【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019必修二）专题6.5 向量的数量积（重难点题型精讲）（学生版）.docx，共(8)页，480.952 KB，由小赞的店铺上传

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专题6.5向量的数量积（重难点题型精讲）1．向量的数量积(1)向量数量积的物理背景在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功W=||||，其中是与的夹角.我们知道力和位移都是矢量，而功是一个

标量(数量).这说明两个矢量也可以进行运算，并且这个运算明显不同于向量的数乘运算，因为数乘运算的结果是一个向量，而这个运算的结果是数量.(2)向量的夹角已知两个非零向量,，如图所示，O是平面上的任意一点，作=，=，

则∠AOB=(0≤≤π)叫做向量与的夹角，也常用表示.(3)两个向量数量积的定义已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量||||叫做向量与的数量积(或内积)，记作，即=||||.规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0=

0.(4)向量的投影如图，设，是两个非零向量，=，=，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量.2．向量数

量积的性质和运算律(1)向量数量积的性质设，是非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，则①==.②=0.③当与同向时，=；当与反向时，=-.特别地，==或=.④|a|，当且仅当向量，共线，即∥时，等号成立.⑤=.(2)向量数量积的运算律由向量数量积的定义，可

以发现下列运算律成立：对于向量，，和实数，有①交换律：=；②数乘结合律：()=()=()；③分配律：(+)=+.3．向量数量积的常用结论(1)=；(2)；(3)；(4)；(5)，当且仅当与同向共线时右边等号成立，与反向共线时左边等号成立.以上结论可作为公式使用.【题

型1向量的投影】【方法点拨】根据向量的投影的定义，结合具体条件，进行求解即可.【例1】（2022·安徽·校联考二模）已知单位向量𝑎⃗,𝑏⃗⃗满足|𝑎⃗+𝑏⃗⃗|=√3，则𝑎⃗在𝑏⃗⃗上的投影向量为（）A．𝑎⃗

B．12𝑎⃗C．12𝑏⃗⃗D．𝑏⃗⃗【变式1-1】（2022春·湖北·高二阶段练习）已知|𝑎⃗|=3,|𝑏⃗⃗|=5，设𝑎⃗,𝑏⃗⃗的夹角为120°，则𝑏⃗⃗在𝑎⃗上的投影向量是（）A．56𝑎⃗B．5√3

6𝑎⃗C．-56𝑎⃗D．-5√36𝑎⃗【变式1-2】（2022春·辽宁沈阳·高三阶段练习）已知平面向量𝑎⃗,𝑏⃗⃗满足|𝑎⃗|=2,𝑎⃗⋅𝑏⃗⃗=4，则𝑏⃗⃗在𝑎⃗方向上的投影向量

为（）A．12𝑎⃗B．12𝑏⃗⃗C．𝑎⃗D．𝑏⃗⃗【变式1-3】（2022·高一课时练习）如图，在平面四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐵𝐶𝐷=120∘，𝐴𝐵=𝐶𝐷，则向量𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗在向量𝐴𝐵⃗⃗

⃗⃗⃗上的投影向量为（）A．−√32𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗B．−12𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗C．12𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗D．√32𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗【题型2向量数量积的计算】【方法点拨】解决向量数量积的计算问题，要充分利用图形特点及其含有的特殊向量，这里的特殊向量主要指具有特殊夹角或已知长

度的向量.对于以图形为背景的向量数量积的题目，解题时要充分把握图形的特征.【例2】（2022·四川·高三统考对口高考）已知向量𝑎⃗与向量𝑏⃗⃗的夹角为60°，|𝑎⃗|=4，|𝑏⃗⃗|=5，则𝑎⃗⋅𝑏⃗⃗=（）A．20B．10C．5√3D．

5√2【变式2-1】（2022春·吉林四平·高三期末）已知向量𝑎⃗，𝑏⃗⃗满足|𝑎⃗|=2，|𝑏⃗⃗|=√3，且𝑎⃗与𝑏⃗⃗的夹角为π6，则(𝑎⃗+𝑏⃗⃗)⋅(2𝑎⃗−𝑏⃗⃗)=（）A．6B．8C．10D．14【变式

2-2】（2022·四川自贡·统考一模）在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶=90°，𝐶𝐵=3，点M在边AB上，且满足𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=（）A．43B．3C．6D．8【变式2-3】（2022春·江苏徐

州·高三学业考试）如图，在边长为3的正△𝐴𝐵𝐶中，D，E分别在AC，AB上，且𝐴𝐸𝐸𝐵=𝐶𝐷𝐷𝐴=12，则𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗=（）A．9(√3−1)2B．9(√2−1)2C．−92D．92【题型3

求向量的夹角（夹角的余弦值）】【方法点拨】求两非零向量的夹角或其余弦值一般利用夹角公式=求解.【例3】（2022·陕西宝鸡·统考一模）已知向量𝑚⃗⃗⃗，𝑛⃗⃗满足|𝑚⃗⃗⃗|=|𝑛⃗⃗|=2，且𝑚⃗⃗⃗⋅𝑛⃗⃗=−2√2

，则𝑚⃗⃗⃗，𝑛⃗⃗夹角为（）A．π6B．π4C．3π4D．5π6【变式3-1】（2022春·云南曲靖·高三阶段练习）已知|𝑎⃗|=1,|𝑏⃗⃗|=2,𝑎⃗⋅𝑏⃗⃗=−12，则cos⟨𝑎⃗,𝑎⃗−2𝑏⃗⃗⟩=（）A．0B．2√1111C．2√1313D．2√1919【变式3-2

】（2022·全国·模拟预测）已知向量𝑎⃗，𝑏⃗⃗满足|𝑎⃗|=1，|𝑎⃗+2𝑏⃗⃗|=√7，|𝑎⃗−𝑏⃗⃗|=√192，则⟨𝑎⃗,𝑏⃗⃗⟩=（）A．𝜋2B．3𝜋4C．𝜋3D．2𝜋3【变式3-3】（2022秋

·山东聊城·高一期中）已知|𝑎⃗|=√2,|𝑏⃗⃗|=2,𝑒⃗是与向量𝑏⃗⃗方向相同的单位向量，向量𝑎⃗在向量𝑏⃗⃗上的投影向量为−𝑒⃗，则𝑎⃗与𝑏⃗⃗的夹角为（）A．45°B．60°C．120°D．135°【题型4已知向量的夹角求参数】【方法点拨】根据题目条

件，借助向量的夹角公式=，进行转化求解即可.【例4】（2022秋·甘肃兰州·高一期中）已知𝑖⃗,𝑗⃗为互相垂直的单位向量，𝑎⃗=−𝑖⃗+2𝑗⃗,𝑏⃗⃗=3𝑖⃗−(𝜆−4)𝑗⃗，且𝑎⃗与𝑎⃗−𝑏⃗⃗的夹角为锐角，则𝜆的取值范围为（）A．(0,+∞)B．(0,10)∪

(10,+∞)C．(−∞,0)D．(−∞,−2)∪(−2,0)【变式4-1】（2022·高一单元测试）已知△𝐴𝐵𝐶是正三角形,若𝑎⃗=𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗−𝜆𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗与向量𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗的夹角大于90°,则实数𝜆的取值范围是()A．𝜆<12B．𝜆

<2C．𝜆>12D．𝜆>2【变式4-2】（2022春·北京顺义·高三期中）已知𝑎⃗和𝑏⃗⃗是两个互相垂直的单位向量，𝑐⃗=𝑎⃗+𝜆𝑏⃗⃗(𝜆∈𝑅)，则𝜆=1是𝑐⃗和𝑎⃗夹角为𝜋4的（）A．充分不必要

条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【变式4-3】（2022秋·陕西渭南·高一期末）已知𝑖⃗,𝑗⃗分别是与𝑥轴、𝑦轴方向相同的单位向量，𝑎⃗=𝑖⃗−2𝑗⃗，𝑏⃗⃗=𝑖⃗+𝜆𝑗⃗，且𝑎⃗,𝑏⃗⃗的夹角为锐角，则实数𝜆的取值范围是（）

A．[−2,23)∪(23,+∞)B．(−∞,−2)∪(−2,12)C．(−∞,12)D．(12,+∞)【题型5向量的模】【方法点拨】或是求向量的模及用向量求解图形中线段长度的依据.这种通过求自身的数量积从而求模的思想是解决向量的模的问题的主要方法.此外，

根据平面图形求向量的模时，注意利用图形的性质对向量的数量积或夹角等进行转化.【例5】（2023·广西梧州·统考一模）已知向量𝑎⃗，𝑏⃗⃗满足|𝑎⃗|=1，|𝑏⃗⃗|=2，|𝑎⃗+2𝑏⃗⃗|=3，则|2𝑎⃗−𝑏⃗⃗|=（）A．3B．

√10C．√14D．4【变式5-1】（2022·浙江·模拟预测）已知平面向量𝑎⃗，𝑏⃗⃗，𝑐⃗两两之间的夹角均相等，且𝑎⃗⋅𝑏⃗⃗=−1，𝑏⃗⃗⋅𝑐⃗=−2，𝑐⃗⋅𝑎⃗=−3，则|𝑎⃗+𝑏⃗⃗+𝑐⃗|=（）A．133B．√393C．7√66D．236【变式5-2】（20

23·全国·高三专题练习）已知平面向量𝑎⃗，𝑏⃗⃗满足|𝑎⃗|=2|𝑏⃗⃗|=2√2，𝑎⃗，𝑏⃗⃗的夹角为𝜋3，若𝑐⃗=13𝑎⃗+23𝑏⃗⃗，则|𝑐⃗|=（）A．89B．83C．2√23D．2√63【变式5-3】（2022春·宁夏石嘴山·高三阶段练习）在边长为4的等

边△ABC中，已知𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=23𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗，点P在线段CD上，且𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=𝑚𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+12𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗，则|𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗|=（）A．1B．√5C．√7D．2√2【题型6向量数量积的最值问题】【方法点拨】先进行数量积的有关运算

，将数量积的最值问题转化为函数的最值问题或几何量的最值问题，利用求函数最值的基本方法求出相关的最大值或最小值，或利用图形直观求出相关的最值.【例6】（2022·全国·高三专题练习）在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐺为△𝐵𝐶𝐷的重心，𝐴𝐺=

2，点𝑂在线段𝐴𝐺上，则𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⋅(𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗)的最小值为（）A．−3B．−2C．−1D．0【变式6-1】（2022春·辽宁抚顺·高三阶段练习）窗花是贴在窗纸或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边

形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻的边长为2，𝑃是正八边形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻边上任意一点，则𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗的最大值为（）A．8

+6√2B．8+8√2C．12+6√2D．12+8√2【变式6-2】（2022·全国·高一假期作业）已知向量𝑎、𝑏⃗，|𝑎|=1，|𝑏⃗|=2，若对任意单位向量𝑒，均有|𝑎⋅𝑒|+|𝑏⃗⋅𝑒|≤√6，则𝑎⋅𝑏⃗的

最大值为（）A．12B．√22C．1D．2【变式6-3】（2022秋·浙江·高三阶段练习）已知△𝐴𝐵𝐶中，|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|=5，|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|=8，|𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|=7，𝑃

𝑄是以𝐴为圆心的单位圆上的任意一条直径，则𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐶𝑄⃗⃗⃗⃗⃗的最大值是（）A．12B．26C．872D．44