【文档说明】湖南省三湘名校教育联盟2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题含答案.docx，共(13)页，827.368 KB，由小赞的店铺上传

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湘名校教育联盟·2020年上学期高二期末考试数学一、选择题1．已知复数z满足()()12ziii−−=，则z=（）A．1i−+B．12i−+C．2i+D．2i−2．已知集合220Axxx=−−，12log1Bxx=

，则()RAB=ð（）A．()1,2−B．11,2−C．11,2−D．1,223．消费结构是指各类消费支出在总费用支出中所占的比重.它是目标市场宏观经济的一个重要特征，能够反映一国的

文化、经济发展水平和社会的习俗.2020年2月29日人民网公布的我国2019年全国居民人均消费支出及其构成，如图所示，则下列说法正确的是（）A．2019年全国居民人均消费支出一半用于改善居住条件B．2019年全国人均食品

烟酒消费占居民人均消费支出的比重最大C．2019年全国人均衣着消费支出比教育文化娱乐消费支出的比重大D．2019年全国居民用于医疗保健的消费支出超过人均消费支出的10%4．已知向量()1,2a=−，()2,1b=−，若b

与()abR+垂直，则=（）A．54B．54−C．12−D．125．已知双曲线22221xyab−=的离心率为2，则双曲线的渐近线经过点（）A．()1,3−B．()1,2C．()1,2−D．31,2−6．已知

为锐角，3sin33+=，则cos=（）A．6362−B．6362+C．1626−D．6162−7．已知ABC△的内角,,ABC所对的边分别为,,abc，若tantan1tantanBCBC+=−，且2bc=，则ABC△的面积为（）A．22B．2C．24

D．228．新课程改革把劳动与技术课程作为7~9年级每个学生必须接受的课程，并写人新课程标准.某校7年级有5个班，根据学校实际，每个班每周安排一节劳动与技术课，并且只能安排在周一、周三、周五下午的三节课，同年级不

同班不能安排在同一节，则七年级周五下午排了3个班的劳动与技术课程的概率是（）A．325659AAAB．325659CAAC．325659CCCD．325659CCA二、多项选择题9．关于二项式622xx−的展开式，下列结论错误的是（）A．展

开式所有的系数和为1B．展开式二项式的系数和为32C．展开式中不含3x项D．常数项为12010．古希腊数学家阿波罗尼奧斯（约公元前262~公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（0k且1k）的点的轨迹是圆，后人将这个

圆称为阿波罗尼斯圆.已知()0,0O，()3,0A，圆C：()()22220xyrr−+=上有且仅有一个点P满足2PAPO=，则r的取值可以为（）A．1B．2C．3D．511．已知函数()()()cos0,0fxx

=+的部分图象与y轴交于点30,2，与x轴的一个交点为()1,0，如图所示，则下列说法正确的是（）A．6=B．()fx的最小正周期为6C．()yfx=的图像关于直线52x=对称D．()fx在50,2单调递减12．已知偶函数()fx对

任意xR都有()()12120fxfx−−+=，当0,12x时，()()22,02lg2,212xxxfxxx−=−，实数ix是关于x的方程()()1,2,3,...fxmi==的解，且ix互不相等.则下列说法正确的是（）A．()fx的最小正周期是12B．()y

fx=图象的对称轴方程为12xk=，kZC．当1m时，关于x的方程()fxm=在0,12x上有唯一解D．当0m=时，存在1x，2x，3x，4x，使得1234xxxx+++的最小值为0三、填空题13．曲线sinxx

ye=在点()0,0处的切线方程为______.14．已知等差数列na的前n项和为nS，若636S=，2014126SS−=，则数列na的公差d=______.15．某手机运营商为了拓展业务，现对该手机使用潜在客户进行调查，随机抽取国内国外潜在用

户代表各100名，调查用户对是否使用该手机的态度，得到如图所示的等高条形图.根据等高图，______（填“有”或“没有”）99.5%以上的把握认为持乐观态度和国内外差异有关.（参考公式与数据：()()()()()22nadbcKabcdacbd−=+

+++，其中nabcd=+++）()20PKk0.050.010.0050.0010k3.8416.6357.87910.82816．如图，正方体1111ABCDABCD−的棱长为2，P是1AA的中点，Q是侧面正方形11BBCC内的动点，当1DQ平面

PBD时，点Q的轨迹长度为______，若点Q轨迹的两端点和点1C，1D在球O的球面上，则球O的体积为______.四、解答题17．在①3sin3sinsinBCA==，②23aabbc==+，③33b

ca==，这三个条件中，任选一个补充在下面的问题中，并解答问题.已知ABC△的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，______，43a=，角B的平分线交AC于点D，求BD的长.18．已知数列1na+是

首项为2，公比为2的等比数列.（1）求数列na的通项公式；（2）设nS是数列na的前n项和，()2nnbnSn=++，求数列nb的前n项和nT.19．在如图所示的多面体中，平面ABCD⊥平面PDC，ABC

D为正方形，E，F分别为AD，BP的中点，且2AD=，22AP=，23PC=.（1）证明：EF⊥平面PBC；（2）求二面角BPDC−−的余弦值.20．已知椭圆C：()22211xyaa+=的离心率为22，直线l：()63xtytR=+与x轴

的交点为P，与椭圆C交于M、N两点.（1）求椭圆C的标准方程；（2）证明：2211PMPN+是定值.21．国际电子竞技和围棋比赛通常采用双败淘汰制.双败淘汰制即一支队伍失败两场被淘汰出局，直到最后剩下一支队伍夺

得冠军（决赛只赛一场）.以八支战队的比赛为例（如图所示），第一轮比赛，由8支战队抽签后交战，获胜战队继续留在获胜组，失败战队则掉人失败组，进人下一轮比赛.失败战队在失败组一旦再失败即被淘汰，最后由胜者组和败者组的冠军决出总冠军.某

项国际电子竞技比赛有甲等8名选手参加，比赛采用了双败淘汰制，若这8名选手相互之间每场比赛获胜的概率均为0.5.（1）求甲获得冠军的概率；（2）记甲在这次比赛中参加比赛的场次为X，求随机变量X的分布列和期望.22．已知函数()()lnsinfxxaxaR=

−.（1）证明：当0a时，()fx在0,2上单调递增；（2）当1a=时，不等式()lnxkxxfxe−对任意的0,2x恒成立，求实数k的取值范围.三湘名校教育联盟·2020年上学期高二期末考试数学参考答案一、

选择题1．B【解析】方法一：因为()()12ziii−−=，所以()()()2121111iiiziiiii+−===−+−−+，所以12zi=−+.故选B.方法二：设zabi=+，所以()1ziabi−=+−，因为()()

12ziii−−=，所以12zi=−+.故选B.2．C【解析】因为22012Axxxxx=−−=−，121log12Bxxxx==，所以()112RABxx=−

ð，故选C.3．B【解析】根据全国人均消费支出结构饼图，可知2019年内人均食品、烟酒消费占居民人均消费支出的28.2%，比重最大，居住条件上的消费支出占人均消费支出的23.4%，远远小于人均消费支出的一半，用于文化娱乐的比重大于衣着消费，用于医疗保健的消费支出占人均消费支出

的8.8%，不超过10%，故选B.4．A【解析】依题意，()2,21ab+=−−，又b与()abR+垂直，所以()()()2,212,10abb+=−−−=，即540−=，所以54=.故选A.5．A【解析】依题意，双曲线的离心率为2，所以3ba=，即渐近线方程

为3yx=，结合选项可知，渐近线经过点()1,3−，故选A.6．C【解析】方法一：因为为锐角，3sin33+=，所以6cos33+=−，所以16coscoscosc

ossinsin33333326=+−=+++=−，故选C.方法二：提示也可以把3sin33+=展开，结合同角三角函数基本关系式来求解.7．D【解析】

因为tantan1tantanBCBC+=−，即()tan1BC+=，在ABC△中，所以tan1A=−，所以2sin2A=，所以22ABCS=△.故选D.8．A【解析】由题意可知，7年级在周五排3个班的劳动与技术课程，剩下的两个班可以任

意排在周一和同三下午的6节课中的两节课，所以7年级在周五也排3个班的劳动与技术课程的概率325659AAPA=.故选A.二、多项选择题9．BCD【解析】因为二项式622xx−，令1x=可得所有项系数和为1，展开

式中二项式的系数和为6264=，展开式的通项为()()2612316622rrrrrrrTCxCxx−−+=−=−，当4r=时，得常数项为240；当3r=时，可得3x项，所以错误的应选BCD.10．AD【解析】设(),Pxy，由2PAPO=，

得()2222344xyxy−+=+，整理得()2214xy++=，又点P是圆C：()()22220xyrr−+=上有且仅有的一点，所以两圆相切.两圆相切分为外切和内切两种情况，进而可求得1r=或5r=.故选AD.1

1．ABC【解析】因为函数经过30,2，所以3cos2=，所以6=，又因为1x=时，函数值为0，所以()262kkZ+=+，又124T，所以42，所以3=，所以()cos36fxx=+，可得()

fx的最小正周期为6T=；当()2236kxkkZ++，即在156,622kk−+，kZ上单调递减，直线52x=是()fx的一条对称轴.故选ABC.12．BCD【解析】因为函数是偶函数，且()()1212fxfx−=+，当

0,12x时，函数()fx无轴对称性，所以函数的最小正周期为24，故A错误；因为0x=是函数的对称轴，且()()1212fxfx−=+，所以函数图象关于直线()12xxkZ=对称，故B正确；当0,12x

时，结合()()22,02lg2,212xxxfxxx−=−的单调性和图像可知，当1m时，关于x的方程()fxm=在0,12x上只有唯一解，故C正确；当0m=时，总能找到两两关于y对称的四个零点，使得12

340xxxx+++=，若4个零点不关于y对称时，12340xxxx+++.其中正确的是BCD.三、填空题13．0xy−=【解析】因为()cossinxxxexxefxe−=，所以()01f=，所以曲线()sinxfxex=在点()0,0处的切线方程为0xy−

=.14．1514【解析】方法一：由等差数列性质前n项和为公式可知，()620141206162SSSaa+−=+=，所以12027aa+=，所以()12020202702aaS+==，又636S=，所以11251221927adad+=+=，

所以1514d=.方法二：2014614690SSSd−−==，所以1514d=.方法三：依题意，()()111165362614191262aadadad++=+++=，解得1514d=.15．有【解析】依题意，可知国内代表乐观人数60人，不乐观人数40人，国外乐观人数40

人，不乐观人数60人，总计乐观人数100人，不乐观人数100人，所以()22200606040408100100100100K−==，而87.879，所以有99.5%以上的把握认为持乐观态度和国内

外差异有关.16．5；92【解析】依题意，1DQ平面PBD时，点Q是平面11BBCC内的动点，所以可得1D点与点Q的轨迹构成的平面与平面PBD平行，如图所示，因为P是1AA的中点，取1CC中点0Q，所以Q点轨迹即为线段10BQ，因为正方体棱长为2，所以105BQ=.球O的

直径就是10AQ，长为3，故球O体积为92.四、解答题17．解：因为233sin3sinsin33aaBCAbcabbc======+，所以选择三个条件的任意一个条件，都可以作相应的等价变换，解答如下：在ABC△中，因为33bca==，由余弦定理可得，2221cos22bcaAbc+−==

−，因为0A，所以23A=；又BD是角B的平分线，所以12ABD=，所以4ADB=，在BDC△中，由正弦定理可得，sinsinCBBDBDCC=，即3sinsin46BCBD=，所以26BD=.18．解：（1）因为数列1

na+是首项为2，公比2q=的等比数列，由等比数列的通项公式可得12nna+=，所以21nna=−（2）由（1）可知，()12122212nnnSnn+−=−=−−−所以122nnSn+++=，所以12nnbn+=，所以2311222...2nnTn+=+++

①，由①×2可得，34221222...2nnTn+=+++②由①－②可得，231222...22nnnTn++−=+++−，所以()2124nnTn+=−+19．解：（1）证明：取PC中点G，连接DG，FG，点E，F分别为AD，BP的中点，又2AD=

，22AP=，所以2PD=，所以PCD△是等腰三角形，所以EFGD为平行四边形，所以EFGD，因为平面ABCD⊥平面PDC，ABCD为矩形，所以BC⊥平面PDC，所以BCDG⊥，所以PCDG⊥，又BCPCC=，所以DG⊥平面PBC，所以EF⊥平面PBC.（2）空间向量法：如

图所示，在平面PDC内，作DCDy⊥，分别以DC，Dy，DA为x，y，z轴，建立空间坐标系.所以()0,0,0D，()2,0,0C，()2,0,2B，()1,3,0P−，所以平面PDC的法向量为()0,0,1m=，设平面PDB的法向量为(),,nxyz=，()2,0,2DB=，

()1,3,0DP=−，所以00DPnDBn==，即22030xzxy−=−+=，所以()3,1,3n=，所以321cos,77mnmnmn===.所以二面角BPDC−−的余弦值为217.立体几何法：如图，在平面PDC内，作CMPD⊥，垂足为M

，连接BM，BMC即为二面角BPDC−−的平面角，再计算求余弦值即可思路三，利用射影面积法求二面角：设二面角BPDC−−为，由BC⊥平面PDC得cosPBDPCDSS=△△.20．解：（1）依题意可知，1b=，又22e=，所以2a=，所以椭圆C的标准方程22

12xy+=（2）设点()11,Mxy、()22,Nxy，联立226312xtyxy=++=，消去x得()222642033ttyy++−=，()22281632280333ttt=++=+△恒成立，由韦达定理得()1222632tyyt+=−+，()122432yyt

=−+，因此，()()()()()222121212222222222222121212211111111yyyyyytytytyytyyMPNP+−++=+==++++()()()()()()()()222222

22222221618832323216931616316119292ttttttttt+++++====++++.综上所述，22113MPNP+=.21．解：（1）由“双败淘汰制”可知，甲获得冠军可能是由获胜者进入决赛并最终夺冠，也可能是由失败者组进入

决赛最终夺冠的，所以4322451111111812222222648P++++==（2）依题意，X的可能取值为2，3，4，5，6.()211224PX===，()2

121113224PXC===，()33131115422216PXC==+=，当5X=时，有如下情况：①前两场胜利，第三场失败；②第一场失败或第二场失败，则第5场必失败.()

4511152228PX==+=，当6X=时，前5场只可能失败一次，且只可能是在第一场失败或第二场失败，()51162216PX===，所以X的分布列为X234

56P141451618116所以X的数学期望为11511234563.54416816EX=++++=.22．解：（1）证明：因为()()lnsinfxxaxaR=−，所以()1cosfxaxx=−，0,

2x，当0a时，()1cos0fxaxx=−恒成立，()fx在0,2上单调递增.（2）由题意，对0,2x，sin0xexkx−恒成立，设()sinxhxexkx

=−，()sincosxxhxexexk=+−又设()sincosxxmxexexk=+−，则()sincoscossin2cos0xxxxxmxexexexexex=++−=，因此()mx在0,2单调递增，所以()()01mxmk

=−，①当1k时，()0mx，即()0hx，()hx在0,2单调递增，故有()()00hxh=，即1k适合题意.②当1k时，()010mk=−，22mek=−，若20ek−，则取02x=，(

)000,xx时，()0mx，若20ek−，则在0,2上()mx存在唯一零点，记为0x，当()00,xx时，()0mx，总之，存在00,2x使()00,xx时，()0mx，即()0hx，所以()hx单调递减，()()00hxh=，故1k

时存在()00,x使()0hx不合适题意，综上，实数k的取值范围是(,1−.第（2）题也可解答如下：()sinlnxxkxexxfxkex−.设()sinxgxexx=−，则()()sin

cos12sin1104xxxgxexxxee=+−=+−−，∴()sinxgxexx=−在区间0,2上递增，即()()sin00xgxexxg=−=，∴sin1xexx.而()()()000sinsinlimlimlimsincos

1xxxxxxexexexxxx→→→==+=，∴实数k的取值范围是(,1−.