【文档说明】北京市大兴区2024-2025学年高二上学期期中检测数学试题 Word版含解析.docx，共(19)页，1.265 MB，由小赞的店铺上传

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大兴区2024~2025学年度第一学期期中检测高二数学1.本试卷共4页，共两部分，21道小题．满分150分.考试时间120分钟.2.在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和准考证号.3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.4.在答题卡上，选择题用

2B铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.直线10xy+−=的倾斜角的正切值为（）A.1−B.1C.0D.2【答案】A【解析】【分析】根据斜率和倾斜角

的关系求得倾斜角，进而求得其正切值.【详解】直线10xy+−=斜率为1−，倾斜角为3π4，所以3πtan14=−.故选：A2.已知两个向量()()1,1,1,2,,2abm=−=，且ab⊥，则m=（）A.2−B.2C.4D.6【答案】C

【解析】【分析】根据向量垂直列方程，化简求得m.【详解】由于ab⊥，所以()()1,1,12,,2220,4abmmm=−=−+==rr.故选：C的3.过点()2,Ma−，(),4Na的直线的斜率为12，则||MN=（）A.2B.25C.4D.42【答案】B【解析】【分析】根据斜率列方程，

求得a，进而求得MN.【详解】依题意，4122aa−=−−，解得2a=，所以()()2,2,2,4MN−，所以224225MN=+=故选：B4.圆22(2)1xy++=关于x轴对称的圆的方程为（）A.22(2)1xy++=B.

22(2)1xy++=C.22(2)(2)1xy++−=D.22(2)1xy+−=【答案】D【解析】【分析】确定出已知圆的圆心关于x轴对称的点的坐标，结合已知圆的半径则对称圆方程可知.【详解】圆22(2)1xy++=的圆心为(

)0,2−，半径为1，因为()0,2−关于x轴对称的点为()0,2，所以对称圆的方程为()2221xy+−=，故选：D5.若()1,1,2d=−是直线l的方向向量，()1,3,0n=−是平面的法向量，则直线l与平面的位置关系是（）A.直线l在平面内B.平行C.相交但不垂

直D.垂直【答案】C【解析】..【分析】先判断d与n是否共线或垂直，即可得出结论．【详解】∵()1,1,2d=−，()1,3,0n=−，假设存在实数k，使得dkn=，则()()1,1,21,3,0k−=−，即113

20kkk=−=−=k无解.不存在实数k，使得dkn=成立，因此l与α不垂直．由d()()1,1,21,3,013020n=−−=−++=，可得直线l与平面α不平行．因此直线l与平面α的位置关系是

相交但不垂直．故选：C【点睛】本题考查了向量共线定理、数量积运算性质、线面位置关系，属于基础题．6.已知直线240xy+−=与直线230xmym+++=平行，则它们之间的距离为（）A.5B.10C.352D.3102【答案】C【解析】【分析】

根据直线240xy+−=与直线230xmym+++=平行，由4034mm−=+,解得m，然后利用两平行线间的距离.【详解】因为直线240xy+−=与直线230xmym+++=平行，所以4034mm−=+,

解得4m=，因为直线240xy+−=与直线7202++=xy所以它们之间的距离为227|4|352212−−=+．故选：C【点睛】本题主要考查两直线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.7.在平行六面体1111ABCDABCD−中，11ABADAA===，1160B

ADBAADAA===，则1AC的长为（）A.3B.6C.3D.6【答案】B【解析】【分析】根据向量运算求得正确答案.【详解】依题意，11ACABADAA=++，所以()()22222111112ACABADAAABADAAABADABAAADAA=++=+++

++11111121111116222=+++++=.所以16AC=.故选：B8.已知圆22:1Oxy+=，过直线34100xy+−=上的动点P作圆O的一条切线，切点为A，则PA的最小值为（）A.1B.2C.3D.2【答案】C【解析】【分析】连接PO，222PAPOr

=−，当PO最小时，PA最小，计算点到直线的距离得到答案.【详解】如图所示：连接PO，则222PAPOr=−，当PO最小时，PA最小，min2210234PO−==+，故PA的最小值为22213−=.故选：C.9.已知点C（2，0），直线kx－y＋k=0（k≠0）与圆()(

)22112xy−+−=交于A，B两点，则“△ABC为等边三角形”是“k=1”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】当ABCV为等边三角形时，求出斜率k

的值，当1k=时，判断ABCV的形状，即可选出答案.【详解】设圆心为D，易知()1,1D，半径2r=，当ABCV为等边三角形时，CDl⊥，而2111CDk−==−−，因为1CDkk=−，所以1k=，当1k=时，直线l为

：10xy−+=，而2111CDk−==−−，所以1CDkk=−，所以CDl⊥，所以ABCV为等腰三角形，因为()222112CD=−+=，圆心到直线l的距离为1112211d−+==+，即21CDd=，所以圆心D为ABCV的重心，同时也是A

BCV的外心，所以ABCV为等边三角形，所以“ABCV为等边三角形”是“1k=”的充要条件，故选：A.10.如图，放在平面直角坐标系中的“太极图”整体是一个圆形，且黑色阴影区域与白色区域关于原点中心对称，其中黑色阴影区域在y轴右侧部分的边界为一个半圆.已知直线:(2)l

yax=−.给出下列四个结论：①当0a=时，若直线l截黑色阴影区域所得两部分面积记为1212()SSSS，，则12::31SS=；②当43a=−时，直线l与黑色阴影区域有1个公共点；③当1,1a−时，直线l与黑色阴影区域的边界

曲线有2个公共点．其中所有正确结论的序号是（）A.①②B.①③C.②③D.①②③【答案】A【解析】【分析】由题知根据直线：:(2)lyax=−过定点(2,0)，a为直线的斜率根据直线和圆的位置关系作图，数形结合逐项分析判断即可得解.【详解】如图1所

示，大圆的半径为2，小圆的半径为1，所以大圆的面积为4π，小圆的面积为π．对于①，当0a=时，直线l的方程为0y=．此时直线l将黑色阴影区域的面积分为两部分1π3ππ22S=+=，2πππ22S=−=，所以12::31SS=，故①正确．对

于②，根据题意，黑色阴影区域在第一象限的边界方程为22(1)1(0)xyx+−=,当43a=−时，直线的方程为4:(2)3lyx=−−，即4380xy+−=，小圆圆心(0,1)到直线l的距离22|38

|143d−==+，所以直线l与该半圆弧相切，如图2所示，所以直线l与黑色阴影区域只有一个公共点，故②正确．对于③，当[1,1)a−时，如图3所示，直线l与黑色阴影区域的边界曲线有2个公共点，当1a=时，直

线l与黑色阴影区域的边界曲线有1个公共点()0,2−，故③错误．综上所述，①②正确．故选：A．第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知()1,1A，()2,2B，()0,Cn三点共线，则n=______．【答案】0【解析】【

分析】先确定直线,ABAC斜率存在，然后根据三点共线可知ABACkk=，结合斜率的计算公式可求结果.【详解】因为ABCxxx，所以直线,ABAC斜率存在，因为,,ABC三点共线，所以ABACkk=，所以2112110n−−=−−，解得0n=，故答案为：0.12.已知圆22:240Cxyx

ya+−++=，则圆心C坐标为__________，当圆C与y轴相切时，实数a的值为_____________.【答案】①.(1,2)−.②.4.【解析】【分析】首先将圆的一般方程进行配方运算，得到标准方程22(1)(2)5xya−++=−，从而求得圆的圆心坐标，再根据圆与y轴相切，即圆

心到y轴的距离即为圆的半径，从而求得a的值.详解】由22240xyxya+−++=，配方得22(1)(2)5xya−++=−，所以圆心C的坐标为(1,2)−；当圆C与y轴相切时，则有51a−=，解得4a=；故答案是(1,2)−，4.

【点睛】该题考查的是有关圆的问题，涉及到的知识点有圆的一般方程向圆的标准方程的转化，由圆的方程得到圆的圆心坐标，圆与直线相切时满足的条件，即为圆心到切线的距离为圆的半径，从而建立相应的等量关系式，求得结果.13.已知平面过点(

)()()0,0,0,2,2,0,0,0,2OAB三点，直线l与平面垂直，则直线l的一个方向向量的坐标可以是______．【答案】()1,1,0−（答案不唯一）【解析】【【分析】先求解出平面的法向量，然后根据位置关系

判断出方向向量与法向量的关系，由此可知方向向量的结果.【详解】设平面的法向量为(),,nxyz=，因为()()2,2,0,0,0,2OAOB==，所以nOAnOB⊥⊥，所以00nOAnOB==，所以22020xy

z+==，取1x=，所以()1,1,0n=−，又因为直线l与平面垂直，所以直线l的方向向量与平面的法向量共线，所以可取方向向量为()1,1,0−（不唯一，非零共线即可），故答案为：()1,1,0−（答案不唯一）.14.直线220xy−+=和260xy+−=与两坐标

轴正半轴围成的四边形的面积为______．【答案】4【解析】【分析】先分别求解出直线与坐标轴的正半轴交点坐标，然后求解出两直线的交点坐标，结合割补法求解出四边形面积.【详解】令260xy+−=中0y=，得3x=，所以与x轴交于()3,0A，令220xy−+=中0x=，得1

y=，所以与y轴交于()0,1B，由260220xyxy+−=−+=可得22xy==，所以两直线交于()2,2P，所以围成的四边形面积为()()122232422S+−=+=，故答案为：4.15.如图，在正方体1111ABCDAB

CD−中，2AB=，E为1BB的中点，F为棱1CC（含端点）上的动点，给出下列四个结论：①存在F，使得BFDE⊥；②存在F，使得1//BF平面1AED；③当F为线段1CC中点时，三棱锥1AEFD−的体积最小；④当F与1C重合时，直线EF与直

线1AD所成角的余弦值最小.其中所有正确结论的序号是______．【答案】②④【解析】【分析】先建立合适空间直角坐标系，设()()2,2,0,2Fmm，对于①：根据0BFDE=求得m的值并判断是否正确；对于②：考虑F与C重合时的情况；对于③：根据1113AEFDAEDVSd−=

，分析d的最小值即可判断；对于④：利用向量法先表示出1cos,EFAD，然后结合换元法和二次函数性质求解出最小值并判断.【详解】建立如图所示空间直角坐标系设()()2,2,0,2Fmm，①：因为()()()2,0,0,0,2,0,2,0,1BDE，所以()()0,

2,,2,2,1BFmDE==−，当BFDE⊥时，40BFDEm=−+=，解得4m=，不符合题意，故①错误；②：当F与C重合时，因为1111//,ABFDABFD=，所以四边形11ABFD为平行四边形，所以11//BFAD，且1BF平面1AED，1AD平面1AED，所以1//BF平面

1AED，故②正确；③：设F到平面1AED的距离为d，所以11113AEFDFAEDAEDVVSd−−==，且1AEDS为定值，所以当d最小时，三棱锥1AEFD−的体积最小，因为()()()10,0,2,0,2,0,2,

0,1ADE，所以()()110,2,2,2,0,1ADAE=−=−，设平面1AED的法向量为(),,nxyz=，所以1100nADnAE==，所以020yzxz−=−=，取1x=，所以()1,2,2n=，又()2,0,DFm=，所以223DFnmdn+==，

当0m=时d有最小值，故③错误；④：设直线EF与直线1AD所成角为，因为()()10,2,1,0,2,2EFmAD=−=−，所以()()1224213coscos,24104122mmEFADmmm−−−===−++−，令31,3mt−=，所以3mt=−，所以()()222211co

s16828161123431021614ttttttttt====−+−−−+−+−+，因为11,13t，所以11t=时2111614t−+取最大值，此时cos

取最小值，此时1,2tm==，即F与1C重合，故④正确；故答案为：②④.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是向量法的使用，将①中的垂直关系转化为数量积计算，将③中的体积问题转化为点到面的距离问题并用向量法完成计算，将

④中的异面直线所成角转化为直线方向向量所成角进行计算.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知平面内两点(8,6),(2,2)AB−.（1）求AB的中垂线方程；（2）求过点(2,3)P−且与直线AB平行的直线l的方程．【答案】（1）34230x

y−−=;（2）4310xy++=.【解析】【详解】试题分析：(1)首先求得中点坐标，然后求得斜率，最后利用点斜式公式即可求得直线方程；(2)利用点斜式可得直线方程为4310xy++=.试题解析：（1）8252+=，6222−+=−∴𝐴𝐵的中点坐标为()

5,2−624823ABk−−==−−，∴𝐴𝐵的中垂线斜率为34∴由点斜式可得()3254yx+=−∴𝐴𝐵的中垂线方程为34230xy−−=（2）由点斜式()4323yx+=−−∴直线l的方程431

0xy++=17.已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3440xy++=与圆C相切.（1）求圆C的标准方程.（2）求直线l：220xy−+=与圆C相交的弦长.【答案】（1）22(2)4xy−+=；（2）455

.【解析】【分析】（1）根据直线与圆相切，应用点线距离公式求圆心坐标，写出圆C的标准方程.（2）根据相交弦、弦心距、半径之间的几何关系求弦长即可.【详解】（1）令圆心为(,0)x且0x，∴由圆与3440xy++=相切，有|34|25x+=，即

可得2x=.∴圆C的标准方程为22(2)4xy−+=.（2）由（1）知：C(2,0)，2r=，∴C到直线220xy−+=距离为45d=，∴直线l与圆C相交的弦长为22164522455rd−=−=.18.如图，在四棱锥PABC

D−中，PA⊥平面ABCD，ABBC⊥，ABAD⊥，且122PAABBCAD====．（1）求直线PB与直线CD所成角的大小；（2）求直线PD与平面PAC所成角的正弦值．【答案】（1）π3（2）105【解析】

【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法来求得直线PB与直线CD所成角的大小.（2）利用向量法来求得直线PD与平面PAC所成角的正弦值．【小问1详解】由于PA⊥平面ABCD，,ABAD平面ABCD，所以,PAABPAAD⊥⊥，由于ABAD⊥，所

以,,ABADAP两两相互垂直.以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，的()()()()0,0,2,2,0,0,2,2,0,0,4,0PBCD，()()2,0,2,2,2,0PBCD=−=−，设直线PB与直线CD所成角为，则41co

s22222PBCDPBCD===，由于π02，所以π3=.【小问2详解】()0,4,2PD=−，()()2,2,0,0,0,2ACAP==，设平面PAC的法向量为(),,nxyz=，则22020nACxynAPz=+===，故可设()

1,1,0n=−，设直线PD与平面PAC所成角为，则410sin5252PDnPDn===.19.已知圆C过()()()4,1,0,1,2,3ABM三点，直线:2lyx=+．（1）求圆C的方程；（2）求圆C关于直线l对称的圆C

的方程；（3）若P为直线l上的动点，Q为圆C上的动点，O为坐标原点，求||||OPPQ+的最小值．【答案】（1）()()22214xy−+−=（2）()()22144xy++−=（3）172−【解析】【

分析】（1）设出圆的标准方程，代入点的坐标求解出参数则圆的方程可知；（2）根据斜率关系和中点关系求解出对称点C的坐标，结合对称圆的半径不变求解出圆C的方程；（3）根据圆外一点到圆上点距离的最值可知2OPPQOPPC++−，然后利用对称关系将OPPC+转化为OPPC+，结合三

点共线可求最小值.【小问1详解】设圆的方程为()()()2220xaybrr−+−=，代入()()()4,1,0,1,2,3ABM，则()()()()()()22222222241123abrabrabr−+−=−+−=−+−=，解得212abr===，

所以圆C的方程为()()22214xy−+−=；【小问2详解】设(),Cmn，由对称关系可知111212222nmnm−=−−++=+，解得14mn=−=，所以()1,4C−，又因为对称圆的半径不变，所以C

的方程为()()22144xy++−=；【小问3详解】因为2OPPQOPPC++−，由（2）可知C关于直线l的对称点为C，所以11617OPPCOPPCOC+=+=+=，当且仅当,,OPC共线时取等号，所以172OPPQ+−，即OPP

Q+的最小值为172−.20.在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是正方形，Q为PD的中点，PAAD⊥，2PAAB==，再从条件①、条件②这两个条件中任选一个作为已知．（1）求证：PA⊥平面ABCD；（2）求平面ACQ与平面ABCD夹角的余弦值；

（3）求点B到平面ACQ的距离．条件①：平面PAD⊥平面ABCD；条件②：PAAB⊥．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）证明见解析（2）33（3）233【解析】【分析】（1）先选择条件，然后根据面面垂直的性质定理或线面垂直的判定定理来证得PA⊥平面A

BCD.（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得平面ACQ与平面ABCD夹角的余弦值.（3）利用向量法求得点B到平面ACQ的距离.【小问1详解】若选①，由于平面PAD⊥平面ABCD，且交线为AD，PA

平面PAD，PAAD⊥，所以PA⊥平面ABCD.若选②，由于PAAB⊥，PAAD⊥，,,ABADAABAD=平面ABCD，所以PA⊥平面ABCD.【小问2详解】由（1）知PA⊥平面ABCD，ABAD⊥，,,ABADAP两两垂直，以A为原点，,,ABADAP分别所在的直线为,,xyz轴

，建立如图空间直角坐标系，则()0,0,2P，𝐴(0,0,0)，()0,1,1Q，()2,2,0C，所以()2,2,0AC=，()0,1,1AQ=由（1）知平面ABCD的法向量()0,0,2AP=，设平面ACQ的法向量为()

,,nxyz=，则2200nACxynAQyz=+==+=，即00xyyz+=+=，令1y=，则()1,1,1n=−−，设平面ACQ与平面ABCD夹角的为，则23cos323APnAPn−===，所以平面ACQ与平面ABCD夹角的余弦值为33.【小问3详解】

由已知得()2,0,0B，()2,0,0AB=，所以点B到平面ACQ的距离为22333ABnn−==.21.已知圆M：221214600xyxy+−−+=及其上一点(24)A，．（1）若圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线6x

=上，求圆N的标准方程；（2）设过点A的直线l与圆M相交的另一交点为B，且ABM为直角三角形，求l的方程；（3）设动点(0)Tt，，若圆M上存在PQ，两点，使得TATPTQ+=，求实数t的取值范围．【答案】（1）()()22611xy−+−=（2）7100x

y−−=或7300xy+−=（3）2221,2221−+【解析】【分析】（1）求得圆N的圆心和半径，从而求得圆N的标准方程.（2）利用圆心到直线的距离列方程，求得直线l的斜率，从而求得直线l的方程.（3）将原问题转化为||||21

0TAPQr==即可求解.【小问1详解】圆M的方程可化为()()226725xy−+−=，所以圆心为()6,7M，半径为=5r.由于圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线6x=上，结合图象可知圆N的圆心为()6,1，半径为1，

所以圆N的标准方程为()()22611xy−+−=.【小问2详解】由于MAMB=，所以三角形ABM是等腰直角三角形，且π2AMB=，所以M到直线AB的距离为221525522+=，所以直线AB的斜率存在，设直线A

B的方程为()422,420ykxkxkkxyk−=−=−−+−=，则2267424352211kkkkk−+−−==++，两边平方并化简得274870kk−−=，解得7k=或17k=−，所以直线l的方程为7100xy

−−=或124077xy−−++=，即7100xy−−=或7300xy+−=.【小问3详解】TATPTQ+=，所以TATQTPPQ=−=，因为P，Q为圆M上的两点，所以||210PQr=，由PQTA=，得||||10TAPQ=，即22(2

)410t−+，22(2)4100t−+，2(2)84,2221,2212221ttt−−−−，解得22212221t−+，即实数t的取值范围为[2221,2221]−+．【点睛】方法点睛：圆的几何性质与方程化简：通过化简圆的方程，找到圆心

和半径，结合切线和外切条件，利用几何性质确定圆心的具体位置和半径.利用距离公式求直线方程：在涉及到圆与直线的关系时，利用点到直线的距离公式来确定直线的方程，是一种行之有效的方法.