【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019必修二）专题6.5 向量的数量积（重难点题型精讲） Word版含解析.docx，共(15)页，554.675 KB，由小赞的店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

专题6.5向量的数量积（重难点题型精讲）1．向量的数量积(1)向量数量积的物理背景在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功W=||||，其中是与的夹角.我们知道力和

位移都是矢量，而功是一个标量(数量).这说明两个矢量也可以进行运算，并且这个运算明显不同于向量的数乘运算，因为数乘运算的结果是一个向量，而这个运算的结果是数量.(2)向量的夹角已知两个非零向量,，如图

所示，O是平面上的任意一点，作=，=，则∠AOB=(0≤≤π)叫做向量与的夹角，也常用表示.(3)两个向量数量积的定义已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量||||叫做向量与的数量积(或内积)，记作，即=||||.规定：零向量与任一向

量的数量积为0，即0=0.(4)向量的投影如图，设，是两个非零向量，=，=，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量.2．向量数量积的性质和运算律(1)向量数量积的性质设，是非零向量

，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，则①==.②=0.③当与同向时，=；当与反向时，=-.特别地，==或=.④|a|，当且仅当向量，共线，即∥时，等号成立.⑤=.(2)向量数量积的运算律由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立：对于向量，，和实数，有①交换律

：=；②数乘结合律：()=()=()；③分配律：(+)=+.3．向量数量积的常用结论(1)=；(2)；(3)；(4)；(5)，当且仅当与同向共线时右边等号成立，与反向共线时左边等号成立.以上结论可作为公式使用.【题型1向量的投影】【方法点拨】根据向量的投影的定义，结合具体条件，进行求解即可.【

例1】（2022·安徽·校联考二模）已知单位向量𝑎⃗,𝑏⃗⃗满足|𝑎⃗+𝑏⃗⃗|=√3，则𝑎⃗在𝑏⃗⃗上的投影向量为（）A．𝑎⃗B．12𝑎⃗C．12𝑏⃗⃗D．𝑏⃗⃗【解题思路】利用向量数量

积的运算律可求得𝑎⃗⋅𝑏⃗⃗，首先求得𝑎⃗在𝑏⃗⃗上的投影数量，进而得到结果.【解答过程】由题意知：|𝑎⃗|=|𝑏⃗⃗|=1，∵|𝑎⃗+𝑏⃗⃗|2=|𝑎⃗|2+2𝑎⃗⋅𝑏⃗⃗+|𝑏⃗⃗|2=2+2𝑎⃗⋅𝑏⃗⃗

=3，∴𝑎⃗⋅𝑏⃗⃗=12，∴|𝑎⃗|cos<𝑎⃗,𝑏⃗⃗>=𝑎⃗⃗⋅𝑏⃗⃗|𝑏⃗⃗|=12，∴𝑎⃗在𝑏⃗⃗上的投影向量为12𝑏⃗⃗.故选：C.【变式1-1】（2022春·湖北·高二阶段练习）已知|𝑎⃗|=3,|𝑏⃗⃗|=5，设𝑎⃗,𝑏⃗⃗的夹角为120°，则𝑏

⃗⃗在𝑎⃗上的投影向量是（）A．56𝑎⃗B．5√36𝑎⃗C．-56𝑎⃗D．-5√36𝑎⃗【解题思路】列出投影向量公式，即可计算求解.【解答过程】𝑏⃗⃗在𝑎⃗上的投影向量𝑎⃗⃗|𝑎⃗⃗|⋅|𝑏⃗⃗|cos12

0∘=-56𝑎⃗故选：C.【变式1-2】（2022春·辽宁沈阳·高三阶段练习）已知平面向量𝑎⃗,𝑏⃗⃗满足|𝑎⃗|=2,𝑎⃗⋅𝑏⃗⃗=4，则𝑏⃗⃗在𝑎⃗方向上的投影向量为（）A．12𝑎⃗B

．12𝑏⃗⃗C．𝑎⃗D．𝑏⃗⃗【解题思路】根据投影向量的定义结合向量的夹角公式运算求解.【解答过程】𝑏⃗⃗在𝑎⃗方向上的投影向量为(|𝑏⃗⃗|cos〈𝑎⃗,𝑏⃗⃗〉)𝑎⃗⃗|𝑎⃗⃗|=(|𝑏⃗⃗|×𝑎⃗⃗⋅𝑏⃗⃗|𝑎⃗⃗||𝑏⃗⃗|)𝑎⃗⃗

|𝑎⃗⃗|=𝑎⃗⃗⋅𝑏⃗⃗𝑎⃗⃗2𝑎⃗=𝑎⃗故选：C.【变式1-3】（2022·高一课时练习）如图，在平面四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐵𝐶𝐷=120∘，𝐴𝐵=𝐶𝐷，则向量𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗在向量𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗上的投影向量为（）A．−√32�

�𝐵⃗⃗⃗⃗⃗B．−12𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗C．12𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗D．√32𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗【解题思路】根据图形求出向量𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗与𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗的夹角，再根据投影向量的公式进行求解即可.【解答过程】延长𝐴𝐵，𝐷𝐶交于点𝐸，如图所示，∵∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐵𝐶

𝐷=120∘，∴∠𝐶𝐵𝐸=∠𝐵𝐶𝐸=60°，∴∠𝐶𝐸𝐹=120°，又∵|𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗|=|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|，∴向量𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗在向量𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗上的投影向量为|𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗|⋅cos⟨𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,𝐶

𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⟩⋅𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|=cos∠𝐶𝐸𝐹⋅𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=cos120°⋅𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=−12𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗，故选：B.【题型2向量数量积的计算】【方法点拨】解决向量数量积的计算问题，要充分利用图

形特点及其含有的特殊向量，这里的特殊向量主要指具有特殊夹角或已知长度的向量.对于以图形为背景的向量数量积的题目，解题时要充分把握图形的特征.【例2】（2022·四川·高三统考对口高考）已知向量𝑎⃗与向量𝑏⃗⃗的夹角为60°，|𝑎⃗|=4，|𝑏⃗⃗|=5，则𝑎⃗⋅𝑏⃗⃗=（）A．20B．

10C．5√3D．5√2【解题思路】根据给定条件，利用向量数量积的定义直接计算作答.【解答过程】因为向量𝑎⃗与向量𝑏⃗⃗的夹角为60°，|𝑎⃗|=4，|𝑏⃗⃗|=5，所以𝑎⃗⋅𝑏⃗⃗=|𝑎

⃗||𝑏⃗⃗|cos60∘=4×5×12=10，B正确.故选：B.【变式2-1】（2022春·吉林四平·高三期末）已知向量𝑎⃗，𝑏⃗⃗满足|𝑎⃗|=2，|𝑏⃗⃗|=√3，且𝑎⃗与𝑏⃗⃗的夹角为π6，则(𝑎⃗+𝑏⃗⃗)⋅

(2𝑎⃗−𝑏⃗⃗)=（）A．6B．8C．10D．14【解题思路】应用平面向量数量积的运算律展开所求的式子，根据已知向量的模和夹角求值即可.【解答过程】`由|𝑎⃗|=2，|𝑏⃗⃗|=√3，且𝑎⃗与𝑏⃗⃗的夹角为π6，所以(𝑎⃗+𝑏⃗⃗)⋅(2𝑎⃗−𝑏⃗⃗)=2𝑎

⃗2+𝑎⃗⋅𝑏⃗⃗−𝑏⃗⃗2=2|𝑎⃗|2+|𝑎⃗|⋅|𝑏⃗⃗|cosπ6−|𝑏⃗⃗|2=2×22+2×√3×√32−(√3)2=8.故选：B.【变式2-2】（2022·四川自贡·统考一模）在△𝐴𝐵�

�中，∠𝐶=90°，𝐶𝐵=3，点M在边AB上，且满足𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=（）A．43B．3C．6D．8【解题思路】结合向量的数量积运

算以及线性运算求得正确答案.【解答过程】依题意𝐶𝐴⊥𝐶𝐵，𝐶𝐵=3，𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，所以𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗)⋅𝐶𝐵⃗⃗

⃗⃗⃗⃗=(𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+23𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗)⋅𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=[𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+23(𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗−𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗)]⋅𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(13𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+2

3𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗)⋅𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗2+23𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13×32+0=3.故选：B.【变式2-3】（2022春·江苏徐州·高三学业考试）如图，在边长为3的正△

𝐴𝐵𝐶中，D，E分别在AC，AB上，且𝐴𝐸𝐸𝐵=𝐶𝐷𝐷𝐴=12，则𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗=（）A．9(√3−1)2B．9(√2−1)2C．−92D．92【解题思路】结合

平面向量的线性运算得到𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗−23𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗2−13𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗2，进而根据平面向量的数量积的定义即可求出结果.【解答过程】因为𝐴𝐸𝐸𝐵=𝐶�

�𝐷𝐴=12，所以𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−23𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗,𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗)⋅(𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗

+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=(−23𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗+13𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗)⋅(−𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗−23𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗2−

13𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗2，又因为正△𝐴𝐵𝐶边长为3，所以|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=3，∠𝐵𝐴𝐶=60∘，故𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗=|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗|⋅|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗|⋅cos60

∘−23|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2−13|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2=3×3×12−23×32−13×32=−92，故选：C.【题型3求向量的夹角（夹角的余弦值）】【方法点拨】求两非零向量的夹角或其余弦值一般利用夹角公式=求解.【例3】（2022·陕西宝鸡·统考一模

）已知向量𝑚⃗⃗⃗，𝑛⃗⃗满足|𝑚⃗⃗⃗|=|𝑛⃗⃗|=2，且𝑚⃗⃗⃗⋅𝑛⃗⃗=−2√2，则𝑚⃗⃗⃗，𝑛⃗⃗夹角为（）A．π6B．π4C．3π4D．5π6【解题思路】根据向量的点乘关系，求出cos𝜃，即可求出�

�⃗⃗⃗，𝑛⃗⃗夹角.【解答过程】解：由题意，在向量𝑚⃗⃗⃗，𝑛⃗⃗中，|𝑚⃗⃗⃗|=|𝑛⃗⃗|=2，𝑚⃗⃗⃗⋅𝑛⃗⃗=|𝑚⃗⃗⃗||𝑛⃗⃗|cos𝜃=2×2cos𝜃=4cos𝜃=−2√2，解得：cos𝜃=−√22∴𝜃=34π故

选：C.【变式3-1】（2022春·云南曲靖·高三阶段练习）已知|𝑎⃗|=1,|𝑏⃗⃗|=2,𝑎⃗⋅𝑏⃗⃗=−12，则cos⟨𝑎⃗,𝑎⃗−2𝑏⃗⃗⟩=（）A．0B．2√1111C．2√1313D．2√1919【解题思路】根据

数量积的性质求解|𝑎⃗−2𝑏⃗⃗|，再根据向量夹角余弦值公式可得cos⟨𝑎⃗,𝑎⃗−2𝑏⃗⃗⟩的值.【解答过程】解：|𝑎⃗|=1,|𝑏⃗⃗|=2,𝑎⃗⋅𝑏⃗⃗=−12，则|𝑎⃗−2𝑏⃗⃗|=√(𝑎⃗−2𝑏⃗⃗)2=√𝑎⃗2−4𝑎⃗⋅𝑏⃗⃗+4𝑏⃗

⃗2=√12−4×(−12)+4×22=√19所以cos⟨𝑎⃗,𝑎⃗−2𝑏⃗⃗⟩=𝑎⃗⃗⋅(𝑎⃗⃗−2𝑏⃗⃗)|𝑎⃗⃗|⋅|𝑎⃗⃗−2𝑏⃗⃗|=𝑎⃗⃗2−2𝑎⃗⃗⋅𝑏⃗⃗|𝑎⃗⃗|

⋅|𝑎⃗⃗−2𝑏⃗⃗|=12−2×(−12)1×√19=2√1919.故选：D.【变式3-2】（2022·全国·模拟预测）已知向量𝑎⃗，𝑏⃗⃗满足|𝑎⃗|=1，|𝑎⃗+2𝑏⃗⃗|=√7，|𝑎⃗−𝑏⃗⃗|=√192，则

⟨𝑎⃗,𝑏⃗⃗⟩=（）A．𝜋2B．3𝜋4C．𝜋3D．2𝜋3【解题思路】根据|𝑎⃗+2𝑏⃗⃗|=√7，|𝑎⃗−𝑏⃗⃗|=√192，|𝑎⃗|=1，可求得𝑎⃗⋅𝑏⃗⃗=−34，|𝑏⃗⃗|=32，最后利用数

量积的公式求⟨𝑎⃗,𝑏⃗⃗⟩即可.【解答过程】解：由题可得|𝑎⃗+2𝑏⃗⃗|2=𝑎⃗2+4𝑎⃗⋅𝑏⃗⃗+4𝑏⃗⃗2=1+4𝑎⃗⋅𝑏⃗⃗+4|𝑏⃗⃗|2=7①，|𝑎⃗−𝑏⃗⃗|2=𝑎⃗2−2𝑎⃗⋅𝑏⃗⃗+𝑏⃗⃗2=1−2𝑎⃗⋅𝑏⃗⃗+|�

�⃗⃗|2=194②，①②两式联立得𝑎⃗⋅𝑏⃗⃗=−34，|𝑏⃗⃗|=32，∴cos⟨𝑎⃗,𝑏⃗⃗⟩=𝑎⃗⃗⋅𝑏⃗⃗|𝑎⃗⃗||𝑏⃗⃗|=−12，而⟨𝑎⃗,𝑏⃗⃗⟩∈[0,𝜋]，∴⟨𝑎⃗,

𝑏⃗⃗⟩=2𝜋3．故选：D.【变式3-3】（2022秋·山东聊城·高一期中）已知|𝑎⃗|=√2,|𝑏⃗⃗|=2,𝑒⃗是与向量𝑏⃗⃗方向相同的单位向量，向量𝑎⃗在向量𝑏⃗⃗上的投影向量为−�

�⃗，则𝑎⃗与𝑏⃗⃗的夹角为（）A．45°B．60°C．120°D．135°【解题思路】根据投影向量的定义结合题意可得𝑎⃗⃗⋅𝑏⃗⃗|𝑏⃗⃗|⋅𝑒⃗=−𝑒⃗，即得𝑎⃗⃗⋅𝑏⃗⃗|𝑏⃗⃗|=−1，再利用数量积的定义即可求得答案.【

解答过程】由题意可知向量𝑎⃗在向量𝑏⃗⃗上的投影向量为𝑎⃗⃗⋅𝑏⃗⃗|𝑏⃗⃗|⋅𝑒⃗，则𝑎⃗⃗⋅𝑏⃗⃗|𝑏⃗⃗|⋅𝑒⃗=−𝑒⃗,∴𝑎⃗⃗⋅𝑏⃗⃗|𝑏⃗⃗|=−1，即√2×2×cos〈

𝑎⃗,𝑏⃗⃗〉=−2,∴cos〈𝑎⃗,𝑏⃗⃗〉=−√22，而⟨𝑎→,𝑏→⟩∈[0°,180°]，故⟨𝑎→,𝑏→⟩=135°，故选：D.【题型4已知向量的夹角求参数】【方法点拨】根据题目条件，借助向

量的夹角公式=，进行转化求解即可.【例4】（2022秋·甘肃兰州·高一期中）已知𝑖⃗,𝑗⃗为互相垂直的单位向量，𝑎⃗=−𝑖⃗+2𝑗⃗,𝑏⃗⃗=3𝑖⃗−(𝜆−4)𝑗⃗，且𝑎⃗与𝑎⃗−𝑏⃗⃗的夹角为锐角，则𝜆的取值范

围为（）A．(0,+∞)B．(0,10)∪(10,+∞)C．(−∞,0)D．(−∞,−2)∪(−2,0)【解题思路】根据𝑎⃗与𝑎⃗−𝑏⃗⃗的夹角为锐角，由𝑎⃗⋅(𝑎⃗−𝑏⃗⃗)>0且𝑎⃗与𝑎⃗−𝑏⃗⃗不共线求解.【解答过程】解：因为𝑎⃗=−𝑖⃗+2𝑗⃗,𝑏

⃗⃗=3𝑖⃗−(𝜆−4)𝑗⃗，所以𝑎⃗−𝑏⃗⃗=−4𝑖⃗+(𝜆−2)𝑗⃗，因为𝑎⃗与𝑎⃗−𝑏⃗⃗的夹角为锐角，所以4+2(𝜆−2)>0，且𝑎⃗与𝑎⃗−𝑏⃗⃗不共线，解得𝜆>0，当𝑎⃗

//(𝑎⃗−𝑏⃗⃗)时，则𝑎⃗=𝑘(𝑎⃗−𝑏⃗⃗)，即{−1=−4𝑘2=𝑘(𝜆−2)，解得{𝑘=14𝜆=10，当𝜆=10时，𝑎⃗与𝑎⃗−𝑏⃗⃗共线且同向，所以𝜆的取值范围为(0,10)∪(10,+∞)，故选：B.【变式4-1】（2022·高一单元测

试）已知△𝐴𝐵𝐶是正三角形,若𝑎⃗=𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗−𝜆𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗与向量𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗的夹角大于90°,则实数𝜆的取值范围是()A．𝜆<12B．𝜆<2C．𝜆>12D．𝜆>2【解题思路】由平

面向量数量积的定义与运算律求解，【解答过程】由题意得𝑎⃗⋅𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗<0，设△𝐴𝐵𝐶边长为𝑚，则(𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗−𝜆𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗)⋅𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑚2−12𝜆𝑚2<0，解得𝜆>2，故选：D.【变式4-2】（2022春·北京顺义·高三期中）已知𝑎

⃗和𝑏⃗⃗是两个互相垂直的单位向量，𝑐⃗=𝑎⃗+𝜆𝑏⃗⃗(𝜆∈𝑅)，则𝜆=1是𝑐⃗和𝑎⃗夹角为𝜋4的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解题思路】根据向量公式cos⟨𝑎⃗,𝑐⃗⟩=𝑎⃗⃗⋅𝑐⃗|𝑎⃗⃗|⋅|𝑐⃗|

表示出𝑐⃗和𝑎⃗夹角的余弦值，再讨论夹角为𝜋4时𝜆的取值，最后根据充分条件和必要条件定义选出答案.【解答过程】𝑎⃗⋅𝑐⃗=𝑎⃗⋅(𝑎⃗+𝜆𝑏⃗⃗)=|𝑎⃗|2+𝜆𝑎⃗⋅𝑏⃗⃗=1，|𝑎⃗|=1，|𝑐⃗|=√

(𝑎⃗+𝜆𝑏⃗⃗)2=√1+𝜆2cos⟨𝑎⃗,𝑐⃗⟩=𝑎⃗⃗⋅𝑐⃗|𝑎⃗⃗|⋅|𝑐⃗|=1√1+𝜆2，当𝜆=±1时，cos⟨𝑎⃗,𝑐⃗⟩=√22，即𝑐⃗和𝑎⃗夹角为𝜋4,故𝜆=1是𝑐⃗和𝑎⃗夹角为𝜋4

的充分不必要条件故选：A.【变式4-3】（2022秋·陕西渭南·高一期末）已知𝑖⃗,𝑗⃗分别是与𝑥轴、𝑦轴方向相同的单位向量，𝑎⃗=𝑖⃗−2𝑗⃗，𝑏⃗⃗=𝑖⃗+𝜆𝑗⃗，且𝑎⃗,𝑏⃗⃗的夹角为锐角，则实数𝜆

的取值范围是（）A．[−2,23)∪(23,+∞)B．(−∞,−2)∪(−2,12)C．(−∞,12)D．(12,+∞)【解题思路】由向量夹角为锐角可知𝑎⃗⋅𝑏⃗⃗>0且𝑎⃗,𝑏⃗⃗不同向，由此可构造不等式组求得结果.【解答过程】∵𝑎⃗,𝑏⃗⃗的夹角为锐角，∴�

�⃗⋅𝑏⃗⃗>0且𝑎⃗,𝑏⃗⃗不同向，∴{𝑎⃗⋅𝑏⃗⃗=(𝑖⃗−2𝑗⃗)⋅(𝑖⃗+𝜆𝑗⃗)=1−2𝜆>0−2≠𝜆，解得：𝜆<12且𝜆≠−2，∴实数𝜆的取值范围为(−∞,−2)∪(−2,12).故选：B.【题型5向量的模】【方法点拨】或是求向量的模及用

向量求解图形中线段长度的依据.这种通过求自身的数量积从而求模的思想是解决向量的模的问题的主要方法.此外，根据平面图形求向量的模时，注意利用图形的性质对向量的数量积或夹角等进行转化.【例5】（2023·广西梧州·统考一模）已知向量𝑎⃗，𝑏⃗⃗满足|𝑎⃗|=1，|𝑏⃗⃗|=

2，|𝑎⃗+2𝑏⃗⃗|=3，则|2𝑎⃗−𝑏⃗⃗|=（）A．3B．√10C．√14D．4【解题思路】根据平面向量模的运算性质，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可.【解答过程】∵向量𝑎⃗,𝑏⃗⃗满足|𝑎⃗

|=1，|𝑏⃗⃗|=2，|𝑎⃗+2𝑏⃗⃗|=3，∴|𝑎⃗+2𝑏⃗⃗|2=|𝑎⃗|2+4𝑎⃗⋅𝑏⃗⃗+4|𝑏⃗⃗|2=1+16+4𝑎⃗⋅𝑏⃗⃗=9，∴4𝑎⃗⋅𝑏⃗⃗=−8，∴|2𝑎⃗−𝑏⃗⃗|2=4|𝑎⃗|2−4𝑎⃗

⋅𝑏⃗⃗+|𝑏⃗⃗|2=4+8+4=16，∴|2𝑎⃗+𝑏⃗⃗|=4，故选：D.【变式5-1】（2022·浙江·模拟预测）已知平面向量𝑎⃗，𝑏⃗⃗，𝑐⃗两两之间的夹角均相等，且𝑎⃗⋅𝑏⃗⃗=−1，𝑏⃗⃗⋅𝑐⃗=−2，𝑐⃗⋅𝑎⃗=−3，则|𝑎⃗+�

�⃗⃗+𝑐⃗|=（）A．133B．√393C．7√66D．236【解题思路】根据题意确定向量两两间夹角为2π3，利用条件求出|𝑎→|2=3,|𝑏→|2=43,|𝑐→|2=12，再求|𝑎⃗+𝑏⃗⃗+𝑐⃗|的平方即可得解.【解答过程】因为平面向量𝑎⃗，�

�⃗⃗，𝑐⃗两两之间的夹角均相等，且两两之间的数量积为负数，所以两两之间的夹角均为2π3，|𝑎→+𝑏→+𝑐→|2=|𝑎→|2+|𝑏→|2+|𝑐→|2+2𝑎→⋅𝑏→+2𝑏→⋅𝑐→+2𝑐→⋅𝑎→=|𝑎→|2+|𝑏→|2+|𝑐→

|2−12，且𝑎→⋅𝑏→=−|𝑎→||𝑏→|2=−1,𝑏→⋅𝑐→=−|𝑏→||𝑐→|2=−2,𝑐→⋅𝑎→=−|𝑐→||𝑎→|2=−3，则解得|𝑎→|2=3,|𝑏→|2=43,|𝑐→|2=12，所以|𝑎→+𝑏→+𝑐→|2=133，故|𝑎⃗+𝑏⃗

⃗+𝑐⃗|=√393.故选：B.【变式5-2】（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量𝑎⃗，𝑏⃗⃗满足|𝑎⃗|=2|𝑏⃗⃗|=2√2，𝑎⃗，𝑏⃗⃗的夹角为𝜋3，若𝑐⃗=13𝑎⃗+23𝑏⃗⃗，则|𝑐⃗|=（）A．89B

．83C．2√23D．2√63【解题思路】根据向量的数量积运算即可.【解答过程】|𝑎⃗|=2|𝑏⃗⃗|=2√2，𝑎⃗，𝑏⃗⃗的夹角为𝜋3，得𝑎⃗⋅𝑏⃗⃗=|𝑎⃗|⋅|𝑏⃗⃗|cos𝜋3=2，|𝑐⃗|2=(13𝑎⃗+23𝑏⃗⃗)2=19|𝑎⃗|

2+49𝑎⃗⋅𝑏⃗⃗+49|𝑏⃗⃗|2=83，|𝑐⃗|=2√63.故选：D.【变式5-3】（2022春·宁夏石嘴山·高三阶段练习）在边长为4的等边△ABC中，已知𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=23𝐴�

�⃗⃗⃗⃗⃗，点P在线段CD上，且𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=𝑚𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+12𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗，则|𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗|=（）A．1B．√5C．√7D．2√2【解题思路】将𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗用𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗和𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗表示，再根据𝐶,𝐷,𝑃三点共线，求出𝑚的值，再根据|�

�𝑃⃗⃗⃗⃗⃗|=√(𝑚𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+12𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗)2即可得出答案.【解答过程】解：𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=𝑚𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+12𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝑚𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+34𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗，因为𝐶,𝐷,𝑃三点共线，所以𝑚+34=1，所以

𝑚=14，所以𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=14𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+12𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗，则|𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗|=√(14𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+12𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗)2=√116𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗2+14𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗2+14𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=√1+4+14×4×4×1

2=√7.故选：C.【题型6向量数量积的最值问题】【方法点拨】先进行数量积的有关运算，将数量积的最值问题转化为函数的最值问题或几何量的最值问题，利用求函数最值的基本方法求出相关的最大值或最小值，或利用图形直观求出相关的最值.【例

6】（2022·全国·高三专题练习）在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐺为△𝐵𝐶𝐷的重心，𝐴𝐺=2，点𝑂在线段𝐴𝐺上，则𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⋅(𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗)的最小值为（）A．

−3B．−2C．−1D．0【解题思路】首先根据平面向量的加法几何意义，三角形重心的性质和平面数量积的概念得到𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⋅(𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=−3|�

�𝐴⃗⃗⃗⃗⃗|⋅|𝑂𝐺⃗⃗⃗⃗⃗|，再利用基本不等式性质即可得到答案.【解答过程】如图所示：因为𝑂𝐺⃗⃗⃗⃗⃗=𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐺⃗⃗⃗⃗⃗,𝑂𝐺⃗⃗⃗⃗⃗=𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐺⃗⃗⃗⃗⃗,𝑂𝐺⃗⃗⃗⃗⃗=𝑂�

�⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐷𝐺⃗⃗⃗⃗⃗，所以𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3𝑂𝐺⃗⃗⃗⃗⃗，于是有𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⋅(𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=

3𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑂𝐺⃗⃗⃗⃗⃗=−3|𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗|⋅|𝑂𝐺⃗⃗⃗⃗⃗|，又|𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗|⋅|𝑂𝐺⃗⃗⃗⃗⃗|≤(|𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗|+|𝑂𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2)2=1，当且仅当|𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗|=|𝑂𝐺⃗⃗⃗⃗⃗|=1时取等号

，所以𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⋅(𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=3𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑂𝐺⃗⃗⃗⃗⃗≥−3.故选：A.【变式6-1】（2022春·辽宁抚顺·高三阶段练习）窗花是贴在窗纸或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花

隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻的边长为2，𝑃是正八边形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻边上任意一点，则𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗的最大值为（）A．8+6√2B．8+8√2C．12+

6√2D．12+8√2【解题思路】根据已知条件作出图形，利用向量的加法法则及相反向量的定义，结合向量的数量积的运算律及勾股定理即可求解.【解答过程】由题意可知，取𝐴𝐵的中点𝑂，如图所示所以𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(𝑃𝑂⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗)⋅(𝑃𝑂

⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=(𝑃𝑂⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗)⋅(𝑃𝑂⃗⃗⃗⃗⃗⃗−𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=𝑃𝑂⃗⃗⃗⃗⃗⃗2−𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗2．=𝑃𝑂⃗⃗⃗⃗⃗⃗2−1，当点𝑃与点𝐸或点𝐹重合时，|𝑃𝑂⃗⃗⃗⃗⃗⃗|取的最大值，𝑃𝑂⃗⃗⃗⃗⃗

⃗2取得最大值，且最大值为12+(2+2√2)2=13+8√2，故𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗的最大值为12+8√2.故选：D.【变式6-2】（2022·全国·高一假期作业）已知向量𝑎、𝑏⃗，|𝑎|=1，|𝑏⃗|=2，若对任意单位向量

𝑒，均有|𝑎⋅𝑒|+|𝑏⃗⋅𝑒|≤√6，则𝑎⋅𝑏⃗的最大值为（）A．12B．√22C．1D．2【解题思路】由|(𝑎+𝑏⃗)⋅𝑒|=|𝑎⋅𝑒+𝑏⃗⋅𝑒|≤|𝑎⋅𝑒|+|𝑏⃗⋅𝑒|≤√6，得|(𝑎+𝑏⃗)

⋅𝑒|≤√6恒成立，从而可得|𝑎+𝑏⃗|≤√6，再结合|𝑎+𝑏⃗|2=𝑎2+𝑏⃗2+2𝑎⋅𝑏⃗，即可求解【解答过程】因为|𝑎⋅𝑒|+|𝑏⃗⋅𝑒|≤√6，所以|(𝑎+𝑏⃗)⋅𝑒

|=|𝑎⋅𝑒+𝑏⃗⋅𝑒|≤|𝑎⋅𝑒|+|𝑏⃗⋅𝑒|≤√6，所以|(𝑎+𝑏⃗)⋅𝑒|≤√6恒成立，所以|(𝑎+𝑏⃗)⋅𝑒|=|𝑎+𝑏⃗||𝑒||cos⟨𝑎+𝑏⃗,𝑒⟩|≤√6恒成立，所以|𝑎+𝑏⃗|≤√6，所以|𝑎+𝑏⃗|2=𝑎2+𝑏⃗2+2𝑎⋅

𝑏⃗=5+2𝑎⋅𝑏⃗≤6，所以𝑎⋅𝑏⃗≤12，所以𝑎⋅𝑏⃗的最大值为12，故选：A.【变式6-3】（2022秋·浙江·高三阶段练习）已知△𝐴𝐵𝐶中，|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|=5，|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|=8，|𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|=7，𝑃𝑄是以

𝐴为圆心的单位圆上的任意一条直径，则𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐶𝑄⃗⃗⃗⃗⃗的最大值是（）A．12B．26C．872D．44【解题思路】计算出𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗的值，利用平面向量的线性运算可得出𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗，

𝐶𝑄⃗⃗⃗⃗⃗=−𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗，利用平面向量数量积的运算性质可求得𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐶𝑄⃗⃗⃗⃗⃗的最大值.【解答过程】因为|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|=5，|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|=8，|𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|=7，则𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗2=(𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗

−𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗)2=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗2+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗2−2𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗，所以，𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=20，由题意可知，点𝐴为线段𝑃𝑄的中点，且|𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗|=1，𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=𝑄𝐴⃗⃗⃗⃗⃗，𝐵𝑃

⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗，𝐶𝑄⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝑄⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=−𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗，所以，𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐶𝑄⃗⃗⃗⃗⃗=(𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗)

⋅(−𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗)=(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗)(𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗)=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗2+𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⋅(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗)=19+𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐶�

�⃗⃗⃗⃗⃗≤19+|𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗|⋅|𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|=26.当且仅当𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗、𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗同向时，等号成立，故𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐶𝑄⃗⃗⃗⃗⃗的最大值为26.故选：B.