【文档说明】湖南省长沙市长郡中学2024-2025学年高三上学期调研考试（一）数学试题（解析版）.docx，共(22)页，1.520 MB，由小赞的店铺上传

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长郡中学2025届高三第一次调研考试数学本试题卷共4页.时量120分钟，满分150分.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题

目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的

四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合320,20AxxxBxxx=−==−−∣∣，则AB=（）A.0,1B.1,0−C.0,1,2D.1,0,1−【答案】A【解析】【分析】由因式分解分别求出高次方

程和二次不等式的解集，再由集合的运算得出两个集合的交集。【详解】∵()()3110xxxxx−=+−=∴1,0,1A=−∵()()22210xxxx−−=−+∴()1,2B=−∴0,1AB=故选：A2.已知,mn是两条不同的直线，,是两个不同的平面，

则m∥的一个充分条件是（）A.m∥,nn∥B.m∥,∥C.,,mnnm⊥⊥D.,mnAn=∥,m【答案】C【解析】【分析】根据题意，由空间中线面关系以及线面平行的判定定理逐一判断，即可得到结果.【详解】对于A，由m∥,nn∥可得m或m∥，故A错误；对于B，由m∥,

∥可得m或m∥，故B错误；对于C，由,,mnnm⊥⊥可得m∥，故C正确；对于D，由,mnAn=∥,m可得,m相交或m∥，故D错误；故选：C3.20252xx−的展开式中的常数项是（）A.第673

项B.第674项C.第675项D.第676项【答案】D【解析】【分析】根据题意，求得展开式的通项公式，结合通项公式，即可求解.【详解】由二项式20252xx−的展开式为20253202521202520252C()()(2)CrrrrrrrTxxx−−+=−=−

，令202530r−=，解得675r=，此时()67567567620252CT=−，所以二项式20252xx−的展开式的常数项为第676项.故选：D.4.铜鼓是流行于中国古代南方一些少数民族地区的礼乐器物，已有数

千年历史，是作为祭祀器具和打击乐器使用的.如图，用青铜打造的实心铜鼓可看作由两个具有公共底面的相同圆台构成，上下底面的半径均为25cm，公共底面的半径为15cm，铜鼓总高度为30cm.已知青铜的密度约为38g/c

m，现有青铜材料1000kg，则最多可以打造这样的实心铜鼓的个数为（）（注：π3.14）A1B.2C.3D.4【答案】C.【解析】【分析】先根据圆台的体积公式计算求解铜鼓的体积，然后根据材料体积求解即可.【详解

】依题意圆台的上底面半径为15cm，下底面半径为25cm，高为15cm，所以铜鼓的体积()221215251525π153V=++38465()3cm，又10000003.25384658，故可以打造

这样的实心铜鼓的个数为3.故选：C5.已知定义在()0,+上的函数()fx满足()()()1fxxfx−（()fx为()fx的导函数），且()10f=，则（）A.()22fB.()22fC.()33fD.()33f【答案】D【解析】【分析】由已知可得(

)()21xfxfxxx−，令()()lnfxgxxx=−，可得()gx在(0,)+上单调递增，进而可得()n33l3f，()n22l2f，可得结论.【详解】由题意可得()()xfxfxx−，即()()

21xfxfxxx−，令()()lnfxgxxx=−，则()()()210xfxfxgxxx−=−，所以()gx在(0,)+上单调递增，因为()10f=，所以()()11ln10gf=−=，所以()()310gg=，所以()3ln303f−

，所以()3ln333f，所以()()210gg=，所以()2ln202f−，所以()n22l2f，又2ln22，故()2f与2的大小关系不确定.故选：D.6.已知过抛物线2:2(0)Cypxp=的焦点F且

倾斜角为π4的直线交C于,AB两点，M是AB的中点，点P是C上一点，若点M的纵坐标为1，直线:3230lxy++=，则P到C的准线的距离与P到l的距离之和的最小值为（）A.31326B.51326C.31313D.91326【答案】D【解析】【分析】首

先联立AB与抛物线方程，结合已知、韦达定理求得p，进一步通过抛物线定义、三角形三边关系即可求解，注意检验等号成立的条件.【详解】由题得C的焦点为,02pF，设倾斜角为π4的直线AB的方程为2pyx=−，与C的方程22(ypx=联立得2220yp

yp−−=，设𝐴(𝑥1,𝑦1),𝐵(𝑥2,𝑦2)，则1222,1yypp+===，故C的方程为212,,02yxF=.由抛物线定义可知点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，联立抛物线2:2Cyx=与直线:3230lxy++=，化简得29

1090xx++=，由Δ1004992240=−=−得C与l相离.,,QSR分别是过点P向准线、直线:3230lxy++=以及过点F向直线:3230lxy++=引垂线的垂足，连接,FPFS，所以点P到C的准线的距离与点P到直线l的距离之和PQPSPFPSFSFR+=+,

等号成立当且仅当点P为线段FR与抛物线的交点，所以P到C的准线的距离与P到l的距离之和的最小值为点1,02F到直线:323lxy++=0的距离，即22130391322632FR++==+.故选：D.7.已知函数()()π2sin0,2fxx=+

，对于任意的xR，ππ1212fxfx+=−，()π02fxfx+−=都恒成立，且函数()fx在π,010−上单调递增，则的值为（）A.3B.9C.3或9D.3【答案】A【解析】【分析】根据正弦型函数的单

调性先确定周期的取值范围，从而缩小的取值范围，结合正弦型三角函数的对称性可得符合的的取值为3=或9，分类讨论验证单调性即可得结论.【详解】设函数()fx的最小正周期为T，因为函数()fx在π,010−上单调递增，所以π0102T−−，得2ππ5T=

，因此010．由ππ1212fxfx+=−知()fx的图象关于直线π12x=对称，则11πππ,122kk+=+Z①．由()π02fxfx+−=知()fx图象关于点π,04对称，则22ππ,4kk+=Z②．②−①

得()2112πππ,,62kkkk=−−Z，令21kkk=−，则63,kk=−Z，结合010可得3=或9．当3=时，代入①得11ππ,4kk=+Z，又π2，所以π4=，此时()π2sin34fxx=+，因为πππ32044x−+，故(

)fx在π,010−上单调递增，符合题意；当9=时，代入①得1ππ4k=−+，1kZ，又π2，所以π4=−，此时()π2sin94fxx=−，因为23πππ92044x−−−，的故()fx在π,010−

上不是单调递增的，所以9=不符合题意，应舍去．综上，的值为3．故选：A.8.如图，已知长方体ABCDABCD−中，2ABBC==，2AA=，O为正方形ABCD的中心点，将长方体ABCDABCD−绕直线OD进

行旋转．若平面满足直线OD与所成的角为53，直线l⊥，则旋转的过程中，直线AB与l夹角的正弦值的最小值为（）（参考数据：4sin535，3cos535）A.43310−B.33410−C.33310+D.43310+【答案】A【解析】【分析】求出直线OD与CD的夹角，可得

CD绕直线OD旋转的轨迹为圆锥，求直线OD与l的夹角，结合图形可知，当l与直线DE平行时，CD与l的夹角最小，利用三角函数知识求解即可.【详解】在长方体ABCDABCD−中，//ABCD，则直线AB与l的夹角等

于直线CD与l的夹角．长方体ABCDABCD−中，2ABBC==，2AA=，O为正方形ABCD的中心点，则()222222222ODOC+==+=，又2CD=，所以OCD是等边三角形，故直线OD与CD

的夹角为60．则CD绕直线OD旋转轨迹为圆锥，如图所示，60CDO=．的因为直线OD与所成的角为53，l⊥，所以直线OD与l的夹角为37．在平面CDO中，作DE，DF，使得37ODEODF==．

结合图形可知，当l与直线DE平行时，CD与l的夹角最小，为603723CDE=−=，易知603797CDF=+=．设直线CD与l的夹角为，则2390，故当23=时sin最小，而()sin23sin6037s

in60cos37cos60sin37=−=−433sin60sin53cos60cos5310−=−，故直线AB与l的夹角的正弦值的最小值为43310−.故选：A【点睛】关键点点睛：解题中在平面CDO中，作DE，DF，使得37ODEO

DF==，结合图形可知，当l与直线DE平行时，CD与l的夹角最小，为603723CDE=−=是关键.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有

多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某机械制造装备设计研究所为推进对机床设备的优化，成立,AB两个小组在原产品的基础上进行不同方向的研发，A组偏向于智能自动化方向，B组偏向于节能增效方向，一年后用简单随机抽样的方法各抽取6台进行性能指标测试（满分：100分

），测得A组性能得分为：91,81,82,96,89,73，B组性能得分为：737096799488，，，，，，则（）A.A组性能得分的平均数比B组性能得分的平均数高B.A组性能得分的中位数比B组性能得分的中位数小C.A组

性能得分的极差比B组性能得分的极差大D.B组性能得分的第75百分位数比A组性能得分的平均数大【答案】AD【解析】【分析】根据计算公式分别计算,AB两个小组的平均数、中位数、极差、第75百分位数，再对各选

项逐一判断即可.【详解】由题意可得A组性能得分的平均数为91818296897385.36+++++，B组性能得分的平均数为73709679948883.36+++++，所以A组性能得分的平均数比B组性能得分的平均数高，A说法正确；A组性能得分7381828991

96，，，，，的中位数为828985.52+=，B组性能得分707379889496，，，，，的中位数为798883.52+=，所以A组性能得分的中位数比B组性能得分的中位数大，B说法错误；A组性能得分的极差为967323−=，

B组性能得分的极差为967026−=，所以A组性能得分的极差比B组性能得分的极差小，C说法错误；B组性能得分707379889496，，，，，共6个数据，60.754.5=，所以B组性能得分的第75百分位数为94，比A组性能得分的平均数大，D说法正确；故选：AD10.

嫁接，是植物的人工繁殖方法之一，即把一株植物的枝或芽，嫁接到另一株植物的茎或根上，使接在一起的两个部分长成一个完整的植株.已知某段圆柱形的树枝通过利用刀具进行斜辟，形成两个椭圆形截面，如图所示，其中,ACBD分别为两个截面椭圆的长轴，且,,,ACBD都位于圆柱的同一个轴截面上，AD

是圆柱截面圆的一条直径，设上､下两个截面椭圆的离心率分别为12,ee，则能够保证2CDAB的12,ee的值可以是（）A.1262,32ee==B.1215,25ee==C.12340,27ee==D.1232,34

ee==【答案】AD【解析】【分析】根据勾股定理，结合离心率公式可得22222212111,1rrenem−=−=，即可根据2nm得222111211ee−−，逐一代入即可求解.【详解】设2,2,2,ADrABmCDn===且2nm，故222222222,2,BDABADmrACCDAD

nr=+=+=+=+故22221222222222,ACBDrrnmeeACBDnrmr−−====++，故22222212111,1rrenem−=−=，由于2nm，故222nm，故22222222211121

1renmrmen−==−，即222111211ee−−，对于A，1262,32ee==，满足2221112211ee−=−，故A正确，对于B，1215,25ee==，22211142131ee−=−，故B错误，对于B，12340,27ee==，2221

112721401ee−=−，故C错误，对于D，1232,34ee==，22211172121ee−=−，故D正确，故选：AD11.对于任意实数,xy，定义运算“”xyxyxy=−++，则满足条件abbc=的实数,,ab

c的值可能为（）A.0.5log0.3a=−，0.30.4b=，0.5log0.4c=B.0.30.4a=，0.5log0.4b=，0.5log0.3c=−C.0.09a=，0.10.1b=e，10ln9c=D.0.10.1ea=，10ln9b=，0.09c=【答案】BD【解析】【分析

】由abbc=，可得ababbcbc−++=−++，可得,babc，故只需判断四个选项中的b是否为最大值即可，利用函数函数0.5logyx=为减函数，0.4xy=为减函数可判断AB；构造函数()())1e,0,1xfxxx=−，利用单调性可得0.10.10.09e，

进而再构造函数()())ln1,0,1exxhxxx=+−，求导可得()()()21ee1xxxhxx−−=−，再构造函数()()21exxx=−−，利用单调性可判断CD．【详解】由abbc=，可

得ababbcbc−++=−++，即abbcca−−−=−，若,abcb，可得abbcca−−−=−，符合题意，若,abcb，可得2abbcbac−−−=−−，不符合题意，若,abcb，可得abbcac−−−=−，不符合题意，若abcb,，可得

2abbccab−−−=+−，不符合题意，综上所述0ab−，0bc−，可得,babc，故只需判断四个选项中的b是否为最大值即可．对于A，B，由题知0.50.50.510log0.3loglog103−==，而0.3000.40.41=，

0.50.5log0.4log0.51=，所以0.30.50.5log0.30.4log0.4−．（点拨：函数0.5logyx=为减函数，0.4xy=为减函数），对于A，abc；对于B，cab，故A错误，B正确．对于C，D

，()0.10.10.10.090.9e10.1e0.1e==−，（将0.9转化为10.1−，方便构造函数）构造函数()())1e,0,1xfxxx=−，则()exfxx=−，因为)0,1x，所以()()0,fxfx单调递减，因为()01f=，所以()0.11f

，即0.10.9e1，所以0.10.10.09e．（若找选项中的最大值，下面只需判断0.10.1e与10ln9的大小即可）()10.10.10.10.10.1100.190.190.1lnlnlnln10.1e9e10e10e−−=−=+=+−，构造函数()())ln1,

0,1exxhxxx=+−，则()()()21e11e1e1xxxxxhxxx−−−=−−=−，因为)0,1x，所以()e10xx−，令()()21exxx=−−，则()()21exxx=−−−，当)0,1x时，()(

)0,xx单调递减，因为()00=，所以()0x，即()()0,hxhx单调递减，又()00h=，所以()0.10h，即()0.10.1ln10.10e+−，所以0.10.110lne9．综上，0.10.1100.09lne9．对于C，abc；对于D，

cab，故C错误，D正确．（提醒：本题要比较0.09与10ln9的大小关系的话可以利用作差法判断，即()11090.09ln0.10.9ln10.90.9ln0.9910−−=−=−+，构造函数()()(1ln,0,1gxxxxx=

−+，则()()()221112112xxxxgxxxxx+−+−++==−+=，因为(0,1x，所以()()0,gxgx单调递增，因为()10g=，所以()0.90g，即100.09ln09−，所以100.09ln9）故选：BD.【点睛】方法点睛：本题考查定义新运算类的

题目，处理的方法一般为：根据新运算的定义，将已知中的数据代入进行运算，构造函数，利用函数的单调性与最值比较数的大小.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在复平面内，复数z对应的点为()1,1，则21zz−=+____

__．【答案】13i55-【解析】【分析】根据复数的几何意义可得1iz=+，即可由复数除法运算求解.【详解】由于复数z对应的点为()1,1，所以1iz=+，故()()()()1i2i21i13i13i12i

2i2i555zz−−−−−=+++−===-，故答案为：13i55-13.写出一个同时满足下列条件①②③的数列{𝑎𝑛}的通项公式na=______.①mnaamn−−是常数，*,mnN且mn；②652

aa=；③{𝑎𝑛}的前n项和存在最小值.【答案】4n−（答案不唯一）【解析】【分析】根据等差数列的特征，不妨选择等差数列，然后根据题目条件利用等差基本量的运算求解通项公式，即得解.【详解】由题意，不妨取

数列{𝑎𝑛}为等差数列，设其首项为1a，公差为d，由②可知()61515224aadaad=+==+，则13ad=−，又mnaadmn−=−是常数，满足①，由③{𝑎𝑛}的前n项和存在最小值，故等差数列{𝑎𝑛}单调递增，取

1d=，则13a=−，故4nan=−，此时当3n=或4n=时，{𝑎𝑛}的前n项和取到最小值为6−，所以同时满足条件①②③的数列{𝑎𝑛}的一个通项公式4nan=−.故答案为：4n−（答案不唯一）14.清代数学家明安图所著《割圆密率

捷法》中比西方更早提到了“卡特兰数”（以比利时数学家欧仁･查理･卡特兰的名字命名）.有如下问题：在nn的格子中，从左下角出发走到右上角，每一步只能往上或往右走一格，且走的过程中只能在左下角与右上角的连线的右下方（不能穿过，但可以到达该连线），则共有多少种不同的走法？此问题的结果即卡特兰

数122CCnnnn−−.如图，现有34的格子，每一步只能往上或往右走一格，则从左下角A走到右上角B共有__________种不同的走法；若要求从左下角A走到右上角B的过程中只能在直线AC的右下方，但可以到达直线AC，则

有__________种不同的走法.【答案】①.35②.14【解析】【分析】根据题意，由组合数的意义即可得到结果，结合卡特兰数的定义，即可得到结果.【详解】从左下角A走到右上角B共需要7步，其中3步向上，4步向右，故只

需确定哪3步向上走即可，共有37C35=种不同的走法；若要求从左下角A走到右上角B的过程中只能在直线AC的右下方（不能穿过，但可以到达该连线），则由卡特兰数可知共有4388CC14−=种不同的走法，又到达右上角D必须最后经过B，所以满足题目条件的走法种数也是14.故答案为：35；14四

､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知M为圆229xy+=上一个动点，MN垂直x轴，垂足为N，O为坐标原点，OMN的重心为G.（1）求点G的轨迹方程；（2）记（1）中的轨迹为曲线C，直

线l与曲线C相交于A、B两点，点(0,1)Q，若点()3,0H恰好是ABQ的垂心，求直线l的方程.【答案】（1）()22104xyxy+=（2）1635yx=−【解析】【分析】（1）设()()00,,,GxyMxy，根据G为

OMN的重心，得00233xxyy==，代入22009xy+=，化简即可求解.（2）根据垂心的概念求得3lk=，设直线l方程，与椭圆联立韦达定理，利用AHBQ⊥得1221113yyxx−=−−，将韦达定理代入化简即

可求解.【小问1详解】设()()00,,,GxyMxy，则()0,0Nx，因G为OMN的重心，故有：00233xxyy==，解得003,32xxyy==，代入22009xy+=，化简得2214xy+=，又000xy，故0xy

，所以G的轨迹方程为()22104xyxy+=.【小问2详解】因H为ABQ的垂心，故有,ABHQAHBQ⊥⊥，又103303HQk−==−−，所以3lk=，故设直线l的方程为()31yxmm=+，与2214xy+=联立消去y得：221383440++−=xmxm

，由2Δ208160m=−得213m，设()()1122,,,AxyBxy，则212128344,1313mmxxxx−−+==，由AHBQ⊥，得1221113yyxx−=−−，所以()()()211233310xx

xmxm−+++−=，所以()()212124310xxmxxmm+−++−=，所以()()()22444241130mmmmm−−−+−=，化简得2511160mm+−=，解得1m=（舍去）或165m

=−（满足Δ0），故直线l的方程为1635yx=−.16.如图，四边形ABDC为圆台12OO的轴截面，2ACBD=，圆台的母线与底面所成的角为45°，母线长为2，E是BD的中点．（1）已知圆2O内存在点

G，使得DE⊥平面BEG，作出点G的轨迹（写出解题过程）；（2）点K是圆2O上的一点（不同于A，C），2CKAC=，求平面ABK与平面CDK所成角的正弦值．【答案】（1）答案见解析（2）47035【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，过B作下底面的垂线交下底面于点G，过G作B

E的平行线，交圆2O于1G，2G，即可求出结果；（2）建立空间直角坐标系，根据条件，求出平面ABK和平面CDK，利用面面角的向量法，即可求出结果.【小问1详解】E是BD的中点，DEBE⊥．要满足DE⊥平面BEG，需满足DEBG⊥，又DE平

面BDE，平面BEG⊥平面BDE如图，过B作下底面的垂线交下底面于点G，过G作BE的平行线，交圆2O于1G，2G，则线段12GG即点G的轨迹．【小问2详解】易知可以2O为坐标原点，2OC，21OO所在直线分别为y，z轴建立如

图所示的空间直角坐标系2Oxyz−，母线长为2，母线与底面所成角为45°，2ACBD=，22OA=，11OB=，121OO=，取K的位置如图所示，连接2OK，2CKAC=，260COK=，即230xOK

=，则()3,1,0K，()0,2,0A−，()0,1,1B−，()0,2,0C，()0,1,1D，则()3,3,0AK=，()3,2,1BK=−，()3,1,0CK=−，()3,0,1DK=−．设平面ABK的法向量为()111,,nxyz=，则00nAKnBK==，即11111

330320xyxyz+=+−=，令13x=，则11z=，11y=−，()3,1,1n=−．设平面CDK的法向量为()222,,mxyz=，则00mCKmDK==，即22223030xyxz−=−=

，令23x=，则23z=，23y=，()3,3,3m=．设平面ABK与平面CDK所成的角为，则()331313105cos35521nmnm+−+===，2470sin1cos35=−=．17.素质教育是当今教育改革的主旋律，音乐教育是素质教育的重要组成部分

，对于陶冶学生的情操、增强学生的表现力和自信心、提高学生的综合素质等有重要意义．为推进音乐素养教育，培养学生的综合能力，某校开设了一年的音乐素养选修课，包括一个声乐班和一个器乐班，已知声乐班的学生有24名，器乐班的学生有28名，课程结束后两个班分别举行音乐素养

过关测试，且每人是否通过测试是相互独立的．（1）声乐班的学生全部进行测试．若声乐班每名学生通过测试的概率都为p（01p），设声乐班的学生中恰有3名通过测试的概率为()fp，求()fp的极大值点0p．（2）器乐班采用分层随机抽样的方法进行测试．若器乐班的学生中有4人学习

钢琴，有8人学习小提琴，有16人学习电子琴，按学习的乐器利用分层随机抽样的方法从器乐班的学生中抽取7人，再从抽取的7人中随机抽取3人进行测试，设抽到学习电子琴的学生人数为，求的分布列及数学期望．【答案】（1）

18（2）分布列见解析，()127E=【解析】【分析】（1）根据独立重复试验求出概率，再利用导数求极值；（2）先借助分层抽样确定随机变量的所有可能取值，求出其分布列，最后求期望.【小问1详解】24名学

生中恰有3名通过测试的概率()()213324C1fppp=−，则()()()()()212020323322424C31211C3118fpppppppp=−−−=−−，01p，令()0fp=，得18p=，所以当108p时

，()0fp，()fp单调递增；当118p时，()0fp，()fp单调递减，故()fp的极大值点018p=．【小问2详解】利用分层随机抽样的方法从28名学生中抽取7名，则7名学生中学习钢琴的有1名，学习小提琴的有2名，学习电子琴的

有4名，所以的所有可能取值为0，1，2，3，()3337C10C35P===，()213437CC121C35P===，()123437CC182C35P===，()3437C43C35P===，则随机变量的分布列为0123P1351235183

5435()112184120123353535357E=+++=．18.已知数列{𝑎𝑛}为等比数列，{𝑏𝑛}为等差数列，且112ab==，858aa=，48ab=.（1）求{𝑎𝑛}，{𝑏𝑛}的通项公式；（2）数列()12sin122241nn

b−+−的前n项和为nS，集合*422NnnnSbAntnna++=，共有5个元素，求实数t的取值范围；（3）若数列nc中，11c=

，()22log2114nnnacnb=−，求证：1121231232ncccccccccc++++.【答案】（1）2nna=，2nbn=（2）147(25,]4（3）证明见解析【解析】【分析】（1）设数列{𝑎𝑛}的公比为q，数列{𝑏𝑛}的公

差为d，由已知易得38q=，82716bd=+=，可求na，nb；（2）设数列()12sin122241nnndb−+=−，可求得441424312848nnnndddd

n−−−+++=−，4nS=.(6416)nn+，进而可得422(328)(2)2nnnnSbnnna++++=，可得(1)(2)(3)(4)()fffffn，可求t的取值范围为147(25,]4.（3）123ncccc112[]!(1)!nn=−+，进而计算可得不等式成

立.【小问1详解】设数列{𝑎𝑛}的公比为q，数列{𝑏𝑛}的公差为d，则由858aa=，38q=，所以2q=，所以112nnnaaq−==，416a=，即82716bd=+=，所以2=d，所以1(1)2(1)22nbbndnn=+−=+−=；【小问2详解】设数列()12sin1

22241nnndb−+=−，则22224414243441424312848nnnnnnnnddddbbbbn−−−−−−+++=+−−=−，所以412344342314(1284880)()()

2nnnnnnnSdddddddd−−−−+=++++++++=(6416)nn=+，4222(6416)2(2)(328)(2)22nnnnnSbnnnnna+++++++==，令(328)(2)()2nnnfn++=，1(3

240)(3)(328)(2)(1)()22nnnnnnfnfn++++++−=−()22144113288822nnnnnn+−−+−−−==，可得(1)(2)(3)(4)()fffffn，故当2n=时，(

)fn最大，且147(1)60(5)(6)254fff===，，，所以147254t，即t的取值范围为147(25,]4.【小问3详解】由11,c=222log(2)11(1)(1)14nnnanncnnnnb===−+−−，则当2n时，()()()

1232311324113451nnnccccnnnn==−++211112[]2[](1)!(1)!!(1)!nnnnnn+−===−+++，当1n=时，11c=也满足上式，所以12*311

2[](N)!(1)!nnncnccc=−+，1121231231111112[1]222!2!3!!(1)!(1)!nccccccccccnnn=−+−++−=−++++++，所以原不等式成立.19

.设有n维向量12naaaa=，12nbbbb=，称1122,nnabababab=+++为向量a和b的内积，当,0ab=，称向量a和b正交．设nS为

全体由1−和1构成的n元数组对应的向量的集合．（1）若1234a=，写出一个向量b，使得,0ab=．（2）令,,nBxyxyS=．若mB，证明：mn+为偶数．（

3）若4n=，()4f是从4S中选出向量的个数的最大值，且选出的向量均满足,0ab=，猜测()4f的值，并给出一个实例．【答案】（1）1110b=−（答案不唯一）（2）证明见解析（3）()44f=，答案见解析.【解析】【分析】（1

）根据定义写出满足条件的即可；（2）根据,nxyS，结合定义，求出,xy，即可得证；（3）利用反证法求证.【小问1详解】由定义，只需满足13420234bbbb+++=，不妨取1110b=−（答案不唯一）．【小问2详解】对于mB，1i=，2，，n，存

在12nxxxx=，1,1ix−，12nyyyy=，1,1iy−，使得,xym=．当=iixy时，1iixy=；当iixy时，1=−iixy．令1,0,iiiiixyxy==

，1==niik．所以()1,2niiixyxyknkkn===−−=−．所以22+=−+=mnknnk为偶数．【小问3详解】当4n=时，可猜测互相正交4维向量最多有4个，即()44f=．不

妨取11111a=，21111a−=−，31111a−−=，41111a−=−，则有12,0aa=，13,0aa=，14,0aa=，

23,0aa=，24,0aa=，34,0aa=．若存在5a，使15,0aa=，则51111a−=−或1111−−或1111−

−．当51111a−=−时，45,4aa=−；的当51111a−=−时，25,4aa=−；当51111a=−−时，35,4aa=−，故找不到第5个向量与已知的4个向量互相正交．