝1时，（x+2）（x﹣1）＝0，

∴x＝1是增根，分式方程无解．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．【变式12-1】（2020秋•云南期末）解下列分式方程：（1）𝑥𝑥−1=3𝑥2−1+1；（2）1−𝑥𝑥−2=12−�

�−2．【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）去分母得：x（x+1）＝3+x2﹣1，解得：x＝2，检验：当x＝2时，（x+1）（x﹣1）≠0，∴x＝2

是分式方程的解；（2）去分母得：1﹣x＝﹣1﹣2x+4，解得：x＝2，检验：当x＝2时，x﹣2＝0，∴x＝2是增根，分式方程无解．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．【变式12-2】（2020秋•鱼台县期末）解分式方程：31

（1）1𝑥+11.5𝑥=772；（2）𝑥−2𝑥−3+13−𝑥=5．【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）去分母得：72+108＝7x，解得：x

=1207，经检验x=1207是分式方程的解；（2）去分母得：（x﹣2）﹣1＝5（x﹣3），解得：x＝3，经检验x＝3是增根，则分式方程无解．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程

注意要检验．【变式12-3】（2020秋•平邑县期末）解方程：（1）5𝑥2+𝑥−1𝑥2−𝑥=0；（2）𝑥𝑥−2−1=8𝑥2−4．【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

【解答】解：（1）去分母得：5x﹣5﹣x﹣1＝0，解得：x=32，经检验x=32是分式方程的解；（2）去分母得：x2+2x﹣x2+4＝8，解得：x＝2，经检验x＝2是增根，分式方程无解．【点评】此题考查了解分

式方程，解分式方程利用了转化的思想，注意要检验．